ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ lndu ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೇರುವ ಪ್ರಮೇಯ
C 1 ಮತ್ತು C 2 ಎಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.
ಎಲ್ಲಾ y ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, x = x 0 ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವು 0 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ. ನಿರ್ಣಾಯಕವು 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅನುಪಾತವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳ ಆಯ್ಕೆಯು ಕಾನೂನಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇದು ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯಾಗಿದೆ.
x 0 ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ಪುರಾವೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕವು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ, ಆದರೆ ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು y=0, y'=0 ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ. ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ 0 ಆಗಿರುವಾಗ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಿ 11 ಮತ್ತು ಸಿ 12 ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ.
ಇದು ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಯಾವುದೇ x 0 ಗೆ 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.
ಟಿಕೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆ. 33
ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ 2 ನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಮೇಯ:
ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳು, ನಂತರ ಕಾರ್ಯ 
ಸಹ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು: 1 ಮತ್ತು 2 ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಅನುಪಾತಗಳು ಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರ (ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ) ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಪುರಾವೆ:
ಟಿಕೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆ 34
ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ 2 ನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ.
ಬಲಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ: . ಬಲಭಾಗವಿಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣ
ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ 0 ಅನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಬಲಭಾಗದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ.
T.1 ಬಲಭಾಗದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಲಭಾಗದ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದೆ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.
ಪುರಾವೆ.
ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ 
. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
, 
.
ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ y, y', y'' ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲ ಚೌಕದ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ) ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯ 
ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದೆ.
ಟಿಕೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆ 35
ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳುಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ 2 ನೇ ಆದೇಶ, F.S.R. ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ, ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳು.
ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:
,
ಅಲ್ಲಿ a ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.
ರೂಪದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
r ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದರಿಂದ ನಾವು ನೋಡಬಹುದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಲು, ನೀವು y ಅನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು r ನಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕ್ರಮದ ಶಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
1) ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆರ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೂಚಕಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅವರ ಅನುಪಾತವು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:
.
ಟಿಕೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆ. 36
ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ 2 ನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, F.S.R. ಮತ್ತು ಬಹು ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ, ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳು.
ನೈಜ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ಲೀನಿಯರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ,ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎನ್-ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು 1 ನೇ ಆದೇಶವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:
ಒಂದು ವಾದವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ.
ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್.
ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್.
ಗುಣಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.
ಪ್ರಮೇಯ 1:ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ ಎಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಮೀ ನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ. 
TS&E ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಒಂದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಾದಗಳ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಬಲಭಾಗವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
SLD ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು
1. ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ:ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 
(1)
ಪರಿಹಾರ:ಹೊರತುಪಡಿಸಿ zಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ. ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, 
ಸರಳೀಕರಣದ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 
.
ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (1) ಒಂದೇ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ ವೈ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು z, ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
2. ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು.
ಮುಂದುವರೆಯಿತು 27b
ಉದಾಹರಣೆ:ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 
ಪರಿಹಾರ:
ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೂಲರ್ ವಿಧಾನ. ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ
ಸಮೀಕರಣ: , (ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಈ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು). ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ: 
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ: 
;
- ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್.
ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: 
;
- ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್.
ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: 
;
ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 
.
ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ : ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ಅಂದರೆ. .
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
- ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆ.
ರೇಖೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. n ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು. n ನೇ ಕ್ರಮದ ಅಸಮಂಜಸ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಮೇಯ.
n ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ: (1)
ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ: (2) .
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು (2). ur-i ನಲ್ಲಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (2) ಎಲ್ಲಾ ಆಡ್ಸ್, ಹಾಗೆಯೇ f(x)ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ (ಎ, ಬಿ).ನಂತರ, TS&E ಪ್ರಕಾರ, ಸಮೀಕರಣ (2) ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: , , ..., ಫಾರ್ . ಇಲ್ಲಿ - ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು (ಎ, ಬಿ),ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ - ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಮೀಕರಣ (2) TC&E ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ , ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ವಿಶೇಷ ಪರಿಹಾರಗಳು.
ಡೆಫ್.: ವಿಶೇಷಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು =0.
ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
- ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.
- ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕ್ರಿಯೆಯ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.
ಡೆಫ್:ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ (2) ಹಾಕಿದರು f(x)=0, ನಂತರ ನಾವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (3) , ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ (2).
ನಾವು ಲೀನಿಯರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: (4). ಈ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು (2) ಮತ್ತು (3): L(y)=f(x), L(y)=0.ಆಪರೇಟರ್ (4) ಕೆಳಗಿನ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
ಈ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಒಂದು ಅನುಬಂಧವನ್ನು ಕಳೆಯಬಹುದು: .
ಕಾರ್ಯ y=y(x)ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (2), ಒಂದು ವೇಳೆ L(y(x))=f(x), ನಂತರ f(x)ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ (3) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ y(x), ವೇಳೆ L(y(x))=0ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ.
ಪರಿಗಣಿಸಿ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ: , L(y)=f(x).
ನಾವು ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ನಂತರ .
ಹೊಸ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ zಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ: , ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಎಲ್ಲಿದೆ.
ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ: , ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ: .
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು: 
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ .
ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ z. ಈ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ: , ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು - ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ zಬದಲಿ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 
(*) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವೈ- ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳು (*) ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
(ಇನ್ನೊಂದೆಡೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ)
30. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗೆ ಪರಿಹಾರದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ. ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಪ್ರಮೇಯ:ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಆಯತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ 
ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಲಿಪ್‌ಸ್ಚಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ: , N=const, ನಂತರ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಿದೆ 
, ಎಲ್ಲಿ.
ಪುರಾವೆ:
ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಇದರೊಂದಿಗೆ,ಅವರ ಅಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ y(x) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ , ಆಯತದ ಒಳಗೆ ಇರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ದೂರವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: 
. ಈ ಜಾಗವನ್ನು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದ ಜಾಗ, ಈ ಜಾಗದ ಮೆಟ್ರಿಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದರಿಂದ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ. ಸಮನಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನೀಡಿದ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ: 
ಮತ್ತು ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ A(y), ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: 
. ಈ ಆಪರೇಟರ್ ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ
Lipschitz ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ದೂರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ: .
ನೀವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ , ನಂತರ . ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ.
ಸಂಕೋಚನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳ ತತ್ತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದೇ ಬಿಂದು ಅಥವಾ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯವಿದೆ - ನೀಡಿದ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ.
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ
, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು; - ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರು; - ಅಸ್ಥಿರ;
ಎಲ್ಲಾ = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮೀರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳುಫಾರ್ ಎನ್ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಪ್ರಕಾರ (1) ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ (2)
ಇಲ್ಲಿ A ಎನ್ನುವುದು mxn ಗಾತ್ರದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ,
ಕಾಲಮ್ n ಅಜ್ಞಾತ, - ಎತ್ತರದ ಶೂನ್ಯ ಕಾಲಮ್ ಮೀ.
ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ವಿಸ್ತರಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ. ಯಾವುದೇ ಇತರ ಪರಿಹಾರ, ಒಂದು ಇದ್ದರೆ, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ.
ಪ್ರಮೇಯ 1. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಒಂದು ಅನನ್ಯ (ಕ್ಷುಲ್ಲಕ) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕ್ರಾಮರ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, r=n ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 2. ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ( ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ).
Þ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ r Ü ವೇಳೆ ಆರ್ ಪ್ರಮೇಯ 3. n ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ n ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು detA = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. Þ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳಿದ್ದರೆ, ಅನಂತರ ಹಲವು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ, ನಂತರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ r Ü detA = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ r ಪ್ರಮೇಯ 4. ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅದರ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ (ಹಾಗೆಯೇ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು, ನಂತರ r ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಮೂಲ ಗುಣಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲ ಅಸ್ಥಿರ, ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಉಚಿತ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4. ಖಾಸಗಿ ನಿರ್ಧಾರಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆ AX = B ಅನ್ನು ಪಡೆದ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ X ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಶೂನ್ಯಮೌಲ್ಯಗಳು ಉಚಿತಅಸ್ಥಿರ. ಪ್ರಮೇಯ 6. ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು AX = B ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ AX = B ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ AX = 0 ನ FSR ಆಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ: ಇದರ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಪ್ರಮೇಯ (ಸಮರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ). ಒಂದು ವೇಳೆ , ಸಿಸ್ಟಮ್ (2) ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ ಪರಿಹಾರ (2) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ; ಒಂದು ವೇಳೆ , ಸಿಸ್ಟಮ್ (2) ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ , ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕರೂಪದ ಪರಿಹಾರ, ಸಿಸ್ಟಮ್ (2) ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಖಾಸಗಿ ಅಸಮಂಜಸ ಪರಿಹಾರ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ: ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ನ ಶೂನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರ. ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ. ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: ಪ್ರಮೇಯ (ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ರೇಖೀಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ). ಪ್ರಮೇಯ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ). ಒಂದು ವೇಳೆ , ಸಿಸ್ಟಮ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಆಗ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪರಿಹಾರ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ; · ವೇಳೆ , ನಂತರ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ: , ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: , ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. 2. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯಗಳು. n ನೇ ಕ್ರಮದ ನಿರ್ಧಾರಕ. ನಿರ್ಧಾರಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ - ನೇ ಕ್ರಮ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಕಾಲಮ್‌ನಿಂದ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A.3 ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಅಥವಾ ಎರಡು ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ. 4 ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶೂನ್ಯ ಸಾಲನ್ನು (ಕಾಲಮ್) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.5 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು (ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ.6 ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು (ಕಾಲಮ್‌ಗಳು) ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.7 ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣ.8 ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಕೆನಿರ್ಣಾಯಕದ ನೇ ಸಾಲು (ಕಾಲಮ್) ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಒಂದು ಕೆ ಜೆ + ಬಿ ಕೆ ಜೆ, ನಂತರ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. 9 ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲಿನ (ಅಥವಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್) ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಸಾಲುಗಳ (ಅಥವಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್) ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. , ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ.10. ಅವಕಾಶ ಎಮತ್ತು ಬಿಒಂದೇ ಕ್ರಮದ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: n ನೇ ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಸಮಂಜಸ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಇಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನವು ನಿಜ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ರಚನೆ ಪ್ರಮೇಯ ODE ಗಳ ಈ ಅಸಮಂಜಸ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವೇಳೆ ಎ(x) ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯ ಬಿ
(x) ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ ಎ,
ಬಿ], ಮತ್ತು ಅವಕಾಶ Φ
(x) ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ನಂತರ ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ವೈ"
= ಎ(x) ವೈ
+ ಬಿ(x) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಎಲ್ಲಿ ಸಿ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್, x 0 - ವಿಭಾಗದಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ODE ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ - ಕೌಚಿ ಸೂತ್ರ. ಕೌಶಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ವೈ(x 0) = ವೈ 0 ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಏಕರೂಪದ ರೇಖಾತ್ಮಕ ODE ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ODU ವ್ಯವಸ್ಥೆಪ್ರಕಾರ: ಎಂದು ಕರೆದರು ರೇಖೀಯ
ವೈವಿಧ್ಯಮಯ
. ಅವಕಾಶ ಸಿಸ್ಟಮ್ (*) ವೆಕ್ಟರ್-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ: .- ಸಿಸ್ಟಮ್ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಧಾನ ಸ್ವತಃ.
ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇರಲಿ (ಏಕೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು 0 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು). ಇಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು x 0 , ಯಾವುದಾದರೂ. ಆದ್ದರಿಂದ, (3) ರಲ್ಲಿ ನಾವು C(t) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (1) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಎನ್ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಆದೇಶ
-
NLOS ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಅನಿಯಂತ್ರಿತ n ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಸರಳವಾದಾಗ, ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಬೇರುಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ODE ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ.
ಸೈಕಲ್ -ಸಾರಿಗೆ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),...(i k ,j 1), ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಜೀವಕೋಶಗಳು ಒಂದು ಸಾಲು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿದೆ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಕೋಶಗಳು ಸಹ ಅದೇ ಸಾಲು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. (?)ಚಕ್ರದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ - (ಮೌಲ್ಯ t ಮೂಲಕ ಚಕ್ರದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಶಿಫ್ಟ್)- t ನಿಂದ "+" ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಚಕ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಕೋಶಗಳಲ್ಲಿನ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು t ನಿಂದ "-" ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಕೋಶಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾರಿಗೆ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಇಳಿಕೆ. ಸೂಕ್ತ ಸಾರಿಗೆ ಯೋಜನೆಯು ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಪೂರೈಕೆಯ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ರೇಖೀಯ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ f(X)= ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು F(n; x n; x n +1 ;...; x n + k) = 0, ಇಲ್ಲಿ k ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು n ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, x n ; x n +1 ;...; x n + k ಎನ್ನುವುದು ಕೆಲವು ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು k ಆದೇಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (x n) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು. kth ಆರ್ಡರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಅದರ ಪರಿಹಾರ x n = φ(n, C 1, C 2, ..., C k), k ಸ್ವತಂತ್ರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ C 1 , C 2 , ..., C k . k ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಇತರರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಡರ್ k ನ ರೇಖೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + ... + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , ಅಲ್ಲಿ a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) ಮತ್ತು (f n) - ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮ. ^
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಮೇಯ.
ರೇಖೀಯ ಅಸಮರೂಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ x n ಈ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ x n * ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ n. ^
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಮೇಯ.
x n 1 ,..., x n k ಒಂದು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣದ k ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: x n = C 1 x n 1 + ... + C k x n k. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯದ D=b 2 -4ac ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ: kth ಆರ್ಡರ್‌ನ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ k-ಆಯಾಮದ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ k ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳ (ಮೂಲಭೂತ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅದರ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳ ರೇಖೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಸಂಕೇತವೆಂದರೆ ಕ್ಯಾಸೊರಾಟ್ಟಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ^
ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು? ಉತ್ತರವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು? ಉತ್ತರವನ್ನು ವಿವರಿಸಬೇಕು. X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n X n +2 -4x n +1 +3x n =0 X n =C 1 3 n +C 2 1 n X 1 n =(a 1 n 2 +b 1 n+C 1)2 n X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2)n2 n X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n 1) x n +2 -4x n +1 +3x=0 λ 1 =3, λ 2 =1 x n o =C 1 (3) n +C 2 (1) n = C 1 (3) n +C 2 2) f(n)=2 n , g(n)=3 n , z(n)=n 2 ಘಾತೀಯ ಶಕ್ತಿಯ ಆಧಾರ f(n)=2 n, 2 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಾವು Y n =C(2) n ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. . ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಧಾರ g(n)=3 n, 3 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಾವು X n =Bn(3) n ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. z(n)=n 2 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಬಹುಪದದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 . x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2 1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0 λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i ಘಾತೀಯ ಶಕ್ತಿಯ ಆಧಾರ f(n)=3 n, 3 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಾವು Y n =B(3) n ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. . g(n)=n 2 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಬಹುಪದದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2 λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i X n 0 =(2) n (C 1 cos +C 2 sin ) 2) f(n)=3 n, g(n)=n 2, z(n)=cos ಘಾತೀಯ ಶಕ್ತಿಯ ಆಧಾರ f(n)=3 n, 3 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಾವು Y n =B(3) n ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. . g(n)=n 2 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಬಹುಪದದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ಸನ್-ಹಿಕ್ಸ್ ವ್ಯವಹಾರ ಚಕ್ರ ಮಾದರಿಯು ಹೂಡಿಕೆಯ ಪರಿಮಾಣಗಳ ನೇರ ಅನುಪಾತವನ್ನು ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಆದಾಯದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ (ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ತತ್ವ) ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಗುಣಾಂಕ V>0 ವೇಗವರ್ಧಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, I t - ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ t ಹೂಡಿಕೆಯ ಮೊತ್ತ, X t -1 ,X t -2 - ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅವಧಿಗಳಲ್ಲಿ (t-1) ಮತ್ತು (t-2) ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಆದಾಯದ ಮೌಲ್ಯ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬೇಡಿಕೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಹ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ ಇಲ್ಲಿ a, b ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬೇಡಿಕೆಯ ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ: ಸ್ಥಾಯಿ ಅನುಕ್ರಮ 40. ಕೂಪನ್ ಬಾಂಡ್‌ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಏನು? ಕೂಪನ್ ಬಾಂಡ್‌ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಮತೋಲನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ. ಒಂದು ಕೂಪನ್ ಅವಧಿಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಡ್ಡಿ ದರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಕೂಪನ್ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಕೂಪನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅನಂತ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯವರೆಗೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಈ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಪಾವತಿಸಬೇಕಾದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಅವಕಾಶ ಎಫ್
- ಕೂಪನ್ ಬಾಂಡ್‌ನ ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯ (ಅಂದರೆ ಕೊನೆಯ ಕೂಪನ್ ಅವಧಿಯ ಅಂತ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವಿಮೋಚನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿತರಕರು ಪಾವತಿಸಿದ ಹಣದ ಮೊತ್ತ), ಕೆ
- ಕೂಪನ್ ಮೌಲ್ಯ (ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಕೂಪನ್ ಅವಧಿಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪಾವತಿಸಿದ ಹಣದ ಮೊತ್ತ), X ಆ. ಪು
(ಅಂದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ (2) ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಲಿ), ನಂತರ:
ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು (1), ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೂ ಆಗಿದೆ.
ನಂತರ ಅವಕಾಶ:
1
| | | | | | | | | | |
ಅಸಮಂಜಸ ರೇಖೀಯ ಓಡ್‌ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ) ಪ್ರಮೇಯ.
ಎ 
ಅಸಮಂಜಸ ರೇಖೀಯ ಓಡ್‌ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ.
, ನಂತರ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಧಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ, 
, ಅಲ್ಲಿ ಸಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡೋಣ 
, ಅಲ್ಲಿ C(x) ಎಂಬುದು ಅಜ್ಞಾತ (ಇನ್ನೂ) ವೆಕ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ (3) ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಗುರುತು ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು:
, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯ 
ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ (1) ಪರಿಹಾರವಾಗಲಿದೆ.
. ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (1) ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಲಿ 
. ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾದ ಪರ್ಯಾಯ (4) (5) ನೀಡುತ್ತದೆ 
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು (1)-(5) ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು: 
. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದಾಗ: 
.ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಸರಳ ನೈಜ ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.
ಅಥವಾ 
,ಕೋರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ 
-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪ, ಇಲ್ಲಿ A ಸ್ಥಿರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ: ಇಂದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ 
ನಾವು ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮೂಲಕ್ಕೆ (ಅದರ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು) ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ: 
. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 1) ವೇಳೆ -
ಬಹು 1 ರ ನಿಜವಾದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ನಂತರ 
, ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ. 2)
–
ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಸಿಟಿ ರೂಟ್, ನಂತರ ಈ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ 
(**), ಇದರ ಗುಣಾಂಕಗಳು 
ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ (**) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅದೇ powersx ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉಚಿತ ಕೋಶ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ- (ಸಂಭಾವ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡಿ)
ಸೂಕ್ತವಾದ ಯೋಜನೆಯು ಸಾರಿಗೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು, ಪ್ರತಿ ಪೂರೈಕೆದಾರರ ಉತ್ಪಾದನಾ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಮೀರಬಾರದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಗ್ರಾಹಕರ ಅಗತ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಳಗೊಳ್ಳಬೇಕು.
^
ಉಲ್ಲೇಖ ಯೋಜನೆಯ ಅತ್ಯುತ್ತಮತೆಗಾಗಿ ಷರತ್ತು.
ಸಂಖ್ಯೆ 32. ಆರ್ಡರ್ ಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಡರ್ k ನ ರೇಖೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ತಿಳಿಸಿ. ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿ (ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲದೆ).
ಸಂಖ್ಯೆ 33. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿ. ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿ: ರೇಖೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಸೆಟ್, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ, ಕ್ಯಾಸೊರಟ್ಟಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ.
C 1, C 2 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.
№ 34. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.
ಸಂಖ್ಯೆ 35. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು?
ಸಂಖ್ಯೆ 36. x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು?
ಸಂಖ್ಯೆ 37. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು?
#38: ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ಸನ್-ಹಿಕ್ಸ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿ. ಯಾವ ಆರ್ಥಿಕ ಊಹೆಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿವೆ? ಯಾವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಸ್ಥಾಯಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ?
ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಆದಾಯದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ 
ರೇಖೀಯವಾಗಿ 
. ಪೂರೈಕೆ ಮತ್ತು ಬೇಡಿಕೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ 
. ನಂತರ ನಾವು ಹಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ
ಗೆ ಮಾತ್ರ ಹಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ 
; ಅಂಶ 
ಕೇನ್ಸ್ ಗುಣಕ (ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಅನಲಾಗ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
№ ^
39. ಸ್ಪೈಡರ್ ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿ. ಯಾವ ಆರ್ಥಿಕ ಊಹೆಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿವೆ? ವೆಬ್ ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ಮಾದರಿಯ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
- n ನೇ ಕೂಪನ್ ಅವಧಿಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಬಾಂಡ್‌ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೌಲ್ಯ, 
ಒಂದು ಕೂಪನ್ ಅವಧಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಡ್ಡಿದರದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯವರೆಗೆ ಪ್ರತಿ ಕೂಪನ್ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಕೂಪನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಈ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಪಾವತಿಸಬೇಕಾದ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಲೇಖನಗಳು
