2 ಮತ್ತು 4 ರ ನಡುವೆ.
ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿಭಜಿಸುವುದು. ಸ್ಕ್ವೇರ್ ರೂಟ್. ಮೂಲಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತ
ಪದವಿ ಸೂತ್ರಗಳುಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿಆಗಿದೆ ಎನ್- ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ ಎಯಾವಾಗ:
ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.
1. ಅದೇ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅವುಗಳ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಒಂದು ಮೀ·a n = a m + n .
2. ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಘಾತಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
3. 2 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಟ್ಟವು ಈ ಅಂಶಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
(abc...) n = a n · b n · c n ...
4. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಡಿವಿಡೆಂಡ್ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:
(a/b) n = a n /b n .
5. ಒಂದು ಶಕ್ತಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು, ಘಾತಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
(a m) n = a m n .
ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೂತ್ರವು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.
1. ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲವು ಈ ಅಂಶಗಳ ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
2. ವರ್ತನೆಯ ಮೂಲ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಭಾಜಕ:
3. ಮೂಲವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವಾಗ, ಈ ಶಕ್ತಿಗೆ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಸಾಕು:
4. ನೀವು ಮೂಲದ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಎನ್ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎನ್ನೇ ಶಕ್ತಿಯು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:
5. ನೀವು ಮೂಲ ಪದವಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ ಎನ್ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ ಎನ್ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯ -ನೇ ಶಕ್ತಿ, ನಂತರ ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:
ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ.ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ (ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದು ಘಾತವು ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಘಾತಾಂಕದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:
ಫಾರ್ಮುಲಾ ಒಂದು ಮೀ:a n =a m - nಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮೀ> ಎನ್, ಆದರೆ ಜೊತೆಗೆ ಮೀ< ಎನ್.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಎ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಮೀ:a n =a m - nಯಾವಾಗ ನ್ಯಾಯವಾಯಿತು m=n, ಶೂನ್ಯ ಪದವಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ಶೂನ್ಯ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ.ಶೂನ್ಯ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
ಆಂಶಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ.ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಎಪದವಿಗೆ m/n, ನೀವು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕು ಎನ್ನೇ ಪದವಿ ಮೀ- ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ ಎ.
ಈ ಲೇಖನದಿಂದ ನೀವು ಕಲಿಯುವಿರಿ:
- "ಮೂಲ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ" ಎಂದರೇನು;
- ಯಾವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ;
- ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ತತ್ವಗಳು;
- ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳು.
"ಮೂಲ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ" ಎಂದರೇನು
ಮೊದಲಿಗೆ, "ಮೂಲ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ" ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1
ರೂಟ್ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಯು ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.
ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ n ನೇ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ b ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದರ n ನೇ ಶಕ್ತಿಯು a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು b ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.
ಗಮನಿಸಿ 1
"ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು" ಮತ್ತು "ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು" ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ಯಾವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯ b ಯ n ನೇ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ a ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ n ನೇ ಮೂಲವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 1
4 = 2 × 2, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ 4 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅದು 2
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3
ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ n-th ಮೂಲವನ್ನು b ನ n-th ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಮೂಲ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗಿಲ್ಲಅಥವಾ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹಿಂಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮೂಲಯಾವುದೇ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ನಿಖರ.
ಉದಾಹರಣೆ 2
2 ≈ 1 , 4142 .
ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ವಿಧಾನಗಳು
- ಚೌಕಗಳ ಟೇಬಲ್, ಘನಗಳ ಟೇಬಲ್, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
- ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ (ಸಂಖ್ಯೆ) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆ
- ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು
ಬೇರುಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಯಾವ ತತ್ವಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4
ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮುಖ್ಯ ತತ್ವವು ಸಮಾನತೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿರುತ್ತದೆ: b n n = b, ಇದು ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ b.
ನೀವು ಸರಳ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು: ಚೌಕಗಳು, ಘನಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು.
ನಿಮ್ಮ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಟೇಬಲ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ವಿಧಾನವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ (ವಿಧಾನವು ಸರಳವಾಗಿದೆ).
ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಬೆಸ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.
ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಎಂದು ಕಲಿಯೋಣ.
ಮತ್ತು ನಾವು ನಿಧಾನವಾಗಿ ರೂಟ್ ಬಿಟ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ - ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಬಹು-ಹಂತದ ಒಂದು.
ಚೌಕಗಳು, ಘನಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಚೌಕಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು 0 ರಿಂದ 99 ರವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು 2 ವಲಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಮೊದಲ ವಲಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ಹತ್ತಾರು ಮತ್ತು ಸಮತಲವಾದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲಂಬ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 99 ರವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಎರಡನೇ ವಲಯವು ಎಲ್ಲಾ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ರೂಪುಗೊಂಡವು.
ಚೌಕಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ
| ಚೌಕಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ | ಘಟಕಗಳು | ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| ಹತ್ತಾರು | 0 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | |
| 2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 | |
| 3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 | |
| 4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2041 | |
| 5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 | |
| 6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 | |
| 7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 | |
| 8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 | |
| 9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 | |
ಚೌಕಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ತತ್ತ್ವದ ಮೇಲೆ ರಚಿಸಲಾದ ಘನಗಳು, ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಸಹ ಇವೆ.
ಕ್ಯೂಬ್ ಟೇಬಲ್
| ಕ್ಯೂಬ್ ಟೇಬಲ್ | ಘಟಕಗಳು | ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| ಹತ್ತಾರು | 0 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
| 1 | 1000 | 1 331 | 1 728 | 2 197 | 2 744 | 3 375 | 4 096 | 4 913 | 5 832 | 6 859 | |
| 2 | 8000 | 9 261 | 10 648 | 12 167 | 13 824 | 15 625 | 17 576 | 19 683 | 21 952 | 24 389 | |
| 3 | 27000 | 29 791 | 32 768 | 35 937 | 39 304 | 42 875 | 46 656 | 50 653 | 54 872 | 59 319 | |
| 4 | 64000 | 68 921 | 74 088 | 79 507 | 85 184 | 91 125 | 97 336 | 103 823 | 110 592 | 117 649 | |
| 5 | 125000 | 132 651 | 140 608 | 148 877 | 157 464 | 166 375 | 175 616 | 185 193 | 195 112 | 205 379 | |
| 6 | 216000 | 226 981 | 238 328 | 250 047 | 262 144 | 274 625 | 287 496 | 300 763 | 314 432 | 328 509 | |
| 7 | 343000 | 357 911 | 373 248 | 389 017 | 405 224 | 421 875 | 438 976 | 456 533 | 474 552 | 493 039 | |
| 8 | 512000 | 531 441 | 551 368 | 571 787 | 592 704 | 614 125 | 636 056 | 658 503 | 681 472 | 704 969 | |
| 729000 | 753 571 | 778 688 | 804 357 | 830 584 | 857 375 | 884 736 | 912 673 | 941 192 | 970 299 | ||
ಅಂತಹ ಕೋಷ್ಟಕಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ತತ್ವವು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಮೂಲ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಹಲವಾರು ಮೂಲ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು.
ಅಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನೆ ಮಾಡುವುದು
ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಘನಗಳ ಮೇಜಿನ ನಂತರ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5
ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3
144 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.
144 ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:
ಹೀಗೆ: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = (2 × 2) 2 × 3 2 = (2 × 2 × 3) 2 = 12 2. ಆದ್ದರಿಂದ, 144 = 12 2 = 12.
ಅಲ್ಲದೆ, ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ನೀವು ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 4 × 3 2 = 2 4 × 3 2 = 2 2 × 3 = 12
144 = 12 ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ.
ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು
ನೆನಪಿರಲಿ: ಯಾವುದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6
ಅಂಶದ ಮೂಲದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
p q n = p n q n. ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅದನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ನಿಯಮ:ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂಲವು ಛೇದದ ಮೂಲದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಅಂಶದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 4
ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗದಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಟೇಬಲ್ ಬಳಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು.
474, 552 ರ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ: 474, 552 = 474552 / 1000. ಇದರಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: 474552 1000 3 = 474552 3 1000 3. ನಂತರ ನೀವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಘನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು:
474552 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 13 × 13 × 13 = (2 × 3 × 13) 3 = 78 3 ಮತ್ತು 1000 = 10 3, ನಂತರ
474552 3 = 78 3 3 = 78 ಮತ್ತು 1000 3 = 10 3 3 = 10.
ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ: 474552 3 1000 3 = 78 10 = 7, 8.
ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬೇರೂರಿಸುವುದು
ಛೇದವು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ - a ಮತ್ತು ಮೂಲ 2 n - 1 ನ ಬೆಸ ಘಾತ, ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:
A 2 × n - 1 = - a 2 × n - 1
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7
ಬೆಸ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ನಿಯಮ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು, ನೀವು ವಿರುದ್ಧ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು.
ಉದಾಹರಣೆ 5
12 209 243 5. ಮೊದಲಿಗೆ, ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗೊಳಿಸಬೇಕು ಇದರಿಂದ ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ:
12 209 243 5 = 12 209 243 - 5
ನಂತರ ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗ:
12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5
ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ:
3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5
ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:
3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3
ಪರಿಹಾರದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಾರಾಂಶ:
12 209 243 5 = 12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3 .
ಉತ್ತರ: - 12 209 243 5 = - 1 2 3.
ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯದ ಬಿಟ್ವೈಸ್ ನಿರ್ಣಯ
ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ n ನೇ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುವಾಗ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಆದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ನಿಖರವಾದ ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಬಿಟ್ವೈಸ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೀವು ಬಯಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 6
5 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದು ಹೇಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಮೊದಲು ನೀವು ಘಟಕಗಳ ಅಂಕೆಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, 0, 1, 2, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. . . , 9 , 0 2 , 1 2 , ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ. . . , 9 2 ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ಇದು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:
ಘಟಕಗಳ ಸರಣಿಯ ಮೌಲ್ಯವು 2 ಆಗಿದೆ (2 2 ರಿಂದ< 5 , а 2 3 >5) ಹತ್ತನೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ - ನಾವು 2, 0, 2, 1, 2, 2, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. . . , 2, 9, ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ 5 ರೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವುದು.
2, 2 2 ರಿಂದ< 5 , а 2 , 3 2 >5, ನಂತರ ಹತ್ತನೆಯ ಮೌಲ್ಯವು 2 ಆಗಿದೆ. ನೂರರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ:
ಹೀಗಾಗಿ, ಐದು ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ - 2, 23. ನೀವು ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕಾಣಬಹುದು:
2 , 236 , 2 , 2360 , 2 , 23606 , 2 , 236067 , . . .
ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಹಲವಾರು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ.
ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ
ಶುಭಾಶಯಗಳು, ಬೆಕ್ಕುಗಳು! ಕೊನೆಯ ಬಾರಿ ನಾವು ಬೇರುಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ (ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಓದಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ). ಆ ಪಾಠದಿಂದ ಮುಖ್ಯವಾದ ಟೇಕ್‌ಅವೇ: ಬೇರುಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮಾತ್ರ ಇದೆ, ಅದು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದದ್ದು. ಉಳಿದವು ಅಸಂಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಸಮಯ ವ್ಯರ್ಥ.
ಇಂದು ನಾವು ಮುಂದೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಮಾರಕವಾಗಬಹುದು) ಮತ್ತು ನಾವು ಸರಿಯಾಗಿ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಪ್‌ಕಾರ್ನ್ ಅನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ, ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆರಾಮದಾಯಕವಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ :)
ನೀವೂ ಅದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸೇದಿಲ್ಲ ಅಲ್ಲವೇ?
ಪಾಠವು ಸಾಕಷ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದೆ:
- ಮೊದಲು ನಾವು ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಕ್ಯಾಪ್ ಸುಳಿವು ತೋರುತ್ತಿದೆ: ಇದು ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿರುವಾಗ, ಅವುಗಳ ನಡುವೆ "ಗುಣಿಸಿ" ಚಿಹ್ನೆ ಇದೆ - ಮತ್ತು ನಾವು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಏನನ್ನಾದರೂ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.
- ನಂತರ ನಾವು ವಿರುದ್ಧವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ: ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಮೂಲವಿದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಎರಡು ಸರಳವಾದ ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನಾವು ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಏಕೆ ಅಗತ್ಯ, ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.
ತಕ್ಷಣ ಎರಡನೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ತೆರಳಲು ಕಾಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದವರಿಗೆ, ನಿಮಗೆ ಸ್ವಾಗತ. ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.
ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲ ನಿಯಮ
ಸರಳವಾದ ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ - ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು. $\sqrt(a)$ ಮತ್ತು $\sqrt(b)$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅದೇ ಪದಗಳು. ಅವರಿಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ:
ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮ. ಒಂದು ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರಾಡಿಕಲ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ: ಮೂಲ ಅಂಶಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಸಹ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ನಿಯಮದ ಮುಖ್ಯ ಅರ್ಥವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು. ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಹೊಸ ನಿಯಮಗಳಿಲ್ಲದೆ 25 ಮತ್ತು 4 ರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಾವೇ ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವಿಷಯಗಳು ಕಠಿಣವಾಗುತ್ತವೆ: $\sqrt(32)$ ಮತ್ತು $\sqrt(2)$ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಮೂಲವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನಾನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕೊನೆಯ ಸಾಲನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಅಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ. ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳು ರದ್ದುಗೊಂಡಿವೆ, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ವಿಷಯಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸುಂದರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬೇರುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇರುತ್ತದೆ - ಅದರೊಂದಿಗೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ, ನೀವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆ ಬರಹಗಾರರು ನೀವು ಕೆಲವು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಅಥವಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅದರ ನಂತರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ನೀವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು ಅಥವಾ ಹತ್ತನ್ನು ಗುಣಿಸಬಹುದು! ಇದರಿಂದ ನಿಯಮ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಮ್ಮೆ ನೋಡಿ:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಟಿಪ್ಪಣಿ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಿದೆ - ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಒಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ಎಲ್ಲವೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ: ಯಾವುದೇ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಅಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ). ಇದು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯ ಮತ್ತು ನರಗಳನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ.
ಆದರೆ ಇದು ಸಾಹಿತ್ಯಿಕ ವಿಷಯಾಂತರವಾಗಿತ್ತು. ಈಗ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ - ಮೂಲ ಘಾತಾಂಕವು $n$ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ "ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್" ಎರಡಲ್ಲ.
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೂಚಕದ ಪ್ರಕರಣ
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಘನವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಅಥವಾ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದವಿ $n$ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಹ? ಹೌದು, ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ. ನಿಯಮವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ:
ಡಿಗ್ರಿ $n$ ನ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ಅವುಗಳ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಸಾಕು, ತದನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಏನೂ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣವು ಹೆಚ್ಚಿರಬಹುದು ಎಂದು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:
ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt((\left(\frac(4)(25) \right))^(3))=\frac(4)(25). \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ, ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಗಮನ. ನಾವು ಘನಮೂಲಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು 625 ಮತ್ತು 25 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ - ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನನಗೆ ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ ಇದು ಸರಿಸುಮಾರು ಏನೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಬ್ಯಾಟ್.
ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಘನವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ $n$th ರೂಟ್ನ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು (ಅಥವಾ, ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ) ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1))=a; \\ & \sqrt(((ಎ)^(2n)))=\ಎಡ| ಎ\ಬಲ|. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಅಂತಹ "ಕುತಂತ್ರಗಳು" ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯವನ್ನು ಉಳಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ನೆನಪಿಡಿ:
ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಹೊರದಬ್ಬಬೇಡಿ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ನಿಖರವಾದ ಪದವಿ ಅಲ್ಲಿ "ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್" ಆಗಿದ್ದರೆ ಏನು?
ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಿದ್ಧವಿಲ್ಲದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್-ಬ್ಲಾಂಕ್ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಬದಲಾಗಿ, ಅವರು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗುಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಆಶ್ಚರ್ಯ ಪಡುತ್ತಾರೆ: ಅವರು ಅಂತಹ ಕ್ರೂರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಪಡೆದರು?
ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಈಗ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಇದೆಲ್ಲವೂ ಮಗುವಿನ ಮಾತು.
ವಿಭಿನ್ನ ಘಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು
ಸರಿ, ಈಗ ನಾವು ಅದೇ ಸೂಚಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಸೂಚಕಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಾವು ಹೇಳೋಣ, ಸಾಮಾನ್ಯ $\sqrt(2)$ ಅನ್ನು $\sqrt(23)$ ನಂತಹ ಕೆಲವು ಅಮೇಧ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವೇ?
ಹೌದು ಖಂಡಿತ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮ. $\sqrt[n](a)$ ಅನ್ನು $\sqrt[p](b)$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಕು:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಒಂದು ವೇಳೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ. ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಟಿಪ್ಪಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ನಾವು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ.
ಸದ್ಯಕ್ಕೆ, ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಏನೂ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.
ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಏಕೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು?
ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರಂತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಮಾರ್ಟ್ ನೋಟದೊಂದಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು:
ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಬೇರುಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ (ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳು ಸಹ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ).
ಸರಿ, ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಯೇ? ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನಾನು 8 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಓದಿದಾಗ, ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ: “ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು *#&^@(*#@^#)~% ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ” - ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ನಾನು ಮಾಡಲಿಲ್ಲ ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೆಟ್ಟ ವಿಷಯ ಅರ್ಥವಾಗಲಿಲ್ಲ :)
ಹಾಗಾಗಿ ಈಗ ನಾನು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೂಲದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿ $k$ ಗೆ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು - ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಘಾತವನ್ನು ಅದೇ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಾತಕ್ಕೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವು ಬರುತ್ತದೆ:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
ಆದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಇದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ಈಗ ನೀಡಿರುವ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಪದವಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. $k=2$ ಸೇರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:
\[\sqrt(-5)=\sqrt((\ಎಡ(-5 \ಬಲ))^(2))=\sqrt(((5)^(2)))\]
ನಾವು ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ್ದೇವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಚೌಕವು ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಸುಡುತ್ತದೆ (ಇತರ ಯಾವುದೇ ಸಹ ಡಿಗ್ರಿಯಂತೆ). ಈಗ ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸೋಣ: ಘಾತ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು "ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿ". ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಯಾವುದೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಓದಬಹುದು:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\sqrt(((a)^(k))=\sqrt[n ](ಎ); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಆದರೆ ನಂತರ ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಅಮೇಧ್ಯ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
ಇದು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ $\sqrt(-5) \lt 0$, ಮತ್ತು $\sqrt(5) \gt 0$. ಇದರರ್ಥ ಸಮ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅದರ ನಂತರ ನಮಗೆ ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ:
- "ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಇವು ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಗೋಡೆಗೆ ಹೊಡೆಯಲು ಮತ್ತು ಗಣಿತವು ಒಂದು ಮೂರ್ಖ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು;
- ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ, ಅದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವು 100% ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.
ಮೊದಲ ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ನಿರಂತರವಾಗಿ "ಕೆಲಸ ಮಾಡದ" ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ - ಇದು ಕಷ್ಟ, ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಷ್ಟ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಎರಡನೇ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಿದರು.
ಆದರೆ ಚಿಂತಿಸಬೇಡಿ! ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಈ ಮಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿವರಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಬೆಸ ಪದವಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಾಳಜಿವಹಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಮೈನಸಸ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ:
ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೊದಲು, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.
ಉದಾಹರಣೆ. $\sqrt(-5)$ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು - ನಂತರ ಎಲ್ಲವೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
ನೀವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತೀರಾ? ನೀವು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟರೆ, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವರ್ಗವಾದಾಗ, ಅದು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಮೇಧ್ಯ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ಮೊದಲು ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನೀವು ಮುಖದಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ಬರುವವರೆಗೆ ನೀವು ಚದರ/ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು - ಸಂಖ್ಯೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:
- ರಾಡಿಕಲ್ಗಳಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ನಿರಾಕರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ. ಮೈನಸಸ್ ಬೆಸ ಗುಣಾಕಾರದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ - ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲದ ಮುಂದೆ ಇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಎರಡು ಮೈನಸಸ್ ಇದ್ದರೆ).
- ಇಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ. ಬೇರುಗಳ ಸೂಚಕಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಅವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ದುಷ್ಟ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3. ಫಲಿತಾಂಶ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಆನಂದಿಸಿ. :)
ಸರಿ? ನಾವು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡೋಣವೇ?
ಉದಾಹರಣೆ 1: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]
ಇದು ಸರಳವಾದ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ: ಬೇರುಗಳು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದು, ಎರಡನೆಯ ಅಂಶವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಕೇವಲ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರದಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \ಅಂತ್ಯ( ಜೋಡಿಸು)\]
ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಏನಾಯಿತು ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಅನೇಕರು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುತ್ತಾರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಹೌದು, ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ: ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮೂಲವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((((\)) a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9))=\sqrt((((a)^(3))) \end(align)\]
ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿವೆ:
- ಮೂಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ $a$. ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಅಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನೀವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
- ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸೂಚಕ ಮತ್ತು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪದವಿಯನ್ನು "ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲು" ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸದಿದ್ದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt((((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((\left(((a)^) 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ರಾಡಿಕಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಮತ್ತು ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಂತರ ಹಂತಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸದಿದ್ದರೆ, ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕೆಲಸವನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt((( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2))= \\ & =\sqrt((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]
ಸರಿ, ನಾವು ಬೇರುಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ರಿವರ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಇದ್ದಾಗ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು?
ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕೇ, ಆದರೆ ನಿಮ್ಮ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಸಾಧನವಿಲ್ಲವೇ? ಲಾಭ ಪಡೆಯಿರಿ ಆನ್ಲೈನ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ- ಬೇರುಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್. ಅವಳು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾಳೆ:
- ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚೌಕ ಅಥವಾ ಘನಮೂಲಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ;
- ಆಂಶಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ.
| ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ: |
| √ |
ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ - ಸೂಕ್ತವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಆಯ್ಕೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನೋಡೋಣ.
ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದರೇನು
ರೂಟ್ ಎನ್ಪದವಿಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ- ಸಂಖ್ಯೆ, ಎನ್ಅವರ ಪದವಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ(ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ). ಮೂಲವನ್ನು √ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವನನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಿತದ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: ಸಂಕಲನ→ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ→ವಿಭಾಗ, ಘಾತ→ಮೂಲ.
ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎ. ಇದು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು? ಎರಡನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 2 ಅನ್ನು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೇಲೆ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಚಿಕ್ಕ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಘಾತವು 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ: 16 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅದು ಎರಡನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. 16.
ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ
ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
1.ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಶೇಷವನ್ನು ಬಿಡದೆ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
25, 36, 49 ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಏಕೆಂದರೆ:
ಚದರ ಅಂಶಗಳು ಚದರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.
784 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ.
| ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಚದರ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. 784 ಸಂಖ್ಯೆಯು 4 ರ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಮೊದಲ ವರ್ಗದ ಅಂಶವು 4 x 4 = 16 ಆಗಿದೆ. 784 ಅನ್ನು 16 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ನಾವು 49 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಇದು ಕೂಡ ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ 7 x 7 = 16 ಆಗಿದೆ. |  |
| ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ
ನಾವು ಪ್ರತಿ ಚದರ ಅಂಶದ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. |
 ಉತ್ತರ. |
2. ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಇದನ್ನು ಚದರ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಅವರ ಪರಿಹಾರವು ನಿಖರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ. ಇದು ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಚದರ ಅಂಶವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
| ನಾವು 252 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಚೌಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಅಂಶವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ. |  |
| ನಾವು ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಲರ್‌ನಲ್ಲಿ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದೆ ನಿಂತಿರುವ ಎರಡು ಚದರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. | ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 7. ಇದರರ್ಥ ಹತ್ತಿರದ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ 8 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದು 4 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
|
| ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು | ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, √7 2 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು 7 ಆಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. 2.7 x 2.7 = 7.2. ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ, 7.2>7 ರಿಂದ, ಚಿಕ್ಕದನ್ನು 2.6 x 2.6 = 6.76 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ 6.76 ~ 7. |
| ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ |  |
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು? ರೂಟ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುವುದು.
ಕಾಲಮ್ ಆಗಿ ವಿಭಜಿಸುವಾಗ, ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವಾಗ ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
| ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಇದರಿಂದ ಲಂಬ ರೇಖೆಯು ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ರೇಖೆಯು ಅದರಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಬಲಭಾಗಮತ್ತು ಆರಂಭದ ಕೆಳಗೆ. |  |
| ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಒಡೆಯಿರಿ. ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: - ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗ; - ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆ. |
ಉದಾಹರಣೆ: 3459842.825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 ಜೋಡಿಯಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. |
| ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ (ಅಥವಾ ಜೋಡಿ) ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ n ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಚೌಕವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ (ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿ) ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ರೂಟ್ √n ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಮೊದಲನೆಯದು 7. ಹತ್ತಿರದ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ 4. ಇದು 7 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ಮತ್ತು 4 = |
 |
| ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ (ಜೋಡಿ) ಸಂಖ್ಯೆಯ n ನ ಕಂಡುಬಂದ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. 7 ರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ 4_x_=_ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಗಮನಿಸಿ: ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು. |
 |
| ಡ್ಯಾಶ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಾಗಿ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು 8 ಆಗಿದೆ. |  |
| ಮೇಲಿನ ಬಲ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಇದು ಬಯಸಿದ ಮೂಲದಿಂದ ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮುಂದಿನ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. |
 |
| ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. ಮೇಲಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಡ್ಯಾಶ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. |
 |
| ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ನಾವು ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇವುಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಅಲ್ಪವಿರಾಮದ ಹಿಂದೆ ಇದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವರ್ಗಮೂಲದ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯ ಬಳಿ ಮೇಲಿನ ಬಲ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಡ್ಯಾಶ್‌ಗಳನ್ನು ತುಂಬುತ್ತೇವೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. |
 |
| ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳಗಳು, ನಂತರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದೆ ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಹಂತಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ: ಎಡದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ, ಮೇಲಿನ ಬಲ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ, ಡ್ಯಾಶ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅದಕ್ಕೆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. |  |
ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಸಮಯವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಿ? ಕಷ್ಟ, ದೀರ್ಘ, ಗೊಂದಲಮಯ. ಹಾಗಾದರೆ ನಿಮಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಏಕೆ ಸುಲಭಗೊಳಿಸಬಾರದು? ನಮ್ಮ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇದು ತ್ವರಿತ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್
1. ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ.
2. ಮೂಲದ ಪದವಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ (ಅದು 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ).
3. ನೀವು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಯೋಜಿಸಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ.
4. "ಪರಿಹರಿಸು" ಬಟನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ.
ಆನ್ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸರಳವಾಗುತ್ತದೆ!
ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಲೇಖನಗಳು
