ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸರಣಿಗಳು. ಪವರ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸರಣಿ
1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ x+iy,ಎಲ್ಲಿ Xಮತ್ತು y -ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, i-ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ,ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ i 2 =-1. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾನ್ಯಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳುಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z.ಅವರಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪದನಾಮಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ: x=Rez; y=Imz.
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z=x+iyಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ M(x;y)ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲ xOу(ಚಿತ್ರ 26). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಮಾನ xOyಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮತಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ z ನ ಸಮತಲ.
ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಆರ್ಮತ್ತು φ ಅಂಕಗಳು ಎಂ,ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು z ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಮತ್ತು ವಾದಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z; ಅವರಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪದನಾಮಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ: r=|z|, φ=Arg z.
ಸಮತಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಧ್ರುವ ಕೋನದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪರಸ್ಪರ 2kπ (k ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ Arg z z ನ ಅನಂತ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯಗಳು φ , ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ –π< φ ≤ π ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ z ಮತ್ತು arg z ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, ಪದನಾಮ φ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ z ನ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಉಳಿಸಿ , ಆ. ಹಾಕೋಣ φ =arg z,ಆ ಮೂಲಕ ವಾದದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ zನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
Arg z = arg z + 2kπ =φ + 2kπ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ಮತ್ತು ಅದರ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ
x = r cos φ; y = r ಪಾಪ φ.
ವಾದ zಸೂತ್ರದಿಂದಲೂ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು
arg z = arctg (u/x)+C,
ಎಲ್ಲಿ ಜೊತೆಗೆ= 0 ನಲ್ಲಿ x > 0, ಜೊತೆಗೆ= +π ನಲ್ಲಿ x<0, ನಲ್ಲಿ> 0; ಸಿ = - π ನಲ್ಲಿ x < 0, ನಲ್ಲಿ< 0.
ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ z = x+iуಮೂಲಕ ಅವರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಆರ್ಮತ್ತು φ , ನಾವು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ:
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು z 1 = x 1 + iy 1ಮತ್ತು z 2 = x 2 + iy 2ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಮಾನಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ:
z 1 = z 2, ವೇಳೆ x 1 = x 2, y 1 = y 2.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಾದಗಳು 2π ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನತೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ:
z 1 = z 2,ಒಂದು ವೇಳೆ |z 1 | = |z 2 |ಮತ್ತು Arg z 1 = Arg z 2 +2kπ.
ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು z = x+iуಮತ್ತು z = x -iуಸಮಾನ ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧವಾದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಯೋಜಿತ.ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಹಿಡಿದಿರುತ್ತವೆ:
|z 1 | = |z 2 |; arg z 1 = -arg z 2,
(ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಗೆ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು Arg z 1 + Arg z 2 = 2kπ).
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸೇರ್ಪಡೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2, ಅದು
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಪರಿವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ:
ವ್ಯವಕಲನ. ಒಂದು ವೇಳೆ , ಅದು
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. z,ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ: ಸಂಖ್ಯೆ z = x + iуವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು (ಸಮತಲದ "ಶೂನ್ಯ" ಬಿಂದು - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲ) ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯ M(x;y).ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 27).
ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಎರಡರ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ:
| |z 1 |-|z 2 | | ≤ |z 1 ±z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ,
ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ z 1 ಮತ್ತು z 2 z ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:| |z 1 -z 2 |=d(z 1 ,z 2) .
ಗುಣಾಕಾರ. ಒಂದು ವೇಳೆ z 1 = x 1 +iy 1, z 2 = x 2 + iy 2. ಅದು
z 1 z 2 =(x 1 x 2 -y 1 y 2)+i(x 1 y 2 +x 2 y 1).
ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದ್ವಿಪದಗಳಾಗಿ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, i 2 ಅನ್ನು -1 ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
IF, ನಂತರ
ಹೀಗಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸೊಮ್ನೋಕ್ವಿಟೆಲ್‌ಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವಾದ-ಅಂಶಗಳ ವಾದಗಳ ಮೊತ್ತ.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಪರಿವರ್ತಕ, ಸಂಯೋಜಕ ಮತ್ತು ವಿತರಕ (ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಕಾನೂನುಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ:
ವಿಭಾಗ.ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕವನ್ನು ಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು:
" ಒಂದು ವೇಳೆ ನಂತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ
ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂಶದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಮಾಡ್ಯೂಲಿಯ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ,ಎ ವಾದಖಾಸಗಿ ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ವಿಭಾಜಕದ ವಾದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಘಾತ. z= ಆಗಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
(ಪು- ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ); ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ iಅವುಗಳ ಅರ್ಥಗಳು:
i 2 = -1; i 3 = i; i 4 =1; i 5 =1,…
ಮತ್ತು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ,
i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i .
ವೇಳೆ, ನಂತರ
(ಇಲ್ಲಿ ಎನ್ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಆಗಿರಬಹುದು).
ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,
(ಮೊಯಿವ್ರೆ ಸೂತ್ರ).
ರೂಟ್ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎನ್ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ನಂತರ ಮೂಲ n ನೇ ಪದವಿಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ zಎನ್ ಹೊಂದಿದೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥಗಳು, ಇವುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಅಲ್ಲಿ k=0, 1, 2, ..., n-1.
437.
ಹುಡುಕಿ (z 1 z 2)/z 3 if z 1 = 3 + 5i, z 2 = 2 + 3i, z 3 = 1+2i.
∆
438.
ಸಂಖ್ಯೆ z= 2 + 5i.
∆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ವಾದದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: . ಆದ್ದರಿಂದ, ▲
439.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ
ಸಂಖ್ಯೆ 
∆ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 
, ; ,, ಅಂದರೆ.
440.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1, i, -1, -i.
441.
ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ,
,
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
z 1 /(z 2 z 3).
∆ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಆದ್ದರಿಂದ,
442. ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
∆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ , . ಆದ್ದರಿಂದ,
ಆದ್ದರಿಂದ,,,
443. ದ್ವಿಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ω 5 + 32i = 0.
∆ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ ω 5 + 32i = 0. ಸಂಖ್ಯೆ -32iಅದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ:
ಒಂದು ವೇಳೆ ಕೆ = 0,ನಂತರ (ಎ).
ಕೆ =1,(ಬಿ)
ಕೆ =2,(ಸಿ)
ಕೆ =3,(ಡಿ)
ಕೆ =4,(ಇ)
ದ್ವಿಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ನಿಯಮಿತ ಪೆಂಟಗನ್‌ನ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತವೆ R=2ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ (ಚಿತ್ರ 28).
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ದ್ವಿಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ω n =a,ಎಲ್ಲಿ ಎ- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸರಿಯಾದ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎನ್ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ▲ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ -ಗೊನ್ ಅನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ
444. Moivre ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ сos5φಮತ್ತು sin5φಮೂಲಕ сosφಮತ್ತು sinφ.
∆ ನಾವು ನ್ಯೂಟನ್ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಸಮಾನತೆಯ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ:
445. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ z = 2-2i. ಹುಡುಕಿ Re z, Im z, |z|, arg z.
446. z = -12 + 5i.
447 . Moivre ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ (cos 2° + isin 2°) 45 .
448. Moivre ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.
449. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ
z = 1 + cos 20° + isin 20°.
450. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ (2 + 3i) 3 .
451.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ 
452. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ
453. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ 5-3i.
454. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ -1 + ಐ.
455.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ 
456.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ 
ಈ ಹಿಂದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದೆ.
457. ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ
458.
ದ್ವಿಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 
459. ಎಕ್ಸ್ಪ್ರೆಸ್ сos4φಮತ್ತು sin4φಮೂಲಕ сosφಮತ್ತು sinφ.
460. ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ತೋರಿಸಿ z 1ಮತ್ತು z 2ಸಮಾನ | z 2-z 1|.
∆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ z 1 = x 1 + iу 1, z 2 = x 2 + iу 2, z 2 -z 1 = (x 2 -x 1) + i(y 2 -y 1),ಎಲ್ಲಿ
ಆ. | z 2-z 1| ಈ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ▲
461. ಯಾವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ? z, ಅಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು ಜೊತೆಗೆಸ್ಥಿರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು R>0?
462.
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವೇನು: 1) | z-c|
463. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವೇನು: 1) ಮರು z > 0; 2) Im z< 0 ?
2. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ z 1, z 2 , z 3, ..., ಎಲ್ಲಿ z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...).ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ c = a + biಎಂದು ಕರೆದರು ಮಿತಿಅನುಕ್ರಮಗಳು z 1, z 2 , z 3 , ..., ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ δ>0 ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎನ್,ಅರ್ಥವೇನು z pಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಎನ್ > ಎನ್ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು \z ಪು-ಜೊತೆಗೆ\< δ . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ .
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಹೀಗಿದೆ: ಸಂಖ್ಯೆ c=a+biಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ x 1 +iу 1, x 2 + iу 2, x 3 + iу 3, …ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ವೇಳೆ, .
(1)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಮ್ಮುಖ,ಒಂದು ವೇಳೆ n ನೇ S n ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತ ಪು → ∞ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂತಿಮ ಮಿತಿಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸರಣಿ (1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಿನ್ನವಾದ.
ಸರಣಿ (1) ನೈಜ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
(2) ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ, ಅದರ ನಿಯಮಗಳು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ^
474. ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ z 1, z 2, ..., z n, ...ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
z 1 + z 2 + ..., z n + ... =,(3.1)
ಅಲ್ಲಿ z n ಅನ್ನು ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಸಂಖ್ಯೆ S n = z 1 + z 2 + ..., z nಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಅದರ ಆಂಶಿಕ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮ (Sn) ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ ಸರಣಿ (1) ಅನ್ನು ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಂಶಿಕ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸರಣಿಯನ್ನು ಡೈವರ್ಜೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, S = ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ (3.1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
z n = x n + iy n,
ನಂತರ ಸರಣಿ (1) ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
= + .
ಪ್ರಮೇಯ:ಸರಣಿ (1) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳ (3.1) ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.
ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ನೈಜ ಪದಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಒಮ್ಮುಖ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ (ಅಗತ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ, ಹೋಲಿಕೆ ಪರೀಕ್ಷೆ, ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆ, ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.).
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಸರಣಿ (1) ಅದರ ಸದಸ್ಯರ ಮಾಡುಲಿಯಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ.ಸರಣಿ (3.1) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು, ಸರಣಿ ಮತ್ತು .
ಉದಾಹರಣೆ 3.1.ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
ಪರಿಹಾರ.
ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ
ಈ ಸರಣಿಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ
ಅವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ.
ರಿಂದ , ನಂತರ ನಾವು ಸರಣಿಯ ಬದಲಿಗೆ ಸರಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ . ಕೊನೆಯ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ಸರಣಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಇದರರ್ಥ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಮೂಲ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
4. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಪವರ್ ಸರಣಿ. ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಬೆಲ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯ. ಒಮ್ಮುಖದ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ರೂಪದ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ
ಅಲ್ಲಿ ..., ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು (4.I) ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ.
ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ R ನ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಿ:
ಸರಣಿ (4.1) ಎಲ್ಲಾ ಅಧಿಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ನೇರವಾಗಿ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಅಥವಾ ಕೌಚಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 4.1.ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
ಪರಿಹಾರ:
ಎ) ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ
ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ
ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ
ಬಿ) ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು L'Hopital ನಿಯಮವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ.
ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಾದರೆ . ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.
5. ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು.
6. ಯೂಲರ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರಗಳು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಾತೀಯ ರೂಪ.
7. ಸಂಕಲನ ಪ್ರಮೇಯ. ಆವರ್ತಕತೆ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ.
ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:
ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ:
ಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ
ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು , , ನಿಜವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಕಲನ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೊಂದಿದೆ:
ಪ್ರತಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
- ಅವರ ವಾದ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.1.ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.2.ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
8. ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿ, ನಿರಂತರತೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ನಿರಂತರತೆ.
ಅವಕಾಶ ಇ- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಅವರು ಅನೇಕರ ಮೇಲೆ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಇಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ fಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ z,ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ವೇಳೆ zನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಇ fಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ(ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಏಕ-ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು - ಬಹು-ಮೌಲ್ಯ). ಸೂಚಿಸೋಣ w = f(z). ಇ- ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್.
ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ w = f(z) (z = x + iy)ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು
f(z) = f(x + iy) = U(x, y) + iV(x, y).
U(x, y) = R f(z)ಕಾರ್ಯದ ನಿಜವಾದ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು V(x, y) = Im f(z)- ಕಾರ್ಯದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ f(z).
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ w = f(z)ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿದೆ z 0,ಬಹುಶಃ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ z 0. A ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f(z)ಹಂತದಲ್ಲಿ z 0, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ε > 0, ನಾವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ δ > 0 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು z = z 0ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು |z – z 0 |< δ , ಅಸಮಾನತೆ ಈಡೇರುತ್ತದೆ | f(z) – A|< ε.
ಬರೆಯಿರಿ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ z → z 0ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ.
ಪ್ರಮೇಯ.ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕಾಗಿ w = f(z)ಹಂತದಲ್ಲಿ z 0 = x 0 + iy 0ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ U(x, y)ಮತ್ತು ವಿ(x, y)ಹಂತದಲ್ಲಿ (x 0, y 0).
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ w = f(z)ಈ ಹಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ z 0 ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯ f(z)ಬಿಂದು z 0 ವೇಳೆ ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಪ್ರಮೇಯ.ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ z 0 = x 0 + iy 0ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ U(x, y)ಮತ್ತು ವಿ(x, y)ಹಂತದಲ್ಲಿ (x 0, y 0).
ನೈಜ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 7.1.ಕಾರ್ಯದ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ
ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ, ಕಾರ್ಯ U(x, y)ವಿಭಿನ್ನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ z = 0ಕಾರ್ಯ f(z)ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಮುಂದೆ, ಕಾರ್ಯ f(z)ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಅವಕಾಶ z 0 = x 0 +iy 0, ಈ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು.
ಇದರರ್ಥ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ z = x +iyನಲ್ಲಿ y 0 ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
9. ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಸರಣಿಗಳು. ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖ. ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ನಿರಂತರತೆ.
ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಸಮಾನ ಒಮ್ಮುಖದ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು, ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ನಿರಂತರತೆ, ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವು ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ನೈಜ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಸರಣಿಗಳಿಗಾಗಿ.
ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಗಳ ಕುರಿತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ್ಚೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.
ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಅವಕಾಶ ಡಿಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ (fn (z)) ನ ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಚಿಹ್ನೆ:
ಕರೆ ಮಾಡಿದೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣಿ.
ಒಂದು ವೇಳೆ z0ಸೇರಿದೆ ಡಿಸ್ಥಿರ, ನಂತರ ಸರಣಿ (1) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣಿ (1) ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಿ, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ zಒಡೆತನದಲ್ಲಿದೆ ಡಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಾಲು ವೇಳೆ (1) ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಡಿ, ನಂತರ ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು f(z), ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯ zಸೇರಿದೆ ಡಿಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ (1) ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಡಿ .
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಒಂದು ವೇಳೆ
ಯಾರಿಗಾದರೂ zಒಡೆತನದಲ್ಲಿದೆ ಡಿ,ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:
ನಂತರ ಒಂದು ಸರಣಿ (1) ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಿ.
19.4.1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ.ಒಮ್ಮುಖದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ನಿಜವಾದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
19.4.1.1. ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು. ನಮಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡೋಣ z 1 , z 2 , z 3 , …, z ಎನ್ , ….ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಜವಾದ ಭಾಗ z ಎನ್ ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಎ ಎನ್ , ಕಾಲ್ಪನಿಕ - ಬಿ ಎನ್
(ಅವು. z ಎನ್ = ಎ ಎನ್ + i ಬಿ ಎನ್ , ಎನ್ = 1, 2, 3, …).
ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ- ರೂಪದ ದಾಖಲೆ.
ಭಾಗಶಃಮೊತ್ತಗಳುಸಾಲು: ಎಸ್ 1 = z 1 , ಎಸ್ 2 = z 1 + z 2 , ಎಸ್ 3 = z 1 + z 2 + z 3 , ಎಸ್ 4 = z 1 + z 2 + z 3 + z 4 , …,
ಎಸ್ ಎನ್ = z 1 + z 2 + z 3 + … + z ಎನ್ , …
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ ಎಸ್
ಒಂದು ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳು 
, ಇದು ಸರಿಯಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ; ಸಂಖ್ಯೆ ಎಸ್
ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕರೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ ಎಸ್
= z
1
+ z
2
+ z
3
+ … +
z
ಎನ್
+ ... ಅಥವಾ 
.
ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
ಎಸ್ ಎನ್ = z 1 + z 2 + z 3 + … + z ಎನ್ = (ಎ 1 + i ಬಿ 1) + (ಎ 2 + i ಬಿ 2) + (ಎ 3 + i ಬಿ 3) + … + (ಎ ಎನ್ + i ಬಿ ಎನ್ ) = (ಎ 1 + ಎ 2 + ಎ 3 +…+ ಎ ಎನ್ ) +
ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ 
ಮತ್ತು 
ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಅದರ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಣಿಯು ಅದರ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ 
.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಹಲವಾರು ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ 
: ನಂತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಭಾಗಗಳ ಸರಣಿ: ; ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳ ಸರಣಿ; ಎರಡೂ ಸರಣಿಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ (ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ), ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
19.4.1.2. ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಸಾಲು 
ಎಂದು ಕರೆದರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ 
, ಅದರ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ.
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸರಣಿಗಳಂತೆ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ 
, ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ 
(
, ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿಯ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸರಣಿ 
, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಪ್ಪುತ್ತೇನೆ). ಸಾಲು ವೇಳೆ 
ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸರಣಿ 
ಬೇರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸರಣಿ 
ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಾಲು 
- ನಕಾರಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಣಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ನೀವು ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಹೋಲಿಕೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯವರೆಗೆ).
ಉದಾಹರಣೆ.ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ 
.
ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ (): 
. ಈ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ (ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆ 
), ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
19.4. 1 . 3 . ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.ಸಂಕೀರ್ಣ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಗಾಗಿ, ನೈಜ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:
ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಅಗತ್ಯ ಚಿಹ್ನೆ.
ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಸೊನ್ನೆಯಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ
.
ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ 
, ನಂತರ ಸರಣಿಯ ಯಾವುದೇ ಶೇಷವು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಸರಣಿಯ ಯಾವುದೇ ಶೇಷವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸರಣಿಯು ಸ್ವತಃ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅದರ ಶೇಷದ ಮೊತ್ತಎನ್
- ಪದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ
.
ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆಜೊತೆಗೆ , ನಂತರ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಜೊತೆಗೆ .
ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿ (ಎ
) ಮತ್ತು (IN
) ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು; ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
.
ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಹೊಸ ಸರಣಿಯನ್ನು ರಚಿಸಿದರೆ, ಈ ಹೊಸ ಸರಣಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತವು ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಸರಣಿ.
ಒಂದು ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಮರುಹೊಂದಿಸಿದರೂ, ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಒಂದು ವೇಳೆ ಸಾಲುಗಳು (ಎ
) ಮತ್ತು (IN
) ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು
, ನಂತರ ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನ, ನಿಯಮಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
.
ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ (1.5) ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ (ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ) ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳು, ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವು ಎರಡು ಸರಣಿಗಳ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನೈಜ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿ 
− ಭಿನ್ನವಾಗುತ್ತದೆ (ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗದಿಂದಾಗಿ).
ಸರಣಿಯ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ದಿ
ಸಾಲು, ಏಕೆಂದರೆ 
. ಸಂಭಾಷಣೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ: ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಣಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖದಿಂದ
ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:
ನೈಜ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಗೆ ಸದೃಶವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ
ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸರಣಿ, ಅವುಗಳ ಪಾಯಿಂಟ್‌ವೈಸ್ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶ. ಬದಲಾವಣೆ ಇಲ್ಲ
ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಚಿಹ್ನೆಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖ. ಉಳಿಸಲಾಗಿದೆ
ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿ ಶಕ್ತಿ
ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು: , ಅಥವಾ ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ : . ನಿಜವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದ್ದಂತೆ
ವೇರಿಯಬಲ್, ನಿಜ ಅಬೆಲ್ ಪ್ರಮೇಯ : ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್ (ಕೊನೆಯ) ಬಿಂದು ζ 0 ≠ 0 ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಯಾವುದೇ ζ ಗೆ ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ
ಹೀಗಾಗಿ, ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರದೇಶ ಡಿಇದು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ R ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲಿ ಆರ್ − ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯ - ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಿಖರವಾದ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ (ಈ ಪದವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ). ಮೂಲ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ z 0 ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ (ಕೊನೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ತಕ್ಷಣವೇ ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (ಕೋರ್ಸ್ "ಸರಣಿ" ನೋಡಿ)).
ಉದಾಹರಣೆ .
ಒಮ್ಮುಖದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು tm ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. z 1 ಮತ್ತು z 2 ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿ 
ಪರಿಹಾರ. 
ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶ - ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತ ಆರ್= 2 ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ t. z 0 = 1 − 2i
. z 1 ಒಮ್ಮುಖದ ವೃತ್ತದ ಹೊರಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ಬಿಂದುವು ಒಮ್ಮುಖದ ವೃತ್ತದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಅದನ್ನು ಮೂಲ ಸರಣಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ:
- ಲೈಬ್ನಿಜ್‌ನ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಸರಣಿಯು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಎಲ್ಲಾ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರಕಾರ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಡಿಗೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಾಲಾಗಿ ಇರಿಸಿ
ನಿಯಮಗಳ ಮೌಲ್ಯದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳಿಂದ ಆರ್ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬದಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.
ಉದಾಹರಣೆ. ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: 
ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ: 
ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮಾಡೋಣ
ಒಮ್ಮುಖದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತ್ರಿಜ್ಯ:
ನಾವು ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ f(z), ಅಂದರೆ. f(z) = (ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ, ರಲ್ಲಿ
ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶಗಳು), ನಂತರ ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಟೇಲರ್ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು f(z) ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆ f(z) ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, z 0 = 0 ಗಾಗಿ, ಸರಣಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಬಳಿ ಕಾರ್ಯಗಳು f(z) .
1.7 ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರ.
ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ zನಿಜವಾದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ನಂತರ ಅದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ
ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ
ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣ: , ಅಂದರೆ. 
. ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ:
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. 
.
ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.
ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸರಣಿಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಸುತ್ತುವರಿದ ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ.
ಪಡೆದ ಮೂರು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ, ಸರಳವಾದ ಪರ್ಯಾಯವು ಫಲ ನೀಡುತ್ತದೆ ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರ:
ಇಲ್ಲಿಂದ ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಸೂಚಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ರೂಪ:
ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: 
ಉಳಿದ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ:
ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿ
2. 
(ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ i
, ಪ್ರದರ್ಶನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ)
4. 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: 
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:
ನಾವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿಜವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು
ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ನೈಜ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಘಾತೀಯ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ವಿಲೋಮ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ, ಇದನ್ನು ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಮೀಕರಣದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ zಪ್ರದರ್ಶನ ರೂಪದಲ್ಲಿ:
ಆರ್ಗ್ ಬದಲಿಗೆ z Arg ಬರೆಯಿರಿ z(1.2), ನಂತರ ನಾವು ಅನಂತ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
1.8 FKP ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು.
ಅವಕಾಶ ಡಬ್ಲ್ಯೂ = f(z) ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯದಿಂದ f (z) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ:
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯ z, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಭಿನ್ನವಾಗಬಲ್ಲ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ.
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ .
ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅದೇ ರೀತಿ ಎಂದು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಘಾತೀಯ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಸರಣಿಯು ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ನೇರ ಪರಿಶೀಲನೆಯ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ:
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. FKP ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ FKP ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ (ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 1.5 ರಲ್ಲಿನ ಟಿಪ್ಪಣಿಯನ್ನು ನೋಡಿ).
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.ಕಾರ್ಯ f(z) , ಪ್ರದೇಶದ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜಿ, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ನಿಯಮಿತ ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ.
ಪ್ರಮೇಯ 1 . ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (z) ಜಿ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಇದು ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. (ಬಿ/ಡಿ)
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ FKP ಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 2. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಆ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (n/d. ಕೆಳಗೆ (ವಿಭಾಗ 2.4 ರಲ್ಲಿ) ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ)
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ: ಪ್ರಮೇಯ 3. ( ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು). ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ f (z) ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಯು(x,ವೈ) ಮತ್ತು v(x,ವೈ) ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು
ಮತ್ತು ಕರೆದರು ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು .
ಪುರಾವೆ . ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರಮಾಣವು ಒಲವು ತೋರುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ
ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ: ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಅಂತೆಯೇ, ಯಾವಾಗ 
ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: 
, ಇದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಂವಾದವೂ ನಿಜ:
ಪ್ರಮೇಯ 4.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ ಯು (x,ವೈ) ಮತ್ತು v(x,ವೈ) ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಃ f(z) - ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. (ಬಿ/ಡಿ)
ಪ್ರಮೇಯಗಳು 1 - 4 PKP ಮತ್ತು FDP ನಡುವಿನ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ.
ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಮೇಯ 3 ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: 
ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಕಾರ್ಯವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.
ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1 + ಡಬ್ಲ್ಯೂ 2 +…+ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎನ್ +…= (1), ಎಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎನ್ = ಯು ಎನ್ + i· v ಎನ್ (ಎನ್ = 1, 2, …) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳು) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿ.
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎನ್ (ಎನ್ = 1, 2, …) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸದಸ್ಯರು, ಸದಸ್ಯ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎನ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯ.
ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಸ್ ಎನ್ = ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1 + ಡಬ್ಲ್ಯೂ 2 +…+ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎನ್ (2) (ಎನ್ = 1, 2, …) , ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳು (1).
ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಮಿತಿ ಎಸ್ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಎಸ್ ಎನ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಈ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ.
ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ ಎಸ್ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಮ್ಮುಖ, ಮಿತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿ ಭಿನ್ನವಾದ.
ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಸ್ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ (1), ನಂತರ ಬರೆಯಿರಿ 
.
ಅವಕಾಶ 
, ಎ 
. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ σ
ಎನ್ =
ಯು 1
+
ಯು 2
+…+
ಯು ಎನ್ ,
τ
ಎನ್ =
v 1
+
v 2
+…+
v ಎನ್. ಸಮಾನತೆ ನಮಗೆ ಹೇಗೆ ಗೊತ್ತು
(ಎಸ್ಸಹಜವಾಗಿ) ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು
. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸರಣಿಯ (1) ಒಮ್ಮುಖವು ಎರಡು ನೈಜ ಸರಣಿಗಳ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: 
ಮತ್ತು 
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಮ್ಮುಖ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಮ್ಮುಖ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ: ಸರಣಿ (1) ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ 
ಎಂದು ಎಲ್ಲರ ಮುಂದೆಎನ್
>
ಎನ್ಮತ್ತು ಯಾವುದೇಪು= 1, 2, … ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ.
ಈ ಮಾನದಂಡವು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: ಸರಣಿ (1) ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಕ್ಕಿಂತ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎನ್ → 0 .
ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಜ: ಸಾಲುಗಳಿದ್ದರೆ
ಮತ್ತು
ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಎಸ್ಮತ್ತುಡಿ, ನಂತರ ಸಾಲುಗಳು
ಮತ್ತು
ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಎಸ್
±
ಡಿಮತ್ತು λಎಸ್
.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿ 
(1) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ 
(2).
ಪ್ರಮೇಯ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿ (1) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸರಣಿಗೆ (1) ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಾಕು. ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ 
. ಸರಣಿ (1) ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖದ ಕಾರಣ, ಸರಣಿ (2) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಯ್ಕೆಯಾದವರಿಗೆ 
, ಅದು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಎನ್
>
ಎನ್ಮತ್ತು ಪು=1,2,...ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ 
, ಆದರೆ 
, ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ 
ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎನ್
>
ಎನ್ಮತ್ತು ಪು=1,2,…
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸರಣಿಗೆ (1) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿ (1) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ ನಿಜ.
ಪ್ರಮೇಯ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಗಾಗಿ
(1) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ; ನೈಜ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ
(3) ಮತ್ತು
(4), ಎಲ್ಲಿಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎನ್
=
ಯು ಎನ್ +
i·
v ಎನ್
(ಎನ್
= 1, 2,…).
ಪುರಾವೆ,
ಕೆಳಗಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ
(5)
ಅವಶ್ಯಕತೆ.ಸರಣಿ (1) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲಿ, ಸರಣಿ (3) ಮತ್ತು (4) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ 
ಮತ್ತು 
(6) ಸರಣಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖದಿಂದ (1) ಅದು ಆ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (2) 
ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ (5), ಸರಣಿ (6) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸರಣಿ (3) ಮತ್ತು (4) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಮರ್ಪಕತೆ.ಸರಣಿ (3) ಮತ್ತು (4) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲಿ, ಸರಣಿ (1) ಸಹ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಆ ಸರಣಿ (2) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಣಿ (3) ಮತ್ತು (4) ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖದಿಂದ ಅದು ಸರಣಿ (6) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿಯು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ 
. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ (5), ಸರಣಿ (2) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸರಣಿ (1) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಣಿಯ (1) ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ (3) ಮತ್ತು (4) ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೈಜ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಣಿಗಾಗಿ, ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಣಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು, ಧನಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
ಕೌಚಿಯ ಚಿಹ್ನೆ.
ಸರಣಿ (1) ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ
, ನಂತರ ವೇಳೆq
< 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если
q>1, ನಂತರ ಸರಣಿ (1) ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿ (1) ಗೆ ಒಂದು ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ
, ನಂತರ ಯಾವಾಗq
< 1 этот ряд абсолютно сходится, а если
q> 1, ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ 
, ಇಲ್ಲಿ 
.
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ 
=
=
.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ.
Google+
