ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ಮೂಲಭೂತ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನ, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಕೇತಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಔಟ್ಪುಟ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಆಧರಿಸಿದೆ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನ. ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗದಿದ್ದಾಗ ಅನುಕರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನ

ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯ 1. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 21.1 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ f(x) ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಎಂದರೆ ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ನಾವು ಮೇಲಿನಿಂದ, ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಎಡಕ್ಕೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹುಡುಕಾಟ ಆಯಾತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ವಿತರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ ಎನ್ 1 ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾದ ಅಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಆಯತಕ್ಕೆ ಬೀಳುವುದು, ಈ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕೆಂಪು ಮತ್ತು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರ 21.1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಎನ್ 2 ಕರ್ವ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಬ್ಬಾದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ (ಈ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 21.1 ರಲ್ಲಿ ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ). ನಂತರ ಒಟ್ಟು ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬೀಳುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪರೀಕ್ಷಾ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ (ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯ) ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸಹಜ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

ಈ ತಾರ್ಕಿಕತೆಗಳು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾಗಿವೆ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಗಳು.

ಬ್ಲಾಕ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಒಂದು ತುಣುಕು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. 21.2.

ಮೌಲ್ಯಗಳು ಆರ್ 1 ಮತ್ತು ಆರ್ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ 2. 21.2 ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಂದ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ( x 1 ; x 2) ಮತ್ತು ( ಸಿ 1 ; ಸಿ 2) ಅದರ ಪ್ರಕಾರ.

ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ, ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ "ಉತ್ತಮ" ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜನರೇಟರ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. 10 ಪಟ್ಟು ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು, ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವನ್ನು 100 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಯೋಗಗಳು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ; ಅಂದರೆ, ನಿಖರತೆಯು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ:

ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಯೋಜನೆ
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ನಂತರ, ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜನರೇಟರ್ (RNG) ನಿಂದ ಇನ್ಪುಟ್ ಸಿಗ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಅದರ ಇನ್ಪುಟ್ಗೆ ಸರಬರಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. 21.3. RNG ಅನ್ನು ಅದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಮವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆರ್ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ pp. ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇತರವು ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯ, ಜನರೇಟರ್‌ನಿಂದ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾನೂನು ಪರಿವರ್ತಕಕ್ಕೆ (RLC) ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ಬಳಕೆದಾರ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನು. ಇವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿದವು xಮಾದರಿ ಇನ್ಪುಟ್ಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯು ಇನ್ಪುಟ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ xಕೆಲವು ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವೈ = φ (x) ಮತ್ತು ಔಟ್ಪುಟ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ವೈ, ಇದು ಸಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದೆ.

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಂಚಯನ ಬ್ಲಾಕ್ (BNStat) ನಲ್ಲಿ ಫಿಲ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕೌಂಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಫಿಲ್ಟರ್ (ಕೆಲವು ತಾರ್ಕಿಕ ಸ್ಥಿತಿ) ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ವೈ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಯನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆಯೇ (ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ, f= 1) ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ (ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿಲ್ಲ, f= 0 ). ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ, ಈವೆಂಟ್ ಕೌಂಟರ್ ಅನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈವೆಂಟ್ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ, ಕೌಂಟರ್ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ಗಾಗಿ ನಿಮಗೆ ಹಲವಾರು ಫಿಲ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕೌಂಟರ್‌ಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎನ್ i. ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೌಂಟರ್ ಅನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ .

ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಂಬಂಧ ಎನ್ iಗೆ ಎನ್, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಬ್ಲಾಕ್ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು(BVSH) ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು ನೀಡುತ್ತದೆ ಪು iಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವ i, ಅಂದರೆ, ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್ಪ್ರಯೋಗಗಳು. ಮಾದರಿಯ ವಸ್ತುವಿನ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 50 ಬಾರಿ ನಡೆಸಿದ 200 ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಈವೆಂಟ್ A ಸಂಭವಿಸಿದೆ. ಇದರರ್ಥ, ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಪು A = 50/200 = 0.25. ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 1 0.25 = 0.75 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ:ಅವರು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಆವರ್ತನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ನಾವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಅವರು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು ಬಯಸಿದಾಗ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಎನ್ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ, ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಬ್ಲಾಕ್ (RAB) ನಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪರಿಣಾಮದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ε , ಬಳಕೆದಾರರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಘಟನೆಗಳ ಆವರ್ತನದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ಏರಿಳಿತಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಉತ್ತರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಇನ್ಪುಟ್ ಪ್ರಭಾವಗಳ ಪೀಳಿಗೆಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಯಿತು. ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಲ್ಲ. ಆದರೆ ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಹೆಚ್ಚು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರ.

ಕೆಟ್ಟ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಳತೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ಎತ್ತರದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಬಿದ್ದಾಗ ನಾಣ್ಯವು ತಲೆ ಎತ್ತುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯಲು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಎಸೆತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ (ಟೇಬಲ್ 21.1 ನೋಡಿ).

ನಾವು ತಲೆಗಳ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಒಟ್ಟು ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ತಲೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಟೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ನೋಡಿ. 21.1. ಪ್ರಕರಣಗಳು ಎನ್ = 1 , ಎನ್ = 2 , ಎನ್= 3 ಮೊದಲಿಗೆ ಆವರ್ತನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅವಲಂಬನೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ ಪಿ o ನಿಂದ ಎನ್ಮತ್ತು ನಡೆಸಿದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ತಲೆಗಳ ಆವರ್ತನವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಸಹಜವಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. ಚಿತ್ರ 21.4 ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

1. ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು ಎನ್, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎನ್ = 1 , ಎನ್ = 2 , ಎನ್= 3 ಉತ್ತರವನ್ನು ನಂಬಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಿ o = 0 ನಲ್ಲಿ ಎನ್= 1, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಎಸೆತದಲ್ಲಿ ತಲೆ ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ ಎಂದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿದ್ದರೂ. ಅಂದರೆ, ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಮಗೆ ತುಂಬಾ ಅಸಭ್ಯ ಉತ್ತರ ಬಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ: ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಉಳಿತಾಯಮಾಹಿತಿ, ಉತ್ತರವು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಆದರೆ ಖಚಿತವಾಗಿ ಸರಿಯಾದದನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದೆ (ಅದನ್ನು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ). ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ: ಆದರ್ಶಪ್ರಾಯವಾಗಿ, ತಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 0.5 ಆಗಿದೆ (ಇತರ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರವು ಸಹಜವಾಗಿ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ). ε ನಾವು ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಪಿ= 0.1. ಎನ್ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ, ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ 0.5 ರಿಂದ 0.1 ಅಂತರದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 21.4 ನೋಡಿ). ಎನ್ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕಾರಿಡಾರ್ನ ಅಗಲವು 0.2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಕ್ರವಾದ ತಕ್ಷಣ O () ಈ ಕಾರಿಡಾರ್ ಅನ್ನು ಅದು ಎಂದಿಗೂ ಬಿಡದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ, ನೀವು ನಿಲ್ಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೋಡಬಹುದು ಎನ್ಅದು ಸಂಭವಿಸಿತು. ಇದು ಇದು ε = 0.1 ; ε ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯ ಪಿಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಪಿಉತ್ತರವನ್ನು ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲು kr e
2. - ನಮ್ಮ ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಒಂದು ರೀತಿಯ ನಿಖರವಾದ ಕೊಳವೆಯ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಉತ್ತರಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ o (91)ಒ (92) ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಚಿತ್ರ 21.4 ನೋಡಿ); ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರದ ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯಾದರೂ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನಾವು ನಂಬಲು ಬಾಧ್ಯತೆ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಈ ನಡವಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಕ್ರಿಯೆ ಪಿಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ
3. (ಉಪನ್ಯಾಸ 25 ಮತ್ತು ಉಪನ್ಯಾಸ 34 ನೋಡಿ). ಸದ್ಯಕ್ಕೆ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆಸರಳ ಆವೃತ್ತಿ

ನಾವು ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ ಈ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕರ್ವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಉತ್ತರವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಡೆಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 21.5 ನೋಡಿ). ಎನ್ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ಅನುಷ್ಠಾನಗಳ ಸಮೂಹ

ಹೀಗಾಗಿ, ವಿವಿಧ ಉದ್ದಗಳ 10 ಅನುಷ್ಠಾನಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ ನಂತರ, ಅದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಸರಾಸರಿ 94 ನಾಣ್ಯ ಟಾಸ್‌ಗಳ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ 1 ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು.

ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಂಗತಿ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ. 21.5 100 ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳು 100 ಕೆಂಪು ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಮೇಲೆ ಅಬ್ಸಿಸಾವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಎನ್= 94 ಲಂಬ ಬಾರ್. ದಾಟಲು ಸಮಯವಿಲ್ಲದ ಕೆಲವು ಶೇಕಡಾವಾರು ಕೆಂಪು ರೇಖೆಗಳಿವೆ ε -ನೆರೆಹೊರೆ, ಅಂದರೆ ( ಪಿಎಕ್ಸ್ ε ≤ ಪಿಸಿದ್ಧಾಂತ ≤ ಪಿಎಕ್ಸ್ + ε ), ಮತ್ತು ಕ್ಷಣದವರೆಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಕಾರಿಡಾರ್ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಎನ್= 94. ಅಂತಹ 5 ಸಾಲುಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ, ಅಂದರೆ 100 ರಲ್ಲಿ 95, ಅಂದರೆ 95%, ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿ ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, 100 ಅನುಷ್ಠಾನಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ ನಂತರ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ಹೆಡ್‌ಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಸುಮಾರು 95% ವಿಶ್ವಾಸವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಅದನ್ನು 0.1 ರ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ಎನ್ kr t ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಪ್ರ ಎಫ್, ಉತ್ತರವನ್ನು ನಂಬಲು ನಾವು ಎಷ್ಟು ಸಿದ್ಧರಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವಾಗ ಪ್ರ ಎಫ್= 0.95 ನಾವು 100 ರಲ್ಲಿ 95% ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ನಂಬಲು ಸಿದ್ಧರಿದ್ದೇವೆ. ಉಪನ್ಯಾಸ 34 ರಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಎನ್ cr t = ಕೆ(ಪ್ರ ಎಫ್) · ಪು· (1 ಪು)/ε 2 , ಎಲ್ಲಿ ಕೆ(ಪ್ರ ಎಫ್) ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಗುಣಾಂಕ, ಪುತಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ε ನಿಖರತೆ (ವಿಶ್ವಾಸ ಮಧ್ಯಂತರ). ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ 21.3 ವಿವಿಧ ಅಗತ್ಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಪ್ರ ಎಫ್(ನಿಖರತೆಗಾಗಿ ε = 0.1 ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪು = 0.5 ).

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, 94 ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅನುಷ್ಠಾನದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ನಾವು ಪಡೆದ ಅಂದಾಜು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಒಂದಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, 96 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, 10 ಅನುಷ್ಠಾನಗಳು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿಖರವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಎನ್ಸಿಆರ್ ಇ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ನಂಬಬೇಕಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀವು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿದ್ಧಾಂತವು 167 ಪ್ರಯೋಗಗಳಿದ್ದರೆ, ಕೇವಲ 1-2 ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ನಿಖರತೆಯ ಟ್ಯೂಬ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ನಿಖರತೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬಹಳ ಬೇಗನೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಎರಡನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಒಂದುಅನುಷ್ಠಾನ ಮತ್ತು ಅವಳು ಪಡೆದದ್ದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ಎನ್ cr e 2 ಬಾರಿ. ಇದು ಉತ್ತರದ ನಿಖರತೆಯ ಉತ್ತಮ ಗ್ಯಾರಂಟಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ (Fig. 21.6 ನೋಡಿ).

ನೀವು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳ ಸಮೂಹ, ನಂತರ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಆವರ್ತನದ ಒಮ್ಮುಖವು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ವಿಲೋಮ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅವಲಂಬನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 21.7 ನೋಡಿ).

ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಈ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ε ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ, ನೀವು ಟೇಬಲ್ ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. 21.4.

ಟೇಬಲ್ ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. 21.4 ಅವಲಂಬನೆ ಗ್ರಾಫ್ ಎನ್ crt ( ε ) (ಚಿತ್ರ 21.8 ನೋಡಿ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತವೆ:

ಹಲವಾರು ನಿಖರತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳು ಇರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ಉಪನ್ಯಾಸ 34 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೋ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕೋನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (0, 0), (0, 10), (5, 20), (10, 10), (7, 0) ಪೆಂಟಗನ್ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ನೀಡಲಾದ ಪೆಂಟಗನ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸೆಳೆಯೋಣ, ಅದನ್ನು ಒಂದು ಆಯತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಿಸೋಣ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶವು ನೀವು ಊಹಿಸುವಂತೆ (10 0) · (20 0) = 200 (ಚಿತ್ರ 21.9 ನೋಡಿ).

ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಆರ್, ಜಿ, 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಆರ್X (0 ≤ X≤ 10), ಆದ್ದರಿಂದ, X= 10 · ಆರ್. ಸಂಖ್ಯೆ ಜಿನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಅನುಕರಿಸುತ್ತದೆ ವೈ (0 ≤ ವೈ≤ 20) ಆದ್ದರಿಂದ, ವೈ= 20 · ಜಿ. ನಾವು 10 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಆರ್ಮತ್ತು ಜಿಮತ್ತು 10 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿ ( X; ವೈ) ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ. 21.9 ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ. 21.5

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಆಕೃತಿಯ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ: 6:10 = ಎಸ್:200. ಅಂದರೆ, ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೋ ವಿಧಾನದ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಸ್ಪೆಂಟಗನ್ ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: 200 · 6/10 = 120.

ಮೌಲ್ಯವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ ಎಸ್ಅನುಭವದಿಂದ ಅನುಭವಕ್ಕೆ (ಕೋಷ್ಟಕ 21.6 ನೋಡಿ).

ಉತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಎರಡನೇ ಅಂಕಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ನೂ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಸಂಭವನೀಯ ಅಸಮರ್ಪಕತೆಯು ಇನ್ನೂ 10% ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 21.10 ನೋಡಿ).

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಾಕಾರಗೊಂಡಿರುವ ಊಹೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳು ಇತರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು.

ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ

ಈ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬೇರೂರಿದೆ. ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯಶಃ ಇತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯು "ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಔಪಚಾರಿಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ" (ಹರ್ಮನ್ ಅಡೆರ್, ಕೆನ್ನೆತ್ ಬೊಲೆನ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ).

ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಊಹೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮಾದರಿಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಣಯದ ಆಧಾರದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನಗಳು

ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಊಹೆ (ಅಥವಾ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಊಹೆಗಳ ಸೆಟ್) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು: ಈ ಊಹೆಯು ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ನಿಯಮಿತ ಆರು ಬದಿಯ ದಾಳಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಡೈಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಊಹೆಯು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಊಹೆಯು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ, ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿರಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಲಕ್ಷಾಂತರ ವರ್ಷಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಬೇಕಾಗಬಹುದು). ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಊಹೆಗಾಗಿ, ಈ ತೊಂದರೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ: ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಕೇವಲ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯ.

ಮಾದರಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ವಯಸ್ಸಿನ ಪ್ರಕಾರ ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಮಕ್ಕಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮಗುವಿನ ಎತ್ತರವು ವಯಸ್ಸಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಗುವಿಗೆ 7 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಾಗ, ಮಗು 5 ಅಡಿ ಎತ್ತರ (ಸುಮಾರು 152 ಸೆಂ) ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಇದು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಎತ್ತರ = b0 + b1agei + εi, ಇಲ್ಲಿ b0 ಪ್ರತಿಬಂಧಕವಾಗಿದೆ, b1 ಎಂಬುದು ಎತ್ತರದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ವಯಸ್ಸನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ, εi ಎಂಬುದು ದೋಷ ಪದವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ವಯಸ್ಸಿನಿಂದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಮಾನ್ಯವಾದ ಮಾದರಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆ (heighti = b0 + b1agei) ಡೇಟಾ ಮಾದರಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ - ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಹೊರತು, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಲು ಮಾದರಿಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ದೋಷ ಪದ εi ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು εi ಗಾಗಿ ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, εi ಯ ವಿತರಣೆಗಳು ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ಗೌಸಿಯನ್ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಯು 3 ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: b0, b1 ಮತ್ತು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿವರಣೆ

ಇದು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ವಿಶೇಷ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾದರಿಯು ಇತರ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದು ಅದು ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಡೇಟಾವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ε ಒಂದು ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ; ಈ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇಲ್ಲದೆ ಮಾದರಿಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮಾದರಿಯ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯುವುದು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ; ಆದರೂ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ (ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ).

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಗಳು

ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ. ಅರೆ-ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ನಾನ್-ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಸರ್ ಡೇವಿಡ್ ಕಾಕ್ಸ್ ಹೇಳಿದರು: "ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಣೆಯ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಆಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಬಲವಾದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ." ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಮಾದರಿಗಳಂತೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹು ಹಂತದ ಮಾದರಿಗಳು

ಬಹು ಹಂತದ ಮಾದರಿಗಳು (ಹೈರಾರ್ಕಿಕಲ್ ಲೀನಿಯರ್ ಮಾದರಿಗಳು, ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಡೇಟಾ ಮಾದರಿಗಳು, ಮಿಶ್ರ ಮಾದರಿಗಳು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮಾದರಿಗಳು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಮಾದರಿಗಳು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯತಾಂಕ ಮಾದರಿಗಳು ಅಥವಾ ವಿಭಜಿತ ಮಾದರಿಗಳು) ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಮಾದರಿಯು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡಿರುವ ತರಗತಿಯ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಗಳ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೂ ಅವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಈ ಮಾದರಿಗಳು ಒಮ್ಮೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಜನಪ್ರಿಯವಾಯಿತು ತಂತ್ರಾಂಶ.

ಬಹು ಹಂತದ ಮಾದರಿಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂಶೋಧನಾ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವವರಿಗೆ ಡೇಟಾವನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಆಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಡೇಟಾ). ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಘಟಕಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು (ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ) ಸಂದರ್ಭೋಚಿತ/ಒಟ್ಟಾರೆ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ (ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ) ಗೂಡುಕಟ್ಟಲಾಗಿದೆ. ಬಹುಹಂತದ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ದತ್ತಾಂಶವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿದ್ದರೂ, ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಬಹುಹಂತದ ಮಾದರಿಗಳು ಏಕರೂಪದ ಅಥವಾ ಬಹುವಿಧದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಳತೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ರೀತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿನ ವೈಯಕ್ತಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಬಹುಹಂತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ANCOVA ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಸ್ಕೋರ್‌ಗಳನ್ನು ಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಮೊದಲು ಕೋವೇರಿಯೇಟ್‌ಗಳಿಗೆ (ಉದಾ, ವೈಯಕ್ತಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು) ಸರಿಹೊಂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹು ಹಂತದ ಮಾದರಿಗಳು ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಇಳಿಜಾರುಗಳ ಏಕರೂಪತೆಯ ಊಹೆಯಿಲ್ಲದೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ANCOVA ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಹು-ಹಂತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ಹಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಡೇಟಾಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಎರಡು ಹಂತದ ಮಾದರಿಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನದ ಉಳಿದ ಭಾಗವು ಇವುಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕು.

ಮಾದರಿ ಆಯ್ಕೆ

ಮಾದರಿ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ನಡೆಸಲಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಅಭ್ಯರ್ಥಿ ಮಾದರಿಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಈಗಾಗಲೇ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಡೇಟಾವು ಮಾದರಿ ಆಯ್ಕೆ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಅಥವಾ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭ್ಯರ್ಥಿ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಸರಳವಾದ ಮಾದರಿಯು ಆಗಿರಬಹುದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆ(ಓಕಾಮ್ನ ರೇಜರ್).

ಕೊನಿಶಿ ಮತ್ತು ಕಿಟಗಾವಾ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ, "ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ನಿರ್ಣಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು." ಅಂತೆಯೇ, ಕಾಕ್ಸ್ ಹೇಳಿದರು, "ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗೆ ಹೇಗೆ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದೆ."

ಮಾದರಿ ಆಯ್ಕೆಯು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಥವಾ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮಾದರಿಗಳ ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕೆಲವು ಪ್ರತಿನಿಧಿ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು.

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮಾದರಿಗಳು

ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿ, ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿ (PGM) ಅಥವಾ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಾದರಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಬಂಧದ ರಚನೆಯನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬೇಸಿಯನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು) ಮತ್ತು ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಕನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಗಳು

ಇಕೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಗಳು ಇಕೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರ್ಥಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿವಿಧ ಆರ್ಥಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಡುವೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಎಕನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಆರ್ಥಿಕ ಮಾದರಿಯಿಂದ ಅಥವಾ ಸ್ವತಃ ಸ್ಥಾಪಿತವಾದ ಆರ್ಥಿಕ ಮಾದರಿಯಿಂದ ಇಕೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರ್ಥಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸದ ಇಕೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಸ್ಥಾಯೀ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಅಥವಾ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳ (ಸೂಚಕಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೂಲಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಸ್ಥಾಯೀ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನ ಉದ್ದೇಶ (ಯಾವುದೇ ಇತರ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನಂತೆ) ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ದೃಶ್ಯ ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಅತ್ಯಂತ ಅಗತ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದು. ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅಳೆಯಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಾದರಿಗಳು ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಹ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ವಿಶಾಲವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ, ರಚನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಜೋಡಿಯಾಗಿ "ದಿಕ್ಕಿನ-ಅಲ್ಲದ" ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಅಂಶವು ಇಲ್ಲದಿರುವ ಅಥವಾ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾದ ಅಂತಹ ಸಂಪರ್ಕಗಳು. ಅಂತಹ ಮಾದರಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಪಿಯರ್‌ಸನ್‌ನ ಪೇರ್‌ವೈಸ್ ಲೀನಿಯರ್ ಕೋರಿಲೇಷನ್ ಗುಣಾಂಕ, ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು ಆಕಸ್ಮಿಕ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಗಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾದ ಸಂಘದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಳತೆಗಳು (ಮಾಹಿತಿ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಲಾಗ್-ಲೀನಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ).

ಸ್ಥಾಯೀ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿನ ರಚನಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ ಅಸ್ಥಿರ ಅಥವಾ ವಸ್ತುಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ನಡೆಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಬಹುಆಯಾಮದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು - ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್, ಕ್ಲಸ್ಟರ್, ಬಹುಆಯಾಮದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನ. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಹಂತವಾಗಿದೆ - ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ಜಾಗದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು.

ವಸ್ತುಗಳ ಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಬಹು ಆಯಾಮದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಅಳೆಯಲಾದ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳು ಪರಸ್ಪರ "ಹೋಲುತ್ತವೆ"; ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ರಚನಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು, ದೂರಗಳು), ಅಂಶ ರಚನೆ ಅಥವಾ ದೃಷ್ಟಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು. ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಡೆಂಡ್ರೊಗ್ರಾಮ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಬಹುಆಯಾಮದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್‌ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್‌ಪ್ಲಾಟ್‌ನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಗ್ರಾಫ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಹ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಕಾರಣವಾದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅಥವಾ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಪರಿಣಾಮದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರಣ ಮಾದರಿಗಳು ಒಂದು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತವೆ. ಅಪವಾದವೆಂದರೆ ರೇಖೀಯ-ರಚನಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅವಲಂಬಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸೂಚಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಇತರರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯದ ಎರಡು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿವೆ: ಸ್ಥಿರ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಯೋಜನೆ

• - ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು;
• - ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು.

ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಮುಖ್ಯ ಉಪಾಯವೆಂದರೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಸ್ಥಾಪಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮಾನ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು, ನಂತರದ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಬದಲಿಯೊಂದಿಗೆ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ದೋಷವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಅನುಷ್ಠಾನ) ಎನ್.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎಸ್ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯು ನೈಜ ವಸ್ತು ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾರಾಟದ ಪ್ರಮಾಣ ಇದ್ದರೆ ಎನ್ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಪಡೆದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಣೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅಗತ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳಂತೆ ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಸ್.

ಈ ವಿಭಾಗವು ಓದುಗರಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ನಂತರ ನಾವು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಮಹತ್ವಾಕಾಂಕ್ಷೆಯ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಹಿಂಜರಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಏನಾದರೂ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯತೆಗಳು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಾಧನಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆರ್ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿಸುವ ಅಂತರ್ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸಾಧನಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಔಟ್ಪುಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುವಾಗ ನೀವು ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಪ್ರಾಂಪ್ಟ್ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

1. ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮಾಡೆಲ್ಸ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ; ಸೂತ್ರಗಳು

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯ ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಹೋಮೋಸ್ಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ:

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

y = Xβ + e

ಎಲ್ಲಿ ವೈ - ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವೆಕ್ಟರ್, X ಮಾದರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x 0 ; x 1 …. ; x ಪುಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಆಗಾಗ್ಗೆ x 0 ಆಫ್‌ಸೆಟ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ನೀಡುವ ಕಾಲಮ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುವ ಮೊದಲು, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ y, x, x0, x1, x2 ...ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, X ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಎ, ಬಿ, ಸಿ ...

ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಕೆಳಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ, ಮಾದರಿಗಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

y ~ x y ~ 1 + x

ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಸರಳ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ವೈ ಮೇಲೆ

x . ಮೊದಲನೆಯದು ಸೂಚ್ಯ ಆಫ್‌ಸೆಟ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

y ~ 0 + x y ~-1 + x y ~ x - 1

ಸರಳ ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವೈ ಮೇಲೆ x ಮೂಲದ ಮೂಲಕ (ಅಂದರೆ, ಆಫ್‌ಸೆಟ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ). ಲಾಗ್(y) ~ x1 + x2

ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ಲಾಗ್ (y)ಮೇಲೆ x1 ಮತ್ತು x2 (ಸೂಚ್ಯ ಆಫ್‌ಸೆಟ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ).

y ~ ಪಾಲಿ (x, 2) y ~ 1 + x + I(x^2)ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ವೈ ಮೇಲೆ x ಪದವಿ 2. ಮೊದಲ ರೂಪವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪದವಿಯನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. y ~ X + ಪಾಲಿ(x, 2)

ಬಹು ಹಿಂಜರಿತ ವೈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮಾದರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ X , ಬಹುಪದೀಯ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ x ಪದವಿ 2. y~A

ಏಕ ವರ್ಗೀಕರಣ ANOVA ಮಾದರಿ ವೈ A ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ತರಗತಿಗಳೊಂದಿಗೆ. y ~ A+ x

ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮಾದರಿಯ ಏಕ ವರ್ಗೀಕರಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವೈ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎ , ಮತ್ತು ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಜೊತೆ x .

y ~ A*B y ~ + B + A:B y ~ B % in % A y ~ A/B

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾದರಿಯ ಎರಡು ಅಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವೈ ಮೂಲಕ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ . ಮೊದಲ ಎರಡು ಒಂದೇ ಅಡ್ಡ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಎರಡು ಒಂದೇ ನೆಸ್ಟೆಡ್ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಮಾದರಿಗಳ ಒಂದೇ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. y ~ (A+ B + C) ^2 y ~ A*B*C - A:B:C

ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಯೋಗ, ಆದರೆ ಮುಖ್ಯ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಮತ್ತು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ. ಎರಡೂ ಸೂತ್ರಗಳು ಒಂದೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. y ~ A * x y ~ A/x y ~ A / (1 + x) - 1

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಸರಳ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಗಳು ವೈ ಮೇಲೆ x ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಎ ವಿವಿಧ ಗುರುತುಗಳು. ನಂತರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ವಿವಿಧ ಕಟ್-ಆಫ್ ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನೇಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಎ.

y ~ A*B + ದೋಷ(C)

ಎರಡು ಪ್ರಭಾವದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ, ಮತ್ತು ಅಂಶದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ದೋಷ ಸಿ . ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಯೋಗದ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ (ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಚಿತ್ರದ ಭಾಗಗಳು) ಅಂಶದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿ .

ಆಪರೇಟರ್ ~ ರಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ . ಸರಳ ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಗಾಗಿ ಫಾರ್ಮ್: ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ~ op_1 term_1 op_2 term_2 op_3 term_3 ... ಎಲ್ಲಿ:

ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ- ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ) ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವೇರಿಯಬಲ್ (ಗಳನ್ನು) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.

op_i- ಆಪರೇಟರ್, "+" ಅಥವಾ "-", ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನ ಸೇರ್ಪಡೆ ಅಥವಾ ಹೊರಗಿಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಮೊದಲನೆಯದು ಐಚ್ಛಿಕ). term_iಸಹ ಆಗಿದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಅಥವಾ 1, ಅಥವಾ

ಅಂಶ, ಅಥವಾ

ಫಾರ್ಮುಲಾ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಶಗಳು, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸೂತ್ರದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ.

ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮಾದರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸೇರಿಸಲು ಅಥವಾ ಮಾಡೆಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. 1 ಅನ್ನು ಆಫ್‌ಸೆಟ್ ಕಾಲಮ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕದ ಹೊರತು ಮಾದರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಡೀಫಾಲ್ಟ್ ಆಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಫಾರ್ಮುಲಾ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳು ಗ್ಲಿಮ್ ಮತ್ತು ಜೆನ್‌ಸ್ಟಾಟ್‌ನಂತಹ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು ಬಳಸುವ ವಿಲ್ಕಿನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ರೋಜರ್ಸ್ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಅನಿವಾರ್ಯ ಬದಲಾವಣೆಯೆಂದರೆ "." ಚುಕ್ಕೆಯು ಮಾನ್ಯವಾದ ಹೆಸರಿನ ಅಕ್ಷರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ':' ಆಗುತ್ತದೆ ಆರ್.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಕೇತವು ಕೆಳಗಿದೆ (ಚೇಂಬರ್ಸ್ & ಹ್ಯಾಸ್ಟಿ, 1992, ಪು.29 ಆಧರಿಸಿ):

Y ~ M Y ಅನ್ನು M ಎಂದು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

M_1 + M_2 M_1 ಮತ್ತು M_2 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

M_1 - M_2 M_1 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು M_2 ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ.

M_1: M_2 M_1 ಮತ್ತು M_2 ರ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಎರಡೂ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಶವು "ಉಪವರ್ಗಗಳು" ಆಗಿರುತ್ತದೆ. M_1 % ರಲ್ಲಿ % M_2

M_1:M_2 ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಿಂಟ್ಯಾಕ್ಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ.

M_1 * M_2 M_1 + M_2 + M_1:M_2. M_1 / M_2 M_1 + M_2 % M_1 ರಲ್ಲಿ.

M^n ಎಲ್ಲಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಎಂ n ಆದೇಶದವರೆಗೆ "ಸಂವಾದಗಳ" ಜೊತೆಗೆ I(M) ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂ. ಒಳಗೆ ಎಂ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ವಾಹಕರು ತಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಈ ನಿಯತಾಂಕವು ಮಾದರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿದ ಆವರಣದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳು ತಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕಾರ್ಯ I() ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾದರಿ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಖಚಿತತೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಕನ್ನಡಿ ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾದರಿ ಸೂತ್ರಗಳು ಮಾದರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಸೂಚಿಸಿದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತಹ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಅಲ್ಲ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಧಾನಗಳು ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಮಾದರಿಯ ಮಾದರಿಯ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಮಾದರಿಯ ಔಪಚಾರಿಕೀಕರಣದ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುವ ಕಾನೂನನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಇನ್ನೂ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಅನಲಾಗ್ನ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅವಲೋಕನಗಳಿವೆ, ಅದು ನಮಗೆ ಕೆಲವು ಸೆಳೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹಿಂದಿನ/ಪ್ರಸ್ತುತ/ಭವಿಷ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತೀರ್ಮಾನಗಳು, ಅವಳ ನಡವಳಿಕೆಯ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಊಹೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ.

ಎಂದಿನಂತೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ ... ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಾದರಿ (ಸ್ಟೋಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಮಾದರಿ) ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ.. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವಾಗ ಈ ಮಾದರಿಯು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮಾನದಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವಲೋಕನದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮುಂದಿಡುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ, ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಡಚಣೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಡವಳಿಕೆ.

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳು ಮಾದರಿ ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಮಾದರಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಞಾನದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಗೆಗಿನ ವಿಚಾರಗಳು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸ್ವರೂಪದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಗೊಂದಲದ ಪ್ರಭಾವಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೇವಲ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ್ದರೆ, ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಬೆಂಬಲಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ-ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಮಾದರಿ ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ಡೇಟಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಅವುಗಳ ಮಾದರಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ವಸ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ಘಟನೆಗಳ ದೊಡ್ಡ ಸಂಗ್ರಹಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಸಾಕಷ್ಟು ದೀರ್ಘಾವಧಿಯವರೆಗೆ ಒಂದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಡೇಟಾ). ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಈ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಘಟನೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಅನುಸರಿಸುವ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಕೊಂಡಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ದತ್ತಾಂಶದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು, ಇದು ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ಡೇಟಾವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಅಥವಾ ಈ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಹ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಸಾಮೂಹಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳು ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟವುಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ (ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ). ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕೃತಕವಾಗಿ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ನಿಖರತೆ).

ಹಿಂದಿನ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಇತರ ವಿಷಯಗಳ ಜೊತೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ-ಭಾಷಾ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಕಮಾನುಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ತೂಕವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಲಾಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಬಂಧದ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸದೆ ಪಾಲಿಸೆಮಿ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಥೆಸೌರಿ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳು ಮಾದರಿಯ ಆಧಾರವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇತರ ರೀತಿಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಅವಲೋಕನಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸಲು, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ, ಹಿಂಜರಿತ, ಅಂಶ, ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಇತರ ರೀತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಊಹೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ವಿಧಾನ (ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನ ) ಇದು ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಬಹು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್‌ಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವುದು ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಹಲವಾರು ಅನುಷ್ಠಾನಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲೆ ಗೊಂದಲದ ಪ್ರಭಾವಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಭಾವಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಬದಲಾಗಬಹುದು.

ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಒಂದೇ ಲಾಟ್‌ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ವಸ್ತು ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲೆ ಗೊಂದಲದ ಪ್ರಭಾವದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಭಾವಗಳ ವಿತರಣಾ ಮಾದರಿಯ ಸಮರ್ಪಕತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದರಿಂದ, ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರಗಳ ದೃಢತೆ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು). ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಫಲಿತಾಂಶವು ದೃಢವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ), ನಂತರ ಇದು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಈ ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಪಾಯದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಮಾದರಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಗಳಿಂದ ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ "" ಮಾರ್ಕೋವಿಯಾನಿಟಿ » ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು (ರಷ್ಯಾದ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಎ.ಎ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ - 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭ). ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲವು ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಇತಿಹಾಸವು ಮುಂದಿನ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ - ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಅದರ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಿತಿ. ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ವಾಸವಿದ್ದರೆ, ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು "ಜಡತ್ವ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅದರ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಗೊಂದಲದ ಪ್ರಭಾವದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ). ಮಾರ್ಕೊವ್ ತತ್ವವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿನ ಪಠ್ಯಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು, ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪಠ್ಯ ರಚನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮುಂದಿನ ಅಕ್ಷರದ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ , ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಮಾದರಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಸಂಭವನೀಯ (ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ) ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಮುಳುಗಿರುತ್ತದೆ" ಇದರಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಮಾದರಿ/ವಸ್ತುವಿನ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ವಹಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ನಿರ್ವಹಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ಬಳಕೆಯು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಿಂದ ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮಾದರಿಗಳ ಆಳವಾದ ಗಣಿತದ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅಗತ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಬಳಕೆದಾರರ ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೇಡಿಕೆಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ.