Приведение квадратичной формы. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Найдем координаты собственных векторов
Определение 10.4. Каноническим видом квадратичной формы (10.1) называется следующий вид: . (10.4)
Покажем, что в базисе из собственных векторов квадратичная форма (10.1) примет канонический вид. Пусть
- нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам λ 1 ,λ 2 ,λ 3
матрицы (10.3) в ортонормированном базисе . Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица
. В новом базисе матрица А
примет диагональный вид (9.7) (по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам:
,
получим в новом базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными собственным числам λ 1 , λ 2 , λ 3 :
Замечание 1. С геометрической точки зрения рассмотренное преобразование координат представляет собой поворот координатной системы, совмещающий старые оси координат с новыми.
Замечание 2. Если какие-либо собственные числа матрицы (10.3) совпадают, к соответствующим им ортонормированным собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них, и построить таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид.
Приведем к каноническому виду квадратичную форму
x ² + 5y ² + z ² + 2xy + 6xz + 2yz .
Ее матрица имеет вид В примере, рассмотренном в лекции 9, найдены собственные числа и ортонормированные собственные векторы этой матрицы:
Составим матрицу перехода к базису из этих векторов:
(порядок векторов изменен, чтобы они образовали правую тройку). Преобразуем координаты по формулам:
.
Итак, квадратичная форма приведена к каноническому виду с коэффициентами, равными собственным числам матрицы квадратичной формы.
Лекция 11.
Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.
Определение 11.1. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.
Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс , при пересечении образующих обеих полостей – гипербола , а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола .
Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.
Эллипс.
Определение 11.2. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F фокусами , есть величина постоянная.
Замечание. При совпадении точек F 1 и F 2 эллипс превращается в окружность.
Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему
у М(х,у) координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F 1 F 2 , начало
r 1 r 2 координат – с серединой отрезка F 1 F 2 . Пусть длина этого
отрезка равна 2с , тогда в выбранной системе координат
F 1 O F 2 x F 1 (-c , 0), F 2 (c , 0). Пусть точка М(х, у ) лежит на эллипсе, и
сумма расстояний от нее до F 1 и F 2 равна 2а .
Тогда r 1 + r 2 = 2a , но ,
поэтому Введя обозначение b ² = a ²-c ² и проведя несложные алгебраические преобразования, получимканоническое уравнение эллипса : (11.1)
Определение 11.3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а (11.2)
Определение 11.4. Директрисой D i эллипса, отвечающей фокусу F i F i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.
Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.
Свойства эллипса:
1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a >2b ), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.
2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника
3) Эксцентриситет эллипса e < 1.
Действительно, 
4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е , а е <1, следовательно, а/е>a , а весь эллипс лежит в прямоугольнике )
5) Отношение расстояния r i от точки эллипса до фокуса F i к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.
Доказательство.
Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:
Составим уравнения директрис:
(D
1), (D
2). Тогда 
Отсюда r i / d i = e
, что и требовалось доказать.
Гипербола.
Определение 11.5. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 иF 2 этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная.
Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.
|r 1 - r 2 | = 2a , откуда Если обозначить b ² = c ² - a ², отсюда можно получить
- каноническое уравнение гиперболы . (11.3)
Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.
Определение 11.7. Директрисой D i гиперболы, отвечающей фокусу F i , называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.
Свойства гиперболы:
1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу ). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.
2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями
3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением
для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.
4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.
5) Отношение расстояния r i от точки гиперболы до фокуса F i к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.
Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.
Парабола.
Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой .
У Для вывода уравнения параболы выберем декартову
систему координат так, чтобы ее началом была середина
D M(x,y) перпендикуляра FD , опущенного из фокуса на директри-
r су, а координатные оси располагались параллельно и
перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD
D O F x равна р . Тогда из равенства r = d следует, что
поскольку
Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y
² = 2px
, (11.4)
называемому каноническим уравнением параболы . Величина р называется параметром параболы.
Свойства параболы:
1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.
2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.
Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:
Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e <1), гиперболу (при e >1) или параболу (при е =1).
Похожая информация.
Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов.
Пусть дана квадратичная форма
Напомним, что, ввиду симметричности матрицы
,
Возможны два случая:
1. Хотя бы один из коэффициентовпри квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать(этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
2. Все коэффициенты,
но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет).
В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:
,
а через обозначены все остальные слагаемые.
представляет собой квадратичную форму от (n-1) переменных .
С ней поступают аналогичным образом и так далее.
Заметим, что
Второй случай заменой переменных
сводится к первому.
Пример 1:Квадратичную форму привести к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования.
Решение.
Соберём все слагаемые, содержащие
неизвестное
,
и дополним их до полного квадрата
.
(Так как .)
или
(3)
или
(4)
и
от неизвестных
форма
примет вид.
Далее полагаем
или
и
от неизвестных
форма
примет уже канонический вид
Разрешим
равенства (3) относительно
:
или
Последовательное
выполнение линейных преобразований
и
,
где
,
имеет матрицей
Линейное
преобразование неизвестных
приводит
квадратичную форму
к каноническому виду (4). Переменные
связаны с новыми переменными
соотношениями
С LU - разложением мы познакомились в практикуме 2_1
Вспомним утверждения из практикума 2_1
Утверждения (см.Л.5, стр. 176)
Данный скрипт призван понять роль LU в методе Лагранжа, с ним нужно работать в блокноте EDITOR с помощью кнопки F9.
А в прилагаемых ниже заданиях лучше создать свои М-функции, помогающие вычислению и осознанию задач линейной алгебры (в рамках данной работы)
Ax=X."*A*X % получаем квадратичную форму
Ax=simple(Ax) % упрощаем ее
4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2
% найдем LU разложение без перестановки строк матрицы A
% При преобразовании матрицы к ступенчатому виду
%без перестановок строк, мы получим матрицу M1 и U3
% U получается из A U3=M1*A,
% вот такой матрицей элементарных преобразований
0.5000 1.0000 0
0.5000 0 1.0000
%мы получим U3=M1*A, где
4.0000 -2.0000 2.0000
% из M1 легко получить L1, поменяв знаки
% в первом столбце во всех строках кроме первой.
0.5000 1.0000 0
0.5000 0 1.0000
% L1 такое, что
A_=L1*U % вот это и есть нужное нам LU разложение
% Элементы, стоящие на главной диагонали U -
% это коэффициенты при квадратах y i ^2
% в преобразованной квадратичной форме
% в нашем случае, есть один только коэффициент
% значит, в новых координатах будет только 4y 1 2 в квадрате,
% при остальных 0y 2 2 и 0y 3 2 коэффициенты равны нулю
% столбцы матрицы L1 - это разложение Y по X
% по первому столбцу видим y1=x1-0.5x2+0.5x3
% по второму видим y2=x2; по третьему y3=x3.
% если транспонировать L1,
% то есть T=L1."
% T - матрица перехода от {X} к {Y}: Y=TX
0.5000 1.0000 0
1.0000 -0.5000 0.5000
% A2 – матрица преобразованной квадратичной формы
% Заметим U=A2*L1." и A=L1* A2*L1."
4.0000 -2.0000 2.0000
|
1.0000 -0.5000 0.5000 |
% Итак, мы получили разложение A_=L1* A2*L1." или A_=T."* A2*T
% показывающее замену переменных
% y1=x1-0.5x2+0.5x3
% и представление квадратичной формы в новых координатах
A_=T."*A2*T % T=L1." матрица перехода от {X} к {Y}: Y=TX
isequal(A,A_) % должно совпасть с исходной A
4.0000 -2.0000 2.0000
2.0000 1.0000 -1.5000
2.0000 -1.5000 1.0000
Q1=inv(T) % находим матрицу перехода от {Y} к {X}
% Найдем преобразование,
% приводящее квадратичную форму Ax=X."*A*X
% к новому виду Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (U)*Y
Ay =4*y1^2 - y2*y3
x1 - x2/2 + x3/2
% матрица второго преобразования,
% которая составляется значительно проще.
4*z1^2 - z2^2 + z3^2
% R=Q1*Q2, X=R*Z
R=Q1*Q2 % невырожденное линейное преобразование
% приводящее матрицу оператора к каноническому виду.
det(R) % определитель не равен нулю - преобразование невырожденное
4*z1^2 - z2^2 + z3^2 ok
4*z1^2 - z2^2 + z3^2
Сформулируем алгоритм приведения квад ратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием:
Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Канонический и нормальный вид квадратичной формы.
Линейные преобразования переменных.
Понятие квадратичной формы.
Квадратичные формы.
Определение: Квадратичной формой от переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных.
Переменные можно рассматривать как аффинные координаты точки арифметического пространства А n или как координаты вектора n-мерного пространства V n . Будем обозначать квадратичную форму от переменных как.
Пример 1:
Если в квадратичной форме уже выполнено приведение подобных членов, то коэффициенты при обозначаются, а при () – . Т.о., считается, что. Квадратичную форму можно записать следующим образом:
Пример 2:
Матрица системы (1):
– называется матрицей квадратичной формы.
Пример: Матрицы квадратичных форм примера 1 имеют вид:
Матрица квадратичной формы примера 2:
Линейным преобразованием переменных называют такой переход от системы переменных к системе переменных, при котором старые переменные выражаются через новые с помощью форм:
где коэффициенты образуют невырожденную матрицу.
Если переменные рассматривать как координаты вектора в евклидовом пространстве относительно некоторого базиса, то линейное преобразование (2) можно рассматривать как переход в этом пространстве к новому базису, относительно которого этот же вектор имеет координаты.
В дальнейшем мы будем рассматривать квадратичные формы только с действительными коэффициентами. Будем считать, что и переменные принимают только действительные значения. Если в квадратичной форме (1) переменные подвергнуть линейному преобразованию (2), то получится квадратичная форма от новых переменных. В дальнейшем мы покажем, при надлежащем выборе преобразования (2) квадратичную форму (1) можно привести к виду, содержащему только квадраты новых переменных, т.е. . Такой вид квадратичной формы называется каноническим . Матрица квадратичной формы в таком случае диагональная: .
Если все коэффициенты могут принимать лишь одно из значений: -1,0,1 соответствующий вид называется нормальным .
Пример: Уравнение центральной кривой второго порядка с помощью перехода к новой системе координат
можно привести к виду: , а квадратичная форма в этом случае примет вид:
Лемма 1: Если квадратичная форма (1) не содержит квадратов переменных, то с помощью линейного преобразования ее можно привести в форму, содержащую квадрат хотя бы одной переменной.
Доказательство: По условию, квадратичная форма содержит только члены с произведениями переменных. Пусть при каких-либо различных значениях i и j отличен от нуля, т.е. – один из таких членов, входящих в квадратичную форму. Если выполнить линейное преобразование, а все остальные не менять, т.е. (определитель этого преобразования отличен от нуля), то в квадратичной форме появится даже два члена с квадратами переменных: . Эти слагаемые не могут исчезнуть при приведении подобных членов, т.к. каждый из оставшихся слагаемых содержит хотя бы одну переменную, отличную или от или от.
Пример:
Лемма 2: Если квадратная форма (1) содержит слагаемое с квадратом переменной , напримери еще хотя бы одно слагаемое с переменной , то с помощью линейного преобразования , f можно перевести в форму от переменных , имеющую вид: (2), где g – квадратичная форма, не содержащая переменной .
Доказательство: Выделим в квадратичной форме (1) сумму членов, содержащих: (3) здесь через g 1 обозначена сумма всех слагаемых, не содержащих.
Обозначим
(4), где через обозначена сумма всех слагаемых, не содержащих.
Разделим обе части (4) на и вычтем полученное равенство из (3), после приведения подобных будем иметь:
Выражение в правой части не содержит переменной и является квадратичной формой от переменных. Обозначим это выражение через g, а коэффициент через, а тогда f будет равно: . Если произвести линейное преобразование: , определитель которого отличен от нуля, то g будет квадратичной формой от переменных, и квадратичная форма f будет приведена к виду (2). Лемма доказана.
Теорема: Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью преобразования переменных.
Доказательство: Проведем индукцию по числу переменных. Квадратичная форма от имеет вид: , которое уже является каноническим. Предположим, что теорема верна для квадратичной формы от n-1 переменных и докажем, что она верна для квадратично формы от n переменных.
Если f не содержит квадратов переменных, то по лемме 1 ее можно привести к виду, содержащему квадрат хотя бы одной переменной, по лемме 2 полученную квадратичную форму можно представить в виде (2). Т.к. квадратичная форма является зависимой от n-1 переменных, то по индуктивному предположению она может быть приведена к каноническому виду с помощью линейного преобразования этих переменных к переменным, если к формулам этого перехода еще добавить формулу, то мы получим формулы линейного преобразования, которое приводит к каноническому виду квадратичную форму, содержащуюся в равенстве (2). Композиция всех рассматриваемых преобразований переменных является искомым линейным преобразованием, приводящим к каноническому виду квадратичную форму (1).
Если квадратичная форма (1) содержит квадрат какой-либо переменной, то лемму 1 применять не нужно. Приведенный способ называется методом Лагранжа .
От канонического вида, где, можно перейти к нормальному виду, где, если, и, если, с помощью преобразования:
Пример: Привести к каноническому виду методом Лагранжа квадратичную форму:
Т.к. квадратичная форма f уже содержит квадраты некоторых переменных, то лемму 1 применять не нужно.
Выделяем члены, содержащие:
3. Чтобы получить линейное преобразование, непосредственно приводящее форму f к виду (4), найдем сначала преобразования, обратные преобразованиям (2) и (3).
Теперь, с помощью этих преобразований построим их композицию:
Если подставить полученные значения (5) в (1), мы сразу же получим представление квадратичной формы в виде (4).
От канонического вида (4) с помощью преобразования
можно перейти к нормальному виду:
Линейное преобразование, приводящее квадратичную форму (1) к нормальному виду, выражается формулами:
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.
Лекция №26 (II семестр)
Тема: Закон инерции. Положительно определённые формы.
Приведение квадратичных форм
Рассмотрим наиболее простой и чаще используемый на практике способ приведения квадратичной формы к каноническому виду, называемый методом Лагранжа . Он основан на выделении полного квадрата в квадратичной форме.
Теорема 10.1 (теорема Лагранжа).Любую квадратичную форму (10.1):
при помощи неособенного линейного преобразования (10.4) можно привести к каноническому виду (10.6):
□ Доказательство теоремы проведем конструктивным способом, используя метод Лагранжа выделения полных квадратов. Задача заключается в том, чтобы найти неособенную матрицу такую, чтобы в результате линейного преобразования (10.4) получилась квадратичная форма (10.6) канонического вида. Эта матрица будет получаться постепенно как произведение конечного числа матриц специального типа.
Пункт 1(подготовительный).
1.1. Выделим среди переменных такую, которая входит в квадратичную форму в квадрате и в первой степени одновременно (назовем ее ведущей переменной ). Перейдем к пункту 2.
1.2. Если в квадратичной форме нет ведущих переменных (при всех : ), то выберем пару переменных, произведение которых входит в форму с отличным от нуля коэффициентом и перейдем к пункту 3.
1.3. Если в квадратичной форме отсутствуют произведения разноименных переменных, то данная квадратичная форма уже представлена в каноническом виде (10.6). Доказательство теоремы завершено.
Пункт 2 (выделение полного квадрата).
2.1. По ведущей переменной выделим полный квадрат. Без ограничения общности предположим, что ведущей переменной является переменная . Группируя слагаемые, содержащие , получаем
Выделяя полный квадрат по переменной в , получим
Таким образом, в результате выделения полного квадрата при переменной получим сумму квадрата линейной формы
в которую входит ведущая переменная , и квадратичной формы от переменных , в которую ведущая переменная уже не входит. Сделаем замену переменных (введем новые переменные )
получим матрицу
() неособенного линейного преобразования , в результате которого квадратичная форма (10.1) примет следующий вид
С квадратичной формой поступим также, как и в пункте 1.
2.1. Если ведущей переменной является переменная , то можно поступить двумя способами: либо выделять полный квадрат при этой переменной, либо выполнить переименование (перенумерацию ) переменных:
с неособенной матрицей преобразования:
Пункт 3 (создание ведущей переменной). Выбранную пару переменных заменим на сумму и разность двух новых переменных, а остальные старые переменные заменим на соответствующие новые переменные. Если, например, в пункте 1 было выделено слагаемое
то соответствующая замена переменных имеет вид
и в квадратичной форме (10.1) будет получена ведущая переменная.
Например, в случае замены переменных:
матрица этого неособенного линейного преобразования имеет вид
В результате приведенного алгоритма (последовательного применения пунктов 1, 2, 3) квадратичная форма (10.1) будет приведена к каноническому виду (10.6).
Заметим, что в результате производимых преобразований над квадратичной формой (выделение полного квадрата, переименование и создание ведущей переменной) мы использовали элементарные неособенные матрицы трех типов (они являются матрицами перехода от базиса к базису). Искомая матрица неособенного линейного преобразования (10.4), при котором форма (10.1) имеет канонический вид (10.6), получается путем произведения конечного числа элементарных неособенных матриц трех типов. ■
Пример 10.2. Привести квадратичную форму
к каноническому виду методом Лагранжа. Указать соответствующее неособенное линейное преобразование. Выполнить проверку.
Решение. Выберем ведущей переменную (коэффициент ). Группируя слагаемые, содержащие , и выделяя по ней полный квадрат, получим
где обозначено
Сделаем замену переменных (введем новые переменные )
Выразив старые переменные через новые :
получим матрицу
Вычислим матрицу неособенного линейного преобразования (10.4). Учитывая равенства
получим, что матрица имеет вид
Выполним проверку проведённых вычислений. Матрицы исходной квадратичной формы и канонической формы имеют вид
Убедимся в справедливости равенства (10.5).
Статьи по теме
