ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ನಂತರ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ಪ್ರದರ್ಶನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಪ್ರದರ್ಶನಗಳ ವಿಧಗಳು. Fig.1.5. ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್

X ಮತ್ತು Y ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ 2.1. ಒಂದು ಸೆಟ್ X ಅನ್ನು Y ಸೆಟ್‌ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು ಅಥವಾ Y ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ X ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ x £ X ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನನ್ಯ ಅಂಶ y € Y ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ X ಅನ್ನು ಡಿಫೈನ್ಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ / ಮತ್ತು ಇದನ್ನು D(f ) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, xbX ಅಂಶವು ಕಾರ್ಯದ ವಾದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು y £ Y ಅಂಶವು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, z £ X ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ y £ Y ಅಂಶವನ್ನು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ x ಅಂಶದ ಚಿತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ / ಅಥವಾ x ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ f ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು f(x) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿ / (ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ X ಸೆಟ್‌ನ ಚಿತ್ರ /) D(/) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಸೆಟ್ X = D(f) ಎಂಬುದು ನಕ್ಷೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ f(X) = R(f) ಸೆಟ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ನೀಡಿರುವ ಅಂಶ y £ Y ಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ x 6 Xy ಅಂದರೆ f(x) = y ಅನ್ನು y ಅಂಶದ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು /-1(y) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ (ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯ) ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಅಂಶವು / : X Y, ಅಥವಾ /: x y, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ y = /(i) ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯ / ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ /(g) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. x € X ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಪದನಾಮ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆ f(x) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಪ್ಪುಗ್ರಹಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ನಿಯಮದಂತೆ, ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. f:x-+y ಗಿಂತ f(x) ಸಂಕೇತವು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗಾಗಿ, ಎಫ್(x) = x2 ಸಂಕೇತವು /: x -> x2 ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದ ಎಫ್(x) ಪದನಾಮವನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಪದನಾಮದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, ನಂತರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ f(x), x eX ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: 1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ X\ 2) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ Y; 3) ನಿಯಮ /, ಇದು ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ x £ X ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ y = f(x) £ Y. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.1 X ಮತ್ತು Y ಸೆಟ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ವರ್ಗದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, Y C R ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ f(x) ಅನ್ನು ನಿಜವಾದ (ಅಥವಾ ಸ್ಕೇಲಾರ್) ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು Y C Rn ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ f(x) ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. F(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ X ಡೊಮೇನ್ R ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಅದರ ಕೆಲವು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, f(x) ಅನ್ನು ನಿಜವಾದ (ಅಥವಾ ನೈಜ) ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು XCR.h Y CR, f(x) ಅನ್ನು ನಿಜವಾದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು N = (1, 2, ...), ನಂತರ ಇದನ್ನು Y ಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು Vn] ಅಥವಾ (yn) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ n€ ಗೆ vn = /n = /(n)€U N, ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ Y C R - ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮ (ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ). ಉಪವಿಭಾಗವು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ A C X ನ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ / : X Y. A C X ಮತ್ತು B C X ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತವೆ: ಮತ್ತು L C B ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉಪವಿಭಾಗವು S C Y ಉಪವಿಭಾಗದ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ f: X->Y. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೆಟ್ 5 ರ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರವು ಆ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು x € Xy ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಕಾರ್ಯ / ನಕ್ಷೆಗಳು S ನಿಂದ ಅಂಶಗಳಾಗಿ, ಅಥವಾ, ಸೆಟ್ 5 ರ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರವು ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ y G 5, ಅಂದರೆ. 5 С У ಮತ್ತು Г С У ಸೆಟ್‌ಗಳ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು S ST /-1(S) С /-1(Г) ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ. A C X ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ /: X ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ /q: A Y) ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ /a(α) = f(x) ಫಾರ್ x € A. ಈ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ (ಕಾರ್ಯ) ಎಫ್ ನಿರ್ಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೆಟ್ A ಗೆ. ಎಫ್ ಎಂಬುದು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ (ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಫ್‌ಎ ಸೆಟ್ A ಯ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವೈ ಅನ್ನು X ಗೆ ಹೊಂದಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವರು ಬರೆಯುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಂಶಗಳು

ಸೆಟ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಿವೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಮುಖಗಳ ಸೆಟ್, ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಸೆಟ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಇತರ ಸರಳವಾದವುಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. "ಸೆಟ್" ಎಂಬ ಪದದ ಬದಲಿಗೆ, ಅವರು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಸಂಗ್ರಹ", "ಸಂಗ್ರಹ" ವಸ್ತುಗಳ "ಸಂಗ್ರಹ" ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿದೆ ಅನಂತ ಸೆಟ್‌ಗಳು. ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳುಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್.

ಆದರೆ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಖಾಲಿ ಸೆಟ್. ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಿ ಎÎ X ಎಂದರೆ ಅದು ಎಇದು X ಸೆಟ್‌ನ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಸೆಟ್ ಬಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಉಪವಿಭಾಗಸೆಟ್ B ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ A ಯ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ A ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ.

ಪ್ರತಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶಸೆಟ್ ಎ ಈ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್‌ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಸೆಟ್ A ಯ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಅಲ್ಲ, ಇದು ಸೆಟ್ A ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ.

B ಸೆಟ್ A ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು A ಯಲ್ಲಿ B ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು B Í A ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. A ಗುಂಪಿನ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು B ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವಂತ B ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು A ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ ಉಪವಿಭಾಗ (ಅಂದರೆ, B ಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ A ಗುಂಪಿನ ಅಂಶವಿದೆ).

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ

A ಮತ್ತು B ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. A ಮತ್ತು B ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು C = AÈB ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು A ಮತ್ತು B ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1 ನೋಡಿ).

ಯಾವುದೇ (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: A ವೇಳೆ iಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಅಂಶಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸೆಟ್ A ಗೆ ಸೇರಿದೆ i.

Fig.1 Fig.2

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. A ಮತ್ತು B ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದಕವು C = AÇB ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು A ಮತ್ತು B ಎರಡಕ್ಕೂ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ). ಯಾವುದೇ (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ) ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದನ A i A ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ i.

ಯೂನಿಯನ್ ಮತ್ತು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಪರಿವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ.

AÈB = B È A, (A ÈB) ÈC = A È (B È C),

A Ç B = B Ç A, (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C).

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ವಿತರಿಸುತ್ತವೆ:

(A È B) Ç C = (A Ç C) È (B Ç C), (1)

(A Ç B) È C = (A È C) Ç (B È C). (2)

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ A ಮತ್ತು B ಸೆಟ್‌ಗಳು A ಯಿಂದ ಆ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು ಅದು B ನಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ( ಅಕ್ಕಿ. 3).

ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ

X ಮತ್ತು Y ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್‌ಗಳಾಗಿರಲಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. X ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ f, ಪ್ರತಿ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ Y ನಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ xÎ X ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ವೈО Y. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ X ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು Y ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ವಭಾವದ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ, "ಫಂಕ್ಷನ್" ಎಂಬ ಪದದ ಬದಲಿಗೆ, "ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ X ನಿಂದ ಅಂಶ, ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶ ಬಿ = f(ಎ) ನಿಂದ Y ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ aಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾಗ f. ಆ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಎ X ನ ಚಿತ್ರವು ನೀಡಲಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಬಿಓ ವೈ, ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ ಮೂಲಮಾದರಿ(ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೂಲಮಾದರಿ) ಅಂಶ ಬಿಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ f –1 (ಬಿ).

A X ನಿಂದ ಕೆಲವು ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ; ಸೆಟ್ ( f (ಎ): ಎಎ) ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು f (ಎ), ಎಲ್ಲಿ ಎÎ A, A ನ ಚಿತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ f(ಎ) ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, Y ನಿಂದ ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ B ಗೆ ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ f–1 (V), ಅವುಗಳೆಂದರೆ: f–1 (B) ಎನ್ನುವುದು X ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಚಿತ್ರಗಳು B ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಎಂದು ಹೇಳೋಣ f X ಸೆಟ್‌ನಿಂದ Y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ f(X) = Y; ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ಯಾವಾಗ f(X) ಎಂ ವೈ, ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ f Y ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಇದೆ. ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ X 1 ಮತ್ತು X X ರಲ್ಲಿ 2 ಅವರ ಚಿತ್ರಗಳು ವೈ 1 = f (x 1) ಮತ್ತು ವೈ 2 = f (x 2) ಸಹ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ನಂತರ fಎಂದು ಕರೆದರು ಇಂಜೆಕ್ಷನ್.ಪ್ರದರ್ಶನ f: X®Y, ಇದು ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಎರಡೂ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ X ಮತ್ತು Y ನಡುವೆ

$X$ ಮತ್ತು $Y$ ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್‌ಗಳಾಗಿರಲಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.$X$ ಸೆಟ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು $Y$ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಒಂದೇ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುವ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರದರ್ಶನ.

$X$ ಸೆಟ್ ನಿಂದ $Y$ ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಸಂಕೇತ: $X \stackrel(f)(\longrightarrow) Y$.

ಸೆಟ್ $X$ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮತ್ತು $X=D(f)$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$E(f)$ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅರ್ಥಗಳ ಸೆಟ್ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್, ಮತ್ತು $E(f) = \( y \in Y \; | \; \ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ x \in X, y = f(x) \)$.

$\Gamma(f)$ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಪ್ರದರ್ಶನ. $\Gamma(f)=\((x,y) \in X \times Y, y=f(x), \forall x \in X, y \in Y \)$.

$f$ ಸೆಟ್ $X$ ನಿಂದ $Y$ ಗೆ ಕೆಲವು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ. ಈ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $x$ ಅನ್ನು $y$ ಜೊತೆಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $y=f(x)$. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ $y$ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದಾರಿ$x$, ಅಥವಾ ಅರ್ಥ$x$ ನಲ್ಲಿ $f$ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಮತ್ತು $x$, ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ, ಮೂಲಮಾದರಿಅಂಶ $y$.

ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, $Y$ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಯಾವುದೇ $x$ ನ ಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಅನನ್ಯವಾದವುಗಳಾಗಿರುವುದು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

$X=\( c, e, n, m, i, b, p, b \)$ ಮತ್ತು $Y=\( 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 \)$ ಎಂಬ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$X$ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ $Y$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

$\begin(ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) \( c, & e, & n, & t, & i, & b, & p, & b \) \\ \;\; \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow \;\; \\ \( 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 9, & 10, & 11 \) \ ಅಂತ್ಯ(ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್)$

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.$Y$ ನಿಂದ $y$ ಇರುವ $X$ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೂಲಮಾದರಿ$X$ ನಿಂದ $y$. ಇವರಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ: $f^(-1)(y)$.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.$A \\ಉಪಸೆಟ್ X$ ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ. ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು $f(a)$, $a \in A$ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪೂರ್ಣವಾಗಿಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ $f$ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $A$ ಸೆಟ್‌ನ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.$B \\ Y$ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ. $B$ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ ಚಿತ್ರಗಳ $X$ ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು $B$ ಸೆಟ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

$X=Y=R$, $y=x^2$.

$A=[-1; 1] \subset X$

ಪೂರ್ಣ ಚಿತ್ರ $f(A)=$

$B= \subset Y$

ಪೂರ್ಣ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರ $f^(-1)(B)=[-1; 1]$

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ $f$ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು$\forall \; y \in Y$ $y=f(x)$ ಅನನ್ಯ $x$ ನ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ $f$ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಜೆಕ್ಟಿವ್$Y$ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಕೆಲವು $x$ ನ ಚಿತ್ರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್. (ಇದು $X$ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ $Y$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ $f$ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್, ಇದು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆಅಂತಹ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒನ್-ಟು-ಒನ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.$X$ ಮತ್ತು $Y$ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನ(ಸಮಾನ) ಅವರು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಇದರ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ: $X Y$ (ಸೆಟ್ $X$ ಸೆಟ್ $Y$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ $X$ ಸೆಟ್ $Y$ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ).

1. ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಗ್ರಾಫ್. ಪ್ರದರ್ಶನ. ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್, ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಅಲ್ಲ.

ಪ್ರದರ್ಶನ %%f%% ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು,

ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ %%x_1, x_2 \ in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, ಅದು %%f(x_1) \neq f(x_2)%% ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, %%X%% ನಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ %%f%% ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ

%%f(x) = x^2%%, ಸೆಟ್ %%\mathbb(R)%% ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ %%x_1 = -1, x_2 = 1%% ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅದೇ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್

ಪ್ರದರ್ಶನ %%f%% ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಜೆಕ್ಟಿವ್, %%y \ in Y%% ಗೆ %%f(x) = y%% ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನೊಂದಿಗೆ %%x \ X%% ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವಿದ್ದರೆ. $$ \forall y \in Y~\ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ x \in X: f(x) = y. $$

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, %%f%% ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು %%y \ Y%% ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶ %%x \\ X%% ನ ಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ %%f%% ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ

ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ %%f(x) = \sin(x)%%, %%\mathbb R%% ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, %%Y = [-2,2]%% ಸೆಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ surjective ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ %%y = 2 \\ Y%% ನಲ್ಲಿ %%x \\ X%% ನಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್

ಪ್ರದರ್ಶನ %%f%% ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್, ಇದು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದುಅಥವಾ ರೂಪಾಂತರ.

ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, "ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್", "ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್" ಮತ್ತು "ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್" ಪದಗುಚ್ಛಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ "ಇಂಜೆಕ್ಷನ್", "ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್" ಮತ್ತು "ಬಿಜೆಕ್ಷನ್" ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರಿವರ್ಸ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್

%%f: X \ to Y%% ಕೆಲವು ಆಗಿರಲಿ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಮತ್ತು %%y \ in Y%% ಗೆ ಬಿಡಿ. ನಾವು %%f^(-1)(y)%% ರಷ್ಟು ಮಾತ್ರ ಅಂಶ %%x \ನಲ್ಲಿ X%% ದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ ಅಂದರೆ %%f(x) = y%%. ಹೀಗೆ ನಾವು ಕೆಲವು ಹೊಸದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಪ್ರದರ್ಶನ%%g: Y \ to X%%, ಇದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಅವರು ಅವಳನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್.

ಉದಾಹರಣೆ

%%X, Y = \mathbb R%% ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. %%f%% ಕಾರ್ಯವನ್ನು %%y = 3x + 3%% ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮಾಡುತ್ತದೆ ಈ ಕಾರ್ಯಹಿಮ್ಮುಖ? ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, ಯಾವುದು?

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅದು ಇದೆಯೇ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದುಮತ್ತು ಸಜೆಕ್ಟಿವ್.

1. ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. %%x_1 \neq x_2%% ಅವಕಾಶ. %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, ಅಂದರೆ %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%% ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸಿ, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. ನಂತರ ಅದು %%x_1 = x_2%% ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸವಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ %%x_1 \neq x_2%%. ಆದ್ದರಿಂದ, %%f%% ಒಂದು ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ.
2. ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್. %%y \ in Y = \mathbb(R)%% ಎಂದು ಬಿಡಿ. %%x \in X = \mathbb(R)%% ಅಂಶವನ್ನು %%f(x) = y%%, ಅಂದರೆ %%3x + 3 = y%% ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಈ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ %%y \in \mathbb(R)%% ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು %%x%% ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, $$ x = \frac(y-3)(3) \text( ಮತ್ತು ) x \in \mathbb R $$ ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ %%f%% ಗ್ರಹಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

%%f%% ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ %%f%% ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ %%x = \frac(y-3)(3)%%.