ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ರೂಪಾಂತರ. ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ರೂಪಾಂತರ. I. ಪ್ರಿವಲೋವ್ "ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ"

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಿ. ಮೊದಲನೆಯದು O ಯ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ i ಜ , ಎರಡನೆಯದು - ಕೇಂದ್ರ ಬಗ್ಗೆ'ಮತ್ತು ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು i ’ ಜ ’ .

ಮೊದಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕೆಲವು ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ x y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ x’ ಮತ್ತು ವೈ’ - ಎರಡನೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪಾಯಿಂಟ್ O' ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು a ಮತ್ತು b ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ:

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ i ’ ಮತ್ತು ಜ ’ ಆಧಾರದ ಮೂಲಕ i ಜ :

(*)

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
. ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸೋಣ i ’ ಜ ’ :

ಇಲ್ಲಿಂದ

ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು: ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎರಡನೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

ನಾವು ಮೊದಲು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (*) ಸ್ಕೇಲರ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸೋಣ i , ನಂತರ ಜ :

ಬಗ್ಗೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ i ಮತ್ತು i ’ . ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ i ಜ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು i ’ ಜ ’ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ಕೋನದ ಮೂಲಕ ನಂತರದ ತಿರುಗುವಿಕೆ . ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಆರ್ಕ್ ಆಯ್ಕೆಯೂ ಸಾಧ್ಯ: ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ i i ’ ಸಹ , ಮತ್ತು ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಜ ’ ಜ ’  -  ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ನಲ್ಲಿವಿರುದ್ಧವಾಗಿ.

ಸೂತ್ರದಿಂದ (**) ನಾವು ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ

ಪರಿವರ್ತನೆ ಸೂತ್ರಗಳು:

ನಾವು ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡೂ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸರಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಆ. ತೀರ್ಮಾನ: ಎರಡು ಬಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಏನೇ ಇರಲಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಭಾಷಾಂತರದಿಂದ ಎರಡನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನದಿಂದ ಮೂಲದ ಸುತ್ತ ನಂತರದ ತಿರುಗುವಿಕೆ .

ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆ ಸೂತ್ರಗಳು:

ಅಕ್ಷಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು:

ವಿಲೋಮ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು:

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ರೂಪಾಂತರ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ, ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

(***)

ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಪಡೆಯಿರಿ:

(****)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳ x y z ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. x’ ವೈ’ z’ ಎರಡನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದೇ ಬಿಂದು.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು (***) ಸ್ಕೇಲರ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸುವುದು i ’ ಜ ’ ಕೆ ’ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

IN ರೂಪಾಂತರ ಸೂತ್ರಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ (****). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡೂ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆರಂಭವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ: ಎ = ಬಿ = ಸಿ = 0 .

ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಎರಡನೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಕ್ಷಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುವ ಮೂರು ಕೋನಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ಮೊದಲ ಕೋನವು x-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು u-ಅಕ್ಷದಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು xOy ಮತ್ತು x'Oy' ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ. ಕೋನದ ದಿಕ್ಕು x ನಿಂದ y ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಚಿಕ್ಕದಾದ ತಿರುವು. ಕೋನವನ್ನು  ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಎರಡನೇ ಕೋನ  ಓಝ್ ಮತ್ತು ಓಝ್ ಅಕ್ಷಗಳ ನಡುವೆ  ಮೀರದ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೂರನೇ ಕೋನ  ಯು-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಆಕ್ಸ್' ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಯು-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಆಕ್ಸ್'ನಿಂದ ಓಯ್'ಗೆ ಕಡಿಮೆ ತಿರುಗುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೋನಗಳನ್ನು ಯೂಲರ್ ಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಮೂರು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: ಓಝ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕೋನ ; ಕೋನದ ಮೂಲಕ  ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ; ಮತ್ತು ಓಝ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ  ಕೋನದಿಂದ.

 ij ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯೂಲರ್ ಕೋನಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ತೊಡಕಾಗಿವೆ.

ರೂಪಾಂತರವು ಸ್ವತಃ ಸಮಾನಾಂತರ ಭಾಷಾಂತರದ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ ಕೋನಗಳ ಮೂಲಕ ಮೂರು ಸತತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

ಎರಡೂ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಎಡಪಂಥೀಯವಾಗಿರುವಾಗ ಅಥವಾ ವಿಭಿನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಾದಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು.

ನಾವು ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಅವಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದಿಲ್ಲ.

ಅಧ್ಯಾಯ 1. ಸೇರ್ಪಡೆ. ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ರೂಪಾಂತರ. ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಾಯ 1 ರ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಅನುಕೂಲವನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕೂಲತೆಯ ಪರಿಗಣನೆಯಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ.

ವಿಶೇಷ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ ಮತ್ತು ಬಳಕೆ: ಧ್ರುವ, ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಧ್ಯಾಯ 1 ರ ಅನುಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ.

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ರೂಪಾಂತರ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಕ್ಷಗಳು, ಮೂರು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ವಾಹಕಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಪರಿಚಯ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಷಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಯೋಗ್ಯವೆಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಮರುಹೆಸರಿಸುವ ಹಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು , ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ದೇಹಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ದೇಹದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಯಾವ ಚಲನೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಒಂದು ದೇಹವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಸಂಬಂಧಿ ನಿಬಂಧನೆಗಳು. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳು, ಕಾನೂನುಗಳು ಮತ್ತು ಚಲನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ಎರಡನೇ ದೇಹದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಘನ !

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಚಲನೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲನೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಎರಡು ಚಲನೆಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ:

1) ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆ: ನಾವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ - ಪಾಯಿಂಟ್.

2) ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಕ್ಷಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆ: ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹವಾಗಿ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು.

ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದೋಣ: , ಮತ್ತು . ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋನದ ಮೂಲಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆಯಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಈ ಎರಡೂ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ನಾವು ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ: , ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ಬಿಡಿಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ , . ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ, ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳಾಗಿ ನಾವು ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷಗಳ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತೇವೆ , .

ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು = ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೂಪಾಂತರದ ಮೊದಲು ನಾವು ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು . ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ: = + , ಅಥವಾ:

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ ಡಿ–1 : ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: = = . ಈ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಸರಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

1) ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ : = , ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: –3 = .

2) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ - ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆ := . ಇದರ ನಂತರ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ: . ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ = ಸರಳವಾದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು 3 ಘಟಕಗಳಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸರಳ ರೂಪ:

ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು = ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೂಪಾಂತರದ ಮೊದಲು ನಾವು ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು . ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ ಇದರಿಂದ ಅದರ ಮೂಲ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅಂದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅದು ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ = ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು : = . (2) =1. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸರಳವಾದ (ಅಂಗೀಕೃತ!) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿನ ಸರಳ ರೂಪ: =1 ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ವಿಷಯ 5. ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು.

ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಕೆಲವು ಬಳಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ - ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು.

ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು xy ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡೋಣ, ಅಂದರೆ. ಈ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಹೇಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ xy, ಅಂದರೆ ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಕ್ಷಗಳು x ಮತ್ತು y ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವಾಗ ಮತ್ತು ಅವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ನಿರ್ದೇಶನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ.

xy ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಲ್ಲಿ M (x; y) ಮತ್ತು (a; b) ಅಂಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಲ್ಲಿ (Fig. 15) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: .

ρ ಉದ್ದದ OM ವಿಭಾಗವು ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸಲಿ ಮತ್ತು. ನಂತರ (ಚಿತ್ರ 16) OM ವಿಭಾಗವು x-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು xy ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ M ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , .

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ

"ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ" ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿದಾಗ, ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಸ್ಯೆ 0.54. ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ x / y / ನಲ್ಲಿ M (-3; 7) ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಅದರ ಮೂಲವು 0 / ಹಂತದಲ್ಲಿ (3; -4), ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳು ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಹಳೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ. M ಮತ್ತು O / ಬಿಂದುಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸೋಣ: x / = x-a, y / = y-b.
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11. ಉತ್ತರ: M / (-6; 11).

§2. ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ಅದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

X ಸೆಟ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶ x, ಕೆಲವು ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ f, Y ಸೆಟ್‌ನ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಂಶ y ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಪ್ರದರ್ಶನ f ಸೆಟ್ X ಅನ್ನು Y ಸೆಟ್ ಆಗಿ, ಮತ್ತು ಸೆಟ್ X ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಪ್ರದರ್ಶನ f . ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, x 0 Î X ಅಂಶವು y 0 Î Y ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ y 0 = f (x 0) ಬರೆಯಿರಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, y 0 ಅಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದಾರಿಅಂಶ x 0, ಮತ್ತು ಅಂಶ x 0 - ಮೂಲಮಾದರಿ 0 ನಲ್ಲಿ ಅಂಶ. ಎಲ್ಲಾ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ Y ಸೆಟ್‌ನ Y 0 ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅರ್ಥಗಳ ಸೆಟ್ಪ್ರದರ್ಶನ f.

ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ f ನಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ X ನ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳು Y ಸೆಟ್‌ನ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ f ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದಾದ.

Y 0 = Y ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ f ಅನ್ನು X ಸೆಟ್‌ನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೇಲೆಸೆಟ್ವೈ.

Y ಸೆಟ್‌ಗೆ X ಸೆಟ್‌ನ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು.

ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸೆಟ್ ಆಗಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್.

ಒಂದು ಸೆಟ್ X ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ f ಅದೇ ಸೆಟ್ X ನ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೂಪಾಂತರ X ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.

ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸ್ L n ನ n-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡೋಣ.

n-ಆಯಾಮದ ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸ್ L n ನ ರೂಪಾಂತರ f ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯರೂಪಾಂತರ ವೇಳೆ

L n ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದಾದರೂ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುα ಮತ್ತು β. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡರೆ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಜೊತೆಗುಣಾಂಕಗಳು.

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರ ಎಫ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ , ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೀಯ ಜಾಗದ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ:

(12)

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇದರಲ್ಲಿ k-th ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಾಲಮ್ ಆಗಿದೆ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಎಫ್.

ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಡೆಟ್ ಎಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಾಂತರದ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಜಿ ಎಲ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರದ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ರೂಪಾಂತರವು ಏಕವಚನವಲ್ಲ. ಇದು ಜಾಗವನ್ನು L n ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. L n ನಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ.

ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಾಗಿದ್ದರೆ, ರೂಪಾಂತರವು ಏಕವಚನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಜಾಗಅದರ ಕೆಲವು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಎಲ್ ಎನ್.

ಪ್ರಮೇಯ.ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ L ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರ f ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಅಂತಹ .

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆಧಾರದ ಪ್ರಕಾರ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ:

(13)

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಸಿಸ್ಟಮ್ (13) ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು

ಸಮಾನತೆ , ಇದು ಸಾಬೀತು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳುರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು.

1. x-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ k 1 ಬಾರಿ, ಮತ್ತು y-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ k 2 ಬಾರಿ xy ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರ ಸೂತ್ರಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: x / = k 1 x; y / = k 2 y.

2. xy ಸಮತಲದಲ್ಲಿ y-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕನ್ನಡಿ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರ ಸೂತ್ರಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: x / = -x, y / = y.

ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ i ’ ಮತ್ತು ಜ ’ ಆಧಾರದ ಮೂಲಕ i ಜ :

(*)

ಇಲ್ಲಿಂದ

ನಾವು ಮೊದಲು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (*) ಸ್ಕೇಲರ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸೋಣ i , ನಂತರ ಜ :

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು  ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ i ಮತ್ತು i ’ . ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ i ಜ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು i ’ ಜ ’ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ಕೋನದ ಮೂಲಕ ನಂತರದ ತಿರುಗುವಿಕೆ . ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಆರ್ಕ್ ಆಯ್ಕೆಯೂ ಸಾಧ್ಯ: ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ i i ’ ಸಹ , ಮತ್ತು ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಜ ’ ಜ ’  -  ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ನಲ್ಲಿವಿರುದ್ಧವಾಗಿ.

ಸೂತ್ರದಿಂದ (**) ನಾವು ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ

ಪರಿವರ್ತನೆ ಸೂತ್ರಗಳು:

ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆ ಸೂತ್ರಗಳು:

ಅಕ್ಷಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು:

ವಿಲೋಮ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು:

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ರೂಪಾಂತರ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ, ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

(***)

ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಪಡೆಯಿರಿ:

(****)

ಅಧ್ಯಾಯ I. ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು

§ 13. ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಎರಡು ಆವೃತ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

1) I.I ರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಕಾರ "ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ" (ಉನ್ನತ ತಾಂತ್ರಿಕತೆಗಾಗಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು 1966)

I.I. ಪ್ರೈವಲೋವ್ "ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ"

§ 1. ಸಮನ್ವಯ ರೂಪಾಂತರ ಸಮಸ್ಯೆ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಬೇರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಇನ್ನೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸೂತ್ರಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ xOyಮತ್ತು XO 1 Y(ಚಿತ್ರ 68).

ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಾನ XO 1 Yಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ xOyನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಹೊಸ ಆರಂಭ O 1ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಕೋನದ ಪ್ರಕಾರ α ಅಕ್ಷಗಳ ನಡುವೆ ಓಹ್ಮತ್ತು O 1 X. ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನ X ಮತ್ತು Y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ಹಳೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಹೊಸ X ಮತ್ತು Y ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರ ಸೂತ್ರಗಳು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು a, b ಮತ್ತು α .

ಎರಡು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

1. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಕ್ಷಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ ( α = 0).

2. ಅಕ್ಷಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ( a = b = 0).

§ 2. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದ ವರ್ಗಾವಣೆ.

ವಿಭಿನ್ನ ಮೂಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಟೇಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ ಓಮತ್ತು O 1ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳ ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು (ಚಿತ್ರ 69).

ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಹೊಸ ಆರಂಭದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು O 1ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮೂಲಕ x, yಮತ್ತು X, ವೈಹಳೆಯ ಮತ್ತು ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ O 1 Xಮತ್ತು ಓಹ್, ಹಾಗೆಯೇ ಒಂದು ಬಿಂದು O 1ಪ್ರತಿ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಓಹ್, ನಾವು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಓಹ್ಮೂರು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಓಹ್, ಆಹ್ಮತ್ತು ಆರ್. ವಿಭಾಗದ ಗಾತ್ರಗಳು OA, ARಮತ್ತು ಅಥವಾಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ:

| OA| + | AR | = | ಅಥವಾ |. (1)

ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ | OA| = ಎ , | ಅಥವಾ | = X , | AR | = | O 1 R 1 | = X, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (1) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎ + X = x ಅಥವಾ x = X + ಎ . (2)

ಅದೇ ರೀತಿ, ಎಂ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು O 1ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವೈ = ವೈ + ಬಿ (3)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಳೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಹೊಸದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಹೊಸ ಮೂಲದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ.

ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ (2) ಮತ್ತು (3), ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹಳೆಯದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

X = x - a , (2")

ವೈ = y - b . (3")

§ 3. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆ.

ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ ಬಗ್ಗೆಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳ ವಿವಿಧ ದಿಕ್ಕುಗಳು (ಚಿತ್ರ 70).

ಅವಕಾಶ α ಅಕ್ಷಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಕೋನವಿದೆ ಓಹ್ಮತ್ತು ಓಹ್. ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ x, y ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್, ವೈಹಳೆಯ ಮತ್ತು ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು:

X = | ಅಥವಾ | , ನಲ್ಲಿ = | PM | ,

X= | ಅಥವಾ 1 |, ವೈ= | ಪಿ 1 ಎಂ |.

ಮುರಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅಥವಾ 1 ಎಂಪಿಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಓಹ್. ಮುರಿದ ರೇಖೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಮುಚ್ಚುವ ವಿಭಾಗದ (ಅಧ್ಯಾಯ I, § 8) ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು:

ಅಥವಾ 1 ಎಂಪಿ = | ಅಥವಾ |. (4)

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮುರಿದ ರೇಖೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಅದರ ಲಿಂಕ್‌ಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಧ್ಯಾಯ I, § 8); ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆ (4) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

pr ಅಥವಾ 1+ pr ಪಿ 1 ಎಂ+ pr ಸಂಸದ= | ಅಥವಾ | (4")

ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗವು ಇರುವ ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಅದರ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಧ್ಯಾಯ I, § 8), ನಂತರ

pr ಅಥವಾ 1 = X cos α

pr ಪಿ 1 ಎಂ = ವೈ cos (90° + α ) = - ವೈಪಾಪ α ,

pr ಸಂಸದ= 0.

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನತೆ (4") ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ:

x = X cos α - ವೈಪಾಪ α . (5)

ಅಂತೆಯೇ, ಅದೇ ಪಾಲಿಲೈನ್ ಅನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವುದು ಓಹ್, ನಾವು ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ನಲ್ಲಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

pr ಅಥವಾ 1+ pr ಪಿ 1 ಎಂ+ pr ಸಂಸದ= ಪುಟಗಳು ಅಥವಾ = 0.

ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ

pr ಅಥವಾ 1 = X cos( α - 90°) = Xಪಾಪ α ,

pr ಪಿ 1 ಎಂ = ವೈ cos α ,

pr ಸಂಸದ = - ವೈ ,

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

Xಪಾಪ α + ವೈ cos α - ವೈ = 0,

ವೈ = Xಪಾಪ α + ವೈ cos α . (6)

ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ (5) ಮತ್ತು (6) ನಾವು ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ Xಮತ್ತು ವೈಹಳೆಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ X ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ , ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ (5) ಮತ್ತು (6) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ Xಮತ್ತು ವೈ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಸೂತ್ರಗಳು (5) ಮತ್ತು (6) ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಚಿತ್ರದಿಂದ. 71 ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

X = OR = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - ಓಮ್ ಪಾಪ α ಪಾಪ φ ,

ನಲ್ಲಿ = RM = OM ಪಾಪ ( α + φ ) = OM sin α cos φ + OM cos α ಪಾಪ φ .

ರಿಂದ (ಅಧ್ಯಾಯ I, § 11) OM cos φ = X, ಓಮ್ ಪಾಪ φ =ವೈ, ಅದು

x = X cos α - ವೈಪಾಪ α , (5)

ವೈ = Xಪಾಪ α + ವೈ cos α . (6)

§ 4. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ.

ವಿಭಿನ್ನ ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 72).

ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಹೊಸ ಆರಂಭದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಬಗ್ಗೆ, ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಮೂಲಕ α - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ ಮತ್ತು, ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೂಲಕ x, y ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್, ವೈ- ಕ್ರಮವಾಗಿ ಹಳೆಯ ಮತ್ತು ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು X ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಮೂಲಕ Xಮತ್ತು ವೈ, ನಾವು ಸಹಾಯಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ x 1 ಓ 1 ವೈ 1, ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ಹೊಸ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಗ್ಗೆ 1, ಮತ್ತು ಹಳೆಯ ಅಕ್ಷಗಳ ನಿರ್ದೇಶನಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಅಕ್ಷಗಳ ನಿರ್ದೇಶನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅವಕಾಶ x 1 ಮತ್ತು ವೈ 1 ಈ ಸಹಾಯಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹಳೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಸಹಾಯಕ ಒಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (§ 2):

X = X 1 + ಎ , y = y 1 + ಬಿ .

X 1 = X cos α - ವೈಪಾಪ α , ವೈ 1 = Xಪಾಪ α + ವೈ cos α .

ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ X 1 ಮತ್ತು ವೈ 1 ಹಿಂದಿನ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಅವುಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

x = X cos α - ವೈಪಾಪ α + ಎ

ವೈ = Xಪಾಪ α + ವೈ cos α + ಬಿ (ನಾನು)

ಸೂತ್ರಗಳು (I) ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ §§ 2 ಮತ್ತು 3 ರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವಾಗ α = 0 ಸೂತ್ರಗಳು (I) ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ

x = X + ಎ , ವೈ = ವೈ + ಬಿ ,

ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ a = b = 0 ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

x = X cos α - ವೈಪಾಪ α , ವೈ = Xಪಾಪ α + ವೈ cos α .

ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ (I) ನಾವು ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ Xಮತ್ತು ವೈಹಳೆಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ X ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ , ಸಮೀಕರಣಗಳು (I) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೆ Xಮತ್ತು ವೈ.

ಸೂತ್ರಗಳ (I) ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ: ಅವುಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ Xಮತ್ತು ವೈ, ಅಂದರೆ ರೂಪ:

x = AX + BY + C, ವೈ = ಎ 1 ಎಕ್ಸ್+ಬಿ 1 Y+C 1 .

ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ Xಮತ್ತು ವೈಹಳೆಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ X ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ X ಮತ್ತು ಯು.

ಜಿ.ಎನ್.ಯಾಕೋವ್ಲೆವ್ "ಜ್ಯಾಮಿತಿ"

ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಒಂದೇ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಆದೇಶದ ಜೋಡಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಯ್ಕೆಯು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಅನುಕೂಲತೆಯ ಪರಿಗಣನೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿವಿಧ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿನ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವೃತ್ತ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ, ನೇರ ರೇಖೆ) ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಹೇಗೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ: O, i, j ಮತ್ತು ಒ", i", j" (ಚಿತ್ರ 41).

ಪಾಯಿಂಟ್ O ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆ i ಮತ್ತು ಜ ಇದನ್ನು ಹಳೆಯದು ಎಂದು ಕರೆಯಲು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ, ಎರಡನೆಯದು - ಪಾಯಿಂಟ್ O ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ನಾನು" ಮತ್ತು j" - ಹೊಸ.

ತಿಳಿದಿರುವ ಹಳೆಯದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ: ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ O" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ ( a;b ), ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ನಾನು" ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ರೂಪಗಳು i ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ α . ಮೂಲೆ α ನಾವು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರ ಚಲನೆಗೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ M. ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಇದರ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ ( x;y ), ಹೊಸದರಲ್ಲಿ - ಮೂಲಕ ( x";y" ) ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ನ ಹಳೆಯ ಮತ್ತು ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ನಾವು O ಮತ್ತು O", O" ಮತ್ತು M, O ಮತ್ತು M ಅಂಕಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುವ ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ

ಓಂ > = ಓಓ" > + O"M > . (1)

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ ಓಂ> ಮತ್ತು ಓಓ"> ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಮೂಲಕ i ಮತ್ತು ಜ , ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ O"M> ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಮೂಲಕ ನಾನು" ಮತ್ತು j" :

ಓಂ > = x i+ ವೈ ಜ , ಓಓ" > = ಎ i+ ಬಿ ಜ , O"M > = x" i"+y" ಜ "

ಈಗ ಸಮಾನತೆ (1) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

x i+ ವೈ ಜ = (ಎ i+ ಬಿ ಜ ) + (x" i"+y" ಜ "). (2)

ಹೊಸ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ನಾನು" ಮತ್ತು j" ಹಳೆಯ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ i ಮತ್ತು ಜ ಕೆಳಗಿನಂತೆ:

ನಾನು" = ಕಾಸ್ α i + ಪಾಪ α ಜ ,

j" =cos( π / 2 + α ) i +ಪಾಪ( π / 2 + α ) ಜ = - ಪಾಪ α i +cos α ಜ .

ಗಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ನಾನು" ಮತ್ತು j" ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (2), ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x i+ ವೈ ಜ = ಎ i+ ಬಿ ಜ + X"(ಕಾಸ್ α i + ಪಾಪ α ಜ ) + ವೈ"(-ಪಾಪ α i +cos α ಜ )

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

x = a + X" cos α - ವೈ"ಪಾಪ α ,
ನಲ್ಲಿ = ಬಿ+ X"ಪಾಪ α + ವೈ" cos α

ಸೂತ್ರಗಳು (3) ಹಳೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಅದರ ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ X"ಮತ್ತು ವೈ". ಹಳೆಯದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮೀಕರಣದ (3) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕು. X"ಮತ್ತು ವೈ".

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ( ಎ; ಬಿ ) ಮತ್ತು ಕೋನದಿಂದ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವುದು α ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (3).

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವು ಬದಲಾದರೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ (3) α = 0, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (5) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು.

ಕಾರ್ಯ 1.ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಆರಂಭದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (2; 3), ಮತ್ತು ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ A ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (4; -1) ಆಗಿರಲಿ. ಅಕ್ಷಗಳ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ A ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ (4) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಉತ್ತರ. A(2;-4)

ಕಾರ್ಯ 2.ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ P ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (-2; 1) ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಅಕ್ಷಗಳ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (5; 3). ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಆರಂಭದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಎ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ (4) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

- 2= ಎ + 5
1 = ಬಿ + 3

ಎಲ್ಲಿ ಎ = - 7, ಬಿ = - 2.

ಉತ್ತರ. (-7; -2).

ಕಾರ್ಯ 3.ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ A ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (4; 2). ಮೂಲವು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಹಂತದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ α = 45°.

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ (5) ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಕಾರ್ಯ 4.ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ A ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (2 √3 ; - √3 ). ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಬಿಂದುವಿಗೆ (-1;-2) ಸರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ α = 30°.

ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ (3) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ X"ಮತ್ತು ವೈ", ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: X" = 4, ವೈ" = -2.

ಉತ್ತರ. ಎ (4; -2).

ಕಾರ್ಯ 5.ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ನಲ್ಲಿ = 2X - 6. ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅದೇ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಇದು ಕೋನದಿಂದ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ α = 45°.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ನಲ್ಲಿ = 2X - 6 ಹಳೆಯ ಅಸ್ಥಿರ X ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಹೊಸದು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,

ಇದು ಸರಳೀಕರಣಗಳ ನಂತರ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ವೈ" = x" / 3 - 2√2

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಲೇಖನಗಳು

ಅಕ್ವೇರಿಯಸ್ಗಾಗಿ ವೃತ್ತಿಗಳು ಅಕ್ವೇರಿಯಸ್ಗಾಗಿ ವೃತ್ತಿಗಳು

ನಿಧಾನ ಕುಕ್ಕರ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಕ್‌ವೀಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಮೊಲ ಮೊಲದ ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಅಣಬೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಕ್‌ವೀಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬೇಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಒಲೆಯಲ್ಲಿ ಬೇಯಿಸಿದ ಕೆಫೀರ್ನೊಂದಿಗೆ ಮನ್ನಾಗೆ ಪಾಕವಿಧಾನಗಳು ಸರಳ ಮತ್ತು ಟೇಸ್ಟಿ

ಸಂಬಳವನ್ನು ಕಾರ್ಡ್‌ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು: ಮಾದರಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಫೋಟೋಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಟಫ್ಡ್ ಸ್ಕ್ವಿಡ್ ಪಾಕವಿಧಾನಗಳು

ರಷ್ಯಾದ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಲ್ಲಿ ವಿಜ್ಞಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ರಾಜ್ಯದ ಹೊಸ ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ

ಜನರನ್ನು ಅಥವಾ ರಾಷ್ಟ್ರದ ಲೋಬೋಟಮಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿಯಂತ್ರಿಸುವುದು ನೋಟದಿಂದ ರಕ್ಷಣೆ

ಏಕೀಕೃತ ಸಾಮಾಜಿಕ ತೆರಿಗೆ (UST) ಎಂದರೇನು?

ಜನಪ್ರಿಯ

ಕ್ಯಾಂಡಿಡ್ ಕಲ್ಲಂಗಡಿ ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಒಣಗಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಕ್ಯಾಂಡಿಡ್ ಕಲ್ಲಂಗಡಿ ತೊಗಟೆಯನ್ನು ತಯಾರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅನೇಕರು ಸರಳವಾಗಿ ಎಸೆಯುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮರುಬಳಕೆ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಅಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ...

ಅಕ್ವೇರಿಯಸ್ಗಾಗಿ ವೃತ್ತಿಗಳು ಅಕ್ವೇರಿಯಸ್ಗಾಗಿ ವೃತ್ತಿಗಳು ಅಕ್ವೇರಿಯಸ್ ರಾಶಿಚಕ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಪ್ರತಿಭಾನ್ವಿತ ಚಿಹ್ನೆ. ಈ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಇದು ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ. ರಾಶಿಚಕ್ರ ಕುಂಭ...

ನಿಧಾನ ಕುಕ್ಕರ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಕ್‌ವೀಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಮೊಲ ಮೊಲದ ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಅಣಬೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಕ್‌ವೀಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬೇಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ "ವೊರೊನಿನ್ಸ್" ಸರಣಿಯ ತಾರೆ, ನಟಿ ಎಕಟೆರಿನಾ ವೋಲ್ಕೊವಾ ಒಂದು ವಾರದ ಹಿಂದೆ ತನ್ನ 36 ನೇ ಹುಟ್ಟುಹಬ್ಬವನ್ನು ಆಚರಿಸಿಕೊಂಡರು ಮತ್ತು ವಾರಾಂತ್ಯವನ್ನು ಮನೆಯಲ್ಲಿ, ಗುಲಾಬಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ, ತನ್ನ 6 ವರ್ಷದ ಮಗುವಿನೊಂದಿಗೆ ಕಳೆದರು ...