ಕಾನ್ವರ್ಸ್ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಪುರಾವೆ. ಪಾಠ "ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಪ್ರಮೇಯ." II. ಮನೆಕೆಲಸವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ
ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶಗಳು:
ಶೈಕ್ಷಣಿಕ: ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಅವರ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸಿ.
ಅಭಿವೃದ್ಧಿಶೀಲ: ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಮನ, ಸ್ಮರಣೆ, ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಂತನೆ, ತಾರ್ಕಿಕ, ಹೋಲಿಕೆ ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ.
ಶೈಕ್ಷಣಿಕ: ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಪ್ರೀತಿಯನ್ನು ಬೆಳೆಸಲು, ನಿಖರತೆ, ಒಡನಾಡಿಗಳು ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ಕೇಳುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ.
ಸಲಕರಣೆ: ಪೈಥಾಗರಸ್ನ ಭಾವಚಿತ್ರ, ಬಲವರ್ಧನೆಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೋಸ್ಟರ್ಗಳು, 7-9 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ "ಜ್ಯಾಮಿತಿ" (I.F. ಶಾರಿಜಿನ್).
ಪಾಠ ಯೋಜನೆ:
I. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ - 1 ನಿಮಿಷ.
II. ಮನೆಕೆಲಸವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ - 7 ನಿಮಿಷಗಳು.
III. ಶಿಕ್ಷಕರಿಂದ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಭಾಷಣ, ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ - 4-5 ನಿಮಿಷ.
IV. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆ - 7 ನಿಮಿಷ.
ವಿ. ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂವಾದ - 5 ನಿಮಿಷ.
ಹೊಸ ವಸ್ತುವನ್ನು ಏಕೀಕರಿಸುವುದು:
ಎ) ಮೌಖಿಕ - 5-6 ನಿಮಿಷಗಳು.
ಬೌ) ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ - 7-10 ನಿಮಿಷಗಳು.
VII. ಮನೆಕೆಲಸ - 1 ನಿಮಿಷ.
VIII. ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ - 3 ನಿಮಿಷಗಳು.
ಪಾಠದ ಪ್ರಗತಿ
I. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ.
II. ಮನೆಕೆಲಸವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.
ಷರತ್ತು 7.1, ಸಂಖ್ಯೆ 3 (ಮುಗಿದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಮಂಡಳಿಯಲ್ಲಿ).
ಸ್ಥಿತಿ: ಎತ್ತರ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಉದ್ದ 1 ಮತ್ತು 2 ರ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನದ ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
BC = a; CA = b; ಬಿಎ = ಸಿ; BD = a 1 ; DA = b 1; CD = h C
ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ವಿಭಾಗ 7.1, ಸಂಖ್ಯೆ 5. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಮೂರು ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿ.
ವಿವರಿಸಿ.
ASN ~ ABC ~ SVN
(ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಸರಿಯಾದತೆಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯಿರಿ)
III. ಶಿಕ್ಷಕರ ಪ್ರಾಸ್ತಾವಿಕ ಮಾತು, ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ.
ದುರ್ಬಲ ವ್ಯಕ್ತಿ ಅದನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ ತಕ್ಷಣ ಸತ್ಯ ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ!
ಮತ್ತು ಈಗ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅವರ ದೂರದ ಯುಗದಂತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ.
ಜರ್ಮನ್ ಕಾದಂಬರಿಕಾರ ಚಾಮಿಸ್ಸೋ ಅವರ ಮಾತುಗಳಿಂದ ನಾನು ನನ್ನ ಪಾಠವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲ. ಇಂದು ನಮ್ಮ ಪಾಠ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ. ಪಾಠದ ವಿಷಯವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.
ನೀವು ಮೊದಲು ಮಹಾನ್ ಪೈಥಾಗರಸ್ನ ಭಾವಚಿತ್ರ. ಕ್ರಿ.ಪೂ 576 ರಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದರು. 80 ವರ್ಷ ಬದುಕಿದ್ದ ಅವರು 496 BC ಯಲ್ಲಿ ನಿಧನರಾದರು. ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ವ್ಯಾಪಾರಿ ಮ್ನೆಸರ್ಕಸ್ ಅವರ ಮಗ, ಅವರು ಆಗಾಗ್ಗೆ ತಮ್ಮ ಪ್ರವಾಸಗಳಿಗೆ ಕರೆದೊಯ್ದರು, ಇದಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು ಹುಡುಗ ಕುತೂಹಲ ಮತ್ತು ಹೊಸ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವ ಬಯಕೆಯನ್ನು ಬೆಳೆಸಿಕೊಂಡರು. ಪೈಥಾಗರಸ್ ಎಂಬುದು ಅವನ ವಾಕ್ಚಾತುರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಅವನಿಗೆ ನೀಡಿದ ಅಡ್ಡಹೆಸರು ("ಪೈಥಾಗರಸ್" ಎಂದರೆ "ಮಾತಿನ ಮೂಲಕ ಮನವೊಲಿಸುವ"). ಅವರೇ ಏನನ್ನೂ ಬರೆದಿಲ್ಲ. ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಅವರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ದಾಖಲಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ನೀಡಿದ ಮೊದಲ ಉಪನ್ಯಾಸದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪೈಥಾಗರಸ್ 2000 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡರು, ಅವರು ತಮ್ಮ ಹೆಂಡತಿಯರು ಮತ್ತು ಮಕ್ಕಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಶಾಲೆಯನ್ನು ರಚಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಸ್ನ ಕಾನೂನುಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ "ಗ್ರೇಟರ್ ಗ್ರೀಸ್" ಎಂಬ ರಾಜ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. ದೈವಿಕ ಆಜ್ಞೆಗಳಂತೆ. ಜೀವನ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ (ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ) ಅರ್ಥದ ಬಗ್ಗೆ ಅವರ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಕರೆದರು. ಅವರು ನಿಗೂಢತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರದರ್ಶಕ ನಡವಳಿಕೆಗೆ ಗುರಿಯಾಗಿದ್ದರು. ಒಂದು ದಿನ ಪೈಥಾಗರಸ್ ನೆಲದಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಡಗಿಕೊಂಡನು ಮತ್ತು ಅವನ ತಾಯಿಯಿಂದ ನಡೆಯುತ್ತಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿತನು. ನಂತರ, ಅಸ್ಥಿಪಂಜರದಂತೆ ಒಣಗಿ, ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸಭೆಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಹೇಡಸ್‌ಗೆ ಹೋಗಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ಘೋಷಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಐಹಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಅದ್ಭುತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಮುಟ್ಟಿದ ನಿವಾಸಿಗಳು ಅವನನ್ನು ದೇವರೆಂದು ಗುರುತಿಸಿದರು. ಪೈಥಾಗರಸ್ ಎಂದಿಗೂ ಅಳಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭಾವೋದ್ರೇಕಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಸಾಹಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅವರು ಮಾನವನಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾದ ಬೀಜದಿಂದ ಬಂದವರು ಎಂದು ಅವರು ನಂಬಿದ್ದರು. ಪೈಥಾಗರಸ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜೀವನವು ನಮ್ಮ ಕಾಲಕ್ಕೆ ಬಂದ ಒಂದು ದಂತಕಥೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಪ್ರಪಂಚದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಹೇಳಿದೆ.
IV. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆ.
ನಿಮ್ಮ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅವಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪೈಥಾಗರಸ್‌ಗೆ ಹಲವು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಪೈಥಾಗರಸ್‌ಗೆ 1500 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ, ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು 3, 4 ಮತ್ತು 5 ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಆಯತಾಕಾರದದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಯೋಜನೆ ಮಾಡುವಾಗ ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಭೂಮಿ ಪ್ಲಾಟ್ಗಳುಮತ್ತು ಕಟ್ಟಡಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ. ಪೈಥಾಗರಸ್‌ಗೆ 600 ವರ್ಷಗಳ ಮೊದಲು ಬರೆದ "ಝಿಯು-ಬಿ" ಎಂಬ ಹಳೆಯ ಚೀನೀ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಇತರ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳ ನಡುವೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಮೊದಲೇ ಈ ಪ್ರಮೇಯ ಹಿಂದೂಗಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೈಥಾಗರಸ್ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಿಲ್ಲ, ಇದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸದ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ವಿಜ್ಞಾನ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ಅವನು ಬಹುಶಃ ಮೊದಲಿಗನಾಗಿದ್ದನು.
ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೂವರೆ ನೂರಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿದಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ("ಗಣಿತ. ಬೀಜಗಣಿತ. ಕಾರ್ಯಗಳು. ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ" ಜಿ.ವಿ. ಡೊರೊಫೀವ್, ಎಂ., "ಡ್ರೊಫಾ", 2000).
ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮಂಡಳಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸಿ.
(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a
a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2
a 2 + b 2 = c 2 a a b
ಪುರಾತನ ಹಿಂದೂಗಳು, ಈ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಯಾರಿಗೆ ಸೇರಿದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಬರೆಯಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಪದದೊಂದಿಗೆ: "ನೋಡಿ."
ಪೈಥಾಗರಸ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಧುನಿಕ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c
ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪದದಿಂದ ಸೇರಿಸೋಣ:
b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2; a 2 + b 2 = c 2
ಈ ಪುರಾವೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸರಳತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಇದು ಸರಳತೆಯಿಂದ ದೂರವಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು. ದಯವಿಟ್ಟು ಈ ಸಾಕ್ಷ್ಯವನ್ನು ನಿಮ್ಮ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
V. ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗಿದೆ.
ಯಾವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂವಾದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? (...ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನವು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ.)
ಈಗ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.
a, b ಮತ್ತು c ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ c 2 = a 2 + b 2 ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಈ ತ್ರಿಕೋನವು ಬಲ-ಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನವು c ಬದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
(ಪೋಸ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸಂವಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ)
ABC, BC = a,
AC = b, BA = c.
a 2 + b 2 = c 2
ಸಾಬೀತು:
ABC - ಆಯತಾಕಾರದ,
ಪುರಾವೆ:
A 1 B 1 C 1 ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ,
ಅಲ್ಲಿ C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.
ನಂತರ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.
ಅಂದರೆ, B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ABC ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿದೆ
C = 90 °, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.
VI. ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಸ್ತುಗಳ ಬಲವರ್ಧನೆ (ಮೌಖಿಕವಾಗಿ).
1. ಸಿದ್ದವಾಗಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೋಸ್ಟರ್ ಆಧರಿಸಿ.
|
|
|
ಚಿತ್ರ 1: ВD = 8, ВDA = 30 ° ವೇಳೆ AD ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
Fig.2: BE = 5, BAE = 45 ° ಇದ್ದಲ್ಲಿ CD ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
Fig.3: BC = 17, AD = 16 ಆಗಿದ್ದರೆ BD ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
2. ತ್ರಿಕೋನವು ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ:
5 2 + 6 2? 7 2 (ಇಲ್ಲ) |
9 2 + 12 2 = 15 2 (ಹೌದು) |
15 2 + 20 2 = 25 2 (ಹೌದು) |
ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತ್ರಿವಳಿಗಳ ಹೆಸರುಗಳು ಯಾವುವು? (ಪೈಥಾಗರಿಯನ್).
VI. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (ಬರಹದಲ್ಲಿ).
ಸಂಖ್ಯೆ 9. ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯು a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರ, ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಸಂಖ್ಯೆ 14. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಎಳೆಯುವ ಮಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
VII. ಮನೆಕೆಲಸ.
ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 7.1, ಪುಟಗಳು 175-177, ಪ್ರಮೇಯ 7.4 (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ), ಸಂ. 1 (ಮೌಖಿಕ), ಸಂಖ್ಯೆ. 2, ಸಂಖ್ಯೆ. 4 ಅನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.
VIII. ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ.
ಇಂದು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೊಸದನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ? …………
ಪೈಥಾಗರಸ್ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಅಗ್ರಗಣ್ಯ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ. ಈಗ ನಾನು ಅವರ ಕೆಲವು ಮಾತುಗಳನ್ನು ನಿಮಗೆ ಓದಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ, ಅದು ನಿಮಗೆ ಮತ್ತು ನನಗೆ ನಮ್ಮ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ.
- ಜೀವನದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಧೂಳನ್ನು ಎಬ್ಬಿಸಬೇಡಿ.
- ನಂತರ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅಸಮಾಧಾನಗೊಳಿಸದಿರುವದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಪಶ್ಚಾತ್ತಾಪ ಪಡುವಂತೆ ಒತ್ತಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
- ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದ್ದನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಮಾಡಬೇಡಿ, ಆದರೆ ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ನೀವು ಶಾಂತ ಜೀವನವನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತೀರಿ.
- ಕಳೆದ ದಿನದ ನಿಮ್ಮ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸದೆ, ನೀವು ಮಲಗಲು ಬಯಸಿದಾಗ ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಬೇಡಿ.
- ಸರಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಐಷಾರಾಮಿ ಇಲ್ಲದೆ ಬದುಕಲು ಕಲಿಯಿರಿ.
ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವಾರ್ಡೆನ್ ಪ್ರಕಾರ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತವು ಸುಮಾರು 18 ನೇ ಶತಮಾನದ BC ಯಲ್ಲಿ ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಇ.
ಸುಮಾರು 400 ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಕ್ರಿ.ಪೂ., ಪ್ರೊಕ್ಲಸ್ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ಲೇಟೋ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿವಳಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರು. ಸುಮಾರು 300 ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಇ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಪುರಾವೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು.
ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು
ಮೂಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ - ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ a (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a)ಮತ್ತು ಬಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಬಿ), ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಉದ್ದ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ), ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
.ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸಿ ಸಮಾನವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ: ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾಲುಗಳು. ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಕಾನ್ವರ್ಸ್ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ- ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಆಯತಾಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಿಕೆ, ಅದರ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ a 2 + b 2 = c 2 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a^(2)+b^(2)=c^(2)). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರತಿ ಮೂರು ಪಟ್ಟು a (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a), ಬಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಬಿ)ಮತ್ತು ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ), ಅಂತಹ a 2 + b 2 = c 2 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a^(2)+b^(2)=c^(2)), ಕಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ a (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a)ಮತ್ತು ಬಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಬಿ)ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ).
ಪುರಾವೆ
ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಕನಿಷ್ಠ 400 ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸ್ವಭಾವದಿಂದ ವಿವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಪುರಾವೆಯ ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು: ತ್ರಿಕೋನದ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಳಕೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜನಪ್ರಿಯ ಹೋಲಿಕೆ ವಿಧಾನ), ಪ್ರದೇಶಗಳ ವಿಧಾನ, ವಿವಿಧ ವಿಲಕ್ಷಣ ಪುರಾವೆಗಳು ಸಹ ಇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು).
ಇದೇ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೂಲಕ
ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪುರಾವೆಯು ಆಯತಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಎತ್ತರದ ಮೇಲೆ ಚೌಕವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲಂಬ ಕೋನಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ಚೌಕಗಳೊಂದಿಗೆ.
ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ನಿರ್ಮಾಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಾಗಿ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ), ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲೆ ಚೌಕಗಳು ಎ ಬಿ ಐ ಕೆ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಎಬಿಐಕೆ)ಎತ್ತರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಸಿಎಚ್ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವ ಕಿರಣ s (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಗಳು), ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲಿನ ಚೌಕವನ್ನು ಎರಡು ಆಯತಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು . ಪುರಾವೆಯು ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎ ಹೆಚ್ ಜೆ ಕೆ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ AHJK)ಕಾಲಿನ ಮೇಲೆ ಚೌಕದೊಂದಿಗೆ ಎ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಎಸಿ); ಎರಡನೇ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಮಾನತೆ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲಿನ ಚೌಕವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಕಾಲಿನ ಮೇಲಿನ ಆಯತವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಒಂದು ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಮಾನತೆ ಎ ಹೆಚ್ ಜೆ ಕೆ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ AHJK)ಮತ್ತು ಎ ಸಿ ಇ ಡಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಎಸಿಇಡಿ)ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ △ ಎ ಸಿ ಕೆ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ \ ತ್ರಿಕೋನ ಎಸಿಕೆ)ಮತ್ತು △ ಎ ಬಿ ಡಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ \ ಟ್ರೈಯಾಂಗಲ್ ಎಬಿಡಿ), ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಪ್ರದೇಶವು ಚೌಕಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ ಹೆಚ್ ಜೆ ಕೆ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ AHJK)ಮತ್ತು ಎ ಸಿ ಇ ಡಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಎಸಿಇಡಿ)ಅಂತೆಯೇ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ: ಆಕೃತಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಆಯತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರವು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆಯತ. ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಸಮಾನತೆ (ಚೌಕಗಳ ಬದಿಗಳು) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದಿಂದ (ಲಂಬ ಕೋನ ಮತ್ತು ಕೋನದಿಂದ ಕೂಡಿದೆ) ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಎ).
ಹೀಗಾಗಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಮೇಲಿರುವ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವು ಆಯತಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ ಎಂದು ಪುರಾವೆ ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ ಎ ಹೆಚ್ ಜೆ ಕೆ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ AHJK)ಮತ್ತು ಬಿ ಎಚ್ ಜೆ ಐ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ BHJI), ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲಿನ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಡಾ ವಿನ್ಸಿಯ ಪುರಾವೆ
ಪ್ರದೇಶದ ವಿಧಾನವು ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಡಾ ವಿನ್ಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡೋಣ △ ಎ ಬಿ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ \ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ)ಲಂಬ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ)ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳು ಎ ಸಿ ಇ ಡಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಎಸಿಇಡಿ), B C F G (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ BCFG)ಮತ್ತು ಎ ಬಿ ಎಚ್ ಜೆ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ABHJ)(ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ). ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ HJ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ HJ)ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೊರ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ △ ಎ ಬಿ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ \ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ), ಮೇಲಾಗಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡೂ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, J I = B C (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ JI=BC)ಮತ್ತು H I = A C (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ HI=AC)) ನೇರ C I (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ CI)ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಂದ ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ △ ಎ ಬಿ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ \ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ)ಮತ್ತು △ J H I (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ತ್ರಿಕೋನ JHI)ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ. ಪುರಾವೆಯು ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ C A J I (\ displaystyle CAJI)ಮತ್ತು ಡಿ ಎ ಬಿ ಜಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಡಿಎಬಿಜಿ), ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಪ್ರದೇಶವು ಒಂದೆಡೆ, ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲಿನ ಚೌಕಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮೇಲಿನ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲಿನ ಚೌಕಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮೊತ್ತವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಮೇಲಿನ ಚೌಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಅಪರಿಮಿತ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪುರಾವೆ
ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಲವಾರು ಪುರಾವೆಗಳಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹಾರ್ಡಿ ಕಾಲುಗಳ ಅಪರಿಮಿತ ಏರಿಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದಾನೆ a (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a)ಮತ್ತು ಬಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಬಿ)ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ), ಮತ್ತು ಮೂಲ ಆಯತದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡುವುದು, ಅಂದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುವುದು:
d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\ displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಒಬ್ಬರು ಅವುಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ c d c = a d a + b d b (\ displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), ಅವರ ಏಕೀಕರಣವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು 0 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಂತಿಮ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅವಲಂಬನೆಯು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಏರಿಕೆಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಅನುಪಾತದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೊತ್ತವು ವಿವಿಧ ಕಾಲುಗಳ ಹೆಚ್ಚಳದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೊಡುಗೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.
ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು
ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳು
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಮುಖ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ್ದು, ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೀತಿಯ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳು: ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಅಂತಹ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಮುಖ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ, ಅಂತಹ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು ಅದರ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರದೇಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಎ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಎ), ಬಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಬಿ)ಮತ್ತು ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ), ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ a (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a)ಮತ್ತು ಬಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಬಿ)ಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ)ಅಂತೆಯೇ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ a 2 + b 2 = c 2 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a^(2)+b^(2)=c^(2)), ನಂತರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸದೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ A + B = C (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ A+B=C), ನಂತರ ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಪುರಾವೆಯ ಹಿಮ್ಮುಖವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ವಿಸ್ತೀರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ), ಮತ್ತು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ - ಪ್ರದೇಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮಾನವಾದ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಎ)ಮತ್ತು ಬಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಬಿ)ಆರಂಭಿಕ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಎತ್ತರದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎರಡು ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೂರನೇ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. A + B = C (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ A+B=C)ಮತ್ತು, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.
ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯ
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎಲ್ಲಿದೆ a (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a)ಮತ್ತು ಬಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಬಿ). ಕೋನವು 90 ° ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ cos θ = 0 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \cos \theta =0), ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.
ಉಚಿತ ತ್ರಿಕೋನ
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಸ್ಯಾಬಿಯನ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಥಾಬಿತ್ ಇಬ್ನ್ ಕುರ್ರಾ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಅದರಲ್ಲಿ, ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ, ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವು ಅದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ), ಶೃಂಗವು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಬದಿಯ ಎದುರು ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ)ಮತ್ತು ತಳದಲ್ಲಿ ಮೂಲೆಗಳು, ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ θ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ ಥೀಟಾ ), ಎದುರು ಭಾಗ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮೂಲವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ: ಮೊದಲನೆಯದು - ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ a (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a), ಕೆತ್ತಿದ ಅದರಿಂದ ದೂರದ ಭಾಗ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ, ಮತ್ತು ಆರ್ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಆರ್)- ಅಡ್ಡ ಭಾಗಗಳು ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ); ಎರಡನೆಯದು - ಬದಿಯಿಂದ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಬಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಬಿ)ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ s (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಗಳು)- ಬದಿಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
a 2 + b 2 = c (r + s) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a^(2)+b^(2)=c(r+s)),ನಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅವನತಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ θ = π / 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \theta =\pi /2). ಸಂಬಂಧವು ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ:
c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೇಲೆ ಪಪ್ಪಸ್ ಪ್ರಮೇಯ
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ - ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ನೆರವೇರಿಕೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಪ್ಯಾರೆಲಲಿಸಮ್ ಪೋಸ್ಟುಲೇಟ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬದಿಗಳು, ಇದು ಏಕಮಾನ ಗೋಳದ ಆಕ್ಟಾಂಟ್ ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ, ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ π / 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \pi /2), ಇದು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ.
ಮೇಲಾಗಿ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ತ್ರಿಕೋನವು ಆಯತಾಕಾರದದ್ದಾಗಿರುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
ಗೋಲಾಕಾರದ ರೇಖಾಗಣಿತ
ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ R (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ R)(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೋನವು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ) ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ a , b , c (\ displaystyle a,b,c)ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (ಎ)(ಆರ್))\ಬಲ)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\ಬಲ)).ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಗೋಳಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + sin (a R) ⋅ sin (b R) ⋅ cos γ (\displaystyle \cos \left((\frac) c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch c = ch a ⋅ ch b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),ಎಲ್ಲಿ ch (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ ಆಪರೇಟರ್ ಹೆಸರು (ch) )- ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೊಸೈನ್. ಈ ಸೂತ್ರವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:
ch c = ch a ⋅ ch b − sh a ⋅ sh b ⋅ cos γ (\ displaystyle \ operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \ operatorname (ch) (sh) a\cdot \ ಆಪರೇಟರ್ ಹೆಸರು (sh) b\cdot \cos \gamma ),ಎಲ್ಲಿ γ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ \ ಗಾಮಾ )- ಶೃಂಗವು ಬದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವ ಕೋನ ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ).
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೊಸೈನ್‌ಗಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ ಆಪರೇಟರ್ ಹೆಸರು (ch) x\ಅಂದಾಜು 1+x^(2)/2)) ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನವು ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ (ಅಂದರೆ, ಯಾವಾಗ a (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a), ಬಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಬಿ)ಮತ್ತು ಸಿ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಸ್ಟೈಲ್ ಸಿ)ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು), ನಂತರ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಂಬಂಧಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ.
ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ದೂರ
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯವು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ: ದೂರ s (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಗಳು)ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ (ಎ, ಬಿ) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (ಎ, ಬಿ))ಮತ್ತು (ಸಿ, ಡಿ) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (ಸಿ, ಡಿ))ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:
s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).ಫಾರ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ - ಫಾರ್ z = x + y i (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ z=x+yi)ಇದು ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ವಿಷಯ: ಪ್ರಮೇಯ, ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂಭಾಷಣೆಪೈಥಾಗರಸ್.
ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶಗಳು: 1) ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ; ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್; ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಿ;
2) ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಂತನೆ, ಸೃಜನಶೀಲ ಹುಡುಕಾಟ, ಅರಿವಿನ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ;
3) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿಕೆಗೆ ಜವಾಬ್ದಾರಿಯುತ ವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಭಾಷಣದ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯನ್ನು ಬೆಳೆಸುವುದು.
ಪಾಠದ ಪ್ರಕಾರ. ಹೊಸ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಕಲಿಯುವ ಪಾಠ.
ಪಾಠದ ಪ್ರಗತಿ
І. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ
ІІ. ನವೀಕರಿಸಿ ಜ್ಞಾನ
ನನಗೆ ಪಾಠಎಂದುನಾನು ಬಯಸಿದ್ದೆಕ್ವಾಟ್ರೇನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ.
ಹೌದು, ಜ್ಞಾನದ ಹಾದಿ ಸುಗಮವಾಗಿಲ್ಲ
ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಶಾಲಾ ವರ್ಷಗಳಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ,
ಉತ್ತರಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರಹಸ್ಯಗಳಿವೆ,
ಮತ್ತು ಹುಡುಕಾಟಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ!
ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನೀವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ. ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವ ಆಕೃತಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ?
ಯಾವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತಿಳಿಸಿ.
ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು?
ಯಾವ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದೇ?
ಈಗ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:
ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.
№1
(1 ಬಿ.) ಹುಡುಕಿ: ಎಬಿ.
№2
(1 ಬಿ.) ಹುಡುಕಿ: ವಿ.ಎಸ್.
№3
( 2 ಬಿ.)ಹುಡುಕಿ: AC
№4
(1 ಅಂಕ)ಹುಡುಕಿ: AC
№5 ನೀಡಿದವರು: ಎಬಿಸಿಡಿರೋಂಬಸ್
(2 ಬಿ.) ಎಬಿ = 13 ಸೆಂ
AC = 10 ಸೆಂ
ಹುಡುಕಿ: ಬಿಡಿ
ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ ಹೊಸ ವಸ್ತು.
ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೆಲದ ಮೇಲೆ ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು: ಅವರು ಹಗ್ಗವನ್ನು 12 ಗಂಟುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳು, ಅದರ ತುದಿಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಹಗ್ಗವನ್ನು ನೆಲದ ಮೇಲೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು, ಇದರಿಂದಾಗಿ 3, 4 ಮತ್ತು 5 ವಿಭಾಗಗಳ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಯಿತು. 5 ವಿಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ.
ಈ ತೀರ್ಪಿನ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ನೀವು ವಿವರಿಸಬಹುದೇ?
ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಗಣಿತದ ಬಿಂದುದೃಷ್ಟಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ: ತ್ರಿಕೋನವು ಬಲ-ಕೋನವಾಗಿದೆಯೇ?
ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ: ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಮಾಡದೆಯೇ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಆಯತಾಕಾರದದ್ದಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಪಾಠದ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ.
ಪಾಠದ ವಿಷಯವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಪ್ರಮೇಯ. ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೂರನೇ ಬದಿಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ತ್ರಿಕೋನವು ಬಲ-ಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ (ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುರಾವೆ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮಾಡಿ).
ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ 3, 4, 5 ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಬಲ-ಕೋನವಾಗಿದೆ (ಈಜಿಪ್ಟ್) ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು , ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿವಳಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿವಳಿಗಳಿಂದ (6, 8, 10) ಪಾರ್ಶ್ವದ ಉದ್ದವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.
ಬಲವರ್ಧನೆ.
ಏಕೆಂದರೆ , ನಂತರ 12, 13, 5 ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಬಲ-ಕೋನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ಏಕೆಂದರೆ , ನಂತರ 1, 5, 6 ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಬಲ-ಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
№ 430 (ಎ, ಬಿ, ಸಿ)
( - ಅಲ್ಲ)
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ- ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ.
ಇದನ್ನು ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ, ಅವರ ನಂತರ ಇದನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ.
ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೂಲತಃ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:
ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವು ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ,
ಕಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ.
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವು ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದದ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಅಂದರೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಸಿ, ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿ:
ಎರಡೂ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ, ಅದು ಅಲ್ಲ
ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದೇಶದ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ತಿಳಿಯದೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ.
ಕಾನ್ವರ್ಸ್ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ.
ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯ ವರ್ಗವು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ
ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ.
ಅಥವಾ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ:
ಪ್ರತಿ ಟ್ರಿಪಲ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿ, ಅಂತಹ
ಕಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಸಿ.
ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ.
ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಾಗಿ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ.
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಳು.
ಆನ್ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿಈ ಪ್ರಮೇಯದ 367 ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಹುಶಃ ಪ್ರಮೇಯ
ಅಂತಹ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದರೆ ಪೈಥಾಗರಸ್. ಅಂತಹ ವೈವಿಧ್ಯತೆ
ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಬಹುದು.
ಸಹಜವಾಗಿ, ಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದವುಗಳು:
ಪುರಾವೆ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಧಾನ, ಅಕ್ಷೀಯಮತ್ತು ವಿಲಕ್ಷಣ ಪುರಾವೆ(ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು).
1. ಇದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ.
ಮುಂದಿನ ಪುರಾವೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ- ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದದ್ದು
ನೇರವಾಗಿ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಅವಕಾಶ ಎಬಿಸಿಲಂಬ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವಿದೆ ಸಿ. ನಿಂದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಸಿಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿ
ಅದರ ಅಡಿಪಾಯದ ಮೂಲಕ ಎಚ್.
ತ್ರಿಕೋನ ACHತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಬಿಎರಡು ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಿ. ಅಂತೆಯೇ, ತ್ರಿಕೋನ CBHಇದೇ ಎಬಿಸಿ.
ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ:
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
,
ಇದು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ -
ಮಡಚಲಾಗಿದೆ ಎ 2 ಮತ್ತು ಬಿ 2, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಅಥವಾ, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.
2. ಪ್ರದೇಶದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ.
ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸರಳತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲ. ಅವರೆಲ್ಲರೂ
ಪ್ರದೇಶದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅದರ ಪುರಾವೆಗಳು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ.
- ಸಮ ಪೂರಕತೆಯ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ.
ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮಾಡೋಣ
ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ತ್ರಿಕೋನ
ಬಲ.
ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಿ- ಚೌಕ,
ಎರಡು ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 90° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು
ತೆರೆದ ಕೋನ - 180 °.
ಇಡೀ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು ಒಂದು ಕಡೆ,
ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶ ( a+b), ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು
ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.
3. ಅನಂತವಾದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ.
ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡುವುದು ಮತ್ತು
ಬದಿಯ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನೋಡುವುದುಎ, ನಾವು ಮಾಡಬಹುದು
ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ
ಸಣ್ಣ ಅಡ್ಡ ಏರಿಕೆಗಳುಜೊತೆಗೆಮತ್ತು ಎ(ಸಾಮ್ಯತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ
ತ್ರಿಕೋನಗಳು):
ವೇರಿಯಬಲ್ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಇನ್ನಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಎರಡೂ ಕಾಲುಗಳ ಹೆಚ್ಚಳದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು:
ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬಯಸಿದ ಉತ್ತರವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ:
ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ಅಂತಿಮ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅವಲಂಬನೆಯು ರೇಖೀಯ ಕಾರಣದಿಂದ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಏರಿಕೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತ, ಆದರೆ ಮೊತ್ತವು ಸ್ವತಂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ
ವಿವಿಧ ಕಾಲುಗಳ ಹೆಚ್ಚಳದಿಂದ ಕೊಡುಗೆಗಳು.
ಕಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು
(ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಾಲು ಬಿ) ನಂತರ ಏಕೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಆಸ್ತಿಯು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ: ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯ ವರ್ಗವು ಇತರ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ತ್ರಿಕೋನವು ಲಂಬಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಹೆರಾನ್ ಸೂತ್ರ
ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲವನ್ನು ಅದರ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯೋಣ. ಈ ಸೂತ್ರವು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಹೆರಾನ್ ಹೆಸರಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ - ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮತ್ತು ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ ಅವರು ಬಹುಶಃ 1 ನೇ ಶತಮಾನ AD ಯಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ ಹೆರಾನ್ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನವನ್ನು ನೀಡಿದರು.
ಪ್ರಮೇಯ. a, b, c ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ S ಅನ್ನು S= ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ p ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಅರೆ-ಪರಿಧಿಯಾಗಿದೆ.
ಪುರಾವೆ.
ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ?ABC, AB= c, BC= a, AC= b ಕೋನಗಳು A ಮತ್ತು B. CH - ಎತ್ತರ.
ಸಾಬೀತು:
ಪುರಾವೆ:
ABC ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದರಲ್ಲಿ AB=c, BC=a, AC=b. ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನವು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. A ಮತ್ತು B ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರದ CH ನ ಮೂಲ H AB ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: CH = h, AH=y, HB=x. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2, ಎಲ್ಲಿಂದ
Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, ಅಥವಾ (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, ಮತ್ತು y + x = c ರಿಂದ, ನಂತರ y- x = (b2 - a2).
ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
2y = +c, ಎಲ್ಲಿಂದ
y=, ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=
ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಲೇಖನಗಳು
