ამოცანები წარმოებულებზე გამოცდაზე. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა. წარმოებული B დონის ამოცანებში. ფუნქციის დაზუსტების ანალიტიკური მეთოდი
ფუნქციის წარმოებული ერთ-ერთი რთული თემაა სასკოლო სასწავლო გეგმაში. ყველა კურსდამთავრებული არ უპასუხებს კითხვას, თუ რა არის წარმოებული.
ეს სტატია მარტივად და ნათლად განმარტავს რა არის წარმოებული და რატომ არის საჭირო.. ჩვენ ახლა არ ვისწრაფვით მათემატიკური სიმკაცრისკენ პრეზენტაციაში. მთავარია მნიშვნელობის გაგება.
გავიხსენოთ განმარტება:
წარმოებული არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე.
სურათზე ნაჩვენებია სამი ფუნქციის გრაფიკი. როგორ ფიქრობთ, რომელი უფრო სწრაფად იზრდება?
პასუხი აშკარაა - მესამე. მას აქვს ცვლილების ყველაზე მაღალი მაჩვენებელი, ანუ ყველაზე დიდი წარმოებული.
აი კიდევ ერთი მაგალითი.
კოსტიამ, გრიშამ და მატვეიმ ერთდროულად იმუშავეს. ვნახოთ, როგორ შეიცვალა მათი შემოსავალი წლის განმავლობაში:
გრაფიკი ერთდროულად აჩვენებს ყველაფერს, არა? კოსტიას შემოსავალი ექვს თვეში გაორმაგდა. და გრიშას შემოსავალიც გაიზარდა, მაგრამ ცოტათი. და მატვეის შემოსავალი ნულამდე შემცირდა. საწყისი პირობები იგივეა, მაგრამ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე, ანუ წარმოებული, - განსხვავებული. რაც შეეხება მატვეის, მისი შემოსავლის წარმოებული ზოგადად უარყოფითია.
ინტუიციურად, ჩვენ ადვილად ვაფასებთ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს. მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს?
რასაც ჩვენ რეალურად ვუყურებთ არის ის, თუ რამდენად ციცაბო მოძრაობს ფუნქციის გრაფიკი ზემოთ (ან ქვემოთ). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რამდენად სწრაფად იცვლება y, როდესაც x იცვლება? ცხადია, ერთი და იგივე ფუნქცია შეიძლება ჰქონდეს სხვადასხვა წერტილში განსხვავებული მნიშვნელობაწარმოებული - ანუ ის შეიძლება შეიცვალოს უფრო სწრაფად ან ნელა.
ფუნქციის წარმოებული აღინიშნება.
ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ იგი გრაფიკის გამოყენებით.
შედგენილია ზოგიერთი ფუნქციის გრაფიკი. ავიღოთ წერტილი მასზე აბსცისით. მოდით დავხატოთ ტანგენსი ამ ფუნქციის გრაფიკზე. ჩვენ გვინდა შევაფასოთ, თუ რამდენად ციცაბო მაღლდება ფუნქციის გრაფიკი. ამისთვის მოსახერხებელი ღირებულებაა ტანგენსი კუთხის ტანგენსი.
ფუნქციის წარმოებული წერტილის ტოლია ამ წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენტის კუთხის ტანგენტისა.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ტანგენტის დახრის კუთხედ ვიღებთ კუთხეს ტანგენტსა და ღერძის დადებით მიმართულებას შორის.
ზოგჯერ სტუდენტები კითხულობენ რა არის ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი. ეს არის სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს ერთი საერთო წერტილი ამ განყოფილების გრაფიკთან და როგორც ნაჩვენებია ჩვენს ფიგურაში. ის ჰგავს წრეზე ტანგენტს.
მოდი ვიპოვოთ. ჩვენ გვახსოვს, რომ მახვილი კუთხის ტანგენსი ში მართკუთხა სამკუთხედი თანაფარდობის ტოლი მოპირდაპირე მხარესმიმდებარეს. სამკუთხედიდან:
ჩვენ ვიპოვეთ წარმოებული გრაფიკის გამოყენებით ფუნქციის ფორმულის ცოდნის გარეშე. ასეთი პრობლემები ხშირად გვხვდება მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში ნომრის ქვეშ.
არის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ურთიერთობა. შეგახსენებთ, რომ სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით
რაოდენობა ამ განტოლებაში ეწოდება სწორი ხაზის ფერდობზე. ის ტოლია სწორი ხაზის ღერძისადმი დახრილობის კუთხის ტანგენტს.
.
ჩვენ ამას მივიღებთ
გავიხსენოთ ეს ფორმულა. იგი გამოხატავს წარმოებულის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.
ფუნქციის წარმოებული წერტილის ტოლია იმ წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის დახრილობისა.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წარმოებული ტოლია ტანგენსის კუთხის ტანგენტს.
ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ ერთსა და იმავე ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული წარმოებულები სხვადასხვა წერტილში. ვნახოთ, როგორ უკავშირდება წარმოებული ფუნქციის ქცევას.
დავხატოთ რაიმე ფუნქციის გრაფიკი. დაე ეს ფუნქცია გაიზარდოს ზოგიერთ რაიონში და შემცირდეს ზოგში და სხვადასხვა სიჩქარით. და მოდით ამ ფუნქციას ჰქონდეს მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.
ერთ მომენტში ფუნქცია იზრდება. წერტილში დახატული გრაფიკის ტანგენსი ქმნის მახვილ კუთხეს ღერძის დადებითი მიმართულებით. ეს ნიშნავს, რომ წარმოებული წერტილი დადებითია.
იმ მომენტში ჩვენი ფუნქცია მცირდება. ტანგენსი ამ წერტილში ქმნის ბლაგვ კუთხეს ღერძის დადებითი მიმართულებით. ვინაიდან ბლაგვი კუთხის ტანგენსი უარყოფითია, წარმოებული წერტილი უარყოფითია.
აი რა ხდება:
თუ ფუნქცია იზრდება, მისი წარმოებული დადებითია.
თუ ის მცირდება, მისი წარმოებული უარყოფითია.
რა მოხდება მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებზე? ჩვენ ვხედავთ, რომ წერტილებში (მაქსიმალური წერტილი) და (მინიმალური წერტილი) ტანგენსი ჰორიზონტალურია. მაშასადამე, ამ წერტილებში ტანგენსის ტანგენსი არის ნული, ხოლო წარმოებულიც არის ნული.
წერტილი - მაქსიმალური ქულა. ამ დროს ფუნქციის ზრდა იცვლება შემცირებით. შესაბამისად, წარმოებულის ნიშანი იცვლება წერტილში „პლუს“-დან „მინუსამდე“.
წერტილში - მინიმალური წერტილი - წარმოებული ასევე ნულია, მაგრამ მისი ნიშანი იცვლება "მინუსიდან" "პლუს".
დასკვნა: წარმოებულის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია ვისწავლოთ ყველაფერი, რაც გვაინტერესებს ფუნქციის ქცევის შესახებ.
თუ წარმოებული დადებითია, მაშინ ფუნქცია იზრდება.
თუ წარმოებული უარყოფითია, მაშინ ფუნქცია მცირდება.
მაქსიმალურ წერტილში წარმოებული არის ნული და ცვლის ნიშანს "პლუს"-დან "მინუს".
მინიმალურ წერტილში, წარმოებულიც არის ნული და ცვლის ნიშანს "მინუსიდან" "პლუს".
მოდით დავწეროთ ეს დასკვნები ცხრილის სახით:
| იზრდება | მაქსიმალური ქულა | მცირდება | მინიმალური ქულა | იზრდება | |
| + | 0 | - | 0 | + |
მოდით გავაკეთოთ ორი მცირე განმარტება. თქვენ დაგჭირდებათ ერთი მათგანი USE პრობლემების გადაჭრისას. მეორე - პირველ წელს, ფუნქციების და წარმოებულების უფრო სერიოზული შესწავლით.
შესაძლებელია ფუნქციის წარმოებული რაღაც მომენტში ნულის ტოლი იყოს, მაგრამ ფუნქციას ამ მომენტში არც მაქსიმუმი აქვს და არც მინიმალური. ეს არის ე.წ :
ერთ წერტილში, გრაფიკის ტანგენსი ჰორიზონტალურია, ხოლო წარმოებული არის ნული. თუმცა, პუნქტამდე ფუნქცია გაიზარდა - და წერტილის შემდეგ ის აგრძელებს ზრდას. წარმოებულის ნიშანი არ იცვლება - ის რჩება პოზიტიურად, როგორც იყო.
ასევე ხდება, რომ მაქსიმუმის ან მინიმუმის წერტილში წარმოებული არ არსებობს. გრაფიკზე ეს შეესაბამება მკვეთრ წყვეტას, როდესაც შეუძლებელია მოცემულ წერტილში ტანგენტის დახატვა.
როგორ ვიპოვოთ წარმოებული, თუ ფუნქცია მოცემულია არა გრაფიკით, არამედ ფორმულით? ამ შემთხვევაში ეს ეხება
გაკვეთილის მიზნები:
საგანმანათლებლო: გაიმეორეთ თეორიული ინფორმაციათემაზე „წარმოებულების გამოყენება“ ამ თემაზე ცოდნის განზოგადების, კონსოლიდაციისა და გასაუმჯობესებლად.
ასწავლოს მიღებული თეორიული ცოდნის გამოყენება სხვადასხვა სახის გადაწყვეტილებებში მათემატიკური ამოცანები.
განვიხილოთ ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანების გადაჭრის მეთოდები, რომლებიც დაკავშირებულია სირთულის ძირითადი და მოწინავე დონის წარმოებულის კონცეფციასთან.
საგანმანათლებლო:
უნარების სწავლება: აქტივობების დაგეგმვა, ოპტიმალური ტემპით მუშაობა, ჯგუფში მუშაობა, შეჯამება.
განუვითარდეთ საკუთარი შესაძლებლობების შეფასების და მეგობრებთან ურთიერთობის უნარი.
პასუხისმგებლობისა და თანაგრძნობის გაღვივება გუნდში მუშაობის უნარის განვითარებაში. უნარები.. ეხება თანაკლასელების მოსაზრებებს.
განმავითარებელი: შეძლოს შესწავლილი თემის ძირითადი ცნებების ჩამოყალიბება. განუვითარდებათ ჯგუფური მუშაობის უნარები.
გაკვეთილის ტიპი: კომბინირებული:
განზოგადება, უნარების კონსოლიდაცია, ელემენტარული ფუნქციების თვისებების გამოყენება, უკვე ჩამოყალიბებული ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების გამოყენება, წარმოებულების გამოყენება არასტანდარტულ სიტუაციებში.
აღჭურვილობა: კომპიუტერი, პროექტორი, ეკრანი, დარიგებები.
გაკვეთილის გეგმა:
განწყობის ასახვა
2. მოსწავლის ცოდნის განახლება
3. ზეპირი სამუშაო
4. ჯგუფებში დამოუკიდებელი მუშაობა
5. დასრულებული სამუშაოს დაცვა
6. დამოუკიდებელი მუშაობა
7. საშინაო დავალება
8. გაკვეთილის შეჯამება
9. განწყობის ანარეკლი
გაკვეთილის პროგრესი
1. განწყობის ანარეკლი.
ბიჭებო, დილა მშვიდობისა, ამ განწყობით მოვედი თქვენს გაკვეთილზე (მზის გამოსახულებას ვაჩვენებ)!
როგორი განწყობა გაქვთ?
თქვენს მაგიდაზე არის ბარათები მზის, ღრუბლის მიღმა მზის და ღრუბლების გამოსახულებით.
2. საცდელი გამოცდების შედეგების, ასევე ბოლო წლების საბოლოო სერტიფიცირების შედეგების გაანალიზებით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ კურსდამთავრებულთა არაუმეტეს 30%-35% უმკლავდება მათემატიკური ანალიზის ამოცანებს ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან ჩვენს კლასში, ტრენინგის შედეგების მიხედვით და ყველა არ ასრულებს სადიაგნოსტიკო სამუშაოს სწორად. ეს არის ჩვენი არჩევანის მიზეზი, ჩვენ გამოვიყენებთ წარმოებულების გამოყენების უნარს USE პრობლემების გადაჭრისას.
საბოლოო სერტიფიცირების პრობლემების გარდა, ჩნდება კითხვები და ეჭვები იმის შესახებ, თუ რამდენად შეიძლება და იქნება მომავალში ამ სფეროში შეძენილი ცოდნა მოთხოვნადი და რამდენად გამართლებულია დროისა და ჯანმრთელობის დახარჯვა ამ თემის შესწავლაში.
რატომ არის საჭირო წარმოებული? სად ვხვდებით და ვიყენებთ წარმოებულს? შესაძლებელია თუ არა ამის გარეშე მათემატიკაში და არა მარტო?
სტუდენტის შეტყობინება 3 წუთი -
3. ზეპირი სამუშაო.
4. დამოუკიდებელი მუშაობა ჯგუფებში (3 ჯგუფი)
1 ჯგუფის დავალება
) რა არის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა?
2) ა) ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, რომელიც შედგენილია x0 აბსცისის წერტილთან. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.
ბ) ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, რომელიც შედგენილია x0 აბსცისით წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.
1 ჯგუფის პასუხი:
1) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x=x0 წერტილში უდრის ამ ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენტის პირობით კოეფიციენტს აბსცისის x0-ის მქონე წერტილში ტანგენსის დახრის კუთხე (ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ) ტანგენტის მიერ წარმოქმნილი კუთხის ტანგენსი და... Ox ღერძის მიმართულება)
2) A)f1(x)=4/2=2
3) ბ)f1(x)=-4/2=-2
ჯგუფი 2 დავალება
1) რა არის ფიზიკური მნიშვნელობაწარმოებული?
2) მატერიალური წერტილი კანონის მიხედვით მართკუთხედად მოძრაობს
x(t)=-t2+8t-21, სადაც x არის მანძილი საცნობარო წერტილიდან მეტრებში, t არის დრო წამებში, რომელიც იზომება მოძრაობის დაწყებიდან. იპოვეთ მისი სიჩქარე (მეტრებში წამში) t=3 წმ დროს.
3) მატერიალური წერტილი კანონის მიხედვით მართკუთხედად მოძრაობს
x(t)= ½*t2-t-4, სადაც x არის მანძილი საცნობარო წერტილიდან მეტრებში, t არის დრო წამებში, გაზომილი მოძრაობის დასაწყისიდან. დროის რომელ მომენტში (წამებში) იყო მისი სიჩქარე 6 მ/წმ-ის ტოლი?
მე-2 ჯგუფის პასუხი:
1) წარმოებულის ფიზიკური (მექანიკური) მნიშვნელობა ასეთია.
თუ S(t) არის სხეულის მართკუთხა მოძრაობის კანონი, მაშინ წარმოებული გამოხატავს მყისიერ სიჩქარეს t დროს:
V(t)=-x(t)=-2t=8=-2*3+8=2
3) X(t)=1/2t^2-t-4
ჯგუფი 3 დავალება
1) სწორი y= 3x-5 პარალელურია y=x2+2x-7 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტისა. იპოვეთ ტანგენტის წერტილის აბსცისა.
2) ნახატზე ნაჩვენებია (-9;8) ინტერვალზე განსაზღვრული y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი. დაადგინეთ ამ ინტერვალზე მთელი რიცხვი წერტილების რაოდენობა, რომლებშიც f(x) ფუნქციის წარმოებული დადებითია.
მესამე ჯგუფის პასუხი:
1) ვინაიდან სწორი y=3x-5 ტანგენსის პარალელურია, მაშინ ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტი უდრის y=3x-5 სწორი წრფის კუთხური კოეფიციენტის, ანუ k=3.
Y1(x)=3 ,y1=(x^2+2x-7)1=2x=2 2x+2=3
2) მთელი რიცხვი არის წერტილები მთელი აბსცისის მნიშვნელობებით.
f(x) ფუნქციის წარმოებული დადებითია, თუ ფუნქცია იზრდება.
კითხვა: რას იტყვით ფუნქციის წარმოებულზე, რომელიც აღწერილია გამონათქვამით „რაც უფრო შორს არის ტყეში, მით მეტი შეშაა“
პასუხი: წარმოებული დადებითია დეფინიციის მთელ დომენში, რადგან ეს ფუნქცია მონოტონურად იზრდება
6. დამოუკიდებელი მუშაობა (6 ვარიანტი)
7. საშინაო დავალება.
სასწავლო სამუშაო პასუხები:
გაკვეთილის შეჯამება.
”მუსიკას შეუძლია აამაღლოს ან დაამშვიდოს სული, მხატვრობას შეუძლია გაახაროს თვალი, პოეზიას შეუძლია გააღვიძოს გრძნობები, ფილოსოფიას შეუძლია დააკმაყოფილოს გონების მოთხოვნილებები, ინჟინერიას შეუძლია გააუმჯობესოს ადამიანების ცხოვრების მატერიალური მხარე. მაგრამ მათემატიკას შეუძლია მიაღწიოს ყველა ამ მიზანს. ”
ასე თქვა ამერიკელმა მათემატიკოსმა მორის კლაინმა.
მადლობა სამუშაოსთვის!
მასტერკლასი მათემატიკაში
მე-11 კლასში
თემაზე
"ფუნქციის წარმოებული
გამოყენების ამოცანებში"
მათემატიკის მასწავლებელი
მარტინენკო ე.ნ.
2017-2018 სასწავლო წელი
მასტერკლასის მიზანი: განუვითაროს მოსწავლეთა უნარებითეორიული ცოდნის გამოყენება თემაზე „ფუნქციის წარმოებული“ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანების გადასაჭრელად.
ამოცანები
საგანმანათლებლო:მოსწავლეთა ცოდნის შეჯამება და სისტემატიზაცია თემაზე
„ფუნქციის წარმოებული“, განიხილეთ ამ თემაზე ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანების პროტოტიპები, მიეცით სტუდენტებს შესაძლებლობა გამოცადონ თავიანთი ცოდნა პრობლემების დამოუკიდებლად გადაჭრით.
საგანმანათლებლო: ხელი შეუწყოს მეხსიერების, ყურადღების, თვითშეფასების და თვითკონტროლის უნარების განვითარებას; საბაზისო ფორმირება ძირითადი კომპეტენციები(შედარება, შედარება, ობიექტების კლასიფიკაცია, მოცემული ალგორითმების საფუძველზე საგანმანათლებლო პრობლემის გადაჭრის ადეკვატური გზების განსაზღვრა, გაურკვევლობის სიტუაციებში დამოუკიდებლად მოქმედების უნარი, საკუთარი საქმიანობის კონტროლი და შეფასება, სიძნელეების მიზეზების პოვნა და აღმოფხვრა).
საგანმანათლებლო: ხელი შეუწყოს:
მოსწავლეებში სწავლისადმი პასუხისმგებელი დამოკიდებულების ჩამოყალიბება;
მათემატიკისადმი მდგრადი ინტერესის განვითარება;
პოზიტიური შინაგანი მოტივაციის შექმნა მათემატიკის შესასწავლად.
ტექნოლოგიები: ინდივიდუალურად დიფერენცირებული სწავლება, ისტ.
სწავლების მეთოდები: ვერბალური, ვიზუალური, პრაქტიკული, პრობლემური.
მუშაობის ფორმები: ინდივიდუალური, ფრონტალური, წყვილებში.
აღჭურვილობა და მასალა გაკვეთილისთვის:პროექტორი, ეკრანი, კომპიუტერი, სიმულატორი(დანართი No1), პრეზენტაცია გაკვეთილისთვის(დანართი No2), ინდივიდუალურად დიფერენცირებული ბარათებისთვის დამოუკიდებელი მუშაობაწყვილებში(დანართი No3), ინტერნეტ საიტების სია, ინდივიდუალურად დიფერენცირებული საშინაო დავალება (დანართი No4).
ახსნა მასტერკლასისთვის.
ეს მასტერკლასი ტარდება მე-11 კლასში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებლად. მიზნად ისახავს თეორიული მასალის გამოყენებას თემაზე „ფუნქციის წარმოებული“ საგამოცდო ამოცანების ამოხსნისას.
მასტერკლასის ხანგრძლივობა- 20 წთ.
მასტერკლასის სტრუქტურა
I. საორგანიზაციო მომენტი -1 წთ.
II თემის მესიჯი, მასტერკლასის მიზნები, საგანმანათლებლო საქმიანობის მოტივაცია - 1 წთ.
III. ფრონტალური სამუშაო. ტრენინგი „დავალებები No. 14 BASE, No. 7 USE PROFILE“. სიმულატორთან მუშაობის ანალიზი - 7 წთ.
IV.ინდივიდუალურად - დიფერენცირებული მუშაობა წყვილებში. დამოუკიდებელი გადაწყვეტაპრობლემები No12. (პროფილი) თანატოლთა მიმოხილვა - 9 წთ. ონლაინ ტესტირება (BASE) ტესტის შედეგების ანალიზი - 8 წთ
V. ინდივიდუალური საშინაო დავალების შემოწმება. - 1 წთ.
VI. ინდივიდუალურად - დიფერენცირებული საშინაო დავალება -1 წთ.
VII. საკონტროლო ტესტირება 20 წუთი (4 ვარიანტი)
მასტერკლასის პროგრესი
მე .ორგანიზაციული მომენტი.
II .თემის მესიჯი, მასტერკლასის მიზნები, სასწავლო საქმიანობის მოტივაცია.
(სლაიდები 1-2, დანართი No2)
ჩვენი გაკვეთილის თემაა „ფუნქციის წარმოებული ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანები“. ყველამ იცის გამონათქვამი "პატარა პატარაა, მაგრამ ძვირია". მათემატიკაში ერთ-ერთი ასეთი "კოჭის სარქველი" არის წარმოებული. წარმოებული გამოიყენება ბევრის გადასაჭრელად პრაქტიკული პრობლემებიმათემატიკა, ფიზიკა, ქიმია, ეკონომიკა და სხვა დისციპლინები. ის საშუალებას გაძლევთ მარტივად, ლამაზად და საინტერესოდ მოაგვაროთ პრობლემები.
თემა „წარმოებული“ წარმოდგენილია საბაზისო საფეხურის No14 და პროფილის საფეხურის No7, 12, 18 და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანებში.
თქვენ მუშაობდით 2018 წლის მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის საკონტროლო საზომი მასალების სტრუქტურისა და შინაარსის მარეგულირებელ დოკუმენტებთან. გამოიტანეთ დასკვნა იმის შესახებ, თუ რა ცოდნა და უნარები გჭირდებათ წარმატებით გადაჭრათ ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანები თემაზე „წარმოებული“.
(სლაიდები 3-4, დანართი No2)
სწავლობდი „მათემატიკაში შინაარსის ელემენტების კოდიფიკატორი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის საკონტროლო საზომი მასალების შედგენისთვის“,
„კურსდამთავრებულთა მომზადების დონის მოთხოვნების კოდიფიკატორი“, „საკონტროლო საზომი მასალების სპეციფიკაცია“, „2018 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის საკონტროლო საზომი მასალების საჩვენებელი ვერსია“ დააღმოაჩინა რა ცოდნა და უნარებია საჭირო ფუნქციისა და მისი წარმოებულის შესახებ, რომ წარმატებით გადაჭრას პრობლემები თემაზე „წარმოებული“.
აუცილებელი
- იცოდე
წარმოებულების გამოთვლის წესები;
ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები;
წარმოებულის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა;
ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის განტოლება;
ფუნქციის შესწავლა მისი წარმოებულის გამოყენებით.
- შეეძლოს
შეასრულოს მოქმედებები ფუნქციებით (აღწერეთ ფუნქციის ქცევა და თვისებები გრაფიკის გამოყენებით, იპოვეთ მისი უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები).
- გამოყენება
შეიძინა ცოდნა და უნარები პრაქტიკულ საქმიანობასა და ყოველდღიურ ცხოვრებაში.
თქვენ გაქვთ თეორიული ცოდნა თემაზე "წარმოებული". დღეს ჩვენისწავლეთ ცოდნის გამოყენება წარმოებული ფუნქციის შესახებ გამოყენების პრობლემების გადასაჭრელად.(სლაიდი 4, დანართი No2)
ეს არ არის უმიზეზოდ ეს თქვა არისტოტელემ"გონება არა მხოლოდ ცოდნაშია, არამედ ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენების უნარშიც"(სლაიდი 5, დანართი No2)
გაკვეთილის ბოლოს დავუბრუნდებით ჩვენი გაკვეთილის მიზანს და გავარკვევთ, მივაღწიეთ თუ არა მას?
III . ფრონტალური სამუშაო.ტრენინგი „დავალებები No14 BASE No. 7 USE PROFILE“ (დანართი No1). სიმულატორთან მუშაობის ანალიზი.
აირჩიეთ სწორი პასუხი შემოთავაზებული ოთხიდან.
თქვენი აზრით, რა არის No7 დავალების შესრულების სირთულე?
რას ფიქრობთ ტიპიური შეცდომებინება დართეთ კურსდამთავრებულებს ჩააბარონ გამოცდა ამ პრობლემის გადაჭრისას?
როდესაც პასუხობთ დავალების No14 BASE და No. 7 PROFILE კითხვებს, თქვენ უნდა შეგეძლოთ აღწეროთ ფუნქციის ქცევა და თვისებები წარმოებულის გრაფიკის გამოყენებით, ხოლო წარმოებული ფუნქციის ქცევა და თვისებები ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით. . და ამისთვის საჭიროა კარგი თეორიული ცოდნა შემდეგ თემებზე: „წარმოებულის გეომეტრიული და მექანიკური მნიშვნელობა. ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტი. წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესასწავლად“.
გაანალიზეთ რომელმა ამოცანებმა შეგიქმნათ სირთულეები?
რა თეორიული საკითხების ცოდნა გჭირდებათ?
IV. ონლაინ ტესტირება დავალებებისთვის No. 14 (BASE)ტესტის შედეგების ანალიზი.
საიტი კლასში ტესტირებისთვის:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/
ვინ არ დაუშვა შეცდომები?
ვის გაუჭირდა ტესტირება? რატომ?
რა დავალებებში დაუშვა შეცდომები?
დაასკვნე, რა თეორიული საკითხები უნდა იცოდე?
ინდივიდუალურად - დიფერენცირებული მუშაობა წყვილებში. პრობლემის დამოუკიდებელი გადაჭრა No12. (პროფილი)თანატოლთა მიმოხილვა.(დანართი No3)
დაიმახსოვრეთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის №12 ამოცანების გადაჭრის ალგორითმი ექსტრემალური ქულების, ფუნქციის ექსტრემების, ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების დასადგენად ინტერვალზე წარმოებულის გამოყენებით.
ამოცანების ამოხსნა წარმოებულის გამოყენებით
მოსწავლეებს ეძლევათ პრობლემა:
„დაფიქრდით, შესაძლებელია თუ არა მე-12 ამოცანების სხვა გზით გადაჭრა, წარმოებულის გამოყენების გარეშე?
1 წყვილი
2 წყვილი
3 წყვილი
4 წყვილი
(მოსწავლეები თავიანთ ამოხსნას იცავენ დაფაზე ამოცანების ამოხსნის ძირითადი ეტაპების ჩაწერით. მოსწავლეები წარმოაჩენენ No2 ამოცანის ამოხსნის ორ გზას).
პრობლემის მოგვარება. დასკვნა სტუდენტებმა უნდა გააკეთონ:
„ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის №12 ზოგიერთი პრობლემა ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობების პოვნის შესახებ შეიძლება გადაიჭრას წარმოებულის გამოყენების გარეშე, ფუნქციების თვისებებზე დაყრდნობით“.
გაანალიზეთ რა შეცდომა დაუშვით დავალებაში?
რა თეორიული კითხვების გადახედვა გჭირდებათ?
V. ინდივიდუალური საშინაო დავალების შემოწმება. (სლაიდები 7-8, დანართი No2)
ვეგელმან ვ.-ს მიეცა ინდივიდუალური საშინაო დავალება: No18 ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების სახელმძღვანელოებიდან.
(სტუდენტი წარმოადგენს პრობლემის გადაწყვეტას, ეყრდნობა ფუნქციონალურ-გრაფიკულ მეთოდს, როგორც ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის No18 ამოცანების ამოხსნის ერთ-ერთ მეთოდს და იძლევა ამ მეთოდის მოკლე განმარტებას).
VII. ინდივიდუალურად დიფერენცირებული საშინაო დავალება
(სლაიდი 9, აპლიკაცია No2), (დანართი No4).
მოვამზადე ინტერნეტ საიტების სია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებლად. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაიაროთ ონლაინ ტესტირება ამ საიტებზე. შემდეგი გაკვეთილისთვის საჭიროა: 1) გაიმეოროთ თეორიული მასალა თემაზე „ფუნქციის წარმოებული“;
2) ვებგვერდზე „მათემატიკის ამოცანების ღია ბანკი“ (http://mathege.ru/ ) მოძებნოს No14 BASE AND No 7 და 12 PROFILE ამოცანების პროტოტიპები და ამოხსნას მინიმუმ 10 PROFILE ამოცანა;
3) Vegelman V., ამოცანები ამოხსნა პარამეტრებით (დანართი 4). ამოცანები 1-8 (ვარიანტი 1).ძირითადი დონე
VIII. გაკვეთილის ქულები.
რა შეფასებას მისცემდით გაკვეთილზე?
როგორ ფიქრობთ, შეგეძლოთ უკეთესად გამოსულიყავით კლასში?
IX. გაკვეთილის შეჯამება. ანარეკლი
მოდით შევაჯამოთ ჩვენი სამუშაო. რა იყო გაკვეთილის მიზანი? როგორ ფიქრობთ, ეს მიღწეულია?
შეხედე დაფას და ერთი წინადადებით, ფრაზის დასაწყისის არჩევით, განაგრძე წინადადება, რომელიც ყველაზე მეტად მოგწონს.
ვგრძნობდი...
ვისწავლე...
მე გავაკეთე...
მე შევძელი...
შევეცდები…
ეს გამიკვირდა …
მინდოდა...
შეგიძლიათ თქვათ, რომ გაკვეთილზე თქვენი ცოდნა გამდიდრდა?
ასე რომ, თქვენ გაიმეორეთ თეორიული კითხვები ფუნქციის წარმოებულთან დაკავშირებით, გამოიყენეთ თქვენი ცოდნა პროტოტიპის USE ამოცანების ამოხსნისას (No. 14 BASIC LEVEL No. 7,12 PROFILE LEVEL) და სტუდენტმა V. Vegelman-მა დაასრულა დავალება No18 პარამეტრით, რომელიც არის მოწინავე ხარისხის სირთულის ამოცანა.
სასიამოვნო იყო თქვენთან მუშაობა და იმედი მაქვს, რომ მათემატიკის გაკვეთილებზე მიღებული ცოდნის წარმატებით გამოყენებას შეძლებთ არა მხოლოდ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარება, არამედ შემდგომ სწავლაშიც.
გაკვეთილი მინდა დავასრულო იტალიელი ფილოსოფოსის სიტყვებითთომა აკვინელი”ცოდნა ისეთი ძვირფასია, რომ არ არის სირცხვილი მისი ნებისმიერი წყაროდან მოპოვება.”(სლაიდი 10, დანართი No2).
გისურვებთ წარმატებებს ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადებაში!
გადახედვა:
პრეზენტაციის გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში და შედით მასში: https://accounts.google.com
სლაიდის წარწერები:
მზადება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის სიმულატორი თემაზე „დერივატივი“ დავალება No14 საბაზო დონე, No7, 12 პროფილის დონე
f(x) f / (x) x ნახატზე ნაჩვენებია y = f (x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც მოცემულია ინტერვალზე (- 8; 8). გამოვიკვლიოთ გრაფიკის თვისებები და შევძლებთ ვუპასუხოთ ბევრ კითხვას ფუნქციის თვისებებთან დაკავშირებით, თუმცა თავად ფუნქციის გრაფიკი არ არის წარმოდგენილი! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 6 3 0 -5 იპოვეთ წერტილები, რომლებშიც f / (x) =0 (ეს არის ფუნქციის ნულები). + – – + +
დავალება No14 მათემატიკა საბაზო საფეხური
ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და Ox ღერძზე A, B, C და D წერტილები მონიშნულია. გრაფიკის გამოყენებით შეადარეთ თითოეული წერტილი ფუნქციის მახასიათებლებსა და მის წარმოებულს. A B C D 1) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის უარყოფითი, ხოლო ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში არის დადებითი 2) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში დადებითია და ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა. წერტილში უარყოფითია 3) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის უარყოფითი, ხოლო ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში არის უარყოფითი 4) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის დადებითი, ხოლო მნიშვნელობა ფუნქციის წარმოებული წერტილში დადებითია
No1 ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და Ox ღერძზე A, B, C და D წერტილები მონიშნულია. გრაფიკის გამოყენებით შეადარეთ თითოეული წერტილი ფუნქციისა და მისი წარმოებულის მახასიათებლებს. 1) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში დადებითია, ხოლო ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში არის უარყოფითი 2) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის უარყოფითი და ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილი უარყოფითია 3) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის დადებითი, ხოლო ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში არის დადებითი 4) ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში არის უარყოფითი, ხოლო წარმოებულის მნიშვნელობა ფუნქცია წერტილში არის დადებითი A B C D
ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი. a, b, c, d და e წერტილები განსაზღვრავენ ინტერვალებს Ox ღერძზე. გრაფიკის გამოყენებით შეადარეთ თითოეული ინტერვალი ფუნქციის ან მისი წარმოებულის მახასიათებლებს. ა) (ა; ბ) ბ) (ბ; გ) გ) (გ; დ) დ) (დ; ე) 1) ფუნქციის მნიშვნელობები დადებითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში 2) მნიშვნელობები ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში 3) ფუნქციის წარმოებულების მნიშვნელობები დადებითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში 4) ფუნქციის მნიშვნელობები უარყოფითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში
ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი. რიცხვები a, b, c, d და e განსაზღვრავენ ინტერვალებს Ox ღერძზე. გრაფიკის გამოყენებით შეადარეთ თითოეული ინტერვალი ფუნქციის ან მისი წარმოებულის მახასიათებლებს. ა) (ა;ბ) ბ) (ბ;გ) გ) (გ;დ) დ) (დ;ე) 1) ფუნქციის მნიშვნელობები დადებითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში 2) მნიშვნელობები ფუნქციის უარყოფითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში 3) წარმოებული ფუნქციების მნიშვნელობები უარყოფითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში 4) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობები დადებითია ინტერვალის თითოეულ წერტილში
ნახატზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი და მასზე დახატული ტანგენტები A, B, C და D აბსცისებით წერტილებზე. A B C D 1) - 1.5 2) 0.5 3) 2 4) - 0.3
ნახატზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი და მასზე დახატული ტანგენტები A, B, C და D აბსცისის წერტილებში. A B C D 1) 23 2) - 12 3) - 113 4) 123
დავალება No7 მათემატიკის პროფილის დონე
წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის ამოცანები
1) ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x 0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში. -2 -0.5 2 0.5 იფიქრე! დაფიქრდი! უფლება! დაფიქრდი! x 0 წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა: k = tan α ტანგენტის დახრის კუთხე Ox-ის ღერძზე ბლაგვია, რაც ნიშნავს k.
5 11 8 2) უწყვეტი ფუნქცია y = f(x) მოცემულია ინტერვალზე (-6; 7). ფიგურაში ნაჩვენებია მისი გრაფიკი. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია y = 6 წრფის პარალელურად. შეამოწმეთ y = f(x) y x 3 დაფიქრდით! დაფიქრდი! დაფიქრდი! უფლება! - 6 7 y = 6 . რღვევის წერტილი. ამ ეტაპზე წარმოებული არ არსებობს! O -4 3 5 1.5
ფუნქციის მახასიათებლების განსაზღვრის ამოცანები მისი წარმოებულის გრაფიკიდან
3) ნახატზე ნაჩვენებია (- 6; 8) ინტერვალზე მოცემული ფუნქციის წარმოებული y = f / (x) გრაფიკი. გამოიკვლიეთ ფუნქცია y = f (x) ექსტრემისთვის და მიუთითეთ მისი უკიდურესი წერტილების რაოდენობა. 2 1 4 5 სიმართლეს არ შეესაბამება! არ შეესაბამება სიმართლეს! უფლება! არ შეესაბამება სიმართლეს! შეამოწმეთ (2) f(x) f / (x) -2 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x -5 + min max O
4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) ნახატზე ნაჩვენებია [-5;5] ინტერვალზე მითითებული ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი. გამოიკვლიეთ ფუნქცია ერთფეროვნებაზე და მიუთითეთ უმაღლესი წერტილიმაქსიმუმ. 3 2 4 5 იფიქრე! დაფიქრდი! უფლება! დაფიქრდი! y = f / (x) + + + - - О - f / (x) - + - + - + f(x) -4 -2 0 3 4 ორი მაქსიმალური წერტილიდან ყველაზე დიდი x max = 3 max max წ
7) ნახატზე ნაჩვენებია ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი. იპოვეთ ამ ფუნქციის გაზრდის ინტერვალის სიგრძე. შეამოწმეთ O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 იფიქრეთ! + დაფიქრდი! უფლება! იფიქრე! y x 3 y = f / (x)
4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) ნახატზე ნაჩვენებია [-5;5] ინტერვალზე მითითებული ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი. შეისწავლეთ ფუნქცია y = f (x) ერთფეროვნებისთვის და მიუთითეთ კლებადი ინტერვალების რაოდენობა. 3 2 4 1 იფიქრე! დაფიქრდი! უფლება! დაფიქრდი! y = f / (x) f(x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + O - - - y
ფუნქციის გრაფიკიდან წარმოებულის მახასიათებლების განსაზღვრის ამოცანები.
ნახატზე ნაჩვენებია დიფერენცირებადი ფუნქციის y = f (x) გრაფიკი. აბსცისის ღერძზე მონიშნულია ცხრა წერტილი: x 1, x 2, ..., x 9. იპოვეთ ყველა მონიშნული წერტილი, სადაც f(x) ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ქულების რაოდენობა.
ნახატზე ნაჩვენებია (a; b) ინტერვალზე განსაზღვრული y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი. დაადგინეთ მთელი რიცხვის რაოდენობა, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული დადებითია. ა) ბ) თავად გადაწყვიტეთ! გამოსავალი. თუ გაიზრდება. მთელი რიცხვის ამონახსნები: x=-2; x=-1; x=5; x=6. მათი რიცხვი არის 4. მთელი რიცხვის ამონახსნები: x=2; x=3; x=4; x=10; x=11. მათი რიცხვია 5. პასუხი: 4. პასუხი: 5.
წარმოებულის ფიზიკურ მნიშვნელობაზე პრობლემები
პასუხი: 3 პასუხი: 14
დავალება No12 მათემატიკის პროფილის დონე
დამოუკიდებელი მუშაობა წყვილებში ამოცანა No12 პროფილის დონე
გადახედვა:
დანართი 3 ინდივიდუალური ბარათი No12
1. იპოვნეთ ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი1 იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური წერტილი
2. იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი
2 იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური წერტილი
ლინნიკ დ.ვოვნენკო ი
1.იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა
1. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა
სეგმენტზე 
სეგმენტზე 
ვეგელმან ვ.
ლოგვინიუკ ა.
1. იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი
1. იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური წერტილი
2. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა
2. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა
სეგმენტზე 
სეგმენტზე 
ლეონტიევა ა.ისაენკო კ.
$y = f(x)$ ფუნქციის წარმოებული მოცემულ წერტილში $x_0$ არის ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი მისი არგუმენტის შესაბამის ზრდასთან, იმ პირობით, რომ ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის:
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
დიფერენციაცია არის წარმოებულის პოვნის ოპერაცია.
ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის წარმოებულების ცხრილი
| ფუნქცია | წარმოებული |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $ cosx $ |
| $ cosx $ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
დიფერენცირების ძირითადი წესები
1. ჯამის (განსხვავების) წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს (განსხვავებას).
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
იპოვეთ $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ ფუნქციის წარმოებული
ჯამის (განსხვავების) წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს (განსხვავებას).
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. პროდუქტის წარმოებული
$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
იპოვეთ წარმოებული $f(x)=4x cosx$
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. კოეფიციენტის წარმოებული
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
იპოვეთ წარმოებული $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია გარე ფუნქციის წარმოებულისა და შინაგანი ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლის.
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა
თუ მატერიალური წერტილიმოძრაობს სწორხაზოვნად და მისი კოორდინატი იცვლება დროის მიხედვით $x(t)$ კანონის მიხედვით, შემდეგ მყისიერი სიჩქარემოცემული წერტილის ტოლია ფუნქციის წარმოებული.
წერტილი მოძრაობს კოორდინატთა ხაზის გასწვრივ კანონის მიხედვით $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, სადაც $x(t)$ არის კოორდინატი $t$-ის დროს. დროის რომელ მომენტში იქნება წერტილის სიჩქარე $12$-ის ტოლი?
1. სიჩქარე არის $x(t)$-ის წარმოებული, მოდით ვიპოვოთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული
$v(t) = x"(t) = 1.5 2t -3 = 3t -3$
2. იმის საპოვნელად, რომელ მომენტში $t$-ის სიჩქარე უდრის $12$-ს, ვქმნით და ვხსნით განტოლებას:
წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა
შეგახსენებთ, რომ წრფის განტოლება, რომელიც არ არის კოორდინატთა ღერძების პარალელურად, შეიძლება დაიწეროს $y = kx + b$ სახით, სადაც $k$ არის წრფის დახრილობა. კოეფიციენტი $k$ უდრის დახრილობის კუთხის ტანგენტს სწორ ხაზსა და $Ox$ ღერძის დადებით მიმართულებას შორის.
$f(x)$ ფუნქციის წარმოებული $x_0$ წერტილში უდრის ამ მომენტში გრაფიკის ტანგენტის $k$ დახრილობას:
ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია შევქმნათ ზოგადი თანასწორობა:
$f"(x_0) = k = tanα$
ფიგურაში $f(x)$ ფუნქციის ტანგენსი იზრდება, შესაბამისად კოეფიციენტი $k > 0$. ვინაიდან $k > 0$, მაშინ $f"(x_0) = tanα > 0$. კუთხე $α$ ტანგენტსა და $Ox$ დადებით მიმართულებას შორის მწვავეა.
ფიგურაში $f(x)$ ფუნქციის ტანგენსი მცირდება, შესაბამისად, კოეფიციენტი $k.< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
ფიგურაში $f(x)$ ფუნქციის ტანგენსი პარალელურია $Ox$ ღერძის, შესაბამისად, კოეფიციენტი $k = 0$, შესაბამისად, $f"(x_0) = tan α = 0$. წერტილი $x_0$, რომელზეც გამოძახებულია $f "(x_0) = 0$ ექსტრემალური.
ნახატზე ნაჩვენებია $y=f(x)$ ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, რომელიც შედგენილია აბსცისით $x_0$. იპოვეთ $f(x)$ ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა $x_0$ წერტილში.
გრაფიკის ტანგენსი იზრდება, შესაბამისად, $f"(x_0) = tan α > 0$
იმისათვის, რომ ვიპოვოთ $f"(x_0)$, ვპოულობთ დახრილობის კუთხის ტანგენტს $Ox$ ღერძის ტანგენტსა და დადებით მიმართულებას შორის. ამისათვის ვაშენებთ $ABC$ სამკუთხედის ტანგენტს.
ვიპოვოთ $BAC$ კუთხის ტანგენსი. (მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან.)
$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0.25
$f"(x_0) = tg BAC = 0.25$
პასუხი: $0.25$
წარმოებული ასევე გამოიყენება ფუნქციის ზრდისა და შემცირების ინტერვალების საპოვნელად:
თუ $f"(x) > 0$ ინტერვალზე, მაშინ ფუნქცია $f(x)$ იზრდება ამ ინტერვალზე.
თუ $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
ნახატზე ნაჩვენებია $y = f(x)$ ფუნქციის გრაფიკი. $х_1,х_2,х_3...х_7$ წერტილებს შორის იპოვეთ ის წერტილები, რომლებზეც ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია.
პასუხად ჩაწერეთ ამ ქულების რაოდენობა.
პირველ რიგში, შეეცადეთ იპოვოთ ფუნქციის დომენი:
მოახერხე? მოდით შევადაროთ პასუხები:
ყველაფერი რიგზეა? კარგად გააკეთე!
ახლა შევეცადოთ ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი:
იპოვე? მოდით შევადაროთ:
გაიგე? კარგად გააკეთე!
მოდით კვლავ ვიმუშაოთ გრაფიკებთან, მხოლოდ ახლა ცოტა უფრო რთულია - იპოვნეთ როგორც ფუნქციის განსაზღვრის დომენი, ასევე ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი.
როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის დომენი და დიაპაზონი (მოწინავე)
აი რა მოხდა:
მე ვფიქრობ, რომ თქვენ გაარკვიეთ გრაფიკები. ახლა შევეცადოთ ვიპოვოთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი ფორმულების შესაბამისად (თუ არ იცით როგორ გააკეთოთ ეს, წაიკითხეთ განყოფილება):
მოახერხე? მოდით შევამოწმოთ პასუხები:
- , ვინაიდან რადიკალური გამოხატულება უნდა იყოს ნულის მეტი ან ტოლი.
- , რადგან არ შეიძლება ნულზე გაყოფა და რადიკალური გამოხატულება არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.
- , ვინაიდან, შესაბამისად, ყველასთვის.
- , რადგან ნულზე ვერ გაყოფთ.
თუმცა კიდევ ერთი უპასუხო პუნქტი გვაქვს...
კიდევ ერთხელ გავიმეორებ განმარტებას და ხაზს ვუსვამ:
შეამჩნიე? სიტყვა "მარტოხელა" ჩვენი განმარტების ძალიან, ძალიან მნიშვნელოვანი ელემენტია. ვეცდები თითებით აგიხსნა.
ვთქვათ, გვაქვს სწორი ხაზით განსაზღვრული ფუნქცია. . ამავე დროს, ჩვენ ამ მნიშვნელობას ვცვლით ჩვენს „წესში“ და ვიღებთ ამას. ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება ერთ მნიშვნელობას. შეგვიძლია მაგიდის გაკეთებაც კი სხვადასხვა მნიშვნელობადა დახატეთ ამ ფუნქციის გრაფიკი ამის დასადასტურებლად.
„შეხედე! - თქვენ ამბობთ, "ორჯერ ხდება!" იქნებ პარაბოლა არ არის ფუნქცია? არა, ასეა!
ის ფაქტი, რომ „ ” ორჯერ ჩნდება, არ არის მიზეზი, რომ პარაბოლას დავაბრალოთ გაურკვევლობაში!
ფაქტია, რომ გაანგარიშებისას ერთი თამაში მივიღეთ. და გაანგარიშებისას მივიღეთ ერთი თამაში. ასე რომ, პარაბოლა არის ფუნქცია. შეხედეთ გრაფიკს:
გაიგე? თუ არა, აქ არის ცხოვრებისეული მაგალითი, რომელიც ძალიან შორს არის მათემატიკისგან!
ვთქვათ, გვყავს განმცხადებელთა ჯგუფი, რომლებიც შეხვდნენ საბუთების წარდგენისას და თითოეულმა მათგანმა საუბარში უთხრა, სად ცხოვრობს:
დამეთანხმებით, სავსებით შესაძლებელია რამდენიმე ბიჭმა ერთ ქალაქში იცხოვროს, მაგრამ შეუძლებელია ერთმა ადამიანმა ერთდროულად რამდენიმე ქალაქში იცხოვროს. ეს ჩვენი "პარაბოლის" ლოგიკური წარმოდგენაა - რამდენიმე განსხვავებული X შეესაბამება იმავე თამაშს.
ახლა მოდით მოვიყვანოთ მაგალითი, სადაც დამოკიდებულება არ არის ფუნქცია. ვთქვათ, იგივე ბიჭებმა გვითხრეს, რა სპეციალობებზე მიმართეს:
აქ სრულიად განსხვავებული ვითარება გვაქვს: ერთ ადამიანს შეუძლია მარტივად წარადგინოს დოკუმენტები ერთი ან რამდენიმე მიმართულებით. ანუ ერთი ელემენტიკომპლექტები მოთავსებულია კორესპონდენციაში რამდენიმე ელემენტისიმრავლეები. შესაბამისად, ეს არ არის ფუნქცია.
მოდით შეამოწმოთ თქვენი ცოდნა პრაქტიკაში.
სურათებიდან დაადგინეთ რა არის ფუნქცია და რა არა:
გაიგე? და აი ეს არის პასუხები:
- ფუნქცია არის - B, E.
- ფუნქცია არ არის - A, B, D, D.
გეკითხებით რატომ? დიახ, აი რატომ:
ყველა სურათზე გარდა IN)და ე)არის რამდენიმე ერთისთვის!
დარწმუნებული ვარ, რომ ახლა თქვენ შეგიძლიათ მარტივად განასხვავოთ ფუნქცია არაფუნქციისგან, თქვათ რა არის არგუმენტი და რა არის დამოკიდებული ცვლადი, ასევე განსაზღვროთ არგუმენტის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი და ფუნქციის განსაზღვრის დიაპაზონი. . მოდით გადავიდეთ შემდეგ განყოფილებაზე - როგორ დავაყენოთ ფუნქცია?
ფუნქციის მითითების მეთოდები
როგორ ფიქრობთ, რას ნიშნავს სიტყვები? "ფუნქციის დაყენება"? ასეა, ეს ნიშნავს ყველას აუხსნას რა ფუნქციაზეა საუბარი ამ შემთხვევაში. მეტიც, ისე ახსენი, რომ ყველამ სწორად გაიგოს და შენი ახსნა-განმარტების საფუძველზე ადამიანების მიერ დახატული ფუნქციების გრაფიკები იგივე იყოს.
როგორ შეიძლება ამის გაკეთება? როგორ დავაყენოთ ფუნქცია?უმარტივესი მეთოდი, რომელიც უკვე არაერთხელ იქნა გამოყენებული ამ სტატიაში ფორმულის გამოყენებით.ჩვენ ვწერთ ფორმულას და მასში მნიშვნელობის ჩანაცვლებით ვიანგარიშებთ მნიშვნელობას. და როგორც გახსოვთ, ფორმულა არის კანონი, წესი, რომლითაც ჩვენთვის და სხვა ადამიანისთვის ნათელი ხდება, თუ როგორ იქცევა X Y-ად.
ჩვეულებრივ, ეს არის ზუსტად ის, რასაც ისინი აკეთებენ - დავალებებში ჩვენ ვხედავთ მზა ფუნქციებს, რომლებიც მითითებულია ფორმულებით, თუმცა, არსებობს ფუნქციის დაყენების სხვა გზები, რომელიც ყველას ავიწყდება და, შესაბამისად, კითხვა "სხვაგვარად როგორ შეგიძლიათ დააყენოთ ფუნქცია?" ბაფლები. მოდი ყველაფერი წესრიგში გავიგოთ და დავიწყოთ ანალიტიკური მეთოდით.
ფუნქციის დაზუსტების ანალიტიკური მეთოდი
ანალიტიკური მეთოდი არის ფუნქციის დაზუსტება ფორმულის გამოყენებით. ეს არის ყველაზე უნივერსალური, ყოვლისმომცველი და ცალსახა მეთოდი. თუ თქვენ გაქვთ ფორმულა, მაშინ თქვენ იცით აბსოლუტურად ყველაფერი ფუნქციის შესახებ - შეგიძლიათ გააკეთოთ მისგან მნიშვნელობების ცხრილი, შეგიძლიათ შექმნათ გრაფიკი, განსაზღვროთ სად იზრდება ფუნქცია და სად მცირდება, ზოგადად, შეისწავლეთ იგი. სრულად.
განვიხილოთ ფუნქცია. რა განსხვავებაა?
"რას ნიშნავს?" - გეკითხებით. ახლავე აგიხსნი.
შეგახსენებთ, რომ აღნიშვნაში ფრჩხილებში გამოსახულებას არგუმენტი ეწოდება. და ეს არგუმენტი შეიძლება იყოს ნებისმიერი გამოხატულება, სულაც არ არის მარტივი. შესაბამისად, როგორიც არ უნდა იყოს არგუმენტი (გამონათქვამი ფრჩხილებში), მის ნაცვლად ჩავწერთ გამოხატულებაში.
ჩვენს მაგალითში ასე გამოიყურება:
განვიხილოთ კიდევ ერთი ამოცანა, რომელიც დაკავშირებულია ფუნქციის დაზუსტების ანალიტიკურ მეთოდთან, რომელიც გექნებათ გამოცდაზე.
იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა at.
დარწმუნებული ვარ, თავიდან შეგეშინდა, როცა ასეთი გამოთქმა დაინახა, მაგრამ ამაში საშინელი არაფერია!
ყველაფერი იგივეა, რაც წინა მაგალითში: როგორიც არ უნდა იყოს არგუმენტი (გამონათქვამი ფრჩხილებში), ჩვენ ჩავწერთ მის ნაცვლად გამოხატულებაში. მაგალითად, ფუნქციისთვის.
რა უნდა გაკეთდეს ჩვენს მაგალითში? ამის ნაცვლად თქვენ უნდა დაწეროთ და ამის ნაცვლად -:
შეამცირეთ მიღებული გამონათქვამი:
ესე იგი!
დამოუკიდებელი მუშაობა
ახლა შეეცადეთ თავად იპოვოთ შემდეგი გამონათქვამების მნიშვნელობა:
- , თუ
- , თუ
მოახერხე? მოდით შევადაროთ ჩვენი პასუხები: ჩვენ მიჩვეულები ვართ, რომ ფუნქციას აქვს ფორმა
ჩვენს მაგალითებშიც კი ზუსტად ასე განვსაზღვრავთ ფუნქციას, მაგრამ ანალიტიკურად შესაძლებელია მაგ.
სცადეთ თავად შექმნათ ეს ფუნქცია.
მოახერხე?
ასე ავაშენე.
რა განტოლება გამოვიყვანეთ საბოლოოდ?
უფლება! ხაზოვანი, რაც ნიშნავს, რომ გრაფიკი იქნება სწორი ხაზი. მოდით შევქმნათ ცხრილი, რათა განვსაზღვროთ რომელი წერტილები ეკუთვნის ჩვენს ხაზს:
ზუსტად ამაზე ვსაუბრობდით... ერთი რამდენიმეს შეესაბამება.
შევეცადოთ დავხატოთ რა მოხდა:
არის ის, რაც მივიღეთ ფუნქცია?
მართალია, არა! რატომ? შეეცადეთ უპასუხოთ ამ კითხვას ნახატის დახმარებით. რა მიიღე?
"რადგან ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება რამდენიმე მნიშვნელობას!"
რა დასკვნის გაკეთება შეგვიძლია აქედან?
ასეა, ფუნქცია ყოველთვის არ შეიძლება გამოხატული იყოს ცალსახად და ის, რაც "შენიღბულია" ფუნქციად, ყოველთვის არ არის ფუნქცია!
ფუნქციის მითითების ტაბულური მეთოდი
როგორც სახელიდან ჩანს, ეს მეთოდი მარტივი ნიშანია. დიახ, დიახ. როგორც მე და შენ უკვე გავაკეთეთ. მაგალითად:
აქ თქვენ მაშინვე შენიშნეთ ნიმუში - Y სამჯერ აღემატება X-ს. ახლა კი დავალება „ძალიან კარგად დაფიქრდე“: როგორ ფიქრობთ, ცხრილის სახით მოცემული ფუნქცია ფუნქციის ტოლფასია?
დიდხანს ნუ ვილაპარაკებთ, მაგრამ დავხატოთ!
ასე რომ. ჩვენ ვხატავთ ფონით მითითებულ ფუნქციას შემდეგი გზებით:
ხედავ განსხვავებას? ეს ყველაფერი არ არის მონიშნული ქულები! დააკვირდით:
ახლა ნახე? როცა ფუნქციას განვსაზღვრავთ ტაბულურად, გრაფიკზე ვაჩვენებთ მხოლოდ იმ წერტილებს, რომლებიც გვაქვს ცხრილში და ხაზი (როგორც ჩვენს შემთხვევაში) გადის მხოლოდ მათში. როცა ფუნქციას ანალიტიკურად განვსაზღვრავთ, შეგვიძლია ნებისმიერი ქულის აღება და ჩვენი ფუნქცია მხოლოდ ამით არ შემოიფარგლება. ეს არის თავისებურება. გახსოვდეს!
ფუნქციის აგების გრაფიკული მეთოდი
არანაკლებ მოსახერხებელია ფუნქციის აგების გრაფიკული მეთოდი. ჩვენ ვხატავთ ჩვენს ფუნქციას და სხვა დაინტერესებულმა ადამიანმა იპოვა რამე y-ის ტოლიგარკვეულ x-ზე და ასე შემდეგ. ყველაზე გავრცელებულია გრაფიკული და ანალიტიკური მეთოდები.
თუმცა, აქ თქვენ უნდა გახსოვდეთ, რაზეც თავიდანვე ვისაუბრეთ - კოორდინატთა სისტემაში დახატული ყოველი „სკილი“ არ არის ფუნქცია! გახსოვს? ყოველ შემთხვევაში, მე დავაკოპირებ აქ განმარტებას, თუ რა არის ფუნქცია:
როგორც წესი, ადამიანები ჩვეულებრივ ასახელებენ ფუნქციის დაზუსტების სამ გზას, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ - ანალიტიკური (ფორმულის გამოყენებით), ცხრილი და გრაფიკული, სრულიად ავიწყდებათ, რომ ფუნქცია შეიძლება სიტყვიერად იყოს აღწერილი. როგორ არის ეს? დიახ, ძალიან მარტივია!
ფუნქციის სიტყვიერი აღწერა
როგორ აღვწეროთ ფუნქცია სიტყვიერად? ავიღოთ ჩვენი ბოლო მაგალითი - . ეს ფუნქციაშეიძლება შეფასდეს, როგორც "x-ის ყოველი რეალური მნიშვნელობისთვის, შეესაბამება მისი სამმაგი მნიშვნელობა". სულ ესაა. არაფერი რთული. თქვენ, რა თქმა უნდა, გააპროტესტებთ - "არსებობს ისეთი რთული ფუნქციები, რომ სიტყვიერად დაკონკრეტება უბრალოდ შეუძლებელია!" დიახ, არის ასეთი, მაგრამ არის ფუნქციები, რომელთა სიტყვიერად აღწერა უფრო ადვილია, ვიდრე ფორმულით განსაზღვრა. მაგალითად: "X-ის თითოეული ბუნებრივი მნიშვნელობა შეესაბამება იმ ციფრებს შორის განსხვავებას, რომლიდანაც იგი შედგება, ხოლო ყველაზე დიდი ციფრი, რომელიც შეიცავს რიცხვის აღნიშვნას, აღებულია როგორც minuend". ახლა ვნახოთ, როგორ ხორციელდება ფუნქციის ჩვენი სიტყვიერი აღწერა პრაქტიკაში:
ყველაზე მაღალი მაჩვენებელი მოცემული ნომერი- შესაბამისად, არის მინუს, მაშინ:
ფუნქციების ძირითადი ტიპები
ახლა გადავიდეთ ყველაზე საინტერესო ნაწილზე - გადავხედოთ ფუნქციების ძირითად ტიპებს, რომლებთანაც მუშაობდით/მუშაობთ და იმუშავებთ სასკოლო და კოლეჯის მათემატიკის კურსზე, ანუ გავეცნოთ მათ, ასე ვთქვათ. და მიეცი მათ მოკლე აღწერა. წაიკითხეთ მეტი თითოეული ფუნქციის შესახებ შესაბამის განყოფილებაში.
ხაზოვანი ფუნქცია
ფორმის ფუნქცია, სადაც, - რეალური რიცხვები.
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, ამიტომ წრფივი ფუნქციის აგება ორი წერტილის კოორდინატების პოვნამდე მოდის.
სწორი ხაზის მდებარეობა კოორდინატულ სიბრტყეზე დამოკიდებულია კუთხის კოეფიციენტზე.
ფუნქციის ფარგლები (აგრეთვე არგუმენტების მოქმედი მნიშვნელობების ფარგლები) არის .
ღირებულებების დიაპაზონი - .
კვადრატული ფუნქცია
ფორმის ფუნქცია, სად
ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, როდესაც პარაბოლის ტოტები მიმართულია ქვემოთ, როდესაც ტოტები მიმართულია ზემოთ.
კვადრატული ფუნქციის მრავალი თვისება დამოკიდებულია დისკრიმინანტის მნიშვნელობაზე. დისკრიმინანტი გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით
პარაბოლის პოზიცია კოორდინატულ სიბრტყეზე მნიშვნელობისა და კოეფიციენტის მიმართ ნაჩვენებია სურათზე:
განმარტების დომენი
მნიშვნელობების დიაპაზონი დამოკიდებულია მოცემული ფუნქციის უკიდურესობაზე (პარაბოლის წვერო) და კოეფიციენტზე (პარაბოლის ტოტების მიმართულებაზე)
უკუპროპორციულობა
ფორმულით მოცემული ფუნქცია, სადაც
რიცხვს უკუპროპორციულობის კოეფიციენტი ეწოდება. მნიშვნელობიდან გამომდინარე, ჰიპერბოლის ტოტები სხვადასხვა კვადრატშია:
განმარტების ფარგლები - .
ღირებულებების დიაპაზონი - .
შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულები
1. ფუნქცია არის წესი, რომლის მიხედვითაც სიმრავლის თითოეული ელემენტი ასოცირდება სიმრავლის ერთ ელემენტთან.
- - ეს არის ფუნქციის აღმნიშვნელი ფორმულა, ანუ ერთი ცვლადის დამოკიდებულება მეორეზე;
- - ცვლადი მნიშვნელობა, ან არგუმენტი;
- - დამოკიდებული რაოდენობა - იცვლება არგუმენტის ცვლილებისას, ანუ რომელიმე კონკრეტული ფორმულის მიხედვით, რომელიც ასახავს ერთი სიდიდის მეორეზე დამოკიდებულებას.
2. სწორი არგუმენტის მნიშვნელობები, ან ფუნქციის დომენი, არის ის, რაც ასოცირდება იმ შესაძლებლობებთან, რომლებშიც ფუნქციას აქვს აზრი.
3. ფუნქციის დიაპაზონი- ეს არის ის, თუ რა ღირებულებებს იღებს, მისაღები მნიშვნელობების გათვალისწინებით.
4. ფუნქციის დაყენების 4 გზა არსებობს:
- ანალიტიკური (ფორმულების გამოყენებით);
- ცხრილი;
- გრაფიკული
- სიტყვიერი აღწერა.
5. ფუნქციების ძირითადი ტიპები:
- : , სადაც, არის რეალური რიცხვები;
- : , სად;
- : , სად.
სტატიები თემაზე
