ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಬೇಸ್‌ನ ಬದಿಯು a ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂಚುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳು. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಅಂಚಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಯಾವುದು?

ಪ್ಲೇನ್ ВСE (Fig.) ಎಎಸ್ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಬದಿಯ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮುಖಗಳ ನಡುವಿನ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳನ್ನು (ಎಲ್ಲವೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಕೋನ BEC = ನಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. φ . ತ್ರಿಕೋನ ತೂಕವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು.

ವಿಭಾಗೀಯ ಪ್ರದೇಶ ಎಸ್ ಮತ್ತು ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು φ , DE (D ಎಂಬುದು BC ಯ ಮಧ್ಯಭಾಗ) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ ಸಾಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ BS ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ತ್ರಿಕೋನ BSD ನಿಂದ, ಅಲ್ಲಿ BD = ಎ / 2 ಮತ್ತು ∠BSD = α / 2 ).

ನಂತರ BE (ತ್ರಿಕೋನ BSE ನಿಂದ, ಅಲ್ಲಿ ∠BSE = α ) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ DE=√BE 2 -BD 2 . ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಗಮನಿಸಿ 1 . ಶೃಂಗ S ನಲ್ಲಿ ಸಮತಲ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 360 ° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1, ಅಂದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ 2 . ಒಂದು ವೇಳೆ α >90°, ಅಂದರೆ, ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮುಖದ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿರುವ ASB ಕೋನವು ಚೂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ತ್ರಿಕೋನ ASB ನ ಎತ್ತರ BE ಬೇಸ್‌ನ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ಲೇನ್ BEC ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಅಷ್ಟರಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರ

ಮತ್ತು ಚೂಪಾದ ಕೋನದಲ್ಲಿ α (120°ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ಸೂಚನೆ 1 ನೋಡಿ) S ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: φ = 2 ಆರ್ಕ್ ಪಾಪ (1/2 ಸೆಕೆಂಡು α / 2 );

ಇದೇ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಯತವಿದೆ. ಒಂದು ಬದಿಯ ಮುಖವು ತೋರುತ್ತಿದೆ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಮತ್ತು ತಳಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ; ಇನ್ನೊಂದು ಮುಖದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಮಾನವಾದ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಅಂಚುಗಳಿವೆ ಬಿ , ತಮ್ಮ ನಡುವೆ 2 ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ α ಮತ್ತು ಕೋನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮುಖಕ್ಕೆ ಒಲವು α . ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಎರಡು ಮುಖಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಕಾರ್ಯ

ಪರಿಹಾರ.

ಬೇಸ್ನ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜವಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವು ಬೇಸ್‌ನ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಕರ್ಣಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. KN = a/2 ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ?

ತ್ರಿಕೋನ OKN ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿದೆ, ಸರಿ 3a ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.
KNO ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅದನ್ನು α ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

Tg α = ಸರಿ / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ 6 ≈ 80.5377°

ಪಿರಮಿಡ್ನ ಅಂಚಿನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
a ಪಾರ್ಶ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕದ ಕರ್ಣವು a√2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎತ್ತರವು ತಳದ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಅರ್ಧ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಫಾರ್ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಕೋನ KCO ನ OKC ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ (ಅದನ್ನು β ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

Tg β = ಸರಿ / KC
tg β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ 6/√2 ≈ 76.7373°

ಉತ್ತರ: ಮುಖಗಳ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನ arctg 6 ≈ 80.5377°; ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನ ಆರ್ಕ್ಟಿಜಿ 6/√2 ≈ 76.7373°

ನಾನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ. ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ a = (x 1; y 1; z 1) ಮತ್ತು b = (x 2; y 2; z 2), ನೀವು ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸೂತ್ರವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ಘನದಲ್ಲಿ, E ಮತ್ತು F ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ A 1 B 1 ಮತ್ತು B 1 C 1 ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು. AE ಮತ್ತು BF ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಘನದ ಅಂಚನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದ ಕಾರಣ, ನಾವು AB = 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ. ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೂಲವು A ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ, x, y, z ಅಕ್ಷಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ AB, AD ಮತ್ತು AA 1 ರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗವು AB = 1. ಈಗ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣನಮ್ಮ ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಸಿ.

ವೆಕ್ಟರ್ AE ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಮಗೆ A = (0; 0; 0) ಮತ್ತು E = (0.5; 0; 1) ಅಂಕಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಇ ಎ 1 ಬಿ 1 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ AE ಯ ಮೂಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ AE = (0.5; 0; 1).

ಈಗ BF ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಬಿ = (1; 0; 0) ಮತ್ತು ಎಫ್ = (1; 0.5; 1) ಅಂಕಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಫ್ ಬಿ 1 ಸಿ 1 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

ಆದ್ದರಿಂದ, ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ಸಿದ್ಧವಾಗಿವೆ. ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕಾರ್ಯ. ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ABCA 1 B 1 C 1 ನಲ್ಲಿ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, D ಮತ್ತು E ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ A 1 B 1 ಮತ್ತು B 1 C 1 ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು. AD ಮತ್ತು BE ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ಮೂಲವು A ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ, x ಅಕ್ಷವನ್ನು AB, z - AA 1 ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. y-ಅಕ್ಷವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸೋಣ ಇದರಿಂದ OXY ಪ್ಲೇನ್ ABC ಪ್ಲೇನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗವು AB = 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ AD ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: A = (0; 0; 0) ಮತ್ತು D = (0.5; 0; 1), ಏಕೆಂದರೆ ಡಿ - ಎ 1 ಬಿ 1 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯ. ವೆಕ್ಟರ್ AD ಯ ಆರಂಭವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ನಾವು AD = (0.5; 0; 1) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ವೆಕ್ಟರ್ BE ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ = (1; 0; 0) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಇ ಜೊತೆ - ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಿ 1 ಬಿ 1 - ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ:

ಕಾರ್ಯ. ನಿಯಮಿತ ಷಡ್ಭುಜೀಯ ಪ್ರಿಸ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, K ಮತ್ತು L ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ A 1 B 1 ಮತ್ತು B 1 C 1 ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು . AK ಮತ್ತು BL ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ನಾವು ಪ್ರಿಸ್ಮ್‌ಗಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ತಳದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ, x ಅಕ್ಷವನ್ನು FC ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, y ಅಕ್ಷವನ್ನು AB ಮತ್ತು DE ವಿಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು z ಅಕ್ಷವನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ AB = 1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

K ಮತ್ತು L ಅಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ A 1 B 1 ಮತ್ತು B 1 C 1 ವಿಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾದ ಎಕೆ ಮತ್ತು ಬಿಎಲ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ SABCD ಯಲ್ಲಿ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, E ಮತ್ತು F ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ SB ಮತ್ತು SC ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು. AE ಮತ್ತು BF ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ಮೂಲವು A ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ, x ಮತ್ತು y ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ AB ಮತ್ತು AD ಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು z ಅಕ್ಷವನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಟಕ ವಿಭಾಗವು AB = 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

E ಮತ್ತು F ಅಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ SB ಮತ್ತು SC ವಿಭಾಗಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತುದಿಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರುವ ಅಂಶಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
A = (0; 0; 0); ಬಿ = (1; 0; 0)

ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ AE ಮತ್ತು BF ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ AE ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ E ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ A ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ: