ಸಾಧಾರಣಗೊಳಿಸಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು. ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಪೂರ್ಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮಿತಿಗಳಿಂದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂದಾಜು ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕು, ಆದರೆ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಬೇಕು:

· ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ;

· ಪ್ರಸರಣ (ಶೂನ್ಯ ಕ್ರಮದ ಕ್ಷಣ, 1 ನೇ).

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸರಳವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ: , ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ; ಎನ್ - ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; - N ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ.

ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: , ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಸರಣ ಎಲ್ಲಿದೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಸರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹಲವಾರು ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಿದರೆ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ 2 ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ: . ಸಮಾನತೆ (4) ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಆವರ್ತನವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ: , ಮೌಲ್ಯವು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ x ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ. , ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಈ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವಿಚಲನದ ವರ್ಗದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. , ಕೇಂದ್ರಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಲ್ಲಿದೆ, , . ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣ: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ x, yಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ x i, y i, .

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಾಗಿ: ನಂತರ , . ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ (9) ಪ್ರಕಾರ, ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು 0 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅವುಗಳ ಪ್ರಸರಣವನ್ನೂ ಸಹ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X ಅಥವಾ Y ಪ್ರಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಚಲನಗೊಂಡರೆ, ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಎಷ್ಟು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಆಯಾಮವಿಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: . ನಾವು ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಆಕೃತಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಫ್ಲಾಟ್ ಫಿಗರ್ನ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಮೇಲೆ ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಯಿತು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಮಗ್ರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಪೂರ್ಣ ವಿವರಣೆಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ವಿತರಣೆಯ ಅಗತ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೂಚಿಸಲು ಸಾಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಚದುರಿಹೋಗಿರುವ ಸರಾಸರಿ, ಈ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್‌ನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿತರಣೆಯ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕೆಲವು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸರಳವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ SV ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ x (, x 2,..., x nಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಆರ್ j, ಪು 2,... Ptv ನಲ್ಲಿಆ. ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವು ಸಾಧ್ಯ x xಗಮನಿಸಿದೆ ಎನ್ (ಸಮಯ, ಮೌಲ್ಯ x 2 - N 2ಬಾರಿ,..., ಮೌಲ್ಯ x n - N nಒಮ್ಮೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ + ಎನ್ 2 +... + ಎನ್ ಎನ್ = ಎನ್.

ವೀಕ್ಷಣಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎನ್ಶ್ರೇಷ್ಠ, ಅಂದರೆ. ಎನ್-" ಓಹ್, ಹಾಗಾದರೆ

ವಿತರಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೌಖಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.8. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (MO) ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ SV% ಎಂಬುದು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು (ಸಂಖ್ಯೆ M;):

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ SV ಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ನಾವು RR ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸೂತ್ರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೊತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಎನ್ oo ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಬಹುದಾದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಅನುಗುಣವಾದ CB^ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 3.8. SV?, ವಿತರಣೆ ಸರಣಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಈ SV ಯ MO ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಪರಿಹಾರ.ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ. ಆ. ಮೌಂಟ್ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಎಸ್ವಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಎಣಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.9. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ SV,ಹೊಂದಿರುವ ಎಣಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಮೌಲ್ಯಗಳು, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಈ ಸರಣಿಯು ಬೇರ್ಪಟ್ಟರೆ ಅಥವಾ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವರು CB ^ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ನಾವು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ SV ಯಿಂದ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರ ಒಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸೋಣ p(x)

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.10. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ, ನಿರಂತರ CBಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿರಂತರ SV ಗೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 3.8.ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ J ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು;

ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಸೇರಿದೆ ( ಎ; ಬಿ),ಅದು

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಏಕೈಕ ಸ್ಥಾನ ಲಕ್ಷಣವಲ್ಲ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.11. ಫ್ಯಾಷನ್ CB^ (ಹೆಸರು ಮೋಟ್,)ಅದರ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ p iಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ p(x)ಅದರ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.12. ಮಧ್ಯಮ SV?, (ಉಪನಾಮ ಭೇಟಿಯಾದರು)ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ P(t>ಭೇಟಿ) = P(? > ಭೇಟಿಯಾದರು) = 1/2.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ನಿರಂತರ NE ಗಾಗಿ, ಮಧ್ಯವು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಆಗಿದೆ ಓಹ್,ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು 1/2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.9. NEಟಿ,ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

SV ಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಪರಿಹಾರ. MЪ,= 0-0.1 + 1 0.3 + 2 0.5 + 3 0.1 = 1.6. L/o? = 2. ಮಿ(?) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.10. ನಿರಂತರ CB% ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಪರಿಹಾರ.

p(x)ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿವಿಧ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ, ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.13. kth ಆದೇಶದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣ SV?, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ k-thಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಡಿಗ್ರಿಗಳು: =ಎಂ(ಟಿ> ಕೆ).

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಟಿಪ್ಪಣಿ 3.9.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ.

ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.14. ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ SV ಎಂಬುದು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ.

ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವುದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಮೂಲವನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ M ಗೆ ಸರಿಸಲು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.15. kth ಆದೇಶದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ SV% ಅನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ k-thಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪದವಿ:

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ^ 1 ನೇ ಕ್ರಮದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಸಿ x= M(? 0) = 0.

ಎರಡನೆಯ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವು ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 2 ಜೊತೆಗೆ.ಇದನ್ನು ಪ್ರಸರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.16. ವ್ಯತ್ಯಾಸ SV?, ಅನುಗುಣವಾದ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಪರಿಮಾಣದ ವರ್ಗದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸಂಕೇತ ಡಿ?)

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು (3.4), ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಡಿಎಲ್;.

SV ಪ್ರಸರಣವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಪ್ರಸರಣ, ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸುತ್ತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್.

ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಚೌಕದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಪ್ರಸರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಪ್ರಸರಣದಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ ವರ್ಗಮೂಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್. ನಾವು ಇದನ್ನು a: a = l/s ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ SV ಗಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಾಂಕ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಅಂದಾಜು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ % ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರ M ಯ ಹೊರಗೆ ಬೀಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು; ± ಗಾಗಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ನಂತರ ಸಮರ್ಥಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂರು ಸಿಗ್ಮಾ ನಿಯಮ.

ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಈ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕೆಲವು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ.

ಪ್ರೊಟೊಜೋವಾಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

1. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಜೊತೆಗೆಸಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: M(s) = s.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಜೊತೆಗೆಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ನೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ M(c) = ಜೊತೆಗೆ 1 = ಸೆ.

2. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಮಾಣ c ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಡಿ(ಸಿ) = 0.

ನಿಜವಾಗಿಯೂ, Dc = M(s - Mc) 2 = M(s- ಸಿ) 2 = ಎಂ( 0) = 0.

3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ ಗುಣಕವನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: M(c^) = cಎಂ(?,).

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ SV ಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಪ್ರದರ್ಶಿಸೋಣ.

SV ಅನ್ನು ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯಿಂದ ನೀಡಲಿ

ನಂತರ

ಆದ್ದರಿಂದ,

ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಾಗಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

4. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ ಗುಣಕವನ್ನು ವರ್ಗೀಯ ಪ್ರಸರಣದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ಷಣಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, 3 ನೇ ಮತ್ತು 4 ನೇ ಆದೇಶಗಳ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಾಂಕ = m x, a 1.0 = m x

a 0.1 = M = m y , a 0.1 = m y (7)

X ಮತ್ತು Y ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಆದೇಶದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಗಳು:

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು:

ಮೊದಲ ಎರಡು ಕ್ಷಣಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಹವರ್ತಿತ್ವ(ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕ್ಷಣಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು (X,Y), K xy ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಹವರ್ತಿತ್ವದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ

Kxy = Kyx (11)

ಆ. ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ, ಸಹವರ್ತಿಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಹವರ್ತಿತ್ವದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು:

ಆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರಸರಣವು "ಸ್ವತಃ ಅದರ ಸಹವರ್ತಿತ್ವ" ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ. (ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ, ಸಹವರ್ತಿತ್ವವು 0 ಆಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ).

ಕಡಿಮೆ ಆರ್ಡರ್‌ಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ K xy ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಇದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

K xy =a 1.1 -a 1.0 ×a 0.1 ಅಥವಾ K xy =M-M[X]×M[Y] (13)

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ: ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಹವರ್ತಿತ್ವವು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ.

ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಅವುಗಳ ಪ್ರಸರಣ (m x ,m y).

ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್‌ನ ಆಯಾಮವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ X ಮತ್ತು Y ನ ಆಯಾಮಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರೂಪಿಸುವ ಆಯಾಮವಿಲ್ಲದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು r.s ನ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ. s x s y

r xy =K xy /s x s y (14)

r xy ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು X ಮತ್ತು Y. ಈ ಗುಣಾಂಕವು ಪದವಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅವಲಂಬನೆಗಳು. ಅವಲಂಬನೆಯು ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ, ಇನ್ನೊಂದು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, r xy >0 ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಗಳು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, r xy ನಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ<0, и корреляция отрицательна.

ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ X ಮತ್ತು Y

ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ: K xy =0, ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ, K xy ¹0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಿಂದ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ (r xy =0) ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಅವುಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವು ಇನ್ನೂ ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. r xy =0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇದರರ್ಥ ಮಾತ್ರ ರೇಖೀಯ ಸಂಪರ್ಕದ ಕೊರತೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವೆ; ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಪರ್ಕವು ಇರಬಹುದು.

ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳು - ಹಲವಾರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ಷಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷಣಗಳು, ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಎರಡು ರೀತಿಯ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ.

ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ sth ಕ್ರಮದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣವು ರೂಪದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ:

. (5.7.1)

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಆರ್ಡರ್ s ನ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದ್ದರೆ.

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಗೆ, sth ಆದೇಶದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

. (5.7.2)

ಹಿಂದಿನ n° ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಸ್ಥಾನದ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೊದಲ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನೀವು ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (5.7.1) ಮತ್ತು (5.7.2) ಒಂದಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸೂತ್ರಗಳು (5.7.1) ಮತ್ತು (5.7.2) ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ (5.6.1) ಮತ್ತು (5.6.2) ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಬದಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಇವೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು . ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ನೆಯ ಆದೇಶದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

, (5.7.3)

ಆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣವು ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ನೇ ಪದವಿಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ.

ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಾವು "ಕೇಂದ್ರಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್" ನ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರಲಿ. ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ:

ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ಅಕ್ಷರದ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸಲು ನಾವು ಒಪ್ಪುತ್ತೇವೆ.

ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ

ಅದೇ ರೀತಿ ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವುದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಮಧ್ಯಮ, "ಕೇಂದ್ರ" ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸರಿಸಲು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಆದೇಶದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಅನುಗುಣವಾದ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ th ಶಕ್ತಿಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ:

, (5.7.6)

ಮತ್ತು ನಿರಂತರ - ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೂಲಕ

. (5.7.8)

ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣವು ಯಾವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಯಾವುದೇ ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

, (5.7.9)

ಏಕೆಂದರೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಭಿನ್ನ ಆದೇಶಗಳ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯೋಣ. ನಾವು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ; ನಾವು ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಮಗ್ರತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅದೇ ಸಂಬಂಧಗಳು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೇ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಅಂತೆಯೇ ಮೂರನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

(5.7.10)

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೂಲ (ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಗಳು) ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು:

. (5.7.11)

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಇತರರ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: ಮೊದಲ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ, ನಾವು ನೋಡಿದಂತೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನದು, ಎರಡನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ, ಈ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ. ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರವು (5.7.11) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

. (5.7.12)

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಯಾವಾಗ ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ.

ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣ (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ) ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ತೀವ್ರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ಇತರ ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ, ನಾವು ಅದಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ

, (5.7.13)

ಆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅನುಗುಣವಾದ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವರ್ಗದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು (5.7.13) ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

. (5.7.14)

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ:

, (5.7.15)

(5.7.16)

ಅಂತೆಯೇ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಸರಣವು ಪ್ರಸರಣದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸುತ್ತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್. "ಪ್ರಸರಣ" ಎಂಬ ಪದವು "ಪ್ರಸರಣ" ಎಂದರ್ಥ.

ನಾವು ವಿತರಣೆಯ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿದರೆ, ಪ್ರಸರಣವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ) ಹೋಲಿಸಿದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಮೂಹಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ "ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್") ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

, (5.7.17)

ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣಕ್ಕೆ ಸಂಕ್ಷೇಪಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು . ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸೇರಿವೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಯಾವುದೇ ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲದಿದ್ದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ x y ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. "ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ವಿಚಲನ" ಪದಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ r.s.o ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅದರ ಎರಡನೇ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸೂತ್ರಗಳ ಎರಡನೆಯದು (5.7.10)). ಹೊಸ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ (ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ: ಅದರ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಮಟ್ಟ. ವಿತರಣೆಯ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವು ವಿತರಣೆಯ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ (ಅಥವಾ "ಓರೆತನ") ನಿರೂಪಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ವಿತರಣೆಯು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ, ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ-ಕ್ರಮದ ಕ್ಷಣಗಳು (ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ

ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಕಾನೂನು ಮತ್ತು ಬೆಸಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಅದೇ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ನಿಜ

,

ಇದು ಬೆಸ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿತರಣಾ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಬೆಸ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದದ್ದು ಮೂರನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಘನದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಆಯಾಮವಿಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮೂರನೇ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಘನದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು "ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಾಂಕ" ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ "ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ನಾವು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 5.7.1 ಎರಡು ಅಸಮ್ಮಿತ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು (ಕರ್ವ್ I) ಧನಾತ್ಮಕ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ (); ಇನ್ನೊಂದು (ಕರ್ವ್ II) ಋಣಾತ್ಮಕ ().

ನಾಲ್ಕನೇ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವು "ತಂಪು" ಎಂದು ಕರೆಯುವುದನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಉತ್ತುಂಗಕ್ಕೇರಿದ ಅಥವಾ ಫ್ಲಾಟ್-ಟಾಪ್ ವಿತರಣೆ. ಈ ವಿತರಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ

ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಅನುಪಾತದಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು (ನಾವು ನಂತರ ವಿವರವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ) . ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತುಂಗದಲ್ಲಿರುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ; ಹೆಚ್ಚು ಫ್ಲಾಟ್-ಟಾಪ್ ಇರುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 5.7.2 ತೋರಿಸುತ್ತದೆ: ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ (ಕರ್ವ್ I), ಧನಾತ್ಮಕ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ (ಕರ್ವ್ II) ಜೊತೆಗೆ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ (ಕರ್ವ್ III) ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣೆ.

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ) ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಹ ಆದೇಶಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಷಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಮೊದಲ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ.

, (5.7.21)

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಜೊತೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪ್ರಸರಣದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಮೋಡ್, ಮಧ್ಯದ, ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರಸರಣ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ, ಓರೆಯಾಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣ - ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು - ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಹಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಅಂದಾಜು ವಿವರಣೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿತರಣೆಯ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವರು ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಬದಲಿ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಈವೆಂಟ್ ಕಾಣಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಾಣಿಸದೇ ಇರಬಹುದು, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ (ಈವೆಂಟ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್). ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಸರಣ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ.

ಪರಿಹಾರ. ಮೌಲ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (5.6.1) ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (5.7.15):

(ಎರಡನೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಓದುಗರು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಹೊಡೆತಗಳನ್ನು ಗುರಿಯತ್ತ ಹಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಪ್ರತಿ ಹೊಡೆತವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.4 ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ - ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪರಿಮಾಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಸರಣ, r.s.d., ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಮೌಲ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ನಾವು ಪರಿಮಾಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಅಧ್ಯಾಯ 10 ನೋಡಿ).