Вычислить полную поверхность пирамиды площадь основания 160. Как найти площадь боковой поверхности пирамиды. Защита персональной информации

Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:

В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), .

В заданиях ЕГЭ, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами не встречал.

Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:

Рассмотрим задачи:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.

Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись :

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:

Ответ: 28224

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:

Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

Ответ: 3240

*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.

27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.

Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):

*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.

Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):

Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:

Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:

Ответ: 96

27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:

P - периметр основания, l - апофема пирамиды

*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.

Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Какую фигуру мы называем пирамидой? Во-первых, это многогранник. Во-вторых, в основании этого многогранника расположен произвольный многоугольник, а стороны пирамиды (боковые грани) обязательно имеют форму треугольников, сходящихся в одной общей вершине. Вот теперь, разобравшись с термином, выясним, как найти площадь поверхности пирамиды.

Понятно, что площадь поверхности такого геометрического тела составится из суммы площадей основания и всей его боковой поверхности.

Вычисление площади основания пирамиды

Выбор расчетной формулы зависит от формы лежащего в основании нашей пирамиды многоугольника. Он может быть правильным, то есть со сторонами одинаковой длины, или неправильным. Рассмотрим оба варианта.

В основании – правильный многоугольник

Из школьного курса известно:

• площадь квадрата будет равна длине его стороны, возведенной в квадрат;
• площадь равностороннего треугольника равна квадрату его стороны, деленному на 4 и умноженному на квадратный корень из трех.

Но существует и общая формула, для расчета площади любого правильного многоугольника (Sn): надо умножить значение периметра этого многоугольника (Р) на радиус вписанной в него окружности (r), а затем разделить полученный результат на два: Sn=1/2P*r.

В основании – неправильный многоугольник

Схема нахождения его площади заключается в том, чтобы сначала разбить весь многоугольник на треугольники, вычислить площадь каждого из них по формуле: 1/2a*h (где а – основание треугольника, h – опущенная на это основание высота), сложить все результаты.

Площадь боковой поверхности пирамиды

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности пирамиды, т.е. сумму площадей всех ее боковых сторон. Здесь также возможны 2 варианта.

1. Пусть у нас имеется произвольная пирамида, т.е. такая, в основании которой – неправильный многоугольник. Тогда следует вычислить отдельно площадь каждой грани и сложить результаты. Так как боковыми сторонами пирамиды по определению могут быть только треугольники, то расчет идет по упомянутой выше формуле: S=1/2a*h.
2. Пусть наша пирамида – правильная, т.е. в ее основании лежит правильный многоугольник, и проекция вершины пирамиды оказывается в его центре. Тогда для вычисления площади боковой поверхности (Sб) достаточно найти половину произведения периметра многоугольника-основания (Р) на высоту (h) боковой стороны (одинаковую для всех граней): Sб=1/2 Р*h. Периметр многоугольника определяется сложением длин всех его сторон.

Полная площадь поверхности правильной пирамиды найдется суммированием площади ее основания с площадью всей боковой поверхности.

Примеры

Для примера вычислим алгебраически площади поверхности нескольких пирамид.

Площадь поверхности треугольной пирамиды

В основании такой пирамиды – треугольник. По формуле Sо=1/2a*h находим площадь основания. Эту же формулу применяем для нахождения площади каждой грани пирамиды, также имеющей треугольную форму, и получаем 3 площади: S1, S2 и S3. Площадь боковой поверхности пирамиды является суммой всех площадей: Sб= S1+ S2+ S3. Сложив площади боковых сторон и основания, получим полную площадь поверхности искомой пирамиды: Sп= Sо+ Sб.

Площадь поверхности четырехугольной пирамиды

Площадь боковой поверхности - это сумма 4-ех слагаемых: Sб= S1+ S2+ S3+ S4, каждое из которых вычислено по формуле площади треугольника. А площадь основания придется искать, в зависимости от формы четырехугольника - правильного или неправильного. Площадь полной поверхности пирамиды снова получится путем сложения площади основания и полной площади поверхности заданной пирамиды.

Треугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник.

В такой пирамиде грани основания и ребра боковых сторон равны между собой. Соответственно площадь боковых граней находится из суммы площадей трех одинаковых треугольников. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно по формуле . А можно произвести расчет в несколько раз быстрее. Для этого необходимо применить формулу площади боковой поверхности треугольной пирамиды:

где p – периметр основания, у которого все стороны равны b, a – апофема, опущенная из вершины к этому основанию. Рассмотрим пример расчета площади треугольной пирамиды.

Задача: Пусть дана правильная пирамида. Сторона треугольника, лежащего в основании равна b = 4 см. Апофема пирамиды равна a = 7 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Так как по условиям задачи мы знаем длины всех необходимых элементов, найдем периметр. Помним, что в правильном треугольнике все стороны равны, а, следовательно, периметр рассчитывается по формуле:

Подставим данные и найдем значение:

Теперь, зная периметр, можем рассчитывать площадь боковой поверхности:

Чтобы применить формулу площади треугольной пирамиды для вычисления полного значения, необходимо найти площадь основания многогранника. Для этого используется формула :

Формула площади основания треугольной пирамиды может быть и другой. Допускается применение любого расчета параметров для заданной фигуры, но чаще всего это не требуется. Рассмотрим пример расчета площади основания треугольной пирамиды.

Задача: В правильной пирамиде сторона лежащего в основании треугольника равняется a = 6 см. Рассчитайте площадь основания.
Для вычисления нам требуется только длина стороны правильного треугольника, располагающегося в основании пирамиды. Подставим данные в формулу:

Довольно часто требуется найти полную площадь многогранника. Для этого потребуется сложить площадь боковой поверхности и основания.

Рассмотрим пример расчета площади треугольной пирамиды.

Задача: пусть дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания равна b = 4 см, апофема a = 6 см. Найдите полную площадь пирамиды.
Для начала найдем площадь боковой поверхности по уже известной формуле. Рассчитаем периметр:

Подставляем данные в формулу:
Теперь найдем площадь основания:
Зная площадь основания и боковой поверхности, найдем полную площадь пирамиды:

При расчете площади правильной пирамиды стоит не забывать о том, что в основании лежит правильный треугольник и многие элементы этого многогранника равны между собой.

Инструкция

Прежде всего, стоит понять, что боковая поверхность пирамиды представлена несколькими треугольниками, площади которых можно найти с помощью самых различных формул, в зависимости от известных данных:

S = (a*h)/2, где h - высота, опущенная на сторону a;

S = a*b*sinβ, где a, b - стороны треугольника, а β - угол между этими сторонами;

S = (r*(a + b + c))/2, где a, b, c - стороны треугольника, а r - радиус вписанной в этот треугольник окружности;

S = (a*b*c)/4*R, где R - радиус описанной вокруг окружности треугольника;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (если треугольник - прямоугольный);

S = S = (a²*√3)/4 (если треугольник - равносторонний).

На самом деле, это лишь самые основные из известных формул для нахождения площади треугольника.

Рассчитав при помощи указанных выше формул площади всех треугольников, являющихся гранями пирамиды, можно приступить к исчислению площади данной пирамиды. Делается это предельно просто: необходимо сложить площади всех треугольников, образующих боковую поверхность пирамиды. Формулой это можно выразить так:

Sп = ΣSi, где Sп - площадь боковой , Si - площадь i-ого треугольника, являющегося частью ее боковой поверхности.

Для большей ясности можно рассмотреть небольшой пример: дана правильная пирамида, боковые грани которой образованы равносторонними треугольникам, а в основании ее лежит квадрат. Длина ребра данной пирамиды составляет 17 см. Требуется найти площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Решение: известна длина ребра данной пирамиды, известно, что грани ее - равносторонние треугольники. Таким образом, можно сказать, что все стороны всех треугольников боковой поверхности равны 17 см. Поэтому для того, чтобы рассчитать площадь любого из этих треугольников, потребуется применить формулу:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²

Известно, что в основании пирамиды лежит квадрат. Таким образом, понятно, что данных равносторонних треугольников четыре. Тогда площадь боковой поверхности пирамиды рассчитывается так:

125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды составляет 500.548 см²

Сначала вычислим площадь боковой поверхности пирамиды. Под боковой поверхностью подразумевается сумма площадей всех боковых граней. Если вы имеете дело с правильной пирамидой (то есть такой, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника), то для вычисления всей боковой поверхности достаточно умножить периметр основания (то есть сумму длин всех сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды) на высоту боковой грани (иначе называемой апофемой) и разделить полученное значение на 2: Sб=1/2P*h, где Sб - это площадь боковой поверхности, P - периметр основания, h - высота боковой грани (апофема).

Если же перед вами произвольная пирамида, то придется отдельно вычислять площади всех граней, а затем их складывать. Поскольку боковыми гранями пирамиды являются треугольники, воспользуйтесь формулой площади треугольника: S=1/2b*h, где b - это основание треугольника, а h - высота. Когда площади всех граней вычислены, остается только сложить их, чтобы получить площадь боковой поверхности пирамиды.

Затем необходимо вычислить площадь основания пирамиды. Выбор формулы для расчета зависит от того, какой многоугольник лежит в основании пирамида: правильный (то есть такой, все стороны которого имеют одинаковую длину) или неправильный. Площадь правильного многоугольника можно вычислить, умножив периметр на радиус вписанной в многоугольник окружности и поделив полученное значение на 2: Sn=1/2P*r, где Sn - это площадь многоугольника, P - это периметр, а r - это радиус вписанной в многоугольник окружности.

Усеченная пирамида – это многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию. Найти площадь боковой поверхности пирамиды совсем несложно. Ее очень проста: площадь равняется произведению половины суммы оснований по апофему. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды. Допустим, дана правильная четырехугольная пирамида. Длины основания равны b=5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нужно сначала найти периметр оснований. В большом основании он будет равен p1=4b=4*5=20 см. В меньшем основании формула будет следующей: p2=4c=4*3=12 см. Следовательно, площадь будет равна: s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 см.

Пирамида – это многогранник, одна из граней которого (основание) – произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания пирамиды бывают треугольные (тетраэдр), четырехугольные и так далее.

Пирамида является многогранником, имеющим основание в виде многоугольника, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, которая проведена из её вершины.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению её апофемы на половину периметра основания.

Что касается площади полной поверхности, то просто к боковой прибавляем площадь основания.

Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Доказательство:

Если сторона основания а, число сторон n, то боковая поверхность пирамиды равна:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

где l - апофема, а p - периметр основания пирамиды. Теорема доказана.

Эта формула читается так:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

S полн = S бок + S осн

Если пирамида неправильная, то ее боковая поверхность будет равна сумме площадей ее боковых граней.

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство. Будем исходить из треугольной призмы. Проведем плоскость через вершину A" верхнего основания призмы и противолежащее ребро ВС нижнего основания. Эта плоскость отсечет от призмы треугольную пирамиду A"АВС. Оставшуюся часть призмы разложим на жва тела, проведя плоскость через диагонали A"С и B"C боковых граней. Полученные два тела также являются пирамидами. Считая треугольник A"B"C" основанием одной из них, а С её вершиной, увидим, что её основание и высота такие же, как и у первой отсеченной нами пирамиды, поэтому пирамиды A"АВС и CA"B"C" равновелики. Кроме того, обе новые пирамиды CA"B"C" и A"B"ВС также равновелики - это станет ясным, если примем за их основания треугольники ВСB" и B"CC". Пирамиды CA"B"C" и A"B"ВС имеют общую вершину A", а их основания расположены в одной плоскости и равны, следовательно, пирамиды равновелики. Итак, призма разложена на три равновеликие между собой пирамиды; объем каждой из них равен одной трети объема призмы. Так как форма основания несущественна, то, вообще, объем n-угольной пирамиды равен одной трети объема призмы с той же высотой и тем же (или равновеликим) основанием. Вспоминая формулу, выражающую объем призмы, V=Sh, получим окончательный результат: V=1/3Sh