ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದನ. ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಸೆಟ್ಗಳ ವಿಧಗಳು

ಪುರಾವೆ.

1) ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ ವೇಳೆ ಎತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ನಂತರ ಇದು ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಇದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯ O(a) ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎ, ಆದರೆ ನಂತರ ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಎಲ್ಲಾ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಆಂತರಿಕ ಒಕ್ಕೂಟದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಎಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಯೂನಿಯನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದೆ, ನಂತರ ಅದು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

2) ಈಗ ಬಿಡಿ X- ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದಕ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಒಂದು ಸೆಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದೆ X, ನಂತರ ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿವೆ. ನಾವು ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಮಧ್ಯಂತರವು ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ಇನ್ ,..., ಮತ್ತು ಇನ್ , ಅಂದರೆ. . ಇಲ್ಲಿಂದಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಹಂತವು ಸೆಟ್ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ X, ಅಂದರೆ ಅನೇಕ Xತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಒಂದು ಬಿಂದು a ನ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೆರೆಹೊರೆಗಳ ಛೇದನವು ಮತ್ತೆ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದಕವು ಯಾವಾಗಲೂ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಛೇದಕ ,... ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ a ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲ (ಏಕೆ?).

ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ X ಸೆಟ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಿಂದು ಇದ್ದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ a ಅನ್ನು X ಸೆಟ್‌ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. , ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಿಂದುವು ವಿಭಾಗದ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ಪಂಕ್ಚರ್ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಒಂದು ಬಿಂದು ಇರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಬಿಂದು . ಮತ್ತು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ಹಲವು ಅಂಶಗಳಿವೆ. 0, 1] ವಿಭಾಗದ ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ [ ಆಗಿದೆಅಂತಿಮ ಈ ವಿಭಾಗದ ಪಾಯಿಂಟ್. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಭಾಗ ಅದರ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿ (0, 1 ಈ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸಹ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ) (ಸಾಬೀತುಪಡಿಸು!). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈಗಾಗಲೇ ಎರಡು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಅಂಶಗಳಿವೆಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ (0, 1). ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ

ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳು ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಒಂದು ಸೆಟ್ X ನ ಮಿತಿಯ ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ X ಸೆಟ್ನ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಅಂಕಗಳಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಒಂದು ಸೆಟ್ X ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗವು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರ (0, 1) ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎರಡು ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳು ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವುದಿಲ್ಲ ) (ಸಾಬೀತುಪಡಿಸು!). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈಗಾಗಲೇ ಎರಡು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಅಂಶಗಳಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಪ್ರಮುಚ್ಚಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅದರ ಕೆಲವು ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೆಟ್ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಪ್ರ(ಸಾಬೀತುಪಡಿಸು!), ಆದರೆ ಪ್ರ.

ಸೆಟ್ ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ರಿಂದ ಆರ್ಈ ಸೆಟ್‌ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಅದು ಸೇರಿದೆ ಆರ್ - ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್.

ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ,ಅದರ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ Æ , ಇದು ಸ್ವತಃ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ.

ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವಿಭಾಗ, ಮತ್ತು ಅನಿಯಮಿತ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸೆಟ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಆರ್.ವೆರ್ನಾ

ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳು

ಅನುಬಂಧ 1 . ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳು

ಅನೇಕ ಎಂನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತೆರೆದ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದೊಂದಿಗೆ ಈ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ. ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರವು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವಿಭಾಗವು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ತೆರೆದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರವು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮುಚ್ಚಿಲ್ಲ. ತೆರೆದ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚದ ಸೆಟ್‌ಗಳಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರ). ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ತೆರೆದಿರುವ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳಿವೆ - ಇದು ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಷ್ಟೆ Z(ಇತರರು ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ). ಇದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ ಎಂತೆರೆಯಿರಿ, ನಂತರ [` ಎಂ] (ಅಥವಾ Z \ ಎಂ- ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಎಂಗೆ Z) ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, [` ಎಂ] ಮುಚ್ಚಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಅದು ತನ್ನದೇ ಆದ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮೀ. ಆದರೆ ನಂತರ ಮೀಬಗ್ಗೆ ಎಂ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮೀ, ಸೆಟ್ ನೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ [` ಎಂ], ಅಂದರೆ ಸುಳ್ಳಾಗದಿರುವ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂ, ಮತ್ತು ಇದು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂ- ತೆರೆಯಿರಿ. ಅಂತೆಯೇ, ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಅದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಎಂಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ [` ಎಂ] ತೆರೆಯಿರಿ (ಪರಿಶೀಲಿಸಿ!).

ಈಗ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಎಂತರ್ಕಬದ್ಧ ತುದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ).

ಪುರಾವೆ . ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಯುನಮ್ಮ ಗುಂಪಿನ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ತುದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು. ಈ ಒಕ್ಕೂಟವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೇಳೆ ಮೀ- ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಎಂ, ನಂತರ ಮಧ್ಯಂತರವಿದೆ ( ಮೀ 1 , ಮೀ 2) ಎಂ ಎಂಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೀ(ಇದು ಸತ್ಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂ- ತೆರೆದ). ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೀವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಬಿಡು ( ಮೀ 1 , ಮೀ) - ಇದು ಮೀ 3, ರಂದು ( ಮೀ, ಮೀ 2) - ಇದು ಮೀ 4. ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೀಒಕ್ಕೂಟದಿಂದ ಆವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಯು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಮಧ್ಯಂತರ ( ಮೀ 3 , ಮೀ 4) ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮೀನಿಂದ ಎಂಒಕ್ಕೂಟದಿಂದ ಆವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಯು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಯು, ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ ಎಂ, ಮುಚ್ಚಿಲ್ಲ ಯು. ಅಂದರೆ, ಯುಮತ್ತು ಎಂಹೊಂದಾಣಿಕೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವುದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು.

ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅಳತೆಯ ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್‌ಗಳು. ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್>

ಅನುಬಂಧ 2 . ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅಳತೆಯ ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್‌ಗಳು. ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್

ಅನೇಕ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ವೇಳೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಒಂದು ವಿಭಾಗವಿದೆ [ ಸಿ, ಡಿ] ಎಂ [ ಎ, ಬಿ], ಜೊತೆ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಎ ಎನ್ = [ 1/(ಎನ್)] ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲ.

ಬೈರ ಪ್ರಮೇಯ. ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪುರಾವೆ . ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಎ ಕೆಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು i ಎ i = [ಎ, ಬಿ]. ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಅವಕಾಶ I 1 - ಕೆಲವು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಎಂಬೆಡ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ [ ಎ, ಬಿ] ಮತ್ತು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎ 1. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್ I 1 ಸೆಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸದ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಿದೆ ಎ 2. ಅವನನ್ನು ಕರೆಯೋಣ I 2. ಮತ್ತಷ್ಟು, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ I 2, ಅಂತೆಯೇ ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ I 3, ಜೊತೆ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎ 3, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅನುಕ್ರಮ I ಕೆನೆಸ್ಟೆಡ್ ವಿಭಾಗಗಳಿವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು(ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ). ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ, ಈ ಹಂತವು ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಎ ಕೆ, ಅಂದರೆ ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ [ ಎ, ಬಿ].

ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯೋಣ ಎಂ ಶೂನ್ಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಇ ವೇಳೆ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ I ಕೆ e ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು, ಆವರಿಸುವಿಕೆ ಎಂ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗದ ಸೆಟ್‌ಗಳೂ ಇವೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಒಂದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ.

ಅಕ್ಕಿ. 11

ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅದನ್ನು ಮೂರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸೋಣ. ಮಧ್ಯದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊರಹಾಕೋಣ (ಚಿತ್ರ 11, ಎ) ಒಟ್ಟು ಉದ್ದ [2/3] ಎರಡು ಭಾಗಗಳಿರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 11, ಬಿ) ಒಟ್ಟು ಉದ್ದ [4/9] = ([2/3]) \ B 2 ನೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಾಗಗಳು ಉಳಿದಿವೆ. ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆಯುವುದು (ಚಿತ್ರ 11, ವಿ–ಇ) ಅನಂತಕ್ಕೆ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ. ಈ ಸೆಟ್‌ನ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಡಿಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮೊದಲ “ಎಸೆಯುವ” ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಲ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ 1 ಅನ್ನು ಇಡುತ್ತೇವೆ, ಎಡದಲ್ಲಿದ್ದರೆ - 0 (ಚಿತ್ರ 11, ಎ) ಮುಂದೆ, ಮೊದಲ “ಎಸೆದ” ನಂತರ, ನಾವು ದೊಡ್ಡ ವಿಭಾಗದ ಸಣ್ಣ ನಕಲನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಎಸೆದ ನಂತರ ನಮ್ಮ ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಲ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಿದ್ದರೆ, ನಾವು 1 ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ – 0, ಇತ್ಯಾದಿ (ಒಂದೊಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ) , ಅಕ್ಕಿ. 11, ಬಿ, ವಿ. ಸೊನ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದರ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸೆಟ್ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವಲ್ಲ (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಳತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೋಡಿ). ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಎ ಎನ್, ಬಹುಬೇಗ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಒಲವು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮ ಎ ಎನ್ = [ 1/(2 2 ಎನ್)]. ನಂತರ ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅದನ್ನು ಮಾಡಿ!).

ಅನುಬಂಧ 3 . ಕಾರ್ಯಗಳು

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ

ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಮಾನ, ಸೆಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಬಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಹುದ್ದೆ: ಎ = ಬಿ.

ಅನೇಕ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಉಪವಿಭಾಗಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಬಿ, ಸೆಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಬಿ. ಹುದ್ದೆ: ಎಎಂ ಬಿ.

1. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ, ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ:

{1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {3,2,1}, {{2,1}}.

2. ಸೆಟ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಎಸೆಟ್‌ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಬಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಸೇರದಿದ್ದಾಗ ಬಿ, ಸೇರಿಲ್ಲ ಎ.

3. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿ

ಎ) ಎಎಂ ಎ; ಬಿ) ವೇಳೆ ಎಎಂ ಬಿಮತ್ತು ಬಿಎಂ ಸಿ, ಅದು ಎಎಂ ಸಿ;

ವಿ) ಎ = ಬಿ, ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಎಎಂ ಬಿಮತ್ತು ಬಿಎಂ ಎ.

ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಖಾಲಿ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಹುದ್ದೆ: ಎಫ್.

4. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್‌ಗಳು ಎಷ್ಟು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

F , (1), (1,2), (1,2,3), ((1),2,3), ((1,2),3), (F), ((2,1) )?

5. ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಷ್ಟು ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

6. ಒಂದು ಸೆಟ್ ನಿಖರವಾಗಿ a) 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದೇ? ಬಿ*) 7; ಸಿ) 16 ಉಪವಿಭಾಗಗಳು?

ಸಂಘಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ x, ಏನು xಬಗ್ಗೆ ಎಅಥವಾ xಬಗ್ಗೆ ಬಿ. ಹುದ್ದೆ: ಎಮತ್ತು ಬಿ.

ದಾಟುವ ಮೂಲಕಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಅಂತಹವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ x, ಏನು xಬಗ್ಗೆ ಎಮತ್ತು xಬಗ್ಗೆ ಬಿ. ಹುದ್ದೆ: ಎ Z ಬಿ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಅಂತಹವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ x, ಏನು xಬಗ್ಗೆ ಎಮತ್ತು xಪಿ ಬಿ. ಹುದ್ದೆ: ಎ \ ಬಿ.

7. ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎ = {1,3,7,137}, ಬಿ = {3,7,23}, ಸಿ = {0,1,3, 23}, ಡಿ= (0,7,23,1998). ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಎ) ಎಮತ್ತು ಬಿ;	b) ಎ Z ಬಿ;	ವಿ) ( ಎ Z ಬಿ) ಮತ್ತು ಡಿ;
ಜಿ) ಸಿ Z ( ಡಿ Z ಬಿ);	d) ( ಎಮತ್ತು ಬಿ)Z ( ಸಿಮತ್ತು ಡಿ);	ಇ) ( ಎಮತ್ತು ( ಬಿ Z ಸಿ)) Z ಡಿ;
ಮತ್ತು) ( ಸಿ Z ಎ)ಮತ್ತು (( ಎಮತ್ತು ( ಸಿ Z ಡಿ)) Z ಬಿ);	h) ( ಎಮತ್ತು ಬಿ) \ (ಸಿ Z ಡಿ);	ಮತ್ತು) ಎ \ (ಬಿ \ (ಸಿ \ ಡಿ));
ಗೆ) (( ಎ \ (ಬಿಮತ್ತು ಡಿ)) \ ಸಿ) ಮತ್ತು ಬಿ.

8. ಅವಕಾಶ ಎಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಿ– 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್. ಹುಡುಕಿ ಎ Z ಬಿ.

9. ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಎ, ಬಿ, ಸಿ

ಎ) ಎಮತ್ತು ಬಿ = ಬಿಮತ್ತು ಎ, ಎ Z ಬಿ = ಬಿ Z ಎ;

b) ಎಮತ್ತು ( ಬಿಮತ್ತು ಸಿ) = (ಎಮತ್ತು ಬಿ) ಮತ್ತು ಸಿ, ಎ Z ( ಬಿ Z ಸಿ) = (ಎ Z ಬಿ) Z ಸಿ;

ವಿ) ಎ Z ( ಬಿಮತ್ತು ಸಿ) = (ಎ Z ಬಿ)ಮತ್ತು ( ಎ Z ಸಿ), ಎಮತ್ತು ( ಬಿ Z ಸಿ) = (ಎಮತ್ತು ಬಿ)Z ( ಎಮತ್ತು ಸಿ);

ಜಿ) ಎ \ (ಬಿಮತ್ತು ಸಿ) = (ಎ \ ಬಿ)Z ( ಎ \ ಸಿ), ಎ \ (ಬಿ Z ಸಿ) = (ಎ \ ಬಿ)ಮತ್ತು ( ಎ \ ಸಿ).

10. ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಅದು ನಿಜವೇ ಎ, ಬಿ, ಸಿ

ಎ) ಎ Z ZH = F, ಎಐ ಎಫ್ = ಎ;	b) ಎಮತ್ತು ಎ = ಎ, ಎ Z ಎ = ಎ;	ವಿ) ಎ Z ಬಿ = ಎವೈ ಎಎಂ ಬಿ;
ಜಿ) ( ಎ \ ಬಿ) ಮತ್ತು ಬಿ = ಎ; 7 ಡಿ) ಎ \ (ಎ \ ಬಿ) = ಎ Z ಬಿ;	ಇ) ಎ \ (ಬಿ \ ಸಿ) = (ಎ \ ಬಿ)ಮತ್ತು ( ಎ Z ಸಿ);
ಮತ್ತು) ( ಎ \ ಬಿ)ಮತ್ತು ( ಬಿ \ ಎ) = ಎಮತ್ತು ಬಿ?

ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ

ಪ್ರತಿ ಅಂಶ ಇದ್ದರೆ xಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ Xನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಅಂಶ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ f(x) ಸೆಟ್ ವೈ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಪ್ರದರ್ಶನ fಅನೇಕರಿಂದ Xಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯೊಳಗೆ ವೈ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವೇಳೆ f(x) = ವೈ, ನಂತರ ಅಂಶ ವೈಎಂದು ಕರೆದರು ದಾರಿಅಂಶ xಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾಗ f, ಮತ್ತು ಅಂಶ xಎಂದು ಕರೆದರು ಮೂಲಮಾದರಿಅಂಶ ವೈಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾಗ f. ಹುದ್ದೆ: f: X ® ವೈ.

11. ಸೆಟ್‌ನಿಂದ (7,8,9) ಸೆಟ್‌ಗೆ (0,1) ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.

ಅವಕಾಶ f: X ® ವೈ, ವೈಬಗ್ಗೆ ವೈ, ಎಎಂ X, ಬಿಎಂ ವೈ. ಅಂಶದ ಪೂರ್ಣ ಮೂಲಮಾದರಿ ವೈ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾಗ fಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ( xಬಗ್ಗೆ X | f(x) = ವೈ) ಹುದ್ದೆ: f - 1 (ವೈ). ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಎಂ X ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾಗ fಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ( f(x) | xಬಗ್ಗೆ ಎ) ಹುದ್ದೆ: f(ಎ). ಸೆಟ್ನ ಮೂಲಮಾದರಿ ಬಿಎಂ ವೈ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ( xಬಗ್ಗೆ X | f(x) ಬಗ್ಗೆ ಬಿ) ಹುದ್ದೆ: f - 1 (ಬಿ).

12. ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು f: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), ಚಿತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಹುಡುಕಿ f({0,3}), f({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).

ಎ) ಬಿ) ಸಿ)

13. ಅವಕಾಶ f: X ® ವೈ, ಎ 1 , ಎ 2 ಎಂ X, ಬಿ 1 , ಬಿ 2 ಎಂ ವೈ. ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಜವೇ

ಎ) f(X) = ವೈ;

b) f - 1 (ವೈ) = X;

ವಿ) f(ಎ 1 I ಎ 2) = f(ಎ 1) ಮತ್ತು f(ಎ 2);

ಜಿ) f(ಎ 1 ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎ 2) = f(ಎ 1) Z f(ಎ 2);

d) f - 1 (ಬಿ 1 I ಬಿ 2) = f - 1 (ಬಿ 1) ಮತ್ತು f - 1 (ಬಿ 2);

ಇ) f - 1 (ಬಿ 1 ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಬಿ 2) = f - 1 (ಬಿ 1) Z f - 1 (ಬಿ 2);

g) ವೇಳೆ f(ಎ 1) ಎಂ f(ಎ 2), ನಂತರ ಎ 1 ಎಂ ಎ 2 ;

h) ವೇಳೆ f - 1 (ಬಿ 1) ಎಂ f - 1 (ಬಿ 2), ನಂತರ ಬಿ 1 ಎಂ ಬಿ 2 ?

ಸಂಯೋಜನೆಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳು f: X ® ವೈಮತ್ತು ಜಿ: ವೈ ® Zಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ xಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ Xಅಂಶ ಜಿ(f(x)) ಸೆಟ್ Z. ಹುದ್ದೆ: ಜಿ° f.

14. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ f: X ® ವೈ, ಜಿ: ವೈ ® Zಮತ್ತು ಗಂ: Z ® ಡಬ್ಲ್ಯೂಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ: ಗಂ° ( ಜಿ° f) = (ಗಂ° ಜಿ)° f.

15. ಅವಕಾಶ f: (1,2,3,5) ® (0,1,2), ಜಿ: (0,1,2) ® (3,7,37,137), ಗಂ: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳು:

f: ಜಿ: ಗಂ:

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರದರ್ಶನಗಳಿಗಾಗಿ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

ಎ) ಜಿ° f; b) ಗಂ° ಜಿ; ವಿ) f° ಗಂ° ಜಿ; ಜಿ) ಜಿ° ಗಂ° f.

ಪ್ರದರ್ಶನ f: X ® ವೈಎಂದು ಕರೆದರು ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ವೇಳೆ ವೈಬಗ್ಗೆ ವೈನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಇದೆ xಬಗ್ಗೆ Xಅಂತಹ f(x) = ವೈ.

16. ಅವಕಾಶ f: X ® ವೈ, ಜಿ: ವೈ ® Z. ಒಂದು ವೇಳೆ ಅದು ನಿಜವೇ fಮತ್ತು ಜಿದ್ವಿಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿವೆ, ನಂತರ ಜಿ° fದ್ವಿಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿ?

17. ಅವಕಾಶ f: (1,2,3) ® (1,2,3), ಜಿ: (1,2,3) ® (1,2,3), – ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳು:

18. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಶೂನ್ಯವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ):

ಎ) ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು;

ಬಿ) ಸಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್;

ಸಿ) ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಇಲ್ಲದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್.

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ Xನೀಡಿದ ಜೊತೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಆರ್: X× X ® Z

1) " x,ವೈಬಗ್ಗೆ Xಆರ್( x,ವೈ) i 0, ಮತ್ತು r ( x,ವೈ) = 0 ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ x = ವೈ (ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ); 2) " x,ವೈಬಗ್ಗೆ Xಆರ್( x,ವೈ) = ಆರ್ ( ವೈ,x) (ಸಮ್ಮಿತಿ ); 3) " x,ವೈ,zಬಗ್ಗೆ Xಆರ್( x,ವೈ) + ಆರ್ ( ವೈ,z) ನಾನು ಆರ್ ( x,z) (ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆ ). 19 19. X

ಎ) X = Z, ಆರ್ ( x,ವೈ) = | x - ವೈ| ;

b) X = Z 2, ಆರ್ 2 (( x 1 ,ವೈ 1),(x 2 ,ವೈ 2)) = ಸಿ (( x 1 - x 2) 2 + (ವೈ 1 - ವೈ 2) 2 };

ವಿ) X = ಸಿ[ಎ,ಬಿಎ,ಬಿ] ಕಾರ್ಯಗಳು,

ಎಲ್ಲಿ ಡಿ

ತೆರೆಯಿರಿ(ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ) ತ್ರಿಜ್ಯದ ಚೆಂಡು ಆರ್ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ Xಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ xಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯು ಆರ್ (x) = {ವೈಬಗ್ಗೆ x:ಆರ್ ( x,ವೈ) < ಆರ್) (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಬಿ ಆರ್ (x) = {ವೈಬಗ್ಗೆ X:ಆರ್ ( x,ವೈ) Ј ಆರ್}).

ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಯುಎಂ X ಯು

ತೆರೆದ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನಈ ಹಂತ.

ಮಿತಿ ಬಿಂದುಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಎಫ್ಎಂ X ಎಫ್.

ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ

20. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

21. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಬಿ) ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಒಕ್ಕೂಟ ಎ ಶಾರ್ಟ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಎ

ಪ್ರದರ್ಶನ f: X ® ವೈಎಂದು ಕರೆದರು ನಿರಂತರ

22.

23. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಎಫ್ (x) = inf ವೈಬಗ್ಗೆ ಎಫ್ಆರ್( x,ವೈ

ಎಫ್.

24. ಅವಕಾಶ f: X ® ವೈ– . ಅದರ ವಿಲೋಮ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವೇ?

ನಿರಂತರ ಪರಸ್ಪರ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ f: X ® ವೈ ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್. ಜಾಗಗಳು X, ವೈಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್.

25.

26. ಯಾವ ದಂಪತಿಗಳಿಗೆ? X, ವೈ f: X ® ವೈ, ಇದು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲಅಂಕಗಳು (ಅಂದರೆ f(x) № f(ವೈ) ನಲ್ಲಿ x № ವೈ ಹೂಡಿಕೆಗಳು)?

27*. ಸ್ಥಳೀಯ ಹೋಮಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್(ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ xವಿಮಾನ ಮತ್ತು f(x) ಟೋರಸ್ ಅಂತಹ ನೆರೆಹೊರೆಗಳಿವೆ ಯುಮತ್ತು ವಿ, ಏನು fಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕಲ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಯುಮೇಲೆ ವಿ).

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳು

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ Xನೀಡಿದ ಜೊತೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಆರ್: X× X ® Z, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು:

1) " x,ವೈಬಗ್ಗೆ Xಆರ್( x,ವೈ) i 0, ಮತ್ತು r ( x,ವೈ) = 0 ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ x = ವೈ (ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ); 2) " x,ವೈಬಗ್ಗೆ Xಆರ್( x,ವೈ) = ಆರ್ ( ವೈ,x) (ಸಮ್ಮಿತಿ ); 3) " x,ವೈ,zಬಗ್ಗೆ Xಆರ್( x,ವೈ) + ಆರ್ ( ವೈ,z) ನಾನು ಆರ್ ( x,z) (ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆ ). 28. ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ( X,ಆರ್ ) ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗಗಳು:

ಎ) X = Z, ಆರ್ ( x,ವೈ) = | x - ವೈ| ;

b) X = Z 2, ಆರ್ 2 (( x 1 ,ವೈ 1),(x 2 ,ವೈ 2)) = ಸಿ (( x 1 - x 2) 2 + (ವೈ 1 - ವೈ 2) 2 };

ವಿ) X = ಸಿ[ಎ,ಬಿ] – ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ಸೆಟ್ ಎ,ಬಿ] ಕಾರ್ಯಗಳು,

ಎಲ್ಲಿ ಡಿ- ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಘಟಕ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತ.

ತೆರೆಯಿರಿ(ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ) ತ್ರಿಜ್ಯದ ಚೆಂಡು ಆರ್ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ Xಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ xಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯು ಆರ್ (x) = {ವೈಬಗ್ಗೆ x:ಆರ್ ( x,ವೈ) < ಆರ್) (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಬಿ ಆರ್ (x) = {ವೈಬಗ್ಗೆ X:ಆರ್ ( x,ವೈ) Ј ಆರ್}).

ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಯುಎಂ Xಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಯುಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಕೆಲವು ಚೆಂಡುಗಳೊಂದಿಗೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಆಂತರಿಕವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತೆರೆದ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನಈ ಹಂತ.

ಮಿತಿ ಬಿಂದುಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಎಫ್ಎಂ Xಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಸೆಟ್‌ನ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಫ್.

ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ(ಅನುಬಂಧ 1 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ).

29. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಎ) ಒಂದು ಸೆಟ್ ತೆರೆದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪೂರಕವನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದರೆ ಮಾತ್ರ;

ಬಿ) ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟ ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಛೇದಕವನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ;

ಸಿ) ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸೀಮಿತ ಛೇದಕವು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ.

30. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಎ) ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್‌ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ;

ಬಿ) ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಒಕ್ಕೂಟ ಎಮತ್ತು ಅದರ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ( ಶಾರ್ಟ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಎ) ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಪ್ರದರ್ಶನ f: X ® ವೈಎಂದು ಕರೆದರು ನಿರಂತರ, ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರವು ತೆರೆದಿದ್ದರೆ.

31. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರಂತರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

32. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

a) ಆರ್ ಹೊಂದಿಸಲು ದೂರ ಎಫ್ (x) = inf ವೈಬಗ್ಗೆ ಎಫ್ಆರ್( x,ವೈ) ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ;

ಬಿ) ಐಟಂನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸೆಟ್ a) ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಫ್.

33. ಅವಕಾಶ f: X ® ವೈ

ನಿರಂತರ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ f: X ® ವೈ, ಇದರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಸಹ ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್. ಜಾಗಗಳು X, ವೈ, ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್.

34. ಕೆಳಗಿನ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗೆ, ಅವು ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

35. ಯಾವ ದಂಪತಿಗಳಿಗೆ? X, ವೈಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಇದೆ f: X ® ವೈ, ಇದು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲಅಂಕಗಳು (ಅಂದರೆ f(x) № f(ವೈ) ನಲ್ಲಿ x № ವೈ- ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೂಡಿಕೆಗಳು)?

36*. ವಿಮಾನದಿಂದ ಟೋರಸ್‌ಗೆ ನಿರಂತರ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬನ್ನಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಹೋಮಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್(ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ xವಿಮಾನ ಮತ್ತು f(x) ಟೋರಸ್ ಅಂತಹ ನೆರೆಹೊರೆಗಳಿವೆ ಯುಮತ್ತು ವಿ, ಏನು fಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕಲ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಯುಮೇಲೆ ವಿ).

ಸಂಪೂರ್ಣತೆ. ಬೈರ ಪ್ರಮೇಯ

ಅವಕಾಶ X- ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗ. ಅನುಕ್ರಮ x ಎನ್ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲಭೂತ, ವೇಳೆ

"ಇ > 0 $ ಎನ್ " ಕೆ,ಮೀ > ಎನ್ಆರ್( x ಕೆ ,x ಮೀ) < e .

37. ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ವಿರುದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವೇ?

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ, ಪ್ರತಿ ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ.

38. ಸಂಪೂರ್ಣ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವೇ?

39. ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗದ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಸ್ಥಳವು ಸ್ವತಃ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ; ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಜಾಗದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಪಸ್ಥಳವನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

40. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

41. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅಥವಾ ಚೆಂಡುಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವೇ?

ಪ್ರದರ್ಶನ fಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗ Xತನ್ನೊಳಗೆ ಕರೆದ ಸಂಕುಚಿತ, ವೇಳೆ

$ ಸಿ (0 Ј ಸಿ < 1): " x,ವೈಬಗ್ಗೆ Xಆರ್( f(x),f(ವೈ)) < ಸಿಆರ್( x,ವೈ).

42. ಸಂಕೋಚನ ನಕ್ಷೆಯು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

43. a) ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಸಂಕೋಚನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಬಿ) ರಷ್ಯಾದ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ 1:20,000,000 ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ರಷ್ಯಾದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು 1:5,000,000 ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ, ಎರಡೂ ನಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

44*. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿರುವ ಅಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳವಿದೆಯೇ?

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಲ್ಲೆಡೆ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ; ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ- ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಅನುಬಂಧ 2 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ).

45. a) ಅವಕಾಶ ಎ, ಬಿ, a , b O Zಮತ್ತು ಎ < a < b < ಬಿ. [ ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಎ,ಬಿ], ಮೇಲೆ ಏಕತಾನತೆ, ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ [ ಎ,ಬಿ] ಏಕರೂಪದ ಮೆಟ್ರಿಕ್‌ನೊಂದಿಗೆ.

ಬಿ) ಅವಕಾಶ ಎ, ಬಿ, ಸಿ, ಇ ಒ Zಮತ್ತು ಎ < ಬಿ, ಸಿ> 0, e > 0. ನಂತರ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ [ ಎ,ಬಿ], ಅಂತಹ

$ xಸುಮಾರು [ ಎ,ಬಿ]: " ವೈ (0 < | x - ವೈ| < e ) Ю | f(x) - f(ವೈ)| | x - ವೈ| Ј ಸಿ,

ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ [ ಎ,ಬಿ] ಏಕರೂಪದ ಮೆಟ್ರಿಕ್‌ನೊಂದಿಗೆ.

46. (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಬೈರ್ ಪ್ರಮೇಯ .) ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

47. ಯಾವುದೇ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ, ಏಕತಾನತೆಯಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲೂ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಏಕರೂಪದ ಮೆಟ್ರಿಕ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

48*. ಅವಕಾಶ f- ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯ. ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ದಟ್ಟವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆಲೆಬೆಸ್ಗು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಒಂದರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಜೋರ್ಡಾನೋವಾ

ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ.

1. ಯೋಜನೆ .
2. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್
3. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸೆಟ್‌ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು
4. ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
5. ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದು. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳು

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು . 1. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್

ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಇರಲಿ ಬಿಡಿ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಅಂಶಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್‌ನಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಗುಣಾಕಾರ, ಇವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಢಿಯನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ:

ವೆಕ್ಟರ್ ನಾರ್ಮ್ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1ದೂರ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ದೂರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. ನಾನು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ವೇಳೆ;. ಇರಲಿ ಬಿಡಿ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯದ ತೆರೆದ ಚೆಂಡು (ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ) ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆ. - ಇದು ಮಧ್ಯಂತರ (ಚಿತ್ರ 1).

ಉದಾಹರಣೆ. (ಚಿತ್ರ 2).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3. ಇರಲಿ ಬಿಡಿ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡು (ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ) ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4. ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ತೆರೆದ ಚೆಂಡು ಇದ್ದರೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಈ ಸೆಟ್‌ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 3).

ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದರ ಅರ್ಥ. ಸೂಚಿಸೋಣ ತೆರೆದ ಚೆಂಡನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಸೇರಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಮತ್ತು ಇದರ ಅರ್ಥ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6. ತೆರೆದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪಿಪ್ಡ್ ಇನ್ ಎಂಬುದು ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ:

ವ್ಯಾಯಾಮ. ತೆರೆದ ಪ್ಯಾರಲೆಲೆಪಿಪ್ಡ್ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದಕವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಓಪನ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ, . ಅದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಹಂತವು ಇದಕ್ಕೆ ಆಂತರಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ತೋರಿಸೋಣ:

ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ತೆರೆದಿರುವುದರಿಂದ, ತೆರೆದ ಚೆಂಡು ಇರುತ್ತದೆ. ಸೂಚಿಸೋಣ ನಂತರ

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಆಂತರಿಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸ್ವತಃ ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದಕವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಬಾರದು.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅವರಿಗಾಗಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಅನಂತ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ತೆರೆದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಕೆಲವು ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸೆಟ್ ತೆರೆದಿರಲಿ. ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅದು ತೆರೆದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಹಂತವು ಇದಕ್ಕೆ ಆಂತರಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ತೋರಿಸೋಣ:

ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ ಅದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್.

ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನ. ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ.

ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ , ಅದು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತೆರೆದ , ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುಗಳು ಅದಕ್ಕೆ ಆಂತರಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಕೊಡೋಣ ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು .

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗವು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರ (a, b) ಒಂದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಅನುಚಿತ ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನುಚಿತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ತೆರೆದ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಲು ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತೆರೆಯಲು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಯಾವುದೇ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಅಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್:

ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ; ಈ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x=0, ಇದು ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮುಚ್ಚಿದ ಅಥವಾ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಮಗೆ ಹಲವಾರು ಸಹಾಯಕ ಸಂಗತಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

• 1. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದಕವನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.
• 2. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.
• 3. ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಗುಂಪನ್ನು ಮೇಲೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅದು ಅದರ ಸುಪ್ರೀಮಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಮುಚ್ಚಿದ ಗುಂಪನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಸುತ್ತುವರೆದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅದರ ಇನ್ಫಿಮಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

E ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. E ಸೆಟ್‌ನ ಪೂರಕವನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯೋಣ ಮತ್ತು E ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು CE ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. x ಎಂಬುದು E ಗಾಗಿ ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ CE ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

4. ಒಂದು ಸೆಟ್ F ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪೂರಕ CF ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ನಡುವೆ ಬಹಳ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದನೆ 4 ತೋರಿಸುತ್ತದೆ: ಕೆಲವು ಇತರವುಗಳಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿವೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಮುಚ್ಚಿದ ಅಥವಾ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಸಾಕು. ಒಂದು ಪ್ರಕಾರದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಕಾರದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಾಲಿನಿಂದ ಕೆಲವು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. F ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರವು (a, b) ಅದರ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳು F ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ, ಆದರೆ a ಮತ್ತು b ಬಿಂದುಗಳು F ಗೆ ಸೇರಿರುವ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಇದನ್ನು F ಸೆಟ್‌ನ ಪಕ್ಕದ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಪಕ್ಕದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ನಡುವೆ ಅಸಮರ್ಪಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ ಪಾಯಿಂಟ್ a ಅಥವಾ ಪಾಯಿಂಟ್ b ಸೆಟ್ ಎಫ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಸ್ವತಃ F ನೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಬಿಂದು x ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ F ಗೆ ಸೇರದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ.

x ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ F ಸೆಟ್‌ನ ಭಾಗದಿಂದ ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ x ಸ್ವತಃ ಎಫ್ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಛೇದಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್ ಎಫ್ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಪಾದನೆ 1 ರ ಮೂಲಕ, ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರವು F ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈಗ ಸೆಟ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಸೆಟ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಕೆಳಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದರ ಕೆಳಭಾಗವನ್ನು b ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿಪಾದನೆ 3 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂದರೆ. ಮುಂದೆ, b ಎಂಬುದು ಸೆಟ್‌ನ ಇನ್ಫಿಮಮ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, b ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರ (x, b) ಸೆಟ್‌ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೆಟ್ ಎಫ್‌ನ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು F ಸೆಟ್‌ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು (x, b) ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವು F ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು (a, x) ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಸೆಟ್ ಎಫ್, ಮತ್ತು ಒಂದೋ ಅಥವಾ. ಮಧ್ಯಂತರ (a, b) ಬಿಂದು x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು F ಸೆಟ್ನ ಪಕ್ಕದ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. F ಸೆಟ್ನ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಹಿಂದಿನದರಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಲಿನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸೆಟ್ ಎಫ್‌ನ ಪಕ್ಕದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು. ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಇರುತ್ತದೆ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಬಿಂದುಗಳು, ಎಲ್ಲಾ ಪಕ್ಕದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಣಿಸಬಹುದಾದಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಅಂತಿಮ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೇಖೆಯಿಂದ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ವಿಭಜಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿಪಾದನೆ 4 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅಸಂಯೋಜಿತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಎಣಿಕೆಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತಾವನೆಗಳು 1 ಮತ್ತು 2 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ (ತೆರೆದಿದೆ) ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳು ಬಹಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು.

§6. ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಅವಕಾಶ ಜಿ ಕೆ - ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳು.

ಅದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

 ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ X ಓ  ಜಿ. ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ X ಓಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತದೆ ಜಿ ಕೆ . ಏಕೆಂದರೆ ಜಿ ಕೆತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳು, ನಂತರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ  - ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ X ಓ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಜಿ ಕೆ :

ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಿಕ್ಕಿದೆ X ಓ  ಜಿ - ಆಂತರಿಕ, ಅಂದರೆ ಜಿ- ತೆರೆದ ಸೆಟ್. 

ಪ್ರಮೇಯ 2 . ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದಕವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಅವಕಾಶ ಜಿ ಕೆ ( ಕೆ = 1,2, …,ಎನ್) ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ.

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ
- ತೆರೆದ ಸೆಟ್.

 ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ X ಓ  ಜಿ. ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ X ಓಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ಜಿ ಕೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಜಿ ಕೆತೆರೆಯಿರಿ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಜಿ ಕೆಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ  ಕೆ- ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ X ಓ : ಯು( x o ,  ಕೆ)  ಜಿ ಕೆ. ಬಹಳಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು { 1 ,  2 ,…,  ಎನ್ ) ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ   = ನಿಮಿಷ { 1 ,  2 ,…,  ಎನ್) ನಂತರ  - ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ X ಓ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸೇರಿದೆ  ಕೆ- ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ X ಓ :

ಅದು ಸಿಕ್ಕಿತು X ಓ- ಸೆಟ್ನ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು ಜಿ, ಅಂದರೆ ಜಿ- ತೆರೆದ ಸೆಟ್. 

ಗಮನಿಸಿ 1.ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದಕವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಬಾರದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1 . ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿ ಆರ್ ಎಲ್ಲಿ ಕೆ= 1,2,…,ಎನ್, ….

ಪ್ರಮೇಯ 3 . ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಚ್ಚಿದ ನಾನ್ಂಪ್ಟಿ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದಕವು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಅವಕಾಶ ಎಫ್ ಕೆ- ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳು.

ನಮಗೆ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ
ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮಿತಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 4. ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಚ್ಚಿದ ನಾನ್ಂಪ್ಟಿ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಿಡಿ ಎಫ್ ಕೆ- ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

ನಮಗೆ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ
ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ವೇಳೆ X ಓ ಎಫ್, ಅದು X ಓ  ಎಫ್.

ಗಮನಿಸಿ 2.ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2 . ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಆರ್: ಎಫ್ ಕೆ =

ಪ್ರಮೇಯ 5 . ಸೆಟ್ ವೇಳೆ ಇಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅದರ ಸೆಟ್ಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ ಎಕ್ಸ್: ಸಿ X ಇ=ಸಿಇ -ತೆರೆದ ಸೆಟ್.

ಉದಾಹರಣೆ .3 . ಇ=, ಸಿ ಆರ್ ಇ =

ಪ್ರಮೇಯ 6 . ಸೆಟ್ ವೇಳೆ ಇತೆರೆಯಿರಿ, ನಂತರ ಅದರ ಸೆಟ್ಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ ಎಕ್ಸ್: ಸಿ X ಇ=ಸಿಇ -ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್.

ಉದಾಹರಣೆ 4 . ಇ=(2,5), ಸಿ ಆರ್ ಇ =

§7. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 . ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮ (X,  ) ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ fನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎನ್ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯೊಳಗೆ X: f: ಎನ್X.

ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ ಎನ್  ಎನ್ ಎಂದು ಕರೆದರು ಎನ್-ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ x ಎನ್ = f(ಎನ್). ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ (x ಎನ್) ಅಥವಾ ( X 1 ,ಎಕ್ಸ್ 2 ,…, ಎಕ್ಸ್ ಎನ್ … ).

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಆರ್ 2 : X ಎನ್ = (1 ಎನ್, ಎನ್+ 1/ ಎನ್));

ಉದಾಹರಣೆ 2 . ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಜೊತೆಗೆ: (X ಎನ್ = (1/ nx + ಎನ್ 2 x)) ಎಲ್ಲಿ  ಎ,b 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 . ಅವಕಾಶ ( x ಎನ್X, ), (ಕೆ 1 , ಕೆ 2 ,…, ಕೆ ಎನ್ ,… ) ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮ (x kn) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಅನುಕ್ರಮ (x ಎನ್).

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಅನುಕ್ರಮ (1 / ಎನ್ 2 ) – ಅನುಕ್ರಮದ ಅನುಕ್ರಮ (1 / ಎನ್).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 . ಅವಕಾಶ ( x ಎನ್) X, ), ಅನುಕ್ರಮ (x ಎನ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೀಮಿತ , ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡು ಇದ್ದರೆ ಎಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ತ್ರಿಜ್ಯ R, ಇದು ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

.

ಗಮನಿಸಿ 1 . ಎಲ್ಲಾ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4. ಅವಕಾಶ ( x ಎನ್) - ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ( X, ) ಡಾಟ್ ಎ Xಎಂದು ಕರೆದರು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ (x ಎನ್) ವೇಳೆ:

  (    ಎನ್   ಎನ್   ( , ಎನ್  ಎನ್   x ಎನ್ , ಎ  

ಅಥವಾ, ಅದೇ ವಿಷಯ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ (  x ಎನ್ , ಎ)) - ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ (0 ಗೆ ಒಲವು), ಜೊತೆಗೆ ಎನ್ ,ಅವು.

ಮತ್ತು abazanaetstsa

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೂಲಕ  ಅಥವಾ
, ನಲ್ಲಿ ಎನ್ .

ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ ( x ಎನ್) ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, in ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ- ವಿಭಿನ್ನ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ( x ಎನ್) - ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ( X, ) ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎ X, ಅದು ಎ- ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಬಿಂದು ( x ಎನ್).

ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ.

ಗಮನಿಸಿ 2 . ವಿಭಿನ್ನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಅನುಕ್ರಮ (1 / ಎನ್) R ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ( X, ), ಎಲ್ಲಿ
 (x, ವೈ)=  X ನಲ್ಲಿ, ಏಕೆಂದರೆ 0
.

ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗಾಗಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಒಂದು ವೇಳೆ ( x ಎನ್) – ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮ ( X, ), ನಂತರ ಅದರ ಮಿತಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ.

  x ಎನ್ ,ಎ 0 ಮತ್ತು
  x ಎನ್ ,ಬಿ 0.

ಮೆಟ್ರಿಕ್ 0 ನ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಪ್ರಕಾರ   ಎ, ಬಿ    x ಎನ್ , ಎ +  x ಎನ್ , ಬಿ ನಾವು ಮಿತಿಗೆ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತೇವೆ, ನಲ್ಲಿ ಎನ್ , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ  ಎ, ಬಿ = 0  ಎ= ಬಿ. 

ಪ್ರಮೇಯ 2 . ಒಂದು ವೇಳೆ ( x ಎನ್) - ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ( X, ) – ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

 ಅವಕಾಶ
.

ಪ್ರಮೇಯ 3 . ಒಂದು ವೇಳೆ ( x ಎನ್) - ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ( X, ) ಒಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎ X, ನಂತರ ಅದರ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎ.

 ಅವಕಾಶ
- ಅನುಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮ (x ಎನ್) ಷರತ್ತು ಪ್ರಕಾರ. ಇದರರ್ಥ:      ಎನ್    x ಎನ್ ,ಎ   .

ಏಕೆಂದರೆ ಕೆ ಎನ್  ಎನ್, ನಂತರ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎನ್> ಎನ್ ಬಲ ಕೆ ಎನ್ > ಎನ್ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ 
.

ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ     ಎನ್   , ಇದರ ಅರ್ಥ
.

§8. ಕೆಲವರಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗಗಳು

ಪ್ರಮೇಯ 1 (m ನಲ್ಲಿನ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ-ವಾರು ಒಮ್ಮುಖದ ಮೇಲೆ.ಆರ್ ಮೀ ) ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ಆರ್ ಮೀ

(X ಎನ್ = (X 1 ( ಎನ್ ) ,ಎಕ್ಸ್ 2 ( ಎನ್ ) ,…, ಎಕ್ಸ್ ಮೀ ( ಎನ್ ) ) ಒಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಎ = (ಎ 1 ,ಎ 2 ,..., ಎ ಮೀ) ಈ ಸ್ಥಳವು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ( X 1 ( ಎನ್ ) ), (X 2 ( ಎನ್ ) ),…, (X ಮೀ ( ಎನ್ ) ) (ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು) ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ ಎ 1 ,ಎ 2 ,..., ಎ ಮೀ , ಅಂದರೆ

,
,...,
(1)

ಸಮಾನತೆಗಳು (1) ತೃಪ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮ ( X ಎನ್) ಒಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಸಮನ್ವಯದಿಂದ ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸಿ.

1. ಎಂ.ಪಿ.ಆರ್. ಆರ್ ಮೀ . (2)

ಸಮಾನತೆಗಳು (1) ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಸಮಾನತೆಯ ಗುಣದಿಂದ (2) (ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ) m.p. ಆರ್ ಮೀನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

  ಎನ್    x ಎನ್ ,ಎ ,

ಎಲ್ಲಿ  - ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆರ್ ಮೀ :

x,y ಆರ್ ಮೀ .

2. ಸಮಾನತೆಗಳು (1) ತೃಪ್ತಿಯಾಗಲಿ.

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (2) ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಆರ್ ಮೀ .

ಅವಕಾಶ  - ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
. ನಂತರ

ಉದಾಹರಣೆ 1 . ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎ = (ಎ 1 , ಎ 2 ) ಅನುಕ್ರಮಗಳು

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಆರ್ 2 .

ಹೀಗಾಗಿ, = (1/4;3).

ಪ್ರಮೇಯ 2 (m.pr ನಲ್ಲಿ ಬೊಲ್ಜಾನಾ-ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ಸೆ.ಆರ್ ಮೀ ) ಜಾಗದ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಆರ್ ಮೀಒಂದು ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣ ಆರ್ 1 ಮೊದಲ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಯಿತು.

ಪ್ರಮೇಯ 3 . ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ( x ಎನ್) ಅಂಕಗಳು m.pr. ಜೊತೆಗೆ [ ಎ , ಬಿ] ಚೆಬಿಶೇವ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ Xಇದು, ಇತ್ಯಾದಿ, ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ( x ಎನ್) ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ Xಮೇಲೆ [ ಎ, ಬಿ].

ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ ( x ಎನ್) ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ Xನಂತರ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ

m.pr ನಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು. ಜೊತೆಗೆ[ಎ, ಬಿ] ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

(ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4 §7 ನೋಡಿ)
ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೂಲಕ  m.pr ನಲ್ಲಿ ಜೊತೆಗೆ[ಎ, ಬಿ]. 

ಉದಾಹರಣೆ 2. x ಎನ್ (ಟಿ) = ಟಿ ಎನ್  ಟಿ ;   ಎನ್ ಎನ್. ;/2 ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ x ಎನ್ (ಟಿ) = ಟಿ ಎನ್ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ x (ಟಿ) = 0. ಹೀಗೆ  ಟಿ ; ಅನುಕ್ರಮ ( x ಎನ್) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ x = m.pr ನಲ್ಲಿ 0 ಜೊತೆಗೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 4. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ- ಸೆಟ್ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಇಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗ ( X,  ), ನಂತರ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ ( x ಎನ್), ಅವರ ಸದಸ್ಯರು ಸೇರಿದ್ದಾರೆ ಇಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎ, ಮತ್ತು ( x ಎನ್), ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ.

ಪುರಾವೆಯು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಪುರಾವೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಆರ್.

ಗಮನಿಸಿ 1. ಯಾವುದೇ ರೂಢಿಯು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದರಿಂದ,

 o ( x, ವೈ) =

ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಜಾಗದ ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ 2. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪೂರ್ವದ ಜಾಗವು ರೂಢಿಯೊಂದಿಗೆ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಜಾಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ
, ನಂತರ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪೂರ್ವ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪೂರ್ವ ಜಾಗದ ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

§9. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 . ಅನುಕ್ರಮ ( x ಎನ್ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ( X, ) ವೇಳೆ ಮೂಲಭೂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಆರ್ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಯಾವುದೇ m.pr ಗೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮವಲ್ಲ ( X,  ) ಈ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 . m.pr ನಲ್ಲಿ X = (ಪ್ರ;  =  X ನಲ್ಲಿ) ಅನುಕ್ರಮವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ 1 ನೇ ವರ್ಷದಿಂದ ಅದು ತಿಳಿದಿದೆ ಆದರೆ ಇ X(ಇ I ).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 . ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗ , ಈ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 . ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗ ಆರ್ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಿಂದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್. ಇದು ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (1 ನೇ ಕೋರ್ಸ್ ನೋಡಿ).

ಉದಾಹರಣೆ 3 . ಆ ಜಾಗವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಆರ್ ಮೀ- ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗ.

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಿಡಿ( x n= x 1 (ಎನ್) , x 2 (ಎನ್) ,…, xಮೀ( ಎನ್)) (1)

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮ ಆರ್ ಮೀ . ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಿತಿಯು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ ಆರ್ ಮೀ .

ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೇಲೆ ಆರ್ ಮೀ

0 ಎನ್( ) ಎನ್  p,n >N  (x ಪು ,x ಎನ್) 

ಪ್ರಮೇಯ 1 §8 ರ ಪುರಾವೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಸ್ವರೂಪ ( x 1 ( ಎನ್ ) ), (x 2 ( ಎನ್ ) ),…, (x ಮೀ ( ಎನ್ ) ), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರ ಒಮ್ಮುಖ (ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ).

ಅವಕಾಶ

ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ a =(ಎ 1 , ಎ 2 ,…, ಎ ಮೀ) ಏಕೆಂದರೆ ಎ 1 , ಎ 2 ,…, ಎ ಮೀ  ಆರ್, ಅದು ಎ ಆರ್ ಮೀ. ಪ್ರಮೇಯ 1 §8 ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದನ್ನು m.pr ನಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆರ್ ಮೀ ಅನುಕ್ರಮ ( x ಎನ್) ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎ ಆರ್ ಮೀ . ಇದರರ್ಥ ಆ ಜಾಗ ಆರ್ ಮೀ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗ. 

ಉದಾಹರಣೆ 4 . ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಜೊತೆಗೆ[ಎ, ಬಿ] ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ.

 ಅವಕಾಶ ( x ಎನ್) - m.p ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮ ಜೊತೆಗೆ[ಎ, ಬಿ] , ಅದರ ನಿಯಮಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ [ ಎ, ಬಿ] ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ( x ಎನ್) ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ [ ಎ , ಬಿ] . ಮೊದಲು ನಾವು ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ Xವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ ಎ, ಬಿ].

ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ

ಇದರ ಅರ್ಥ  ಟಿ [ಎ, ಬಿ] (ಸರಿಪಡಿಸಿ ಟಿ) ಮೂಲಭೂತವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ( x ಎನ್ (ಟಿ) ) ಇದರರ್ಥ ಇದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ
ಪ್ರತಿ ನಿಗದಿಗೆ ಟಿ [ಎ, ಬಿ].

ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ x(ಟಿ) ನಿರಂತರ [ ಎ, ಬಿ]. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅಸಮಾನತೆ (2) ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಿತಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ ಮೀ . ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

 x (ಟಿ) x ಎನ್ (ಟಿ)   ಎನ್>ಎನ್ ಟಿ [a,b].

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ

0 ಎನ್ಎನ್  ಮೀ, ಎನ್ > ಎನ್ x (ಟಿ) x ಎನ್ (ಟಿ)   ಟಿ [a,b].

ಇದರರ್ಥ ಅನುಕ್ರಮ ( x ಎನ್) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ Xಮೇಲೆ [ ಎ, ಬಿ]. ಏಕೆಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ( x ಎನ್) ನಿರಂತರ [ ಎ, ಬಿ] ಕಾರ್ಯ, ನಂತರ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯವು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಜೊತೆಗೆ [ ಎ , ಬಿ]. ಪ್ರಮೇಯ 2 §8 ಮೂಲಕ ಈ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮ ( x ಎನ್) ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ X. ಇದರರ್ಥ ಜಾಗ ಜೊತೆಗೆ [ ಎ , ಬಿ] - ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್. 

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3. ಸಂಪೂರ್ಣ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಜಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬನೋಹವ್ ನೇ ಜಾಗ ಮೀ .

ಬನೋಹವಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ:

ಆರ್ ಎನ್ಮಾನದಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ
,
;

ಎಲ್ 2 ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಢಿಯೊಂದಿಗೆ x = (x ಎನ್) = (x 1 , x 2 , … )

ಸಿ [ ಎ, ಬಿ] ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಢಿಯೊಂದಿಗೆ x(ಟಿ)
.

ಮತ್ತು ಜಾಗ ಸಿ 1 [ಎ, ಬಿ] ರೂಢಿಯೊಂದಿಗೆ ಬಾನೋಚ್ ಅಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 . ರೂಢಿ (2) §3 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪೂರ್ವ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ .

ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು §4 ರಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. §4 ರ ಉದಾಹರಣೆ 3 ರಿಂದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪೂರ್ವ ಜಾಗವು ರೂಢಿ (2) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅಲ್ಲ.

ಇನ್ಫರ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, 4 ವರ್ಷ, 1-2 ಮಾಡ್ಯೂಲ್) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಮೆಟ್ರಿಕ್ಜಾಗ(ಎಂ.ಪಿ.). ಉದಾಹರಣೆಗಳು. m.p ನಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳು. ಒಮ್ಮುಖ... ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ರೇಖೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳು ಜಾಗಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಸಾಧಾರಣಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಜಾಗರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳು. ಪ್ರಮೇಯ...

ಉಪನ್ಯಾಸ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳು ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳು

ಉಪನ್ಯಾಸ

... ಜಾಗಗಳು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4. ಮೆಟ್ರಿಕ್ಜಾಗಯಾವುದೇ ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ (ಇದರ ಅಂಶಕ್ಕೆ) ಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಾಗ!). ಉದಾಹರಣೆಗಳು. 9) ಬಿ ಜಾಗ ...

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ

ಡಾಕ್ಯುಮೆಂಟ್

ನಾವು ಪಡೆಯುವುದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಮೆಟ್ರಿಕ್ಜಾಗ. 4. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಜಾಗáX, rñ ಗಳು ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ... ನಿರಂತರ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳು ಮೆಟ್ರಿಕ್ಜಾಗಗಳುನಿರಂತರ. ಸೂಚಿಸಿ ಉದಾಹರಣೆ, ಏನು...

ಫೇಸ್ಬುಕ್

ಟ್ವಿಟರ್

VKontakte

ಸಹಪಾಠಿಗಳು

Google+