Потенциальная энергия деформации при изгибе. Теорема о взаимности работ и взаимности перемещений. Начало возможных перемещений Теорема о взаимности возможных работ
Теорема о взаимности работ. Теорема о взаимности перемещений
Рассмотрим линейно-деформируемую систему в двух различных состояниях, отвечающих двум различным нагрузкам (рис. 5.15).Для простоты выкладок рассмотрим простую двухопорную балку, последовательно нагружаемую двумя сосредоточенными силами.
Рис 15. Прямой и обратный порядок приложения нагрузки
Приравнивая полные работы при прямом и обратном порядке приложения нагрузок, получим
Работа, фактически совершаемая силой на перемещениях, вызываемых другой силой или силами, называется дополнительной работой.
Согласно теореме о взаимности работ, работа сил первого состояния на перемещение второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещение первого состояния.
Аналогичным образом может быть доказана также взаимность дополнительной работы внутренних сил.
Рис 16. Взаимность дополнительной работы внутренних сил.
Используя закон сохранения энергии, можно показать, что дополнительная работа внешних сил равна по абсолютному значению дополнительной работе внутренних сил:
Принимая
получим теорему о взаимности перемещений.
Перемещение точки приложения единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки, приложения второй единичной силы по направлению последней, вызванному действием первой единичной силы.
Определение перемещений методом Мора
Вместо системы сил F 1 и F 2 ,введем грузовое и вспомогательное состояния:
Рис 17. Введение грузового и вспомогательного состояний
Запишем теорему о взаимности работ для этих двух состояний:
После суммирования по отдельным участкам балки получим интеграл Мора
Пример 5.2. Рассмотрим пример на использование интеграла Мора на определение перемещений для консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой
Рис 18. Построение грузовой и вспомогательной эпюры для консольной балки
Используем интеграл Мора.
На практике использование такого подхода затруднено. Эта трудность преодолевается организацией интегрирования, интегрирование легко реализуется на компьютере.
Графоаналитический способ определения перемещения при изгибе. Способ Верещагина
Введем два упрощающих обстоятельства:
Линейная функция в пределе рассматриваемого участка.
Рис 19 Графоаналитическое вычисление интеграла Мора
Последний интеграл представляет собой статический момент фигуры ABCD относительно оси y. Произведение
представляет собой ординату, взятую на вспомогательной эпюре под центром тяжести грузовой.
гдеn - номер участка.
Пример 5.3. Еще раз рассмотрим консольную балку
Рис 20. Использование способа Верещагина для консольной балки
Более сложные случаи:
1. Умножение трапеции на трапецию
Рис. 21. Умножение трапеции на трапецию
Для умножения трапеции на трапецию можно перейти к умножению прямоугольника на трапецию и треугольника на трапецию.
Определение умножения прямоугольника на трапецию означает, что А f берем по прямоугольнику, а M к с по трапеции.
Правило перестановок действует только на линейных эпюрах.
2. Параболический сегмент
Рис 22. Площадь и положение центра тяжести для параболического сегмента
3. Вогнутый параболический треугольник
Рис 23. Площадь и положение центра тяжести для вогнутого параболического треугольника
4. Выпуклый треугольник
Рис 24. Площадь и положение центра тяжести для выпуклого параболического треугольника
5. Выпуклая параболическая трапеция.
Рис 25. Разбиение площадей и положение центров тяжести для выпуклой параболической трапеции
Пример: 5.4. Рассмотрим более сложный случай нагружения консольной балки, кода действуют все три вида внешних нагрузок. Необходимо определить максимальный угол поворота балки
Рис. Консольная балка при одновременном действии трех нагрузок
I способ. Заменим эпюру М f совокупностью более простых фигур.
то есть вершина параболы находится за пределами балки.
Для построения вспомогательной эпюры необходимо:
1. Рассмотрим некоторую балку без внешних нагрузок.
2. В заданной точке прикладываем F=1 или М=1 соответственно для определения прогиба или угла поворота. Направление действия внешних нагрузок - произвольно.
3. Считая единичную нагрузку внешней, определяем реакции и строим эпюры.
Формула для определения угла поворота способом Верещагина примет следующий вид
где - ордината, взятая на вспомогательной эпюре М к под центром тяжести грузовой эпюры - с учетом разбития грузовой на элементарные фигуры
При построении изогнутой оси балки мы используем:
1. Знак обобщенного перемещения. Для рассмотренного случая точка поворачивается по часовой стрелке.
2. Используем знак изгибающего момента на грузовой эпюре.
Примерный вид изогнутой оси балки показан на рис. 5.24.
II способ. Использование принципа суперпозиций.
Рис Использования принципа суперпозиции
Формулировка теоремы о взаимности работ (теоремы Бетти) , доказанная в 1872 г Э. Бетти: возможная работа сил первого состояния на соответствующих перемещениях, вызванных силами второго состояния, равна возможной работе сил второго состояния на соответствующих перемещениях, вызванных силами первого состояния.
24. Теорема о взаимности перемещений (Максвелла)
|
|
|
Пусть и.Теорема о взаимности перемещений с учетом принятого обозначения перемещения от единичной силы имеет вид: .Теорема о взаимности перемещений была доказана Максвеллом.Формулировка теоремы о взаимности перемещений : перемещение точки приложения первой единичной силы, вызванное действием второй силы, равно перемещению точки приложения второй единичной силы, вызванному действием первой единичной силы
25.
теорема Релея о взаимноти реакций.
26. теорема Гвоздева о взаимности перемещений и реакций.
27. Определение перемещений от нагрузки. Формула Мора.
Формула мора
28. Определение перемещений от температурного воздействия и от смещения.
Температурное воздействие.
Осадка
29. Правило Верещагина. Формула перемножения трапеций, формула Симпсона.
Формула умножения трапеций.
Формула умножения криволинейных трапеций
31. Свойства статически неопределимых систем.
Для определения усилий и реакций уравнений статики недостаточно, надо привлекать уравнения неразрывности деформации и перемещений.
Усилия и реакции зависят от соотношения жесткостей отдельных элементов.
Изменение температуры и осадка опоры вызывают появление внутренних усилий.
При отсутствии нагрузки возможно состояние самонапряжения.
32. Определение степени статической неопределимости, принципы выбора основной системы метода сил.
Для статически неопределимых систем W<0
Число лишних связей определяется по формуле:
Л = - W + 3К ,
где W– число независимых геометрических параметров, определяющих положение конструкции на плоскости без учета деформации конструкции (число степеней свободы), К – число замкнутых контуров (контуры, в которых нет шарнира).
W = 3Д – 2Ш – Со
формула Чебышева для определения степени свободы, где Д – число дисков, Ш – число шарниров, Со – число опорных стержней.
ОСМС должна быть геометрически неизменяемой.
Должна быть статически определима (удаляем Л лишних связей).
Эта система должна быть простой для расчета.
Если исходная система была симметричной, то и ОСМС по возможности выбирают симметричной.
33. Канонические уравнения метода сил, их физический смысл.
Канонические уравнения:
Физический смысл:
Суммарное перемещение по направлению каждой удаленной связи должно быть = 0
34. Вычисление коэффициентов канонических уравнений, их физический смысл, проверка правильности найденных коэффициентов.
Перемещение по направлению итой удаленной связи, вызванной джитой единичной силой.
Перемещение по направлению итой удаленной связи, вызванной внешней нагрузкой.
Для того, чтобы проверить правильность найденных коэффициентов, нужно подставить их в систему канонических уравнений и найти Х1 и Х2.
Рассмотрим два состояния упругой системы, находящейся в равновесии. В каждом из этих состояний на систему действует некоторая статическая нагрузка (рис.23,а). Обозначим перемещения по направлениям сил F 1 и F 2 через, где индекс “i” показывает направление перемещения, а индекс “j” – вызвавшую его причину.
Рис. 23
Обозначим работу нагрузки первого состояния (сила F 1) на перемещениях первого состояния через А 11 , а работу силы F 2 на вызванных ею перемещениях – А 22:
.
Используя (2.9), работы А 11 и А 22 можно выразить через внутренние силовые факторы:
(2.10)
Рассмотрим случай статического нагружения той же системы (рис.23,а) в такой последовательности. Сначала к системе прикладывается статически возрастающая сила F 1 (рис.23,б); когда процесс ее статического нарастания закончен, деформация системы и действующие в ней внутренние усилия становятся такими же, как и первом состоянии (рис.23,а). Работа силы F 1 составит:
Затем на систему начинает действовать
статически нарастающая сила F 2 (рис.23,б). В результате этого система
получает дополнительные деформации и
в ней возникают дополнительные внутренние
усилия, такие же, как и во втором состоянии
(рис.23,а). В процессе нарастания силы F 2 от нуля до ее конечного значения сила
F 1 , оставаясь неизменной,
перемещается вниз на величину
дополнительного прогиба
и,
следовательно, совершает дополнительную
работу:
Сила F 2 при этом совершает работу:
Полная работа А при последовательном нагружении системы силами F 1 , F 2 равна:
С другой стороны, в соответствии с (2.4) полную работу можно определить в виде:
(2.12)
Приравнивая друг к другу выражения (2.11) и (2.12), получим:
(2.13)
А 12 =А 21 (2.14)
Равенство (2.14) носит название теоремы о взаимности работ, илитеоремы Бетти: работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.
Опуская промежуточные выкладки, выразим работу А 12 через изгибающие моменты, продольные и поперечные силы, возникающие в первом и втором состояниях:
Каждое подинтегральное выражение в правой части этого равенства можно рассматривать как произведение внутреннего усилия, возникающего в сечении стержня от сил первого состояния, на деформацию элемента dz, вызванную силами второго состояния.
2.4 Теорема о взаимности перемещений
Пусть в первом состоянии к системе
приложена сила
,
а во втором -
(рис.24). Обозначим перемещения, вызванные
единичными силами (или единичными
моментами
)
символом
.
Тогда перемещение рассматриваемой
системы по направлению единичной силы
в первом состоянии (то есть вызванное
силой
)
-
,
а перемещение по направлению силы
во втором состоянии -
.
На основании теоремы о взаимности работ:
,
но
,
поэтому
,
или в общем случае действия любых
единичных сил:
(2.16)
Рис. 24
Полученное равенство (2.16) носит название теоремы о взаимности перемещений (илитеоремы Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой.
Начало возможных перемещений, являясь общим принципом механики, имеет важнейшее значение для теории упругих систем. Применительно к ним этот принцип можно сформулировать следующим образом: если система находится в равновесии под действием приложенной нагрузки, то сумма работ внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях системы равна нулю.
где
- внешние силы;
- возможные перемещения этих сил;
- работа внутренних сил.
Заметим, что в процессе совершения системой возможного перемещения величина и направление внешних и внутренних сил остаются неизменными. Поэтому при вычислении работ следует брать на половину, а полную величину произведения соответствующих сил и перемещений.
Рассмотрим два состояния какой-либо
системы, находящейся в равновесии (рис.
2.2.9). В состоянии
система деформируется обобщенной силой
(рис. 2.2.9, а), в состоянии
- силой
(рис. 2.2.9, б).
Работа сил состояния
на перемещениях состояния
,
как и работа сил состояния
на перемещениях состояния
,
будет возможной.
(2.2.14)
Вычислим теперь возможную работу
внутренних сил состояния
на перемещениях, вызванных нагрузкой
состояния
.
Для этого рассмотрим произвольный
элемент стержня длиной
в обоих случаях. Для плоского изгиба
действие удаленных частей на элемент
выражается системой усилий
,
,
(рис. 2.2.10, а). Внутренние усилия имеют
направления, противоположные внешним
(показаны штриховыми линиями). На рис.
2.2.10, б показаны внешние усилия
,
,
,
действующие на элемент
в состоянии
.
Определим деформации, вызванные этими
усилиями.
Очевидно удлинение элемента
,
вызванное силами
.
Работа внутренних осевых сил
на этом возможном перемещении
. (2.2.15)
Взаимный угол поворота граней элемента,
вызванный парами
,
.
Работа внутренних изгибающих моментов
на этом перемещении
. (2.2.16)
Аналогично определяем работу поперечных
сил
на перемещениях, вызванных силами
. (2.2.17)
Суммируя полученные работы, получаем
возможную работу внутренних сил,
приложенных к элементу
стержня, на перемещениях, вызванной
другой, вполне произвольной нагрузкой,
отмеченной индексом
Просуммировав элементарные работы в пределах стержня, получим полное значение возможной работы внутренних сил:
(2.2.19)
Применим начало возможных перемещений, суммируя работу внутренних и внешних сил на возможных перемещениях системы, и получим общее выражение начала возможных перемещений для плоской упругой стержневой системы:
(2.2.20)
Т. е., если упругая система находится в
равновесии, то работа внешних и внутренних
сил в состоянии
на возможных перемещениях, вызванных
другой, вполне произвольной нагрузкой,
отмеченной индексом
,
равна нулю.
Теоремы о взаимности работ и перемещений
Запишем выражения начала возможных
перемещений для балки, показанной на
рис. 2.2.9, приняв для состояния
в качестве возможных перемещения,
вызванные состоянием
,
а для состояния
- перемещения, вызванные состоянием
.
(2.2.21)
(2.2.22)
Так как выражения работ внутренних сил одинаковы, то очевидно, что
(2.2.23)
Полученное выражение носит название
теоремы о взаимности работ (теоремы
Бетти). Она формулируется следующим
образом: возможная работа внешних (или
внутренних) сил состояния
на перемещениях состояния
равна возможной работе внешних (или
внутренних) сил состояния
на перемещениях состояния
.
Применим теорему о взаимности работ к
частному случаю нагружения, когда в
обоих состояниях системы приложено по
одной единичной обобщенной силе
и
.
Рис. 2.2.11
На основании теоремы о взаимности работ получаем равенство
, (2.2.24)
которое носит название теоремы о взаимности перемещений (теоремы Максвелла). Формулируется она так: перемещение точки приложения первой силы по ее направлению, вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению точки приложения второй силы по ее направлению, вызванному действием первой единичной силы.
Теоремы о взаимности работ и перемещений существенно упрощают решение многих задач при определении перемещений.
Пользуясь теоремой о взаимности работ,
определим прогиб
балки посредине пролета при действии
на опоре момента
(рис. 2.2.12, а).
Используем второе состояние балки –
действие в точке 2 сосредоточенной силы
.
Угол поворота опорного сечения
определим из условия закрепления балки
в точке В:
Рис. 2.2.12
Согласно теореме о взаимности работ
,
Пусть в первом состоянии к системе приложена сила, а во втором - (рис.6). Обозначим перемещения, вызванные единичными силами (или единичными моментами) символом. Тогда перемещение рассматриваемой системы по направлению единичной силы в первом состоянии (то есть вызванное силой) - , а перемещение по направлению силы во втором состоянии - .
На основании теоремы о взаимности работ:
Но, поэтому, или в общем случае действия любых единичных сил:
Полученное равенство (1.16) носит название теоремы о взаимности перемещений (или теоремы Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой.
Вычислений перемещений методом Мора
Излагаемый ниже метод является универсальным методом определения перемещений (как линейных так и угловых), возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки.
Рассмотрим два состояния системы. Пусть в первом из них (грузовое состояние) к балке приложена любая произвольная нагрузка, а во втором (единичное состояние) - сосредоточенная сила (рис.7).
Работа А21 силы на перемещении, возникающем от сил первого состояния:
Используя (1.14) и (1.15), выразим А21 (а, значит, и) через внутренние силовые факторы:
Знак «+», полученный при определении, означает, что направление искомого перемещения совпадает с направлением единичной силы. Если определяется линейное смещение, то обобщенная единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную единичную силу, приложенную в рассматриваемой точке; а если определяется угол поворота сечения, то обобщенная единичная сила - это безразмерный сосредоточенный единичный момент.
Иногда (1.17) записывается в виде:
где - перемещение по направлению силы, вызванное действием группы сил. Произведения, стоящие в знаменателе формулы (1.18), называются соответственно жесткостями при изгибе, растяжении (сжатии) и сдвиге; при постоянных по длине размерах сечения и одинаковом материале эти величины можно выносить за знак интеграла. Выражения (1.17) и (1.18) называются интегралами (или формулами) Мора.
Наиболее общий вид интеграл Мора имеет в том случае, когда в поперечных сечениях стержней системы возникают все шесть внутренних силовых факторов:
Алгоритм вычисления перемещения методом Мора состоит в следующем:
- 1. Определяют выражения внутренних усилий от заданной нагрузки как функций координаты Z произвольного сечения.
- 2. По направлению искомого перемещения прикладывается обобщенная единичная сила (сосредоточенная сила - при вычислении линейного перемещения; сосредоточенный момент - при вычислении угла поворота).
- 3. Определяют выражения внутренних усилий от обобщенной единичной силы как функций координаты Z произвольного сечения.
- 4. Подставляют выражение внутренних усилий, найденные в п.п.1,3 в (1.18) или (1.19) и интегрированием по участкам в пределах всей длины конструкции определяют искомое перемещение.
Формулы Мора пригодны и для элементов, представляющих собой стержни малой кривизны, с заменой элемента длины dz в подынтегральном выражении элементом дуги ds.
В большинстве случаев плоской задачи используется только один член формулы (1.18). Так, если рассматриваются конструкции, работающие преимущественно на изгиб (балки, рамы, а частично и арки), то в формуле перемещений с соблюдением достаточной точности можно оставить только интеграл, зависящий от изгибающих моментов; при расчете конструкций, элементы которых работают, в основном, на центральное растяжение (сжатие), например, ферм, можно не учитывать деформации изгиба и сдвига, то есть в формуле перемещений останется только член, содержащий продольные силы.
Аналогично, в большинстве случаев пространственной задачи существенно упрощается формула Мора (1.19). Так, когда элементы системы работают преимущественно на изгиб и кручение (например, при расчете плоско-пространственных систем, ломаных стержней и пространственных рам) в (1.19) остаются только первые три члена; а при расчете пространственных ферм - только четвертый член.
Статьи по теме
