ವೆಕ್ಟರ್ಸ್ ರೇಖೀಯ ಜಾಗ.

ನೀರು ಪೂರೈಕೆಗಾಗಿ

ವೆಕ್ಟರ್ (ರೇಖೀಯ) ಜಾಗವು ನೈಜ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ (ಅಂಶಗಳು) ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಕೆಲವು ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು (ಪ್ರಾಪರ್ಟೀಸ್) ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.+1)x=1)x+ನಲ್ಲಿ X

2)((ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆ);+1)x)+X=z+(x+Xವೈ

) (ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಸಹಭಾಗಿತ್ವ); 0 3) ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಇದೆ (ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ+ 0 =x x: (ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ;

ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ಗಾಗಿ (ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆ); 4) ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ವಿರುದ್ಧ ವೆಕ್ಟರ್ ಇದೆನಲ್ಲಿ (ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆ);+1)x = 0 ,

5) ಅಂತಹ=1 x

6) X,(ಎ)=(bx)ನಲ್ಲಿ ab

7) (X,+(ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹಭಾಗಿತ್ವ);)ನಲ್ಲಿ=ಬಿ+ಆಹ್ bx

8) X,((ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆ);+1)x)=ಬಿ+(ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ);ಆಯ್

(ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ).

P ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ (ವೆಕ್ಟರ್) ಸ್ಪೇಸ್ V(P) ಒಂದು ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ V ಆಗಿದೆ. V ಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು P ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಕೇಲರ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

1. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ (ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಪರಿವರ್ತಿತವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪು. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಂಪು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಸೇರ್ಪಡೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು + ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ)

2. ತಟಸ್ಥ ಅಂಶವು ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ ಏಕೈಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

3. ಯಾವುದೇ, ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ ಏಕೈಕ ಅಂಶವು ವಿರುದ್ಧ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

4.(–1) x = – x ಯಾವುದೇ x є V ಗೆ.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) ಯಾವುದೇ α є P ಮತ್ತು x є V ಗೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ+a 1 e 1+ … +ಎ 2 ಇ 2ಎ ಎನ್ ಇ ಎನ್ (1) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಇ 1, ಇ 2,..., ಇ ಎನ್ ಆಡ್ಸ್ ಜೊತೆ,a 1, a 2..., ಎ ಎನ್ . ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು (1) ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ನಾನ್ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ a 1 , a 2 ,..., a n (1) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ವಾಹಕಗಳು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುವ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜನೆ (1) ಇದ್ದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. INಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (1) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ(ಅಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ (1) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಜಾಗದ ಆಯಾಮವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ LZ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ n-ಆಯಾಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ "ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ), ಎನ್" ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆಎನ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂಶಗಳು e 1 , e 2 ,..., e n , ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ+ 1 ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಜಾಗದ ಆಯಾಮವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ LZ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.ಅಂಶಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿತಿ ಬಿ). ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆಯಾವುದೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಅದರಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನಂತ-ಆಯಾಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳು. ಯಾವುದೇ ಜಾಗದ ಆಯಾಮವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ LZ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ n-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು (1) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ- ಆಧಾರ ಜಾಗದ ಆಯಾಮವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ LZ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ., ನಂತರ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ (ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆ);ಈ ಜಾಗವನ್ನು ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: z=a 1 e 1+a 1 e 1+... +ಎ 2 ಇ 2.
ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a 1 , a 2, ..., a nವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆ);ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ.

4.3.1 ರೇಖೀಯ ಜಾಗದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಅವಕಾಶ ā , , - ಕೆಲವು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು ā , , ಎಲ್ ಮತ್ತು λ , μ - ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, λ , μ ಆರ್..

ಸೆಟ್ ಎಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆರೇಖೀಯ ಅಥವಾವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ:

1 0 . ಸೇರ್ಪಡೆ. ಈ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳು ಒಂದೇ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ā + =

2°.ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು. ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ λ ಮತ್ತು ಅಂಶ ā ಎಲ್ಒಂದೇ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ λ ā ಎಲ್ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

1. ಆ+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಶೂನ್ಯ ಅಂಶ
, ಅಂತಹ ā +=ā ;

4. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ವಿರುದ್ಧ ಅಂಶ -
ಅಂತಹ ā +(-ā )=.

ಒಂದು ವೇಳೆ λ , μ - ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಂತರ:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

ರೇಖೀಯ ಜಾಗದ ಅಂಶಗಳು ā, , ... ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಯಾಮ.ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳು ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವೇ ತೋರಿಸಿ:

1) ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಾಹಕಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್;

2) ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಾಹಕಗಳು;

3) ಕೆಲವು ಹಂತದ ಬಹುಪದಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್;

4) ಅದೇ ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಸೆಟ್.

4.3.2 ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳು. ಜಾಗದ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಆಧಾರ

ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ ವಾಹಕಗಳು ā 1 , ā 2 , …, ā ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಎಲ್ರೂಪದ ಅದೇ ಜಾಗದ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

,

ಎಲ್ಲಿ λ ನಾನು ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ವಾಹಕಗಳು ā 1 , .. , ā ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಅವುಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ λ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ i ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಅಂದರೆ

λ ನಾನು =0

ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ λ iಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಈ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಎಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಇತರ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಹ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
. ನಂತರ,
, ಎಲ್ಲಿ

.

ವಾಹಕಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಆದೇಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಧಾರದ ಜಾಗ ಎಲ್. ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಯಾಮ ಜಾಗ.

ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳು, ನಂತರ ಜಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ- ಆಯಾಮದ. ಇತರ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು. ಪ್ರತಿ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ- ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಯಾವುದೇ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆಈ ಜಾಗದ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 17.ಈ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಎ) ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಮೇಲೆ ಇರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ (ಕೆಲವು ರೇಖೆಗೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್)

ಬಿ) ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ವಾಹಕಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್

ಸಿ) ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ವಾಹಕಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್

ಡಿ) ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್.

ಪರಿಹಾರ.

ಎ)ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ
, ಅದು
, λ - ಸ್ಕೇಲಾರ್. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಜಾಗದ ಆಧಾರವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಒಂದು (ಯಾವುದೇ) ವೆಕ್ಟರ್ ಮಾತ್ರ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಜಾಗವನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್, ಅದರ ಆಯಾಮ 1.

b)ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳು
ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ಗಾಗಿ , ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ  ಮತ್ತು  ಅಂತಹ
. ಜಾಗವನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ 2 .

ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನಾನ್-ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ವಿ)ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಆರ್ 3 .

ಜಿ)ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಗಳ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು: ē 1 = (ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ 2 ; ē 2 = (ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ; ē 3 =1 .

(1 ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಈ ಜಾಗವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದಿಂದ ವಸ್ತು - ಉಚಿತ ವಿಶ್ವಕೋಶ

ವೆಕ್ಟರ್(ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ) ಜಾಗ- ಗಣಿತದ ರಚನೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಎಂಬ ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಕಲನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ - ಸ್ಕೇಲಾರ್. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಎಂಟು ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್‌ಗಳು ನೈಜ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಂಶಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಅಂತಹ ಜಾಗದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗ, ಅದರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೌತಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು. ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕೃತಿಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಅಂಶಕ್ಕೆ "ವೆಕ್ಟರ್" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಪದಗಳ ಗೊಂದಲವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ವಭಾವದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಹಲವಾರು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಥವಾ ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅದರ ಆಯಾಮ. ಆಯಾಮವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂಶಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಒರಟಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸುವುದು, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೂಲಕ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಪರಸ್ಪರ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗದ ದಿಕ್ಕುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರೂಢಿ ಅಥವಾ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ. ಅಂತಹ ಸ್ಥಳಗಳು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಅನಂತ ಆಯಾಮದ ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ( ಇಂಗ್ಲೀಷ್), ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು . ಅನೇಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಪರಿಗಣನೆಯು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿ, ಇದು ನಮಗೆ ಸಾಮೀಪ್ಯ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬನಾಚ್ ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗಗಳು ಆಳವಾದ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ (ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ 0 ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ 1 ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಚಯವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದ ಮೊದಲ ಕೃತಿಗಳು 17 ನೇ ಶತಮಾನಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿನವು. ಆಗ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದವು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ರೇಖೀಯ, ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ $ವಿ\backslash ಎಡ(ಎಫ್\backslash ಬಲ)$ಮೈದಾನದ ಮೇಲೆ $ಎಫ್$- ಇದು ಆದೇಶದ ನಾಲ್ಕು $(V,F,+,\backslash cdot)$, ಎಲ್ಲಿ

• $ವಿ$- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ವಭಾವದ ಅಂಶಗಳ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಾಹಕಗಳು;
• $ಎಫ್$- (ಬೀಜಗಣಿತ) ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾಪಕಗಳು;
• ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಜೊತೆಗೆವಾಹಕಗಳು $ವಿ\backslash \; ಬಾರಿ\; ವಿ\backslash ನಿಂದ\; ವಿ$, ಇದು ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ $ವಿ$ $ವಿ$ಅವರನ್ನು ಕರೆದರು ಮೊತ್ತಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಸ್ಕೇಲರ್‌ಗಳಿಂದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು $ಎಫ್\backslash ಟೈಮ್ಸ್\; ವಿ\backslash ನಿಂದ\; ವಿ$, ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ $\backslash lambda$ಜಾಗ $ಎಫ್$ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಶ $\backslash mathbf(x)$ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ $ವಿ$ಸೆಟ್ನ ಏಕೈಕ ಅಂಶ $ವಿ$, ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ಅಥವಾ $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳು, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ, ವಿಭಿನ್ನ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಸೆಟ್ $\backslash mathbb(R)^2$ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಒಂದು ಆಯಾಮದ - ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ).

ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.
2. ತಟಸ್ಥ ಅಂಶ $\backslash mathbf(0)\; \backslash \; in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ಯಾರಿಗಾದರೂ $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. ಯಾರಿಗಾದರೂ $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ವಿರುದ್ಧ ಅಂಶ $-\backslash mathbf(x)\backslash in\; V$ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ ಏಕೈಕ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ಯಾರಿಗಾದರೂ $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ಯಾವುದಕ್ಕೂ $\backslash ಆಲ್ಫಾ\; \backslash ಇನ್\; ಎಫ್$ಮತ್ತು $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ಯಾರಿಗಾದರೂ $\backslash ಆಲ್ಫಾ\; \backslash ಇನ್\; ಎಫ್$.

ಸಂಬಂಧಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಉಪಸ್ಥಳ

ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ರೇಖೀಯ ಉಪಸ್ಥಳಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಉಪಸ್ಥಳ- ಖಾಲಿ ಅಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗ $ಕೆ$ರೇಖೀಯ ಜಾಗ $ವಿ$ಅಂತಹ $ಕೆ$ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ವತಃ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ $ವಿ$ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೂಲಕ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಎಲ್ಲಾ ಉಪಸ್ಥಳಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ $\backslash mathrm(Lat)(V)$. ಒಂದು ಉಪವಿಭಾಗವು ಉಪಸ್ಥಳವಾಗಬೇಕಾದರೆ ಅದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ

1. ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ಗಾಗಿ $\backslash mathbf(x)\backslash \; in\; K$, ವೆಕ್ಟರ್ $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ಕೂಡ ಸೇರಿದ್ದರು $ಕೆ$, ಯಾವುದಕ್ಕೂ $\backslash ಆಲ್ಫಾ\backslash ಇನ್\; ಎಫ್$;
2. ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash \; in\; K$, ವೆಕ್ಟರ್ $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ಕೂಡ ಸೇರಿದ್ದರು $ಕೆ$.

ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:

ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash \; in\; K$, ವೆಕ್ಟರ್ $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ಕೂಡ ಸೇರಿದ್ದರು $ಕೆ$ಯಾವುದಕ್ಕೂ $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವು ಯಾವುದೇ ಜಾಗದ ಉಪಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ; ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜಾಗವು ಅದರ ಒಂದು ಉಪಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಉಪಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವಂತಅಥವಾ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ.

ಉಪಸ್ಥಳಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

• ಉಪಸ್ಥಳಗಳ ಯಾವುದೇ ಕುಟುಂಬದ ಛೇದಕವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಉಪಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ;
• ಉಪಸ್ಥಳಗಳ ಮೊತ್ತ $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ $ಕೆ\_ಐ$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • ಉಪಸ್ಥಳಗಳ ಸೀಮಿತ ಕುಟುಂಬದ ಮೊತ್ತವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಉಪಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು

ಫಾರ್ಮ್ನ ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತ

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಆಧಾರ. ಆಯಾಮ

ವಾಹಕಗಳು $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಅವುಗಳ ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಂಯೋಜನೆಯಿದ್ದರೆ:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಈ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: ವಾಹಕಗಳ ಅನಂತ ಸೆಟ್ $ವಿ$ಎಂದು ಕರೆದರು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಕೆಲವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂತಿಮಅದರ ಉಪವಿಭಾಗ, ಮತ್ತು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಅದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ಅಂತಿಮಉಪವಿಭಾಗವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಆಧಾರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

• ಯಾವುದೇ $ಎನ್$ಎನ್ $ಎನ್$- ಆಯಾಮದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ರೂಪ ಆಧಾರದಈ ಜಾಗ.
• ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳ ಸೀಮಿತ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ (ಅನನ್ಯವಾಗಿ) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

ಲೀನಿಯರ್ ಶೆಲ್

ಲೀನಿಯರ್ ಶೆಲ್ $\backslash mathcal\; V(X)$ಉಪವಿಭಾಗಗಳು $X$ರೇಖೀಯ ಜಾಗ $ವಿ$- ಎಲ್ಲಾ ಉಪಸ್ಥಳಗಳ ಛೇದಕ $ವಿ$ಒಳಗೊಂಡಿರುವ $X$.

ರೇಖೀಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಒಂದು ಉಪಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ $ವಿ$.

ಲೀನಿಯರ್ ಶೆಲ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಉಪಸ್ಥಳವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ $X$. ರೇಖೀಯ ಶೆಲ್ ಎಂದೂ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ $\backslash mathcal\; V(X)$- ಜಾಗ, ಮೇಲೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆಅನೇಕ $X$.

ಲೀನಿಯರ್ ಶೆಲ್ $\backslash mathcal\; V(X)$ನಿಂದ ಅಂಶಗಳ ವಿವಿಧ ಸೀಮಿತ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ $X$. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವೇಳೆ $X$ನಂತರ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ $\backslash mathcal\; V(X)$ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ $X$. ಹೀಗಾಗಿ, ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾವಾಗಲೂ ರೇಖೀಯ ಹಲ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ $X$ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ನಂತರ ಅದು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ $\backslash mathcal\; V(X)$ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಅದರ ಆಯಾಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

• ಶೂನ್ಯದ ಏಕೈಕ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗ $ಎಕ್ಸ್\backslash ನಿಂದ\; ಎಫ್$ಸೀಮಿತ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ $X$.
• ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.
• ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರವು ತನ್ನ ಮೇಲಿರುವ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಗಳು

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ

"ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್" ಲೇಖನದ ಬಗ್ಗೆ ವಿಮರ್ಶೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

ಸಾಹಿತ್ಯ

• ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ I. M.ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು. - 5 ನೇ. - ಎಮ್.: ಡೊಬ್ರೊಸ್ವೆಟ್, MTsNMO, 1998. - 319 ಪು. - ISBN 5-7913-0015-8.
• ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ I. M.ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು. 5 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ - ಎಮ್.: ಡೊಬ್ರೊಸ್ವೆಟ್, MTsNMO, 1998. - 320 ಪು. - ISBN 5-7913-0016-6.
• ಕೋಸ್ಟ್ರಿಕಿನ್ A. I., ಮನಿನ್ ಯು.ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತ. 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ - ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1986. - 304 ಪು.
• ಕೋಸ್ಟ್ರಿಕಿನ್ A.I.ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಚಯ. ಭಾಗ 2: ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ. - 3 ನೇ. - ಎಂ.: ನೌಕಾ., 2004. - 368 ಪು. - (ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ).
• ಮಾಲ್ಟ್ಸೆವ್ A. I.ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಗಳು. - 3 ನೇ. - ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1970. - 400 ಪು.

• ಪೋಸ್ಟ್ನಿಕೋವ್ M. M.ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ (ರೇಖಾಗಣಿತದ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು. ಸೆಮಿಸ್ಟರ್ II). - 2 ನೇ. - ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1986. - 400 ಪು.
• ಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಜಿ.ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳು. - ಎಂ.: ಮಿರ್, 1980. - 454 ಪು.
• ಇಲಿನ್ ವಿ.ಎ., ಪೊಜ್ನ್ಯಾಕ್ ಇ.ಜಿ.ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ. 6ನೇ ಆವೃತ್ತಿ - ಎಂ.: ಫಿಜ್ಮಾಟ್ಲಿಟ್, 2010. - 280 ಪು. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• ಹಲ್ಮೋಸ್ ಪಿ.ಪರಿಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳು. - ಎಂ.: ಫಿಜ್ಮಾಟ್ಗಿಜ್, 1963. - 263 ಪು.
• ಫಡ್ದೀವ್ ಡಿ.ಕೆ.ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು. - 5 ನೇ. - ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್. : ಲ್ಯಾನ್, 2007. - 416 ಪು.
• ಶಫರೆವಿಚ್ I. R., ರೆಮಿಜೋವ್ A. O.ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತ. - 1 ನೇ. - ಎಂ.: ಫಿಜ್ಮಾಟ್ಲಿಟ್, 2009. - 511 ಪು.
• ಶ್ರೇಯರ್ ಒ., ಸ್ಪೆರ್ನರ್ ಜಿ.ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಚಯ = ಡೈ ಅನಾಲಿಟಿಸ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಅಂಡ್ ಆಲ್ಜೀಬ್ರಾ / ಓಲ್ಶಾನ್ಸ್ಕಿ ಜಿ. (ಜರ್ಮನ್‌ನಿಂದ ಅನುವಾದ) ಐನ್‌ಫುಹ್ರಂಗ್. - M.-L.: ONTI, 1934. - 210 ಪು.

ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಾಹಕಗಳು ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ವಾಹಕಗಳ ವಿಧಗಳು ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸ್ಥಳಗಳ ವಿಧಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಇತರೆ

ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಒಂದು ಉದ್ಧೃತ ಭಾಗ

ಕುಟುಜೋವ್ ಅವರು ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೂಲಕ ನಡೆದರು, ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ನಿಲ್ಲಿಸಿ ಟರ್ಕಿಶ್ ಯುದ್ಧದಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಅಧಿಕಾರಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸೈನಿಕರಿಗೆ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಮಾತುಗಳನ್ನು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಬೂಟುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾ, ಅವನು ದುಃಖದಿಂದ ತನ್ನ ತಲೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಅಲ್ಲಾಡಿಸಿದನು ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್ ಜನರಲ್ಗೆ ತೋರಿಸಿದನು, ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಅವನು ಯಾರನ್ನೂ ದೂಷಿಸುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು ಎಷ್ಟು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವನಿಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ ಮುಂದೆ ಓಡಿಹೋದರು, ರೆಜಿಮೆಂಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಕಮಾಂಡರ್-ಇನ್-ಚೀಫ್ನ ಮಾತನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಹೆದರುತ್ತಿದ್ದರು. ಕುಟುಜೋವ್ ಹಿಂದೆ, ಯಾವುದೇ ಮಸುಕಾದ ಮಾತುಗಳು ಕೇಳಿಸಬಹುದಾದಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ, ಅವನ ಪರಿವಾರದಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು 20 ಜನರು ನಡೆದರು. ಪರಿವಾರದ ಸಜ್ಜನರು ತಮ್ಮತಮ್ಮಲ್ಲೇ ಮಾತಾಡಿಕೊಂಡು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಕ್ಕರು. ಸುಂದರ ಸಹಾಯಕ ಕಮಾಂಡರ್-ಇನ್-ಚೀಫ್ ಹತ್ತಿರ ನಡೆದರು. ಅದು ಪ್ರಿನ್ಸ್ ಬೋಲ್ಕೊನ್ಸ್ಕಿ. ಅವನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಅವನ ಒಡನಾಡಿ ನೆಸ್ವಿಟ್ಸ್ಕಿ, ಎತ್ತರದ ಸಿಬ್ಬಂದಿ ಅಧಿಕಾರಿ, ಅತ್ಯಂತ ದಪ್ಪ, ದಯೆ ಮತ್ತು ನಗುತ್ತಿರುವ ಸುಂದರ ಮುಖ ಮತ್ತು ತೇವದ ಕಣ್ಣುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಡೆದರು; ನೆಸ್ವಿಟ್ಸ್ಕಿ ತನ್ನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತಿದ್ದ ಕಪ್ಪು ಹುಸಾರ್ ಅಧಿಕಾರಿಯಿಂದ ಉತ್ಸುಕನಾಗಿದ್ದನು, ನಗುವುದನ್ನು ತಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಹುಸಾರ್ ಅಧಿಕಾರಿ, ನಗದೆ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಣ್ಣುಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ, ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ನ ಹಿಂಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗಂಭೀರ ಮುಖವನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಅವರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚಲನೆಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸಿದರು. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ ನುಣುಚಿಕೊಂಡು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಬಾಗಿದಾಗ, ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಹುಸಾರ್ ಅಧಿಕಾರಿ ನುಣುಚಿಕೊಂಡು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಬಾಗಿದ. ನೆಸ್ವಿಟ್ಸ್ಕಿ ನಕ್ಕರು ಮತ್ತು ತಮಾಷೆಯ ಮನುಷ್ಯನನ್ನು ನೋಡಲು ಇತರರನ್ನು ತಳ್ಳಿದರು.
ಕುಟುಜೋವ್ ತನ್ನ ಸಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರಬಂದ ಸಾವಿರಾರು ಕಣ್ಣುಗಳ ಹಿಂದೆ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಮತ್ತು ನಿಧಾನವಾಗಿ ನಡೆದರು, ತಮ್ಮ ಬಾಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿದ್ದರು. 3 ನೇ ಕಂಪನಿಯನ್ನು ಹಿಡಿದ ನಂತರ, ಅವರು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿದರು. ಈ ನಿಲುಗಡೆಯನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸದ ಪರಿವಾರವು ಅನೈಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಅವನ ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸಿತು.
- ಆಹ್, ತಿಮೋಖಿನ್! - ಕಮಾಂಡರ್-ಇನ್-ಚೀಫ್ ಹೇಳಿದರು, ಕ್ಯಾಪ್ಟನ್ ಅನ್ನು ಕೆಂಪು ಮೂಗಿನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಿ, ಅವರ ನೀಲಿ ಮೇಲುಡುಪುಗಾಗಿ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದರು.
ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ ಅವನನ್ನು ಖಂಡಿಸಿದಾಗ ತಿಮೋಖಿನ್ ಚಾಚಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಆ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಕಮಾಂಡರ್-ಇನ್-ಚೀಫ್ ಅವನನ್ನು ಉದ್ದೇಶಿಸಿ, ಕ್ಯಾಪ್ಟನ್ ನೇರವಾಗಿ ಎದ್ದುನಿಂತು, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಮಾಂಡರ್-ಇನ್-ಚೀಫ್ ಅವನತ್ತ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೊತ್ತು ನೋಡಿದ್ದರೆ, ಕ್ಯಾಪ್ಟನ್ ಅದನ್ನು ನಿಲ್ಲಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕುಟುಜೋವ್, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತನ್ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ನಾಯಕನಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಶುಭಾಶಯಗಳನ್ನು ಕೋರಿದನು, ಆತುರದಿಂದ ದೂರ ಸರಿದನು. ಕುಟುಜೋವ್ ಅವರ ಕೊಬ್ಬಿದ, ಗಾಯದಿಂದ ವಿರೂಪಗೊಂಡ ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಕೇವಲ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ನಗು ಹರಿಯಿತು.
"ಮತ್ತೊಬ್ಬ ಇಜ್ಮೈಲೋವೊ ಒಡನಾಡಿ," ಅವರು ಹೇಳಿದರು. - ಕೆಚ್ಚೆದೆಯ ಅಧಿಕಾರಿ! ನೀವು ಅದರಲ್ಲಿ ಸಂತೋಷವಾಗಿದ್ದೀರಾ? - ಕುಟುಜೋವ್ ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ ಅನ್ನು ಕೇಳಿದರು.
ಮತ್ತು ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್, ಕನ್ನಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ, ತನಗೆ ಅಗೋಚರವಾಗಿ, ಹುಸಾರ್ ಅಧಿಕಾರಿಯಲ್ಲಿ, ನಡುಗುತ್ತಾ, ಮುಂದೆ ಬಂದು ಉತ್ತರಿಸಿದ:
- ನನಗೆ ತುಂಬಾ ಸಂತೋಷವಾಗಿದೆ, ನಿಮ್ಮ ಶ್ರೇಷ್ಠತೆ.
"ನಾವೆಲ್ಲರೂ ದೌರ್ಬಲ್ಯಗಳಿಲ್ಲದೆ ಇಲ್ಲ" ಎಂದು ಕುಟುಜೋವ್ ನಗುತ್ತಾ ಅವನಿಂದ ದೂರ ಹೋದರು. "ಅವರಿಗೆ ಬಚ್ಚಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಭಕ್ತಿ ಇತ್ತು.
ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ ಅವರು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ ಎಂದು ಹೆದರುತ್ತಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಉತ್ತರಿಸಲಿಲ್ಲ. ಆ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅಧಿಕಾರಿಯು ಕ್ಯಾಪ್ಟನ್‌ನ ಮುಖವನ್ನು ಕೆಂಪು ಮೂಗು ಮತ್ತು ಹುದುಗಿಸಿದ ಹೊಟ್ಟೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದನು ಮತ್ತು ಅವನ ಮುಖವನ್ನು ಅನುಕರಿಸಿದನು ಮತ್ತು ನೆಸ್ವಿಟ್ಸ್ಕಿಗೆ ನಗುವುದನ್ನು ತಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ.
ಕುಟುಜೋವ್ ತಿರುಗಿದರು. ಅಧಿಕಾರಿಯು ತನಗೆ ಬೇಕಾದಂತೆ ತನ್ನ ಮುಖವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ಕುಟುಜೋವ್ ತಿರುಗಿದ ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ, ಅಧಿಕಾರಿ ಮುಖಭಂಗ ಮಾಡಲು ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಅತ್ಯಂತ ಗಂಭೀರ, ಗೌರವಾನ್ವಿತ ಮತ್ತು ಮುಗ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದರು.
ಮೂರನೆಯ ಕಂಪನಿಯು ಕೊನೆಯದು, ಮತ್ತು ಕುಟುಜೋವ್ ಚಿಂತನಶೀಲನಾದನು, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಏನನ್ನಾದರೂ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ರಾಜಕುಮಾರ ಆಂಡ್ರೇ ತನ್ನ ಪರಿವಾರದಿಂದ ಹೊರಬಂದು ಫ್ರೆಂಚ್ನಲ್ಲಿ ಸದ್ದಿಲ್ಲದೆ ಹೇಳಿದರು:
- ಈ ರೆಜಿಮೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿಳಿದ ಡೊಲೊಖೋವ್ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಜ್ಞಾಪನೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದ್ದೀರಿ.
- ಡೊಲೊಖೋವ್ ಎಲ್ಲಿದ್ದಾನೆ? - ಕುಟುಜೋವ್ ಕೇಳಿದರು.
ಡೊಲೊಖೋವ್, ಈಗಾಗಲೇ ಸೈನಿಕನ ಬೂದು ಬಣ್ಣದ ಮೇಲಂಗಿಯನ್ನು ಧರಿಸಿದ್ದನು, ಕರೆ ಮಾಡಲು ಕಾಯಲಿಲ್ಲ. ಸ್ಪಷ್ಟ ನೀಲಿ ಕಣ್ಣುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂಬಣ್ಣದ ಸೈನಿಕನ ತೆಳ್ಳಗಿನ ಆಕೃತಿಯು ಮುಂಭಾಗದಿಂದ ಹೊರಬಂದಿತು. ಅವರು ಕಮಾಂಡರ್-ಇನ್-ಚೀಫ್ ಬಳಿಗೆ ಬಂದು ಕಾವಲು ಹಾಕಿದರು.
- ಹಕ್ಕು? - ಕುಟುಜೋವ್ ಸ್ವಲ್ಪ ಗಂಟಿಕ್ಕಿ ಕೇಳಿದರು.
"ಇದು ಡೊಲೊಖೋವ್," ಪ್ರಿನ್ಸ್ ಆಂಡ್ರೇ ಹೇಳಿದರು.
- ಎ! - ಕುಟುಜೋವ್ ಹೇಳಿದರು. "ಈ ಪಾಠವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ." ಭಗವಂತ ಕರುಣಾಮಯಿ. ಮತ್ತು ನೀವು ಅರ್ಹರಾಗಿದ್ದರೆ ನಾನು ನಿನ್ನನ್ನು ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ.
ನೀಲಿ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಕಣ್ಣುಗಳು ಕಮಾಂಡರ್-ಇನ್-ಚೀಫ್ ಅನ್ನು ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ನಂತೆ ಧಿಕ್ಕರಿಸುವಂತೆ ನೋಡಿದವು, ಅವರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಅವರು ಕಮಾಂಡರ್-ಇನ್-ಚೀಫ್ ಅನ್ನು ಸೈನಿಕನಿಂದ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಮುಸುಕನ್ನು ಹರಿದು ಹಾಕಿದರು.
"ನಾನು ಒಂದು ವಿಷಯ ಕೇಳುತ್ತೇನೆ, ನಿಮ್ಮ ಶ್ರೇಷ್ಠತೆ," ಅವರು ತಮ್ಮ ಧ್ವನಿಯಲ್ಲಿ, ದೃಢವಾದ, ಆತುರದ ಧ್ವನಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದರು. "ದಯವಿಟ್ಟು ನನ್ನ ತಪ್ಪನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಚಕ್ರವರ್ತಿ ಮತ್ತು ರಷ್ಯಾಕ್ಕೆ ನನ್ನ ಭಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನನಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡಿ."
ಕುಟುಜೋವ್ ದೂರ ತಿರುಗಿದರು. ಅವನು ಕ್ಯಾಪ್ಟನ್ ತಿಮೊಖಿನ್‌ನಿಂದ ದೂರ ಸರಿದಾಗ ಅವನ ಕಣ್ಣುಗಳಲ್ಲಿ ಅದೇ ನಗು ಅವನ ಮುಖದಾದ್ಯಂತ ಮಿನುಗಿತು. ಡೊಲೊಖೋವ್ ತನಗೆ ಹೇಳಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಮತ್ತು ಅವನು ಅವನಿಗೆ ಹೇಳಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಯಸಿದವನಂತೆ ಅವನು ತಿರುಗಿ ಒರಗಿದನು, ಇದೆಲ್ಲವೂ ಅವನಿಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಬೇಸರ ತಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದೆಲ್ಲವೂ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಅವನು ಬಹಳ ಸಮಯದಿಂದ ತಿಳಿದಿದ್ದನು. ಅವನಿಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು. ಅವನು ತಿರುಗಿ ಸುತ್ತಾಡಿಕೊಂಡುಬರುವವನ ಕಡೆಗೆ ಹೋದನು.
ರೆಜಿಮೆಂಟ್ ಕಂಪನಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಸರ್ಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು ಮತ್ತು ಬ್ರೌನೌದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ನಿಯೋಜಿತ ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್ಗೆ ತೆರಳಿತು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಮೆರವಣಿಗೆಗಳ ನಂತರ ಬೂಟುಗಳು, ಉಡುಗೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯಲು ಆಶಿಸಿದರು.
- ನೀವು ನನ್ನ ಮೇಲೆ ಹಕ್ಕು ಸಾಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಪ್ರೊಖೋರ್ ಇಗ್ನಾಟಿಚ್? - ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ ಹೇಳಿದರು, 3 ನೇ ಕಂಪನಿಯ ಸುತ್ತಲೂ ಚಾಲನೆ ಮಾಡುತ್ತಾ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತಾ ಅದರ ಮುಂದೆ ನಡೆಯುತ್ತಿದ್ದ ಕ್ಯಾಪ್ಟನ್ ತಿಮೋಖಿನ್ ಅವರನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದರು. ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ ಮುಖವು ಸಂತೋಷದಿಂದ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ವಿಮರ್ಶೆಯ ನಂತರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂತೋಷವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿತು. - ರಾಜಮನೆತನದ ಸೇವೆ ... ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ ... ಇನ್ನೊಂದು ಬಾರಿ ನೀವು ಅದನ್ನು ಮುಂಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳಿಸುತ್ತೀರಿ ... ನಾನು ಮೊದಲು ಕ್ಷಮೆಯಾಚಿಸುತ್ತೇನೆ, ನನಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ... ನಾನು ನಿಮಗೆ ತುಂಬಾ ಧನ್ಯವಾದಗಳು! - ಮತ್ತು ಅವನು ತನ್ನ ಕೈಯನ್ನು ಕಂಪನಿಯ ಕಮಾಂಡರ್ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದನು.
- ಕರುಣೆಯ ಸಲುವಾಗಿ, ಜನರಲ್, ನಾನು ಧೈರ್ಯ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ! - ಕ್ಯಾಪ್ಟನ್ ಉತ್ತರಿಸಿದನು, ಅವನ ಮೂಗಿನಿಂದ ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿ, ನಗುತ್ತಾ ಮತ್ತು ಎರಡು ಮುಂಭಾಗದ ಹಲ್ಲುಗಳ ಕೊರತೆಯನ್ನು ನಗುವಿನೊಂದಿಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದನು, ಇಸ್ಮಾಯೆಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಟ್ನಿಂದ ಹೊಡೆದನು.
- ಹೌದು, ನಾನು ಅವನನ್ನು ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಶ್ರೀ ಡೊಲೊಖೋವ್ಗೆ ಹೇಳಿ, ಇದರಿಂದ ಅವನು ಶಾಂತವಾಗಿರಬಹುದು. ಹೌದು, ದಯವಿಟ್ಟು ಹೇಳಿ, ಅವನು ಹೇಗಿದ್ದಾನೆ, ಅವನು ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಕೇಳಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ? ಮತ್ತು ಅಷ್ಟೆ ...
"ಅವರು ತಮ್ಮ ಸೇವೆಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸುತ್ತಾರೆ, ನಿಮ್ಮ ಗೌರವಾನ್ವಿತ ... ಆದರೆ ಚಾರ್ಟರ್ ..." ಎಂದು ತಿಮೋಖಿನ್ ಹೇಳಿದರು.
- ಏನು, ಯಾವ ಪಾತ್ರ? - ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ ಕೇಳಿದರು.
"ನಿಮ್ಮ ಶ್ರೇಷ್ಠತೆಯು ದಿನಗಟ್ಟಲೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ," ಕ್ಯಾಪ್ಟನ್ ಹೇಳಿದರು, "ಅವರು ಬುದ್ಧಿವಂತರು ಮತ್ತು ಕಲಿತವರು ಮತ್ತು ಕರುಣಾಮಯಿ." ಅದೊಂದು ಮೃಗ. ಅವರು ಪೋಲೆಂಡ್ನಲ್ಲಿ ಯಹೂದಿಯನ್ನು ಕೊಂದರು, ನೀವು ದಯವಿಟ್ಟು ...
"ಸರಿ, ಹೌದು, ಸರಿ," ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ ಹೇಳಿದರು, "ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ವಿಷಾದಿಸಬೇಕು." ಯುವಕದುರದೃಷ್ಟದಲ್ಲಿ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಉತ್ತಮ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ... ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ...
"ನಾನು ಕೇಳುತ್ತಿದ್ದೇನೆ, ನಿಮ್ಮ ಶ್ರೇಷ್ಠತೆ," ತಿಮೊಖಿನ್ ನಗುತ್ತಾ, ಬಾಸ್ನ ಇಚ್ಛೆಯನ್ನು ಅವರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ ಭಾಸವಾಗುವಂತೆ ಹೇಳಿದರು.
- ಸರಿ, ಹೌದು, ಹೌದು, ಹೌದು.
ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ ಡೊಲೊಖೋವ್ನನ್ನು ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಂಡನು ಮತ್ತು ಅವನ ಕುದುರೆಯನ್ನು ಹಿಂಬಾಲಿಸಿದನು.
"ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲು, ಎಪೌಲೆಟ್ಗಳು," ಅವರು ಅವನಿಗೆ ಹೇಳಿದರು.
ಡೊಲೊಖೋವ್ ಸುತ್ತಲೂ ನೋಡಿದನು, ಏನನ್ನೂ ಹೇಳಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವನ ಮೂದಲಿಕೆಯಿಂದ ನಗುತ್ತಿರುವ ಬಾಯಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಿಲ್ಲ.
"ಸರಿ, ಅದು ಒಳ್ಳೆಯದು," ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ ಮುಂದುವರಿಸಿದರು. "ಜನರು ನನ್ನಿಂದ ಒಂದು ಲೋಟ ವೋಡ್ಕಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ" ಎಂದು ಸೈನಿಕರು ಕೇಳಲು ಅವರು ಸೇರಿಸಿದರು. - ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಧನ್ಯವಾದಗಳು! ದೇವರ ಆಶೀರ್ವಾದ! - ಮತ್ತು ಅವನು, ಕಂಪನಿಯನ್ನು ಹಿಂದಿಕ್ಕಿ, ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಓಡಿಸಿದನು.
“ಸರಿ, ಅವನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಒಳ್ಳೆಯ ಮನುಷ್ಯ; "ನೀವು ಅವನೊಂದಿಗೆ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಬಹುದು" ಎಂದು ಸಬಾಲ್ಟರ್ನ್ ತಿಮೋಖಿನ್ ಅವನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತಿದ್ದ ಅಧಿಕಾರಿಗೆ ಹೇಳಿದರು.
“ಒಂದು ಪದ, ಕೆಂಪು!... (ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ ಅನ್ನು ಕೆಂಪು ರಾಜ ಎಂದು ಅಡ್ಡಹೆಸರು ಮಾಡಲಾಯಿತು),” ಸಬಾಲ್ಟರ್ನ್ ಅಧಿಕಾರಿ ನಗುತ್ತಾ ಹೇಳಿದರು.
ಪರಾಮರ್ಶೆಯ ನಂತರ ಅಧಿಕಾರಿಗಳ ಸಂತಸದ ಚಿತ್ತ ಸೈನಿಕರಲ್ಲಿಯೂ ಹಬ್ಬಿತು. ಕಂಪನಿಯು ಲವಲವಿಕೆಯಿಂದ ನಡೆಯಿತು. ಎಲ್ಲಾ ಕಡೆಯಿಂದ ಸೈನಿಕರ ಧ್ವನಿಗಳು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದವು.
- ಅವರು ಏನು ಹೇಳಿದರು, ವಕ್ರ ಕುಟುಜೋವ್, ಒಂದು ಕಣ್ಣಿನ ಬಗ್ಗೆ?
- ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇಲ್ಲ! ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಕ್ರವಾಗಿದೆ.
- ಇಲ್ಲ ... ಸಹೋದರ, ಅವರು ನಿಮಗಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಬೂಟುಗಳು ಮತ್ತು ಟಕ್ಸ್ - ನಾನು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನೋಡಿದೆ ...
- ಅವನು, ನನ್ನ ಸಹೋದರ, ನನ್ನ ಪಾದಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನೋಡಬಹುದು ... ಚೆನ್ನಾಗಿ! ಯೋಚಿಸಿ...
- ಮತ್ತು ಇತರ ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್, ಅವನೊಂದಿಗೆ, ಸೀಮೆಸುಣ್ಣದಿಂದ ಹೊದಿಸಿದಂತೆ. ಹಿಟ್ಟಿನಂತೆ, ಬಿಳಿ. ನಾನು ಚಹಾ, ಅವರು ಮದ್ದುಗುಂಡುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸ್ವಚ್ಛಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ!
- ಏನು, ಫೆಡೆಶೋ!... ಜಗಳ ಪ್ರಾರಂಭವಾದಾಗ, ನೀವು ಹತ್ತಿರ ನಿಂತಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳಿದ್ದೀರಾ? ಅವರೆಲ್ಲರೂ ಬುನಾಪಾರ್ಟೆ ಸ್ವತಃ ಬ್ರೂನೋವೊದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದರು.
- ಬುನಾಪಾರ್ಟೆ ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ! ಅವನು ಸುಳ್ಳು ಹೇಳುತ್ತಿದ್ದಾನೆ, ಮೂರ್ಖ! ಅವನಿಗೆ ಏನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ! ಈಗ ಪ್ರಶ್ಯನ್ ಬಂಡಾಯವೆದ್ದಿದ್ದಾನೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್ ಅವನನ್ನು ಸಮಾಧಾನಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅವನು ಶಾಂತಿಯನ್ನು ಮಾಡಿದ ತಕ್ಷಣ, ಬುನಾಪಾರ್ಟೆಯೊಂದಿಗೆ ಯುದ್ಧವು ತೆರೆಯುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಬುನಾಪಾರ್ಟೆ ಬ್ರೂನೋವೊದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ! ಅದು ಅವನು ಮೂರ್ಖ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಆಲಿಸಿ.
- ನೋಡಿ, ಡ್ಯಾಮ್ ಲಾಡ್ಜರ್ಸ್! ಐದನೇ ಕಂಪನಿ, ನೋಡಿ, ಈಗಾಗಲೇ ಹಳ್ಳಿಗೆ ತಿರುಗುತ್ತಿದೆ, ಅವರು ಗಂಜಿ ಬೇಯಿಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ತಲುಪುವುದಿಲ್ಲ.
- ನನಗೆ ಕ್ರ್ಯಾಕರ್ ನೀಡಿ, ಡ್ಯಾಮ್.
- ನೀವು ನಿನ್ನೆ ನನಗೆ ತಂಬಾಕು ನೀಡಿದ್ದೀರಾ? ಅಷ್ಟೇ, ಸಹೋದರ. ಸರಿ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೋಗುತ್ತೇವೆ, ದೇವರು ನಿಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಇರಲಿ.
"ಕನಿಷ್ಠ ಅವರು ನಿಲ್ಲಿಸಿದರು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಇನ್ನೂ ಐದು ಮೈಲುಗಳಷ್ಟು ತಿನ್ನುವುದಿಲ್ಲ."
- ಜರ್ಮನ್ನರು ನಮಗೆ ಸುತ್ತಾಡಿಕೊಂಡುಬರುವವರನ್ನು ಹೇಗೆ ಕೊಟ್ಟರು ಎಂಬುದು ಸಂತೋಷವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಹೋದಾಗ, ತಿಳಿಯಿರಿ: ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ!
"ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ, ಸಹೋದರ, ಜನರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕೋಪಗೊಂಡಿದ್ದಾರೆ." ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಪೋಲ್ ಎಂದು ತೋರುತ್ತಿತ್ತು, ಎಲ್ಲವೂ ರಷ್ಯಾದ ಕಿರೀಟದಿಂದ ಬಂದವು; ಮತ್ತು ಈಗ, ಸಹೋದರ, ಅವನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಜರ್ಮನ್ ಆಗಿದ್ದಾನೆ.
– ಮುಂದೆ ಗೀತರಚನೆಕಾರರು! - ನಾಯಕನ ಕೂಗು ಕೇಳಿಸಿತು.
ಮತ್ತು ಕಂಪನಿಯ ಮುಂದೆ ವಿವಿಧ ಸಾಲುಗಳಿಂದ ಇಪ್ಪತ್ತು ಜನರು ಓಡಿಹೋದರು. ಡ್ರಮ್ಮರ್ ಹಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದನು ಮತ್ತು ಗೀತರಚನೆಕಾರರ ಕಡೆಗೆ ತಿರುಗಿದನು, ಮತ್ತು ತನ್ನ ಕೈಯನ್ನು ಬೀಸುತ್ತಾ, ಎಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಸೈನಿಕನ ಹಾಡನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದನು, ಅದು ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು: "ಬೆಳಗಾಗಲಿಲ್ಲ, ಸೂರ್ಯ ಮುರಿದುಹೋದನು ..." ಮತ್ತು ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಂಡಿತು: "ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಹೋದರರೇ, ನಮಗೆ ಮತ್ತು ಕಾಮೆನ್ಸ್ಕಿಯ ತಂದೆಗೆ ಮಹಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ ..." ಈ ಹಾಡನ್ನು ಟರ್ಕಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈಗ ಆಸ್ಟ್ರಿಯಾದಲ್ಲಿ ಹಾಡಲಾಗಿದೆ, "ಕಾಮೆನ್ಸ್ಕಿಯ ತಂದೆ" ಬದಲಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾದ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ: "ಕುಟುಜೋವ್ ಅವರ ತಂದೆ."
ಸೈನಿಕನಂತೆ ಇವುಗಳನ್ನು ಕಿತ್ತುಹಾಕಿದ ಕೊನೆಯ ಪದಗಳುಮತ್ತು ತನ್ನ ಕೈಗಳನ್ನು ಬೀಸುತ್ತಾ, ಅವನು ನೆಲಕ್ಕೆ ಏನನ್ನಾದರೂ ಎಸೆಯುತ್ತಿರುವಂತೆ, ಡ್ರಮ್ಮರ್, ಸುಮಾರು ನಲವತ್ತು ವರ್ಷದ ಶುಷ್ಕ ಮತ್ತು ಸುಂದರ ಸೈನಿಕ, ಗೀತರಚನೆಕಾರ ಸೈನಿಕರನ್ನು ನಿಷ್ಠುರವಾಗಿ ನೋಡಿದನು ಮತ್ತು ಅವನ ಕಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದನು. ನಂತರ, ಎಲ್ಲಾ ಕಣ್ಣುಗಳು ಅವನ ಮೇಲೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ಅವನು ತನ್ನ ತಲೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಕೆಲವು ಅದೃಶ್ಯ, ಅಮೂಲ್ಯವಾದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಎರಡೂ ಕೈಗಳಿಂದ ಎತ್ತುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿದ್ದನು, ಹಲವಾರು ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಕಾಲ ಅದನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಹಿಡಿದುಕೊಂಡು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಅದನ್ನು ಎಸೆದನು:
ಓಹ್, ನೀನು, ನನ್ನ ಮೇಲಾವರಣ, ನನ್ನ ಮೇಲಾವರಣ!
“ನನ್ನ ಹೊಸ ಮೇಲಾವರಣ...”, ಇಪ್ಪತ್ತು ಧ್ವನಿಗಳು ಪ್ರತಿಧ್ವನಿಸಿದವು, ಮತ್ತು ಸ್ಪೂನ್ ಹೋಲ್ಡರ್, ತನ್ನ ಮದ್ದುಗುಂಡುಗಳ ಭಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ವೇಗವಾಗಿ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಜಿಗಿದು ಕಂಪನಿಯ ಮುಂದೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ನಡೆದನು, ಅವನ ಭುಜಗಳನ್ನು ಸರಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ತನ್ನ ಚಮಚಗಳಿಂದ ಯಾರನ್ನಾದರೂ ಬೆದರಿಸಿದನು. ಸೈನಿಕರು, ಹಾಡಿನ ತಾಳಕ್ಕೆ ತಮ್ಮ ತೋಳುಗಳನ್ನು ಬೀಸುತ್ತಾ, ಅನೈಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಅವರ ಪಾದಗಳನ್ನು ಹೊಡೆಯುತ್ತಾ ದೀರ್ಘ ದಾಪುಗಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಡೆದರು. ಕಂಪನಿಯ ಹಿಂದಿನಿಂದ ಚಕ್ರಗಳ ಶಬ್ದಗಳು, ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್‌ಗಳ ಕುಗ್ಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಕುದುರೆಗಳ ತುಳಿತದ ಶಬ್ದಗಳು ಕೇಳಿದವು.
ಕುಟುಜೋವ್ ಮತ್ತು ಅವನ ಪರಿವಾರದವರು ನಗರಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತಿದ್ದರು. ಕಮಾಂಡರ್-ಇನ್-ಚೀಫ್ ಜನರು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ನಡೆಯಲು ಸಂಕೇತವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಮತ್ತು ಅವರ ಮುಖದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವರ ಪರಿವಾರದ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಡಿನ ಶಬ್ದಗಳಿಂದ, ನೃತ್ಯ ಮಾಡುವ ಸೈನಿಕ ಮತ್ತು ಸೈನಿಕರನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಸಂತೋಷವು ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಂಪನಿಯು ಹರ್ಷಚಿತ್ತದಿಂದ ಮತ್ತು ಚುರುಕಾಗಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಗಾಡಿಯು ಕಂಪನಿಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿಕ್ಕಿದ ಬಲ ಪಾರ್ಶ್ವದಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಅನೈಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ನೀಲಿ ಕಣ್ಣಿನ ಸೈನಿಕ ಡೊಲೊಖೋವ್ ಅವರ ಕಣ್ಣಿಗೆ ಬಿದ್ದರು, ಅವರು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಚುರುಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿ ಹಾಡಿನ ಬಡಿತಕ್ಕೆ ನಡೆದು ಅವರ ಮುಖಗಳನ್ನು ನೋಡಿದರು. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವವರು, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಂಪನಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಗದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರ ಬಗ್ಗೆ ಅವರು ವಿಷಾದಿಸುತ್ತಿದ್ದರಂತೆ. ರೆಜಿಮೆಂಟಲ್ ಕಮಾಂಡರ್ ಅನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವ ಕುಟುಜೋವ್ ಅವರ ಪರಿವಾರದ ಹುಸಾರ್ ಕಾರ್ನೆಟ್ ಗಾಡಿಯ ಹಿಂದೆ ಬಿದ್ದು ಡೊಲೊಖೋವ್‌ಗೆ ಓಡಿಸಿದರು.
ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹುಸಾರ್ ಕಾರ್ನೆಟ್ ಝೆರ್ಕೊವ್ ಡೊಲೊಖೋವ್ ನೇತೃತ್ವದ ಹಿಂಸಾತ್ಮಕ ಸಮಾಜಕ್ಕೆ ಸೇರಿದವರು. ವಿದೇಶದಲ್ಲಿ, ಜೆರ್ಕೊವ್ ಡೊಲೊಖೋವ್ ಅವರನ್ನು ಸೈನಿಕನಾಗಿ ಭೇಟಿಯಾದರು, ಆದರೆ ಅವರನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಿಲ್ಲ. ಈಗ, ಕೆಳಗಿಳಿದ ವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕುಟುಜೋವ್ ಅವರ ಸಂಭಾಷಣೆಯ ನಂತರ, ಅವರು ಹಳೆಯ ಸ್ನೇಹಿತನ ಸಂತೋಷದಿಂದ ಅವನ ಕಡೆಗೆ ತಿರುಗಿದರು:
- ಆತ್ಮೀಯ ಸ್ನೇಹಿತ, ಹೇಗಿದ್ದೀಯಾ? - ಅವರು ಹಾಡಿನ ಧ್ವನಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದರು, ಕಂಪನಿಯ ಹೆಜ್ಜೆಯೊಂದಿಗೆ ತನ್ನ ಕುದುರೆಯ ಹೆಜ್ಜೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ.
- ನಾನು ಹೇಗಿದ್ದೇನೆ? - ಡೊಲೊಖೋವ್ ತಣ್ಣನೆಯ ಉತ್ತರ, - ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ.
ಉತ್ಸಾಹಭರಿತ ಹಾಡು ಝೆರ್ಕೋವ್ ಮಾತನಾಡುವ ಕೆನ್ನೆಯ ಸಂತೋಷದ ಸ್ವರಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಡೊಲೊಖೋವ್ ಅವರ ಉತ್ತರಗಳ ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕ ಶೀತಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡಿತು.
- ಸರಿ, ನಿಮ್ಮ ಬಾಸ್ ಜೊತೆ ನೀವು ಹೇಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ? - ಝೆರ್ಕೋವ್ ಕೇಳಿದರು.
- ಏನೂ ಇಲ್ಲ, ಒಳ್ಳೆಯ ಜನರು. ನೀವು ಪ್ರಧಾನ ಕಛೇರಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಿದ್ದೀರಿ?
- ಎರಡನೇ, ಕರ್ತವ್ಯದಲ್ಲಿ.
ಅವರು ಮೌನವಾಗಿದ್ದರು.
"ಅವಳು ತನ್ನ ಬಲ ತೋಳಿನಿಂದ ಫಾಲ್ಕನ್ ಅನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಿದಳು" ಎಂದು ಹಾಡು ಹೇಳಿತು, ಅನೈಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಹರ್ಷಚಿತ್ತದಿಂದ, ಹರ್ಷಚಿತ್ತದಿಂದ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿತು. ಹಾಡಿನ ಧ್ವನಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡದಿದ್ದರೆ ಅವರ ಸಂಭಾಷಣೆ ಬಹುಶಃ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತಿತ್ತು.
- ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್ನರನ್ನು ಸೋಲಿಸಲಾಯಿತು ಎಂಬುದು ನಿಜವೇ? - ಡೊಲೊಖೋವ್ ಕೇಳಿದರು.
"ದೆವ್ವವು ಅವರಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ" ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.
"ನನಗೆ ಸಂತೋಷವಾಗಿದೆ," ಡೊಲೊಖೋವ್ ಹಾಡಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಿದರು.
"ಸರಿ, ಸಂಜೆ ನಮ್ಮ ಬಳಿಗೆ ಬನ್ನಿ, ನೀವು ಫೇರೋನನ್ನು ಗಿರವಿ ಇಡುತ್ತೀರಿ" ಎಂದು ಜೆರ್ಕೋವ್ ಹೇಳಿದರು.
- ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಬಳಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಹಣವಿದೆಯೇ?
- ಬನ್ನಿ.
- ಇದನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾನು ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ ಮಾಡಿದೆ. ಅವರು ತಯಾರಿಸುವವರೆಗೂ ನಾನು ಕುಡಿಯುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಜೂಜಾಡುವುದಿಲ್ಲ.
- ಸರಿ, ಮೊದಲ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ...
- ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
ಮತ್ತೆ ಅವರು ಮೌನವಾದರು.
"ನಿಮಗೆ ಏನಾದರೂ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ನೀವು ಒಳಗೆ ಬನ್ನಿ, ಪ್ರಧಾನ ಕಚೇರಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ..." ಝೆರ್ಕೋವ್ ಹೇಳಿದರು.
ಡೊಲೊಖೋವ್ ನಕ್ಕರು.
- ನೀವು ಚಿಂತಿಸದಿರುವುದು ಉತ್ತಮ. ನನಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ನಾನು ಕೇಳುವುದಿಲ್ಲ, ನಾನೇ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ.
- ಸರಿ, ನಾನು ತುಂಬಾ ...
- ಸರಿ, ನಾನು ಕೂಡ.
- ವಿದಾಯ.
- ಆರೋಗ್ಯವಾಗಿರಿ ...
... ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ದೂರ,
ಮನೆಯ ಕಡೆ...
ಝೆರ್ಕೋವ್ ಕುದುರೆಗೆ ತನ್ನ ಸ್ಪರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮುಟ್ಟಿದನು, ಅದು ರೋಮಾಂಚನಗೊಂಡು, ಮೂರು ಬಾರಿ ಒದೆಯಿತು, ಯಾವುದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು ಎಂದು ತಿಳಿಯದೆ, ನಿರ್ವಹಿಸಿ ಮತ್ತು ನಾಗಾಲೋಟದಿಂದ ಹೊರಬಂದು, ಕಂಪನಿಯನ್ನು ಹಿಂದಿಕ್ಕಿ ಮತ್ತು ಗಾಡಿಯನ್ನು ಹಿಡಿದನು, ಹಾಡಿನ ಬಡಿತಕ್ಕೆ.

ವಿಮರ್ಶೆಯಿಂದ ಹಿಂತಿರುಗಿದ ಕುಟುಜೋವ್, ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್ ಜನರಲ್ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ, ತನ್ನ ಕಚೇರಿಗೆ ಹೋದನು ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕನನ್ನು ಕರೆದು, ಆಗಮಿಸುವ ಪಡೆಗಳ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ದಾಖಲೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಆದೇಶಿಸಿದನು ಮತ್ತು ಸುಧಾರಿತ ಸೈನ್ಯವನ್ನು ಆಜ್ಞಾಪಿಸಿದ ಆರ್ಚ್ಡ್ಯೂಕ್ ಫರ್ಡಿನ್ಯಾಂಡ್ ಅವರಿಂದ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಪತ್ರಗಳು. . ಪ್ರಿನ್ಸ್ ಆಂಡ್ರೇ ಬೊಲ್ಕೊನ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಕಮಾಂಡರ್-ಇನ್-ಚೀಫ್ ಕಚೇರಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ದಾಖಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಿದರು. ಕುಟುಜೋವ್ ಮತ್ತು ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್ ಸದಸ್ಯ ಗೋಫ್ಕ್ರಿಗ್ಸ್ರಾಟ್ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಹಾಕಲಾದ ಯೋಜನೆಯ ಮುಂದೆ ಕುಳಿತರು.
"ಆಹ್ ..." ಎಂದು ಕುಟುಜೋವ್ ಹೇಳಿದರು, ಬೊಲ್ಕೊನ್ಸ್ಕಿಯನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡುತ್ತಾ, ಈ ಪದದಿಂದ ಅವನು ಸಹಾಯಕನನ್ನು ಕಾಯಲು ಆಹ್ವಾನಿಸಿದಂತೆ ಮತ್ತು ಫ್ರೆಂಚ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಸಂಭಾಷಣೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದನು.
"ನಾನು ಒಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಿದ್ದೇನೆ, ಜನರಲ್," ಕುಟುಜೋವ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಧ್ವನಿಯ ಆಹ್ಲಾದಕರ ಅನುಗ್ರಹದಿಂದ ಹೇಳಿದರು, ಇದು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಮಾತನಾಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಕೇಳಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸಿತು. ಕುಟುಜೋವ್ ಸ್ವತಃ ತನ್ನನ್ನು ಕೇಳುವುದನ್ನು ಆನಂದಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. "ಜನರಲ್, ನಾನು ಒಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ, ಈ ವಿಷಯವು ನನ್ನ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಬಯಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹಿಸ್ ಮೆಜೆಸ್ಟಿ ಚಕ್ರವರ್ತಿ ಫ್ರಾಂಜ್ ಅವರ ಇಚ್ಛೆಯು ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ನೆರವೇರುತ್ತದೆ." ನಾನು ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಆರ್ಚ್‌ಡ್ಯೂಕ್‌ಗೆ ಸೇರುತ್ತಿದ್ದೆ. ಮತ್ತು ನನ್ನ ಗೌರವವನ್ನು ನಂಬಿರಿ, ಆಸ್ಟ್ರಿಯಾವು ತುಂಬಾ ಹೇರಳವಾಗಿರುವ ನನಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ನುರಿತ ಜನರಲ್‌ಗೆ ಸೈನ್ಯದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಆಜ್ಞೆಯನ್ನು ಹಸ್ತಾಂತರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಗುರುತರ ಜವಾಬ್ದಾರಿಯನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವುದು ನನಗೆ ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ ಸಂತೋಷವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳು ನಮಗಿಂತ ಪ್ರಬಲವಾಗಿವೆ, ಜನರಲ್.
ಮತ್ತು ಕುಟುಜೋವ್ ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಿರುವಂತೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮುಗುಳ್ನಕ್ಕು: “ನನ್ನನ್ನು ನಂಬದಿರಲು ನಿಮಗೆ ಎಲ್ಲ ಹಕ್ಕಿದೆ, ಮತ್ತು ನೀವು ನನ್ನನ್ನು ನಂಬುತ್ತೀರೋ ಇಲ್ಲವೋ ಎಂದು ನಾನು ಹೆದರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ನನಗೆ ಹೇಳಲು ನಿಮಗೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ”
ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್ ಜನರಲ್ ಅತೃಪ್ತರಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಅದೇ ಸ್ವರದಲ್ಲಿ ಕುಟುಜೋವ್‌ಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ.
"ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ," ಅವರು ಮುಂಗೋಪದ ಮತ್ತು ಕೋಪದ ಸ್ವರದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದರು, ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಿದ್ದ ಪದಗಳ ಹೊಗಳಿಕೆಯ ಅರ್ಥಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, "ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರಣದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಶ್ರೇಷ್ಠತೆಯ ಭಾಗವಹಿಸುವಿಕೆಯು ಅವರ ಮೆಜೆಸ್ಟಿಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಮೌಲ್ಯಯುತವಾಗಿದೆ; ಆದರೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿಧಾನಗತಿಯು ಅದ್ಭುತವಾದ ರಷ್ಯಾದ ಪಡೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವರ ಕಮಾಂಡರ್-ಇನ್-ಚೀಫ್ ಅವರು ಯುದ್ಧಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಯ್ಯಲು ಒಗ್ಗಿಕೊಂಡಿರುವ ಪ್ರಶಸ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಸಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ, ”ಎಂದು ಅವರು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ನುಡಿಗಟ್ಟು ಮುಗಿಸಿದರು.
ಕುಟುಜೋವ್ ತನ್ನ ನಗುವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ನಮಸ್ಕರಿಸಿದನು.
"ಮತ್ತು ನನಗೆ ತುಂಬಾ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಹೈನೆಸ್ ಆರ್ಚ್‌ಡ್ಯೂಕ್ ಫರ್ಡಿನಾಂಡ್ ನನ್ನನ್ನು ಗೌರವಿಸಿದ ಕೊನೆಯ ಪತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಜನರಲ್ ಮ್ಯಾಕ್‌ನಂತಹ ಕೌಶಲ್ಯಪೂರ್ಣ ಸಹಾಯಕನ ನೇತೃತ್ವದಲ್ಲಿ ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್ ಪಡೆಗಳು ಈಗ ನಿರ್ಣಾಯಕ ವಿಜಯವನ್ನು ಗೆದ್ದಿವೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ನಮ್ಮ ಸಹಾಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ”ಕುಟುಜೋವ್ ಹೇಳಿದರು.
ಜನರಲ್ ಗಂಟಿಕ್ಕಿದ. ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್ನರ ಸೋಲಿನ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಸುದ್ದಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರತಿಕೂಲವಾದ ವದಂತಿಗಳನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸುವ ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ; ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್ನರ ವಿಜಯದ ಬಗ್ಗೆ ಕುಟುಜೋವ್ನ ಊಹೆಯು ಅಪಹಾಸ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಕುಟುಜೋವ್ ಸೌಮ್ಯವಾಗಿ ಮುಗುಳ್ನಕ್ಕು, ಇನ್ನೂ ಅದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ, ಇದನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಹಕ್ಕಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದರು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮ್ಯಾಕ್‌ನ ಸೈನ್ಯದಿಂದ ಅವನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಕೊನೆಯ ಪತ್ರವು ಅವನಿಗೆ ವಿಜಯ ಮತ್ತು ಸೈನ್ಯದ ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತಿಳಿಸಿತು.
"ಈ ಪತ್ರವನ್ನು ನನಗೆ ಇಲ್ಲಿ ಕೊಡು" ಎಂದು ಕುಟುಜೋವ್ ರಾಜಕುಮಾರ ಆಂಡ್ರೇ ಕಡೆಗೆ ತಿರುಗಿದರು. - ನೀವು ದಯವಿಟ್ಟು ನೋಡಿ. - ಮತ್ತು ಕುಟುಜೋವ್, ತನ್ನ ತುಟಿಗಳ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಹಾಸ್ಯಾಸ್ಪದ ಸ್ಮೈಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ, ಆರ್ಚ್‌ಡ್ಯೂಕ್ ಫರ್ಡಿನಾಂಡ್‌ನ ಪತ್ರದಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್ ಜನರಲ್‌ಗೆ ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಓದಿದನು: “ವಿರ್ ಹ್ಯಾಬೆನ್ ವೋಲ್ಕೊಮೆನ್ ಜುಸಮ್ಮೆಂಗೆಹಲ್ಟೆನೆ ಕ್ರಾಫ್ಟೆ, ನಾಹೆ ಆನ್ 70,000 ಮನ್, ಉಮ್ ಡೆನ್ ಫೀಂಡ್, ವೆನ್ನರ್ ಡೆನ್ ಲೆಚ್ ಪಾಸಿರ್ಟೆ, ಆಂಗ್ರಿಫೆನ್ ಉಂಡ್ ಸ್ಕ್ಲಾಗೆನ್ ಜು ಕೊನ್ನೆನ್. ವೈರ್ ಕೊನ್ನೆನ್, ಡಾ ವೈರ್ ಮೈಸ್ಟರ್ ವಾನ್ ಉಲ್ಮ್ ಸಿಂಡ್, ಡೆನ್ ವೋರ್ಥೇಲ್, ಔಚ್ ವಾನ್ ಬೀಡೆನ್ ಯುಫೆರಿಯನ್ ಡೆರ್ ಡೊನೌ ಮೈಸ್ಟರ್ ಜು ಬ್ಲೀಬೆನ್, ನಿಚ್ಟ್ ವರ್ಲಿಯೆರೆನ್; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine ಕಮ್ಯುನಿಕೇಶನ್ಸ್ Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere woenztech ಟ್ರೀವ್, alabald vereitelien. ವೈರ್ ವೆರ್ಡೆನ್ ಔಫ್ ಸೋಲ್ಚೆ ವೈಸ್ ಡೆನ್ ಝೀಟ್ಪಂಕ್ಟ್, ವೋ ಡೈ ಕೈಸರ್ಲಿಚ್ ರುಸೆಯಿಸ್ಚೆ ಆರ್ಮಿ ಆಸ್ಗೆರುಸ್ಟೆಟ್ ಸೀನ್ ವಿರ್ಡ್, ಮುಥಿಗ್ ಎಂಟ್ಗೆಜೆನ್ಹ್ಯಾರೆನ್, ಉಂಡ್ ಸೋಡಾನ್ ಲೀಚ್ಟ್ ಜೆಮಿನ್‌ಶಾಫ್ಟ್ಲಿಚ್ ಡೈ ಮೊಗ್ಲಿಚ್‌ಕೀಟ್ ಫೈಂಡೆನ್, ಡೆಮ್ ಫೆಯಿಂಡೆ ದಾಸ್ ಸ್ಚಿಕೆರ್ಸಾಲ್ಡಿ. [ನಾವು ಸಾಕಷ್ಟು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಪಡೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಸುಮಾರು 70,000 ಜನರನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಶತ್ರು ಲೆಚ್ ಅನ್ನು ದಾಟಿದರೆ ನಾವು ದಾಳಿ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಸೋಲಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಡ್ಯಾನ್ಯೂಬ್‌ನ ಎರಡೂ ದಡಗಳ ಆಜ್ಞೆಯ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ನಾವು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷ, ಶತ್ರು ಲೆಚ್ ಅನ್ನು ದಾಟದಿದ್ದರೆ, ಡ್ಯಾನ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು ದಾಟಿ, ಅವನ ಸಂವಹನ ಮಾರ್ಗಕ್ಕೆ ಧಾವಿಸಿ, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಡ್ಯಾನ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು ದಾಟಿ ಶತ್ರುವಿಗೆ, ಅವನು ತನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಮ್ಮ ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಮಿತ್ರರಾಷ್ಟ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ತಿರುಗಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ, ಅವನ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಈಡೇರಿಸದಂತೆ ತಡೆಯಿರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯಶಾಹಿ ರಷ್ಯಾದ ಸೈನ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವ ಸಮಯವನ್ನು ನಾವು ಹರ್ಷಚಿತ್ತದಿಂದ ಕಾಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಶತ್ರುಗಳಿಗೆ ಅವನು ಅರ್ಹವಾದ ಅದೃಷ್ಟವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುವ ಅವಕಾಶವನ್ನು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉಪನ್ಯಾಸ 6. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್.

ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು.

1. ವೆಕ್ಟರ್ ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸ್.

2. ಜಾಗದ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಆಯಾಮ.

3. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ.

4. ಆಧಾರದ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವಿಭಜನೆ.

5. ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

1. ವೆಕ್ಟರ್ ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸ್.

ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್: ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಶದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಾಗಗಳು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳು ವಾಹಕಗಳುಈ ಜಾಗವನ್ನು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: . ವಾಹಕಗಳುಅಂತಹ ಅಮೂರ್ತ ಸ್ಥಳಗಳು, ನಿಯಮದಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಅಮೂರ್ತ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಂಶಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಇತ್ಯಾದಿ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳು .

ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿ1 , ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ವಿ2 , ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ಸೆಟ್ (ನೈಜ ಜಾಗ) ವಿ3 .

ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.ವಾಹಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಈ ಗುಂಪಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ. ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಶಗಳುವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್.

ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯವಾದದ್ದು, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಸಾಮಾನ್ಯ (ಅಮೂರ್ತ) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.ಅನೇಕ ಆರ್ಅಂಶಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್(ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ) ಜಾಗ, ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಶಗಳು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ( ಮೂಲತತ್ವಗಳು) :

1) ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ..gif" width="184" height="25">;

3) ಯಾವುದೇ https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= ಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಂಶ (ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ಇದೆ. " 99" ಎತ್ತರ = "27">;

5) ಯಾವುದೇ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ λ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ;

6) ಯಾವುದೇ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ λ ಮತ್ತು µ ಸಮಾನತೆ ನಿಜ: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು λ ಮತ್ತು µ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸರಳವಾದ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ: ಪರಿಣಾಮಗಳು :

1. ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಿದೆ - ಅಂಶ - ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್.

2. ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದೇ ವಿರುದ್ಧ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

3. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಯಾರಿಗಾದರೂ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ λ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಾಹಕಗಳ ಸೆಟ್ ರೇಖೀಯ (ವೆಕ್ಟರ್) ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರೀಕರಿಸಿದ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

2. ಜಾಗದ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಆಯಾಮ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಅಗತ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಆಯಾಮದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಆಧಾರದಈ ಜಾಗ. ವಾಹಕಗಳು. ಜಾಗದ ಆಧಾರದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲಭೂತ .

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಆಧಾರವನ್ನು ಈ ಸಾಲಿಗೆ ಒಂದು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ವಿಮಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ನಾನ್-ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕರೆಯೋಣ, ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ (ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್), ನಂತರ ಆಧಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ಮತ್ತು ಈ ವಾಹಕಗಳು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಆಧಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ .

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಯಾಮಈ ಜಾಗದ, ಅಂದರೆ ಜಾಗದ ಆಯಾಮವು ಈ ಜಾಗದ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಪ್ರಕಾರ:

1. ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಜಾಗ ವಿ1 ನೇರ ರೇಖೆ, ಮತ್ತು ಆಧಾರವು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಒಂದು ಕಾಲಿನಿಯರ್ವೆಕ್ಟರ್ https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ ವಿ3 , ಇದರ ಆಧಾರವು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮೂರು ನಾನ್-ಕೊಪ್ಲಾನರ್ವಾಹಕಗಳು

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೇರ ರೇಖೆ, ಸಮತಲ, ಜಾಗದ ಆಯಾಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಆಯಾಮ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಸಹಜ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆರ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ- ಹೆಚ್ಚು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಆಯಾಮ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆಎಂದು ಕರೆದರು ಆಯಾಮಜಾಗ.

ಜಾಗದ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದಮತ್ತು ಅನಂತ ಆಯಾಮದ. ಶೂನ್ಯ ಜಾಗದ ಆಯಾಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ 1.ಪ್ರತಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀಡಿದ ಜಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇಸ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.

ಗಮನಿಸಿ 2. IN ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ- ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಆಧಾರವು ಯಾವುದೇ ಆದೇಶದ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳು.

3. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಇರಲಿ ವಿ3 ಹೊಂದಿವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆರಂಭಮತ್ತು ಆದೇಶಿಸಿದರು, ಅಂದರೆ ಯಾವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಎರಡನೆಯದು ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವನ್ನು ಓರಿಯಂಟ್ ಮಾಡಲು, ಕೆಲವು ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಘೋಷಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ .

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಎಲ್ಲಾ ನೆಲೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ, ಅಂದರೆ ಎರಡು ಅಸಂಯೋಜಿತ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಎ) ಒಂದು ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ (ವರ್ಗ) ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ ಆಧಾರಗಳು ಅದೇದೃಷ್ಟಿಕೋನ (ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಮೂಲಗಳು);

b) ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನೆಲೆಗಳು ವಿವಿಧಉಪವಿಭಾಗಗಳು (ವರ್ಗಗಳು), ಹೊಂದಿವೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೃಷ್ಟಿಕೋನ, ( ವಿವಿಧ ಹೆಸರುಗಳುಆಧಾರಗಳು).

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಆಧಾರಗಳ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಘೋಷಿಸಿದರೆ, ಈ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಧಾರಿತ .

ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವನ್ನು ಓರಿಯಂಟ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಕೆಲವು ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಲ, ಮತ್ತು ಇತರರು - ಬಿಟ್ಟರು .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಲ, ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಗಮನಿಸಿದಾಗ, ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಕಡಿಮೆ ತಿರುಗುವಿಕೆ https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ(ಚಿತ್ರ 1.8, ಎ).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

ಅಕ್ಕಿ. 1.8 ಬಲ ಆಧಾರ (ಎ) ಮತ್ತು ಎಡ ಆಧಾರ (ಬಿ)

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜಾಗದ ಸರಿಯಾದ ಆಧಾರವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಆಧಾರವೆಂದು ಘೋಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

"ಬಲ" ("ಎಡ") ಸ್ಕ್ರೂ ಅಥವಾ ಗಿಮ್ಲೆಟ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜಾಗದ ಬಲ (ಎಡ) ಆಧಾರವನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ಇದರೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಮೂರುಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳು (ಚಿತ್ರ 1.8).

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳ ಎರಡು ಆದೇಶದ ತ್ರಿವಳಿಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು (ಅದೇ ಹೆಸರು) ಹೊಂದಿವೆ. ವಿ3 ಎರಡೂ ಬಲ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಎಡ, ಮತ್ತು - ವಿರುದ್ಧ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ (ವಿರುದ್ಧ) ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಲ ಮತ್ತು ಇತರ ಎಡ ವೇಳೆ.

ಜಾಗದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿ2 (ವಿಮಾನ).

4. ಆಧಾರದ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವಿಭಜನೆ.

ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಆರ್3 .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> ಈ ಜಾಗದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ.

ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪೂರ್ವ ಜಾಗದ ನಡುವೆ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕುತ್ತಾರೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎನ್ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಎನ್)-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ E n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (E) ^(n)); ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಒದಗಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಸಂದರ್ಭದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದಾಗ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಜೋಡಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (⋅ , ⋅) , (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\cdot ,\cdot),)ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಉದಾಹರಣೆ - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಜಾಗ R n , (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \mathbb (R) ^(n),)ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (x 1 , x 2 , … , x n) , (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),)ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n.

(\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಕೋನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಸಾಕು. ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಯು (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಯು) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ(u , u) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\sqrt ((u,u)))) ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ| ಯು |.

(\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ |ಯು|.) ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಕೋನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಸಾಕು. ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಧನಾತ್ಮಕ ಖಚಿತತೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೈಲಿನಿಯರಿಟಿಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ| ಒಂದು ಯು |= | ಒಂದು |) ಕೋನದ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು, ಹಾಗೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗ, ಕೋನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು π 2.

(\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\pi )(2)))

ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ-ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಕೋನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಉಳಿದಿದೆ: ಸಲುವಾಗಿ arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\ಬಲ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಸಮಾನತೆ ಅಗತ್ಯ| (x, y) | x | |ವೈ | |ಮತ್ತು ⩽ 1. (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ \ಎಡ|(\frac ((x,y))(|x||y|))\ಬಲ|\leqslant 1.)ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕೌಚಿ-ಬುನ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ-ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ, ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: | u + v | ⩽ |

ಯು |

+ |

v |

ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ |. (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆ, ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಉದ್ದದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೂಢಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ d(x, y) = | x - y |

(\displaystyle d(x,y)=|x-y|)

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಚಲನೆಗಳು ಮೆಟ್ರಿಕ್-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಗಳಾಗಿವೆ (ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ). ಚಲನೆಯ ಉದಾಹರಣೆ - ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಧನಾತ್ಮಕ ಖಚಿತತೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೈಲಿನಿಯರಿಟಿಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಅನುವಾದಿಸುತ್ತದೆ p (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ p)ಬಿಂದುವಿಗೆ p + v (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ p+v). ಯಾವುದೇ ಚಲನೆಯು ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರದ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು

ಫೇಸ್ಬುಕ್

ಟ್ವಿಟರ್

VKontakte

ಸಹಪಾಠಿಗಳು

Google+