Комплексный чертеж (эпюр Монжа). Комплексный чертеж монжа Примеры решения задач
Методы проецирования, представленные в § 1.1, позволяют строить изображения (проекции) по заданному геометрическому образу (оригиналу), т.е. решать прямую задачу начертательной геометрии. Но в ряде случаев предусматривается решение обратной задачи, которая заключается в построении оригинала в пространстве по его проекциям на плоскости проекций.
Таким образом, приведенные выше проекционные чертежи (см. рис. 3, рис. 6, рис. 7, рис. 9) не позволяют восстановить оригинал, т.е. не обладают свойством «обратимости».
Рассмотрим схему построения обратимого чертежа, используемую в начертательной геометрии.
Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования перпендикулярно (ортогонально) плоскости проекций: S ^П i .
Ортогональное проецирование является основным в черчении, т.к. обладает большой наглядностью и позволяет при определенном расположении геометрических образов относительно плоскостей проекций сохранить ряд линейных и угловых параметров оригинала.
Французский геометр Гаспар Монж предложил ортогонально проецировать оригинал на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П 1 и П 2 .
|
Рис. 11 Рис. 12
П 1 – горизонтальная плоскость проекций; П 2 - фронтальная плоскость проекций; х = П 1 Ⴖ П 2 .
Плоскости проекций разделяют пространство на четыре четверти (или квадранты). Четверти нумеруются в порядке, указанном на рис. 11. Система координат выбрана из условия совпадения координатных плоскостей с плоскостями проекций. На рис. 12 показано проецирование точки А на плоскости П 1 и П 2 . Проецирующие лучи АА 1 и АА 2 перпендикулярны соответствующим плоскостям проекций, поэтому фронтальная (А 2 ) и горизонтальная (А 1 ) проекции точки А находятся на перпендикулярах А 1 А х и А 2 А х к оси проекций х.
Повернув плоскость проекций П 1 вокруг оси х на угол 90 0 (рис. 13), получим одну плоскость – плоскость чертежа, проекции А 1 и А 2 расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций х – линии связи. В результате совмещения плоскостей проекций П 1 и П 2 получается чертеж, называемый эпюром Монжа. Эпюр Монжа называют в современной литературе еще комплексным чертежом. Это чертеж состоящий из двух и более связанных между собой проекций геометрического образа. В дальнейшем эпюр Монжа будем называть одним словом – чертеж.
Рис. 13 Рис. 14
Так как плоскости проекций безграничны, то чертеж точки А в системе П 1 /П 2 будет выглядеть так, как на рис. 14.
А 2 А х – расстояние от точки А до плоскости проекций П 1 ;
А 1 А х – расстояние от точки А до плоскости проекций П 2 .
Поэтому проекции точки А на две плоскости проекций полностью определяют ее положение в пространстве.
Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать лишь часть пространства, расположенную влево от профильной плоскости проекции П 3 .
П 3 – профильная плоскость проекций; Z = П 2 Ⴖ П 3 ; Z – ось ординат. Плоскость проекции П 3 перпендикулярна к П 1 П 2 .
На рис. 15 показано направление поворота на угол 90 0 плоскостей проекций П 3 и П 1 вокруг соответствующих осей координат до совмещения с П 2 .
Из рис. 15 видим, что ось Х делит горизонтальную плоскость проекций П 1 на две части: переднюю полу П 1 (оси Х и Y ) и заднюю полу П 1 (оси Х и Y ).
Ось абсцисс Х делит фронтальную плоскость проекций П 2 также на две части: верхнюю полу П 2 (оси Х и Z) и нижнюю полу (оси Х и -Z ).
|
Из рис. 15 видно, что точки, расположенные в различных четвертях пространства, имеют определенные знаки координат. Эти знаки приведены в таблице.
Построение проекций точки А в системе П 1 /П 2 /П 3 показано на рис. 17
Рис. 17 Рис. 18
ОА х – удаление точки А от профильной плоскости проекций;
А 3 – профильная проекция точки А ;
А 1 А х А 2 , А 2 А z А 3 – линии связи.
На чертеже фронтальная и профильная проекции точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной к оси Z , причем профильная проекция находится на таком же расстоянии от оси Z , что и горизонтальная от оси Х: А z А 3 = А х А 1 .
Горизонтальная проекция точки А 1 определяется координатами Х и Y
фронтальная А 2 – координатами Х и Z , профильная П 3 – координатами Y и Z .
Относительно плоскостей проекций точка может занимать следующие положения:
- Точка располагается в какой-либо четверти пространства, при этом обязательно условие, что Х ≠ 0; Y ≠ 0; Z ¹ 0.
- Точка принадлежит какой-либо плоскости проекций, при условии, что одна из координат должна быть равна «0».
А Î П 1 , если Ζ = 0;
А Î П 2 , если Y = 0;
А Î П 3 , если Х = 0.
3. Точка принадлежит оси координат, если две любые координаты будут равны «0».
А Î Х, если Y = 0; Z = 0;
А Î U, если Х = 0; Z = 0;
А Î Z, если Х = 0; Y = 0.
Проекция геометрического объекта на одну плоскость, рассмотренная нами ранее, не дает полного и однозначного представления о форме геометрического объекта. Поэтому рассмотрим проецирование хотя бы на две взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 1.2), одна из которых расположена горизонтально, а другая вертикально.
Несмотря на наглядность, с чертежом, изображенным на рис 1.2, а работать неудобно, т.к. горизонтальная плоскость на нем показана с искажением. Удобнее выполнять различные построения на чертеже, где плоскости проекций расположены в одной плоскости, а именно, плоскости чертежа. Для этого надо горизонтальную плоскость развернуть вокруг оси ОХ на 90° и совместить с фронтальной так, чтобы передняя пола горизонтальной плоскости ушла вниз, а задняя вверх. Этот метод предложил Г. Монж.
Рис. 1.2. Построение эпюра Монжа:
а) пространственная картина расположения проекций точки А; б) плоскостная картина расположения проекций точки А.
Поэтому чертеж, полученный таким образом (рис. 1.2, б), называется эпюром Монжа или комплексным чертежом.
Обычно двух проекций недостаточно, чтобы составить полное представление о рассматриваемом геометрическом объекте. Поэтому предлагается ввести третью плоскость проекций, ортогональную первым двум (рис.1. 3, а).
Рис. 1.3. Построение трехкартинного комплексного чертежа (эпюра Монжа):
а) пространственная модель плоскостей проекций; б) трехкартинный комплексный чертеж.
Тогда плоскость П 1 называется горизонтальной плоскостью проекций, П 2 - фронтальной плоскостью проекций (т.к. она расположена перед нами по фронту), П 3 - профильной плоскостью проекций (расположена в профиль по отношению к наблюдателю). Соответственно А 1 - горизонтальная проекция точки А , А 2 - фронтальная проекция точки А, А 3 - профильная проекция точки А .
Оси ОХ, ОY, OZ называются осями проекций. Они аналогичны координатным осям декартовой системы координат с той лишь разницей, что ось ОХ имеет положительное направление не вправо, а влево. Теперь, чтобы получить проекции в одной плоскости (плоскости чертежа) необходимо и профильную плоскость проекций развернуть до совмещения с фронтальной. Для этого ее нужно развернуть на 90° вокруг оси OZ , причем переднюю полу плоскости развернем вправо, а заднюю влево. В результате получим трехкартинный комплексный чертеж (эпюр Монжа), показанный на рис. 1.3, б. Так как ось ОY разворачивается вместе с двумя плоскостями П 1 и П 3 , то на комплексном чертеже ее изображают дважды.
Из этого следует важное правило взаимосвязи проекций. А именно, исходя из рис. 1.3, а, в математической форме его можно записать в виде: А 1 А x = ОА y = А z А 3 . Следовательно, в текстологическом виде оно звучит так: расстояние от горизонтальной проекции точки до оси ОХ равно расстоянию от профильной проекции указанной точки до оси ОZ . Тогда по двум любым проекциям точки можно построить третью. Горизонтальную и фронтальную проекции точки А связывает вертикальная линия связи, а фронтальную и профильную проекции – горизонтальная.
В связи с тем, что комплексный чертеж представляет собой свернутую в плоскости модель пространства, на нем нельзя изобразить проецируемую точку (за исключением случаев, когда ее положение совпадает с одной из проекций). Исходя из этого, следует иметь в виду, что на комплексном чертеже мы оперируем не самими геометрическими объектами, а их проекциями.
1. Метод Монжа. Комплексный чертеж.
ММ. - Метод создания чертежа объекта, использующий ортогональное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости.
Чтобы построить изображение предмета, сначала изображают отдельные его элементы в виде простейших элементов пространства. Так, изображая геометрическое тело, следует построить его вершины, представленные точками; ребра, представленные прямыми и кривыми линиями; грани, представленные плоскостями и т.д
Правила построения изображений на чертежах в инженерной графике основываются на методе проекций. Одно изображение (проекция) геометрического тела не позволяет судить о его геометрической форме или форме простейших геометрических образов, составляющих это изображение. Таким образом, нельзя судить о положении точки в пространстве по одной ее проекции; положение ее в пространстве определяется двумя проекциями.
Рассмотрим пример построения проекции точки А, расположенной в пространстве двугранного угла (рис. 60). Одну из плоскостей проекции расположим горизонтально, назовем ее горизонтальной плоскостью проекций и обозначим буквой П1. Проекции элементов
Пространства на ней будем обозначать с индексом 1: А1, а1, S1 ... и называть горизонтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).
Вторую плоскость расположим вертикально перед наблюдателем, перпендикулярно первой, назовем ее вертикальной плоскостью проекций и обозначим П2. Проекции элементов пространства на ней будем обозначать с индексом 2: А2,
Спроецируем точку А ортогонально на обе плоскости проекций:
АА1_|_ П1;AА1 ^П1=A1;
АА2_|_ П2;AА2 ^П2=A2;
Проецирующие лучи АА1 и АА2 взаимно перпендикулярны и создают в пространстве проецирующую плоскость АА1АА2, перпендикулярную обеим сторонам проекций. Эта плоскость пересекает плоскости проекций по линиям, проходящим через проекции точки А.
Чтобы получить плоский чертеж, совместим горизонтальную плоскость проекций П1 с фронтальной плоскостью П2 вращением вокруг оси П2/П1 (рис. 61, а). Тогда обе проекции точки окажутся на одной линии, перпендикулярной оси П2/П1. Прямая А1А2, соединяющая горизонтальную А1 и фронтальную А2 проекции точки, называется вертикальной линией связи.
Полученный плоский чертеж называется комплексным чертежом. Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.
Две связанные между собой ортогональные проекции точки однозначно определяют ее положение относительно плоскостей проекций. Если определить положение точки а относительно этих плоскостей (рис. 61, б) ее высотой h (АА1 =h) и глубиной f(AA2 =f), то эти величины на комплексном чертеже существуют как отрезки вертикальной линии связи. Это обстоятельство позволяет легко реконструировать чертеж, т. е. определить по чертежу положение точки относительно плоскостей проекций. Для этого достаточно в точке А2 чертежа восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа (считая ее фронтальной) длиной, равной глубине f. Конец этого перпендикуляра определит положение точки А относительно плоскости чертежа.
2.сущность ортогонального проецирования
Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что
Предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами,
Ортогональными (перпендикулярными) к этим плоскостям..
Одну из плоскостей проекций H располагают горизонтально, а вторую V -
Вертикально. Плоскость H называют горизонтальной плоскостью проекций, V -
Фронтальной. Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения
Плоскостей проекций называется осью координат и обозначается OX. Плоскости
Проекций делят пространство на четыре двугранных угла - четверти.
Прямоугольное (ортогональное) проецирование является частным случаем параллельного.
Проекция объекта, полученная с использование этого метода, называется ортогональной.
Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования и кроме того, справедлива теорема о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.
3. проекции точки. Частные положения точки
Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для
Определения ее положения в пространстве или на поверхности.
В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью
Прямоугольных декартовых координат х, у и z.
Координату х называют абсциссой, у - ординатой и z - аппликатой. Абсцисса
Х определяет расстояние от данной точки до плоскости W, ордината у - до
Плоскости V и аппликата z - до плоскости H. Приняв для отсчета координат
Точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во
Всех восьми октантах. Какая-либо точка пространства А, заданная
Координатами, будет обозначаться так: A (х, у, z).
Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Эта
Точка А, все координаты которой положительны, находится в первом октанте
Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора
ОА по отношению к началу координат. Если i, j, k - единичные векторы,
Направленные соответственно вдоль координатных осей х, у, z (рисунок), то
ОА = ОAxi+ОАyj + ОАzk ,где ОАХ,
ОАУ, ОАг - координаты вектора ОА
Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной
Прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О
Откладывают отрезки, соответственно равные 5, 4 и 6 единицам длины. На этих
Отрезках (Оax , Оay , Оaz), как на ребрах, строят прямоугольный
Параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, и будет
Определять заданную точку А. Легко заметить, что для определения точки А
Достаточно построить только три ребра параллелепипеда, например Оax , axa1
И a1А или Оay , aya1 и a1A и т. д. Эти ребра образуют координатную
Ломаную линию, длина каждого звена которой определяется соответствующей
Координатой точки.
4. проекции прямой. Положения прямых относительно плоскостей проекций
Прямая определяется двумя точками. Следовательно, если имеется план и фасад (совмещённый) двух точек a и b, лежащих на прямой, то прямая a’b" , соединяющая планы точек a и b, будет планом прямой ab и прямая a"b", соединяющая фасады точек a и b, будет фасадом прямой ab. На чертеже 4 изображена прямая ab своими планом и фасадом.
5. взаимное положение прямых линий
Прямая может находиться в плоскости, быть параллельной ей или пересекать плоскость.
6. способы задания плоскости на чертеже
Положение плоскости в пространстве определяется: тремя точками, не лежащими на одной прямой (1), прямой и точкой, взятой вне прямой (2), двумя пересекающимися прямыми (3) , двумя параллельными прямыми (4), геометрической фигурой (5), следами плоскости (6).
7. различные случаи расположения плоскостей относительно плоскостей проекций
Относительно плоскостей проекций прямая может занимать различное положение. Прямую, не параллельную ни одной из основных плоскостей проекций (см. рис. 69), называют прямой общего положения. Прямую, параллельную или перпендикулярную одной из плоскостей проекций, называют прямой частного положения.
Прямые, параллельные одной из плоскостей проекций, называют прямыми уровня. Название их зависит от того, какой плоскости они параллельны. Прямую, параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонталью и обозначают на чертежах h (рис. 70).
Прямую, параллельную фронтальной плоскости проекций, называют фронталью и обозначают f (рис.71).
Прямую, параллельную профильной плоскости проекций, называют профильной и обозначают р (рис. 72).
У прямой уровня одна проекция параллельна самой прямой и определяет углы наклона этой прямой к двум другим плоскостям проекций.
Параллельность одной из плоскостей проекций определяет расположение двух других проекций прямой уровня:
h2 || П2/П1 ;
h3 _|_ П2/П3 ;
f2 || П2/П1;
f3 _|_ П2/П3 ;
p1 _|_ П2/П1 ;
p2 _|_ П2/П1 ;
Прямые h2 и f1 перпендикулярны вертикальным линиям связи; р1 и р2 располагаются на одной вертикальной линии связи и при двухпроекционном чертеже должны быть определены двумя точками прямой р.
Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются проецирующими. Эти прямые, будучи перпендикулярными одной плоскости проекций, оказываются параллельными двум другим плоскостям проекций. Поэтому у проецирующих прямых одна проекция превращается в точку, а две другие проекции параллельны самой
Прямой и совпадают на чертеже с направлением линии связи (рис. 73). Различают горизонтально проецирующие прямые (АВ), фронтально проецирующие прямые (CD) и профильно проецирующие прямые (EF).
8. взаимное расположение прямой, точки и плоскости. Главные линии плоскости
Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое значение имеют прямые, занимающие частное положение в пространстве:
1. Горизонтали h - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций
2. Фронтали f - прямые, расположенные в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций
Профильные прямые р - прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проекций
Следует заметить, что следы плоскости можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след - это горизонталь плоскости, фронтальный - фронталь и профильный - профильная линия плоскости.
Взаимное расположение точки и плоскости
Возможны два варианта взаимного расположения точки и плоскости: либо точка принадлежит плоскости, либо нет.
Если точка принадлежит плоскости то из трех проекций, определяющих положение точки в пространстве, произвольно задать можно только одну.
9. параллельность прямой и плоскости
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.
Теорема 1. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то на параллельна и самой плоскости.
Доказательство. Пусть a - плоскость, а - не лежащая в ней прямая и b - прямая в плоскости a, параллельная прямой а. Проведем плоскость b через прямые а и b. Плоскость a и b пересекаются по прямой b. Если бы прямая а пересекала плоскость a, то точка пересечения принадлежала бы прямой b. Но это невозможно, т.к. прямые а и b параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость a, а значит, параллельна ей. Теорема доказана.
10. пересечение двух плоскостей
Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии их пересечения необходимо найти две точки, принадлежащие этой линии. Задача упрощается, если одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение. В этом случае ее вырожденная проекция включает в себя проекцию линии пересечения плоскостей.
На рис. 122 приведен комплексный чертеж двух пересекающихся плоскостей £ и 0, причем плоскость Sum частного положения - фронтально проецирующая. Она пересекает линии АВ и АС плоскости 0, данной треугольниками ABC - плоскости общего положения. Точки пересечения 1 и 2 и определяют линию пересечения плоскостей. Соединив их, получаем искомую линию: a(1, 2) = Sum^Q.
Линию пересечения двух плоскостей, занимающих общее положение, можно построить в исходной системе плоскостей проекции. Для этого дважды решают задачу на построение прямой одной плоскости со второй плоскостью. Задачу можно решать в новой системе плоскостей проекции, построив изображение одной из пересекающихся плоскостей как плоскости проецирующей.
На рис. 123, а построена линия пересечения двух треугольников ABC и DEF путем построения точки М пересечения линии АВ с плоскостью DEF и точки N пересечения линии EF с плоскостью АВС:
1) АВ ~ Sum1(Sum1_|_П2), Sum1 ^DEF=l -2(12-22; 11-21), 11-21 ^ А1B1 = М1, M1,M2 || А1A2,М1М2 ^ А2В2 = М2,М(М,М2);
2) EF ~ Sum2(Sum2_|_П2), Sum2 ^ ABC = 3-4(32-42; 31-41),31-41 ^ E1F1= = N1, N1N2 || A1,A2; N1N2^ E2F2 = N2; N(N1,N2);
3) M1 U N1, = M1N1, M2 U N2 = M2N2;
4) ABC^DEF = MN.
После построения определяют видимость пересекающихся плоскостей. На фронтальной плоскости она определена с помощью фронтально конкурирующих точек 1 и 5. Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций использованы горизонтально конкурирующие точки 6 и 7.
На рис. 123, б эта же линия пересечения построена с помощью дополнительных проекций данных плоскостей на плоскости П4, относительно которой плоскость DEF занимает проецирующее положение. Дополнительные проекции построены из условия, что горизонталь h ? DEF проецируется в точку на плоскости П4 _|_ h. Новые линии связи проведены.через незаменяемые горизонтальные проекции точек А,
В, С, D, E, F параллельно h1, а новая ось проекций П1/П4 _|_ h1. Замеренные на плоскости П2 высоты точек определили их проекции на плоскости П4.
A4B4C4^ D4E4F4 = M4K4, так как А4В4 ^ D4E4F4 = М4 и В4С4 ^ D4E4F4 = = К4. По направлению новых линий связи определяем горизонтальную проекцию линии МК (М1К1). Отмечаем точку пересечения стороны EF c линией МК: E1F1 ^ M1K1 = N1. Точки отрезка NK не имеют общих точек с плоскостью DEF.
Пересекающиеся плоскости в частном случае могут быть перпендикулярными. Для выявления случаев перпендикулярности надо помнить, что если две плоскости взаимно перпендикулярны, то одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. На рис. 122 дан комплексный чертеж взаимно перпендикулярных пересекающихся плоскостей: одна фронтально проецирующая Sum (Sum2), а вторая - общего положения (ABC) - содержит в себе перпендикуляр АВ к плоскости Sum(AB||П2; A2B2Sum2).
Две плоскости в общем случае могут пересекаться в бесконечности. Тогда имеет место параллельность этих плоскостей. При выявлении этого случая следует учитывать, что у параллельных плоскостей две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На рис. 91 плоскость S параллельна плоскости Sum2, так как а || с, b || d.
11. параллельность двух плоскостей
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Теорема 2.6. Признак параллельности плоскостей.
Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.
Доказательство
Чертеж 2.3.1.
Доказательство проведем от противного. Пусть прямые a и b лежат в плоскости β, причем a || α и b || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c . Поскольку a || α, то по теореме о следе c || a . Аналогично получаем, что c || b , тогда a || b . Мы пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются.
Теорема 2.7.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то она оставляет на этих плоскостях параллельные следы.
Чертеж 2.3.2.
Доказательство
Пусть α и β параллельны, γ – третья плоскость, которая пересекает их, причем α γ = a , β γ = b . Таким образом, a и b – следы плоскости γ на плоскостях α и β. Прямые a и b лежат в одной плоскости γ и не имеют общих точек, так как общих точек не имеют плоскости α и β. Следовательно, a || b .
Теорема 2.8.
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Теорема 2.9.
Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны.
Чертеж 2.3.3.
Теорема 2.10.
Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.
Доказательство
Чертеж 2.3.4.
На чертеже 2.3.4 показаны углы BAC и B 1 A 1 C 1, причем AB || A 1 B 1 и AC || A 1 C 1. По признаку параллельности плоскостей плоскость BAC параллельна плоскости B 1 A 1 C 1.
Пусть соответствующие отрезки на сторонах угла равны: AB = A 1 B 1 и AC = A 1 C 1. Проведем прямые AA 1, BB 1, CC 1. Четырехугольник ABB 1 A 1 – параллелограмм, так как AB = A 1 B 1 и AB || A 1 B 1, следовательно, AA 1 = BB 1 и AA 1 || BB 1. Аналогично докажем, что AA 1 = CC 1. Отсюда следует, что BB 1 = CC 1 и BB 1 || CC 1, следовательно, CBB 1 C 1 – параллелограмм и CB = C 1 B 1. Теперь утверждаем, что Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1, откуда BAC = B 1 A 1 C 1.
12. способы преобразования чертежа
Преобразование чертежа может быть выполнено способом вращения, способом проецирования на дополнительную плоскость, способом плоскопараллельного переноса и другими. Наиболее часто применяются способ вращения и способ проецирования на дополнительную плоскость.
13. многогранники. Точки на поверхности многогранников
Три варианта определения
Многогранник, точнее трёхмерный многогранник - совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве такая, что:
Каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
(связность) от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.
Эти многоугольники называются гранями, их стороны - рёбрами, а их вершины - вершинами многогранника. Простейшими примерами многогранников являются выпуклые многогранники, т.е. граница ограниченного подмножества евклидова пространства являющееся пересечением конечного числа полупространств.
Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник, возможны следующие два варианта:
Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);
Части плоскости, ограниченные ломаными.
В последнем случае многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков.
Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником; отсюда возникает третье определение.
[править]
Вариации и обобщения
Понятие многогранника индуктивно обобщается по размерности, и обычно называется n-мерный многогранник.
Бесконечный многогранник допускает в определении конечное число неограниченных граней и рёбер
Криволинейные многогранники допускают криволинейные рёбра и грани.
Сферический многогранник.
14. аксонометрические проекции
Аксонометрическая проекция (греч. άχοπ - «ось» и «метрия») - способ изображения геометрических предметов на чертеже при помощи параллельных проекций.
Предмет с системой координат, к которой он отнесён, проецируют на произвольную плоскость (картинная плоскость аксонометрической проекции) таким образом, чтобы эта плоскость не совпадала с его координатной плоскостью. В этом случае получается две взаимосвязанные проекции одной фигуры на одну плоскость, что позволяет восстановить положение в пространстве, получив наглядное изображение предмета. Так как картинная плоскость не параллельна ни одной из координатных осей, то имеются искажения отрезков по длине параллельных координатным осям. Это искажение может быть равным по всем трём осям - изометрическая проекция, одинаковыми по двум осям - диметрическая проекция и с искажениями разными по всем трём осям - триметрическая проекция.
15. формат. Масштаб. Примеры линий
Масшта́б (нем. Maßstab, букв. «мерная палка»: Maß «мера», Stab «палка») - в общем случае отношение двух линейных размеров. Во многих областях практического применения масштабом называют отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта.
Понятие наиболее распространено в геодезии, картографии и проектировании - отношение натуральной величины объекта к величине его изображения. Человек не в состоянии изобразить большие объекты, например дом, в натуральную величину,поэтому при изображении большого объекта в рисунке, чертеже, макете и так далее, человек уменьшает величину объекта в несколько раз: в два, пять, десять, сто, тысяча и так далее раз. Число, показывающее во сколько раз уменьшен изображенный объект, есть масштаб. Масштаб применяется и при изображении микромира. Человек не может изобразить живую клетку, которую рассматривает в микроскоп, в натуральную величину и поэтому увеличивает величину ее изображения в несколько раз.Число, показывающее во сколько раз произведено увеличение или уменьшение реального явления при его изображении, определено как масштаб.
Формат бумаги - стандартизованный размер бумажного листа. В разных странах в разное время были приняты в качестве стандартных различные форматы. В настоящее время доминируют две системы: международный стандарт (A4 и сопутствующие) и североамериканская.
1. Сплошная толстая основная - применяется для выполнения линий видимого контура, линий контура сечений. Этой линией вы будете обводить внутреннюю рамку чертежа, графы основной надписи. Толщина сплошной основной линии (S) выбирается в пределах от 0,5 до 1,4 мм.
2. Сплошная тонкая линия предназначается для нанесения размерных и выносных линий, нанесения штриховки, проведения полок линий-выносок, для изображения воображаемых линий перехода одной поверхности в другую. Толщина линии выбирается от S/3 до S/2.
3. Сплошная волнистая линия применяется для изображения линии обрыва, разграничения вида и разреза. Толщина линии от S/3 до S/2. Этот тип линии выполняется от руки.
4. Сплошная тонкая с изломом. Этой линией изображают длинные линии обрыва. Толщина линии от S/3 до S/2.
5. Штриховая линия используется для изображения линий невидимого контура, невидимых линий перехода. Длину штриха выбирают от 2 до 8 мм, расстояние между штрихами от 1 до 2 мм. Толщина линии от S/3 до S/2.
6. Разомкнутая линия предназначается для изображения места секущей плоскости при построении сечений и разрезов. Толщина линии от S до 1,5 S.
7. Штрихпунктирная тонкая линия применяется для изображения осевых и центровых линий. Длина штриха выбирается от 5 до 30 мм, расстояние между штрихами от 3 до 5 мм. Штрихи чередуются с точками. Толщина линии от S/3 до S/2.
При изображении окружности штрихи штрихпунк-тирной линии должны пересекаться в центре окружности, и поэтому линию называют штрихпунктирная центровая, подчеркивая тем самым ее назначение (рис. 31).
Штрихпунктирная (осевая и центровая) линия должна выступать за контуры изображения предметов на 3-5 мм (рис. 31, а). Если необходимо задать центр окружности для отверстия диаметром менее 12 мм, то центровые линии выполняют одним штрихом (рис. 31, б). На рисунке 31 показано нанесение осевых и центровых линий.
8. Штрихпунктирная утолщенная линия применяется для изображения поверхности, подлежащей термообработке или покрытию (в школьном курсе не используется).
9. Штрихпунктирная тонкая линия с двумя точками применяется для изображения линий сгиба на развертках, для изображения частей изделий в крайних или промежуточных положениях. Длина штриха от 5 до 30 мм, расстояние между штрихами от 4 до 6 мм. Толщина линии от S/3 до S/2.
16. виды. Определение. Классификация
Видом называется изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета.
Исходным на чертеже является вид спереди, который называют также главным видом. Если смотреть на предмет слева, под прямым углом к профильной плоскости проекций получают вид слева. Когда смотрят на предмет сверху, перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций получают вид сверху.
Направления, по которым смотрят на деталь, получая тот или иной вид.. Каждый вид занимает на чертеже строго определённое место по отношению к главному виду. Вид слева располагают справа от главного вида и на одном уровне с ним, вид сверху - под главным видом. Нельзя нарушать это правило, располагая виды на произвольных местах без особого обозначения.
Зная правило расположения видов можно представить форму предмета по его плоским изображениям. Для этого нужно сопоставить все виды, данные на чертеже и воссоздать в воображении объёмную форму предмета. Наряду с видами спереди, сверху и слева для изображения предмета могут применяться виды справа, снизу, сзади - все они называются основными. Однако количество видов на чертеже должно быть наименьшим, но достаточным для полного выявления формы и размеров предмета.
17. основной и местный виды
В некоторых случаях на чертеже вместо полного вида можно применить его часть. Это упрощает построение изображения предмета.
Изображение отдельного, ограниченного места поверхности предмета называется местным видом.
Его применяют в том случае, когда требуется показать форму и размеры отдельных элементов детали (фланца, шпоночной канавки и прочее).
Местный вид может быть ограничен линией обрыва, осью симметрии и прочее. Располагают местный вид на свободном поле чертежа или в проекционной связи с другими изображениями. Применение местного вида позволяет уменьшить объём графической работы, сэкономить место на поле чертежа.
Устанавливаются следующие наименования основных видов:
Вид спереди (главный вид) - изображение на фронтальной плоскости
Вид сверху - изображение на горизонтальной плоскости
Вид слева - изображение на профильной плоскости
Вид справа - изображение на профильной плоскости
Вид снизу - изображение на горизонтальной плоскости
Вид сзади - изображение на фронтальной плоскости
18. дополнительный вид
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ВИД - это проекция модели по ребру или линии главного вида. Дополнительный вид создается щелчком на кнопке Дополнительный вид на панели инструментов Виды чертежа и обязательно выравнивается по базовому виду. Опции создания дополнительного вида задаются в диалоговом окне Дополнительный вид:
Название - зона, в которой со
Держатся:
Название - текстовое окно задания обозначения дополнительного вида в соответствии с примененным стандартом оформления. Пользователь может задать новое обозначение для дополнительного вида;
Видимость - флажок, установка которого обеспечивает вывод на чертеж обозначение дополнительного вида.
19. разрез
Разрез - мысленное сечение предмета одной или несколькими плоскостями. На разрезе показываются те детали и их части, которые расположены за секущей плоскостью.
Разрез (архитектурный, фронтальная проекция здания или архитектурной детали, условно рассеченных плоскостью или системой плоскостей) служит для условного изображения на чертеже конфигурации архитектурных деталей, объёмов или внутренних пространств и характеризует форму и конфигурацию сооружения.
Типы разрезов
Разрез простой
Разрез простой на чертеже
1. В зависимости от числа секущих плоскостей разрезы делятся на:
Простой разрез - для формирования используется одна плоскость.
Сложный разрез - для формирования используются две и больше секущих плоскостей.
Ломаный разрез - для формирования используются две (бо́льшее количество используется редко) пересекающиеся плоскости.
Ступенчатый разрез - для формирования используются две и более параллельные плоскости.
2. В зависимости от положения плоскости относительно горизонтальной плоскости проекции разрезы разделяются на:
Горизонтальные - секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекции.
Вертикальные - секущая плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции.
Наклонные - секущая плоскость составляет с горизонтальной плоскостью угол, отличный от прямого.
3. В зависимости от положения секущей плоскости относительно основных измерений предмета различают разрезы:
Продольные - секущая плоскость направлена вдоль длины или высоты предмета.
Поперечные - секущая плоскость перпендикулярна к длине или высоте предмета.
4. В зависимости от полноты изображения разрезы бывают:
Полные - секущая плоскость пересекает весь предмет и изображение внутреннего его строения показывается по всему сечению.
Местные - секущая плоскость пересекает только ту часть предмета, в которой требуется показать его внутреннюю форму. Границы местного разреза показываются тонкой сплошной волнистой линией.
20. простой разрез(см 19.)
21.сложный разрез (см. 20)
22. выносные элементы, обозначение
Выносной элемент - это дополнительное отдельное изображение какой-либо части предмета, требующей пояснения в отношении формы, размеров и иных данных.
Выносной элемент вычерчивается в более крупном масштабе с нанесением всех необходимых размеров и вычерчиванием подробностей, которые не могут быть указаны на основном изображении.
Выносной элемент может отличаться от соответствующего изображения и по содержанию, т.е. исходное изображение может быть видом, а выносной элемент разрезом и др.
23. сечение
Сечение - изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета секущей плоскостью. В сечении показывается только то, что находится в секущей плоскости.
Деталь проецируют на плоскость проекций V Затем ее мысленно рассекают секущей плоскостью в том месте, где необходимо уточнить форму изделия. В секущей плоскости получают фигуру сечения. После этого секущую плоскость (вместе с фигурой сечения) мысленно вынимают, поворачивают вокруг вертикальной оси, перемещают параллельно плоскости проекций и совмещают с плоскостью V так, чтобы изображения вида спереди и фигуры сечения не заслоняли друг друга (). Обратите внимание на то, что при таком перемещении секущей плоскости вид спереди находится в проекционной связи с сечением. Полученное изображение фигуры сечения называют сечением, выполненным в проекционной связи.
Секущую плоскость с фигурой сечения допускается перемещать в произвольном направлении, совмещая ее с плоскостью проекций, без учета проекционной связи. Такое сечение называется сечением, выполненным на свободном месте чертежа (рис. 148, в). Сечение можно располагать и на продолжении следа секущей плоскости (Оно называется сечением, выполненным на продолжении следа секущей плоскости.
Если сечение располагается на продолжении следа секущей плоскости, то сечение не обозначается (). Если сечение располагается на свободном месте чертежа, то его обозначают надписью типа «А - А» (
Если секущая плоскость проходит вдоль оси цилиндрической или фонической поверхности, ограничивающих отверстие или углубление, то их контур на сечении показывают полностью, например изображение углубления конической формы.
При выполнении различных изображений предмета ГОСТ 2.305-68 рекомендует применять некоторые условности и упрощения, которые, сохраняя ясность и наглядность изображения, сокращают объем графических работ.
Если вид, разрез или сечение являются фигурами симметричными, то можно вычерчивать только половину изображения или немного более половины изображения, ограничивая его волнистой линией
Допускается упрощение изображать линии среза и линии перехода; вместо лекальных кривых проводят дуги окружности и прямые линии а плавный переход от одной поверхности к другой показывать условно (или совсем не показывать (
Допускается незначительную конусность или уклон изображать увеличенным. На тех изображениях, где уклон или конусность отчетливо не выявляется, проводят только одну линию, соответствующую меньшему размеру элемента с уклоном (, а) или меньшему основанию конуса (
При выполнении разрезов показывают нерассеченными непустотелые валы, рукоятки, винты, шпонки, заклепки. Шарики всегда изображают нерассеченными.
Такие элементы, как спицы, тонкие стенки, ребра жесткости, показывают в разрезе незаштрихованными, если секущая плоскость направлена вдоль оси или длинной стороны такого элемента (. Если в подобных элементах имеется отверстие или углубление, то делают местный разрез (
Отверстия, расположенные на круглом фланце и не попадающие в секущую плоскость, показывают в разрезе так, словно они находятся в секущей плоскости
Для сокращения количества изображений допускается часть предмета, расположенную между наблюдателем и секущей плоскостью, изображать штрихпунктирной утолщенной линией (). Более подробно правила изображения предметов изложены в ГОСТ 2.305-68.
25. эскиз
Эски́з (фр. esquisse) - предварительный набросок, фиксирующий замысел художественного произведения, сооружения, механизма или отдельной его части. Эскиз - быстро выполненный свободный рисунок, не предполагаемый как готовая работа, часто состоит из множества перекрывающих линий.
Эскизы недороги и позволяют художнику сделать наброски и попробовать другие идеи, прежде чем воплощать их в живописи. Карандаш или пастель более предпочтительны для эскизов из-за ограничений во времени, но быстро сделанный набросок акварели или даже быстро смоделированный макет из глины или мягкого воска может также считаться эскизом в более широком значении слова. Графитные карандаши сравнительно новое изобретение, художники Ренессанса делали эскизы, используя серебряное перо на специально подготовленной бумаге.
Вопреки популярному убеждению, художники часто используют ластики при рисунке. Стирательная резинка может применяться для удаления линий построения, или для смягчения слишком резких линий.
26. деталирование
Изготовление деталей, входящих в изделие, ведётся по рабочим чертежам, которые составляются по сборочному чертежу. Вычерчивание рабочих чертежей по сборочному чертежу называют деталированием.
Прежде чем приступить к деталированию, нужно внимательно изучить сборочный чертёж, найти детали во всех проекциях, понять, как они соединяются между собой и какую роль выполняют в изделии. Перед деталированием необходимо решить вопрос, в. скольких проекциях и в каком масштабе должна быть вычерчена каждая деталь, и на основании габаритных размеров детали установить, на каком формате бумаги можно её вычертить. При деталировании желательно, чтобы детали были вычерчены в натуральную величину, т. е. в масштабе 1: 1. Крупные детали вычерчиваются в уменьшенном масштабе. Мелкие детали в некоторых случаях следует вычерчивать даже в увеличенном против натуры масштабе, чтобы выполненный чертёж можно было легко прочитать. Когда будет решён вопрос о формате для каждой отдельной детали, нужно установить общее количество листов формата а1, потребных для деталирования. Разбивка листа бумаги должна производиться не отвлечённо, а с учётом форматов, необходимых для каждой детали. Поэтому лист а1 может содержать все форматы,начиная от a2 для крупных деталей до а5 для мелких деталей. На каждом формате, предназначенном для изображения детали, должна быть помещена основная надпись (штамп) по ГОСТ.
На чертежах тех деталей, которые обрабатываются совместно с другими деталями не при сборке, должны быть даны соответствующие указания, например: Расточить совместно с дет. 15.
Если в окончательно изготовленных деталях требуется сохранение центровых гнёзд, то последние изображаются на чертеже по ОСТ 3725.
Если же в окончательно изготовленных деталях не должно быть центровых гнёзд, то на чертеже это указывается надписью: Центровые гнёзда не допускаются.
Если конструктивно безразлично, должны или не должны быть оставлены центровые гнёзда, то на чертеже детали они не изображаются и никакими примечаниями не оговариваются.
На рабочих чертежах деталей размеры, определяющие расположение сопрягаемых поверхностей, должны быть проставлены, как правило, от конструктивных баз, с учётом возможности их соблюдения и контроля
Проставлять размеры на чертежах в виде замкнутой цепочки или вводить повторяющиеся размеры не допускается.
Размеры, относящиеся к одному и тому же элементу детали (канавке, углублению и т. п.), рекомендуется группировать на одной проекции, отдавая преимущество проекции, на которой данный элемент изображён наиболее ясно.
При деталировании сборочного чертежа могут быть два случая:
1) если количество деталей данной сборочной единицы невелико, то чертежи деталей помещают на одном листе со сборочным чертежом. Сборочный чертёж в этом случае вычерчивают справа в нижней половине листа;
2) если изделие состоит из большого числа деталей, то чертежи их помещают на отдельном листе или на нескольких листах.
При деталировании сборочных чертежей в первую очередь следует вычерчивать основную деталь, например корпус, так как с размерами основной детали связаны размеры сопряжённых с ней деталей, а также выбор и назначение посадок и знаков чистоты обработки поверхностей. Это важно ещё и потому, что размеры всех деталей должны быть взаимно увязаны. Например, если две детали скреплены между собою болтами, то в соединяемых деталях должны быть одинаковыми расстояние между осями отверстий для болтов и диаметры отверстий, через которые проходят болты.
Рабочий чертёж, кроме изображения детали, должен содержать также и необходимые для её изготовления и контроля размеры, допуски, обозначения чистоты поверхности, данные о материале, термообработке, отделке и другие технические требования к готовой детали, если последние не включены в технические условия.
Независимо от принятого масштаба, на рабочих чертежах деталей проставляются только действительные размеры.
Размеры сопряжённых элементов детали должны быть снабжены допусками и посадками. Должны быть также проставлены допуски на линейные размеры, расстояния между отверстиями и т. п. Исключение составляют размеры, определяющие зоны различной степени чистоты обработки одной и той же поверхности, зоны термообработки, отделки, размеры неответственных фасок и радиусов скруглений и т. п., которые могут проставляться без допусков.
П p и м e ч а н и я. 1. Допускается не проставлять непосредственно у размеров, а оговаривать соответствующей общей надписью на свободном поле чертежа отдельные, имеющие широкое применение категории допусков, например: допуски на свободные размеры, допуски на размеры литых необработанных элементов детали и др. При этом ссылки на заводские или ведомственные нормали не допускаются.
2. Свободными называются размеры, не входящие в размерные цепи и не влияющие непосредственно на характер соединения деталей (
Если в деталях, изготовляемых из листового, катаного, калиброванного или других разновидностей стандартных профилей материала, отдельные части не подвергаются обработке, то размеры, как правило, проставляются без допусков.
В отдельных случаях, когда конструктивные условия требуют простановки этих допусков, такие размеры проставляются с теми допусками, которые установлены соответствующими стандартами или техническими условиями на применяемые профили материалов.
Если потребная точность или другие эксплоатационные качества соединения достигаются подбором, пригонкой и т. п., то необходимо в чертежах давать указания относительно характера сопряжений, метода их обеспечения и способа контроля.
При нанесении знаков чистоты обработки по ГОСТ 2789-45 не следует указывать повышенной чистоты обработки, где это не требуется, чтобы не удорожать изготовление детали.
Если поверхности детали должны быть обработаны одинаково, то на чертеже пишется: кругом с указанием степени чистоты обработки условными знаками (
При вычерчивании нужно показать разрезы детали, если в этом есть необходимость, а в некоторых случаях и сечения отдельных мест. Они внесут ясность в очертания детали.
27. резьба
Резьба́ - равномерно расположенные выступы или впадины постоянного сечения, образованные на боковой цилиндрической или конической поверхности по винтовой линии с постоянным шагом. Является основным элементом резьбового соединения, винтовой передачи и червяка зубчато-винтовой передачи.
Классификация и основные признаки резьб
Единица измерения шага (метрическая, дюймовая, модульная, питчевая резьба)
Расположение на поверхности (внешняя и внутренняя резьба)
Направление движения винтовой поверхности (правая, левая);
Число заходов (одно- и многозаходная), например двузаходная, трёхзаходная и т. д.;
Профиль (треугольный, трапецеидальный, прямоугольный, круглый и др.);
Образующая поверхность на которой расположена резьба (цилиндрическая резьба и коническая резьба);
Назначение (крепёжная, крепёжно-уплотнительная, ходовая и др.).
28.обозначение резьбы
Метод Монжа, комплексный чертеж.
Проекции точки, комплексный чертеж.
Взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
Методы прямоугольного проецирования на две и три
Свойства ортогонального проецирования
Основными и неизменными свойствами (инвариантами) ортогонального проецирования являются следующие:
1) проекция точки – точка;
2) проекция прямой – в общем случае прямая; если направления проецирования совпадает с направлением прямой, то проекция последней – точка;
3) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.
4) проекции параллельных прямых параллельны между собой;
5) отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;
6) отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций;
7) проекцией точки пересечения двух прямых является точка пересечения проекций этих прямых;
8) если прямая или плоская фигура параллельны плоскости проекций, то на эту плоскость они проецируются без искажения;
9) если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.
В случае если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным . Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гᴦ. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.
Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа "Geometrie descriptive".
Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.
В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.6). Одну из плоскостей проекций П 1 располагают горизонтально, а вторую П 2 - вертикально. П 1 - горизонтальная плоскость проекций, П 2 - фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.
Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.
| Рисунок 6. Пространственная модель двух плоскостей проекций | Линия пересечения плоскостей проекций принято называть осью координат и обозначается x 21 . Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти. Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П 1 совмещают вращением вокруг оси x 12 с плоскостью П 2 (рис.6).Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, принято называть эпюром Монжа (франц. Epure – чертеж.) или комплексным чертежом. |
Метод Монжа, комплексный чертеж. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Метод Монжа, комплексный чертеж." 2017, 2018.
ВВЕДЕНИЕ
Начертательная геометрия изучает способы построения плоских изображений пространственных геометрических объектов, их геометрические свойства и методы решения пространственных геометрических задач на этих изображениях, что необходимо будущим специалистам при использовании чертежей в их производственной деятельности.
Методические указания предназначены для студентов при самостоятельной подготовке к лабораторным занятиям по начертательной геометрии.
Рассмотренные в пособии задачи сгруппированы по темам и используются студентами при самостоятельной подготовке к очередному занятию. Для этого они должны:
Решить задачи предыдущей темы;
Изучить теоретический материал по заданной теме и ответить на вопросы самоконтроля;
Выполнить упражнения по заданной теме;
Часть задач по теме решаются на лабораторных занятиях при помощи преподавателя, а часть задаются для домашнего решения.
В начале занятия преподаватель проверяет решенные студентами самостоятельно задачи предыдущей темы, теоретическую подготовку студентов и решение упражнений по заданной теме. В конце каждой темы рассматривается пример решения типовой задачи с поэтапным выполнением чертежей. Приступая к решению упражнений новой темы, полезно ознакомиться с соответствующим примером и следовать ему в оформлении чертежа. В конце каждой темы приводятся дополнительные задачи . Правильное решение дополнительных задач студентами дает им возможность принять участие в олимпиаде по начертательной геометрии, которая проводится в конце семестра для выявления сильных студентов по курсу. В приложении пособия приводятся тесты по темам для самоконтроля знаний, изученного материала.
В процессе работы с пособием студенты учатся практическим приемам, применяемым при решении задач, что позволяет им выработать навыки и умения самостоятельного их решения. По мере накопления этого опыта студент начинает мыслить самостоятельно на профессиональном уровне.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ И
ОФОРМЛЕНИЮ ЗАДАЧ
При решении задач необходимо руководствоваться следующими рекомендациями:
1. По данным проекциям геометрических фигур, составляющим исходные данные задачи, представить их форму и взаимное расположение в пространстве как по отношению друг к другу, так и относительно плоскостей проекций.
2. Наметить «пространственный» план решения задачи и установить последовательность выполнения геометрических операций, при помощи которых может быть получен ответ на поставленную задачу. На этой стадии решения задачи следует обращаться к теоремам из курса элементарной геометрии разделы «Планиметрия» и «Стереометрия», а также к теоретическому материалу в учебниках и лекциях.
3. Определить алгоритм решения задачи, кратко записать последовательность графических построений, используя принятые обозначения и терминологию.
4. Приступить к геометрическим построениям, используя инвариантные свойства параллельного проецирования. При выполнении первых двух пунктов полезно установить также возможное число решений и выявить причины, от которых они зависят.
5. Следует иметь в виду, что, осуществляя геометрические построения, на любом этапе решения задачи имеется возможность контроля правильности их выполнения. Это особенно ценно, если учесть, что в задачниках по начертательной геометрии не содержится ответов. В основе контроля лежат инвариантные свойства параллельного проецирования и теоремы из школьного курса стереометрии.
При графическом решении задачи точность ответа зависит не только от выбора правильного пути её решения, но и от точности выполнения геометрических построений. Поэтому, решая задачу, необходимо пользоваться чертёжными инструментами. Задачи должны решаться в отдельной тетради в клетку для лабораторных занятий. Тип и толщина линий выполняются в соответствии с ГОСТ 2.303-68 ЕСКД. Построения выполняются карандашом. Для облегчения чтения чертежа, получающегося в процессе решения, целесообразно применять цветные карандаши: заданные элементы обводятся черным цветом, вспомогательные построения – синим, искомые элементы – красным. Эту же цель преследует обязательное обозначение всех точек и линий. При этом обозначение следует делать в процессе решения задачи сразу после проведения линии или определения точки пересечения линий. Надписи и буквенные обозначения выполнять стандартным шрифтом в соответствии с ГОСТ 2.304-84 ЕСКД.
Тетрадь с решенными задачами предъявляется преподавателю на экзамене.
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А, В, С, D, …или 1, 2, 3, 4, … - обозначение точки; прописные буквы латинского алфавита или арабские цифры.
о – изображение точки (области расположения точки); круг диаметром 2-3 мм тонкой линией от руки.
a, b, c, d, … - линия в пространстве; строчные буквы латинского алфавита.
Γ, Σ, Δ,… - плоскости, поверхности; прописные буквы греческого алфавита.
α, β, γ, δ, … - углы; строчные буквы греческого алфавита.
П – плоскость проекций (картинная плоскость); прописная буква (пи) греческого алфавита.
АВ – прямая, проходящая через точки А и В .
[AB] – отрезок, ограниченный точками А и В .
[AB ) – луч, ограниченный точкой А и проходящий через точку В.
/AB /–натуральная величина отрезка[AB ] (равная оригиналу).
/Aа /–расстояние от точки А до линии а.
/AΣ /–расстояние от точки А до плоскости Σ .
/ab /–расстояние между линиями а и b.
/GD / - расстояние между поверхностями G и D.
≡- совпадение (А≡В – точки А и В совпадают).
║ - параллельны.
^ - перпендикулярны.
∩ - пересечение.
Î - принадлежит, является элементом множества.
^ - угол, например а^b – угол между прямыми а и b.
Ð α - угол α (или число в градусах).
ÐАВС – угол с вершиной в точке В.
Изображение знаков должно выполняться в соответствии с принятыми стандартами оформления технической и научной документации.
ТЕМА 1 КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ МОНЖА
(точка, прямая)
Вопросы самоконтроля
1. Свойства ортогонального проецирования.
2. Какие элементы входят в аппарат проецирования?
3. Что называется осью проекций?
4. Что называется проекцией точки?
5. Какие прямые называются «линиями связи» и как они расположены относительно оси проекций?
6. Можно восстановить положение точки в пространстве по её проекциям?
7. Чем можно задать прямую линию на комплексном чертеже?
8. Какие прямые называются прямыми общего и частичного положения? Постройте комплексный чертёж.
9. Как располагаются в пространстве две прямые относительно друг друга?
10. Что называется следом прямой?
3.1 Комплексный чертёж точки
Упражнения
3.1.5. Какая из заданных на чертеже точек А, В или С принадлежит плоскости П 1 ?
3.1.6 На наглядном чертеже (рисунок 3.1) построить проекции А 2 , В 1 , С 1 и D 2 точек-A, B, С и D. Определить в каких четвертях лежат эти точки?
Рисунок 3.1
Задачи
3.2 Комплексный чертёж прямой
Упражнения
Задачи
3.2.6 Постройте на комплексном чертеже два отрезка соответственно пересекающихся, параллельных, скрещивающихся и конкурирующих прямых.
3.2.7 Через точку А(25, 30, 10) провести отрезок АВ, параллельный плоскости проекций П 2 длиной 30 мм под углом 45° к П 1 . Записать координаты точки В. Сколько решений имеет задача?
3.2.8 Найти натуральную величину отрезка АВ и углы его наклона к плоскостям П 1 , П 2 .Координаты точек отрезка А(60, 5, 10), В(10, 20,40).
Примеры решения задач:
Задача 1 Какая из заданных точек А, В, С принадлежит плоскости П 1 ?
Решение . Если точка лежит в плоскости П 1 , то её высота равна нулю. Поэтому среди заданных точек нужно искать точку с высотой, равной нулю. Высота точки измеряется расстоянием либо от фронтальной проекции точки до оси Х 1 2 ,либо от профильной проекции до оси У 3 . И если высота точки равна нулю, то эти проекции точки будут лежать на осях Х 12 и У 3 . Этому условию удовлетворяет точка А , у которой проекция А 2 лежит на оси Х 12 , а проекция А 3 - на оси У 3 . Значит точка А расположена в горизонтальной плоскости проекций П 1 .
Точка С также лежит в плоскости проекций. Об этом говорит расположение её проекций С 1 и С 3 соответственно на осях Х 12 и Z 23 . Это значит, что у точки С равна нулю глубина. Поэтому она лежит во фронтальной плоскости проекций П 2 .
Точка В не лежит ни в одной из плоскостей проекций. Она расположена в пространстве.
Похожая информация.
Статьи по теме
