მარკოვის ჯაჭვი აცხადებს. მარკოვის ჯაჭვები. მარტივი მაგალითი: მონეტის სროლა
ტექსტის გენერატორის შექმნა მარკოვის ჯაჭვებზე: თეორია და პრაქტიკა
ეს სტატია იძლევა მიმოხილვას, თუ როგორ უნდა გენერირება ტექსტი მარკოვის პროცესის მოდელირების გამოყენებით. კერძოდ, ჩვენ გავაცნობთ მარკოვის ჯაჭვებს და, როგორც პრაქტიკაში, დავნერგავთ პატარა ტექსტის გენერატორს Python-ში.
დასაწყისისთვის, მოდით ჩამოვწეროთ ვიკიპედიის გვერდიდან საჭირო, მაგრამ ჯერ არა ძალიან მკაფიო განმარტებები, რათა უხეშად მაინც გავიგოთ, რასთან გვაქვს საქმე:
მარკოვის პროცესი ტ ტ
მარკოვის ჯაჭვი
რას ნიშნავს ეს ყველაფერი? მოდი გავარკვიოთ.
საფუძვლები
პირველი მაგალითი ძალიან მარტივია. საბავშვო წიგნიდან წინადადების გამოყენებით, ჩვენ დავეუფლებით მარკოვის ჯაჭვის ძირითად კონცეფციას და ასევე განვსაზღვრავთ რა არის ის ჩვენს კონტექსტში. სხეული, ბმულები, ალბათობის განაწილება და ჰისტოგრამები. მიუხედავად იმისა, რომ წინადადება მოცემულია ინგლისური, თეორიის არსი ადვილი გასაგები იქნება.
ეს წინადადება არის ჩარჩო, ანუ ის ბაზა, რომლის საფუძველზეც მოხდება ტექსტის გენერირება მომავალში. იგი შედგება რვა სიტყვისგან, მაგრამ მხოლოდ ხუთი უნიკალური სიტყვაა - ეს არის ბმულები(მარკოვიანზეა საუბარი ჯაჭვები). სიცხადისთვის, მოდით გავაფერადოთ თითოეული ბმული თავის ფერში:
და ჩვენ ვწერთ ტექსტში თითოეული ბმულის გამოჩენის რაოდენობას:
ზემოთ მოცემულ სურათზე ხედავთ, რომ სიტყვა "თევზი"ჩნდება ტექსტში 4-ჯერ უფრო ხშირად, ვიდრე თითოეული სხვა სიტყვა ( "ერთი", "ორი", "წითელი", "ლურჯი"). ანუ ჩვენს კორპუსში სიტყვის შეხვედრის ალბათობა "თევზი" 4-ჯერ მეტია ნახატზე ნაჩვენები ყველა სხვა სიტყვასთან შეხვედრის ალბათობა. მათემატიკის ენაზე საუბრისას შეგვიძლია განვსაზღვროთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი და გამოვთვალოთ, რა ალბათობით გამოჩნდება ტექსტში ერთ-ერთი სიტყვა არსებულის შემდეგ. ალბათობა გამოითვლება შემდეგნაირად: ჩვენ უნდა გავყოთ კორპუსში საჭირო სიტყვის გაჩენის რაოდენობა მასში შემავალი ყველა სიტყვის საერთო რაოდენობაზე. სიტყვისთვის "თევზი"ეს ალბათობა 50%-ია, რადგან 8 სიტყვიან წინადადებაში 4-ჯერ ჩნდება. თითოეული დარჩენილი ბმულისთვის ეს ალბათობა არის 12,5% (1/8).
გრაფიკულად წარმოადგენენ განაწილებას შემთხვევითი ცვლადებიგამოყენება შესაძლებელია ჰისტოგრამები. ამ შემთხვევაში, წინადადებაში თითოეული ბმულის გაჩენის სიხშირე აშკარად ჩანს:
ამრიგად, ჩვენი ტექსტი შედგება სიტყვებისა და უნიკალური ბმულებისგან და ჩვენ ვაჩვენეთ ჰისტოგრამაზე თითოეული ბმულის გამოჩენის ალბათობის განაწილება წინადადებაში. თუ ფიქრობთ, რომ არ ღირს სტატისტიკით შეწუხება, წაიკითხეთ. და ალბათ ეს გადაარჩენს თქვენს სიცოცხლეს.
განმარტების არსი
ახლა ჩვენს ტექსტს დავუმატოთ ელემენტები, რომლებიც ყოველთვის იგულისხმება, მაგრამ არ არის გაჟღერებული ყოველდღიურ მეტყველებაში - წინადადების დასაწყისი და დასასრული:
ნებისმიერი წინადადება შეიცავს ამ უხილავ „დასაწყისს“ და „დასრულებას“, მოდით დავამატოთ ისინი ჩვენს განაწილების ბმულებად:
დავუბრუნდეთ სტატიის დასაწყისში მოცემულ განმარტებას:
მარკოვის პროცესი- შემთხვევითი პროცესი, რომლის ევოლუცია ხდება დროის პარამეტრის ნებისმიერი მოცემული მნიშვნელობის შემდეგ ტარ არის დამოკიდებული იმ ევოლუციაზე, რომელიც წინ უძღოდა ტიმ პირობით, რომ ამ მომენტში პროცესის ღირებულება ფიქსირდება.
მარკოვის ჯაჭვი- მარკოვის პროცესის განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც მისი მდგომარეობების სივრცე დისკრეტულია (ე.ი. არაუმეტეს თვლადი).
მაშ რას ნიშნავს ეს? უხეშად რომ ვთქვათ, ჩვენ ვაფორმებთ პროცესს, რომელშიც არის სისტემის მდგომარეობა შემდეგი მომენტიდრო დამოკიდებულია მხოლოდ მის მდგომარეობაზე მიმდინარე მომენტში და არანაირად არ არის დამოკიდებული ყველა წინა მდგომარეობაზე.
წარმოიდგინეთ რა არის თქვენს წინაშე ფანჯარა, რომელიც აჩვენებს მხოლოდ სისტემის ამჟამინდელ მდგომარეობას (ჩვენს შემთხვევაში ეს ერთი სიტყვაა) და თქვენ უნდა დაადგინოთ რა იქნება შემდეგი სიტყვა მხოლოდ ამ ფანჯარაში წარმოდგენილ მონაცემებზე დაყრდნობით. ჩვენს კორპუსში სიტყვები ერთმანეთს მიჰყვება შემდეგი ნიმუშის მიხედვით:
ამრიგად, იქმნება სიტყვების წყვილი (წინადადების ბოლოსაც კი აქვს საკუთარი წყვილი - ცარიელი მნიშვნელობა):
დავაჯგუფოთ ეს წყვილები პირველი სიტყვის მიხედვით. ჩვენ დავინახავთ, რომ თითოეულ სიტყვას აქვს ბმულების საკუთარი ნაკრები, რაც ჩვენი წინადადების კონტექსტშია შეუძლიამიჰყევით მას:
მოდით წარმოვადგინოთ ეს ინფორმაცია სხვაგვარად - თითოეული ბმულისთვის ჩვენ ვანიჭებთ ყველა სიტყვის მასივს, რომელიც შეიძლება გამოჩნდეს ტექსტში ამ ბმულის შემდეგ:
მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ. ჩვენ ვხედავთ, რომ თითოეულ ბმულს აქვს ასეთი სიტყვები შეუძლია მოდი მის შემდეგ წინადადებაში. თუ ზემოთ მოცემულ დიაგრამას სხვას ვაჩვენებთ, ეს ადამიანი გარკვეული ალბათობით შეძლებს ჩვენი საწყისი წინადადების, ანუ კორპუსის რეკონსტრუქციას.
მაგალითი.დავიწყოთ სიტყვით "დაწყება". შემდეგი, აირჩიეთ სიტყვა "ერთი", რადგან ჩვენი სქემის მიხედვით ეს არის ერთადერთი სიტყვა, რომელსაც შეუძლია წინადადების დასაწყისი. სიტყვის მიღმა "ერთი"ასევე მხოლოდ ერთი სიტყვა შეიძლება მოჰყვეს - "თევზი". ახლა ახალი წინადადება შუალედურ ვერსიაში გამოიყურება "ერთი თევზი". შემდგომ სიტუაცია უფრო რთულდება - ამისთვის "თევზი"შეიძლება ერთად თანაბარი ალბათობა 25%-ში მიდის სიტყვები "ორი", "წითელი", "ლურჯი"და წინადადების დასასრული "დასასრული". თუ ჩავთვლით, რომ შემდეგი სიტყვა არის "ორი", რეკონსტრუქცია გაგრძელდება. მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ ბმული "დასასრული". ამ შემთხვევაში, ჩვენი სქემიდან გამომდინარე, შემთხვევით წარმოიქმნება წინადადება, რომელიც ძალიან განსხვავდება კორპუსისგან - "ერთი თევზი".
ჩვენ ახლახან მოვახდინეთ მარკოვის პროცესის სიმულაცია - ჩვენ განვსაზღვრეთ ყოველი შემდეგი სიტყვა მხოლოდ ამჟამინდელის შესახებ ცოდნის საფუძველზე. მასალის სრულად გასაგებად, მოდით ავაშენოთ დიაგრამები, რომლებიც აჩვენებს დამოკიდებულებებს ჩვენს კორპუსში არსებულ ელემენტებს შორის. ოვალები წარმოადგენს ბმულებს. ისრებს მივყავართ პოტენციურ ბმულებამდე, რომლებსაც შეუძლიათ სიტყვას ოვალურად მიჰყვეს. ყოველი ისრის გვერდით არის ალბათობა, რომლითაც შემდეგი ბმული გამოჩნდება ამჟამინდელის შემდეგ:
დიდი! ჩვენ ვისწავლეთ საჭირო ინფორმაცია უფრო რთული მოდელების გადასაადგილებლად და გასაანალიზებლად.
ლექსიკის ბაზის გაფართოება
სტატიის ამ ნაწილში ჩვენ ავაშენებთ მოდელს იგივე პრინციპით, როგორც ადრე, მაგრამ აღწერილობაში გამოვტოვებთ რამდენიმე ნაბიჯს. თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, დაუბრუნდით თეორიას პირველ ბლოკში.
ავიღოთ კიდევ ოთხი ციტატა იმავე ავტორისგან (ასევე ინგლისურად, ეს არ დაგვიშავებს):
„დღეს შენ ხარ. ეს უფრო მართალია ვიდრე სიმართლე. შენზე მეტი ცოცხალი არავინაა.
„ტვინი გაქვს თავში. ფეხები ფეხსაცმელში გაქვს. თქვენ შეგიძლიათ იხელმძღვანელოთ თქვენთვის სასურველი მიმართულებით. შენ მარტო ხარ."
"რაც მეტს წაიკითხავთ, მით მეტს გაიგებთ." რაც უფრო მეტს ისწავლი, მით უფრო მეტ ადგილს წახვალ."
"იფიქრე მარცხნივ და იფიქრე სწორად, იფიქრე დაბალზე და იფიქრე მაღლა. ოჰ, ფიქრობენ, რომ შეგიძლია მოიფიქრო, თუ მხოლოდ ცდილობ.”
კორპუსის სირთულე გაიზარდა, მაგრამ ჩვენს შემთხვევაში ეს მხოლოდ პლუსია - ახლა ტექსტის გენერატორი შეძლებს უფრო მნიშვნელოვანი წინადადებების შექმნას. ფაქტია, რომ ნებისმიერ ენაში არის სიტყვები, რომლებიც მეტყველებაში უფრო ხშირად ჩნდება, ვიდრე სხვები (მაგალითად, ჩვენ ვიყენებთ წინდებულს "in" ბევრად უფრო ხშირად, ვიდრე სიტყვა "კრიოგენული"). რაც უფრო მეტი სიტყვაა ჩვენს კორპუსში (და, შესაბამისად, მათ შორის დამოკიდებულებები), მით მეტი ინფორმაცია აქვს გენერატორს იმის შესახებ, თუ რომელი სიტყვა ყველაზე მეტად გამოჩნდება ტექსტში ამჟამინდელის შემდეგ.
ამის ახსნის უმარტივესი გზა არის პროგრამის თვალსაზრისით. ჩვენ ვიცით, რომ თითოეული ბმულისთვის არის სიტყვების ნაკრები, რომელსაც შეუძლია დაიცვას იგი. და ასევე, თითოეული სიტყვა ხასიათდება ტექსტში მისი გამოჩენის რაოდენობით. ჩვენ გვჭირდება რაიმე გზა, რომ ყველა ეს ინფორმაცია ერთ ადგილზე დავიჭიროთ; ამ მიზნით, ლექსიკონი, რომელიც ინახავს "(გასაღები, მნიშვნელობა)" წყვილებს საუკეთესოდ შეეფერება. ლექსიკონის გასაღები ჩაიწერს სისტემის მიმდინარე მდგომარეობას, ანუ სხეულის ერთ-ერთ ბმულს (მაგალითად, ""ქვემოთ მოცემულ სურათზე); და სხვა ლექსიკონი შეინახება ლექსიკონის მნიშვნელობაში. ჩადგმულ ლექსიკონში გასაღებები იქნება სიტყვები, რომლებიც შეიძლება გამოჩნდეს ტექსტში კორპუსის მიმდინარე ბმულის შემდეგ ( "ფიქრობს"და "მეტი"შეიძლება წავიდეს ტექსტში ""), და მნიშვნელობები არის ამ სიტყვების გამოჩენის რაოდენობა ტექსტში ჩვენი ბმულის შემდეგ (სიტყვა "ფიქრობს"ტექსტში ჩნდება სიტყვის შემდეგ "" 1 დრო, სიტყვა "მეტი"სიტყვის შემდეგ ""- 4 ჯერ):
რამდენჯერმე გადაიკითხეთ ზემოთ მოცემული პუნქტი, რათა დარწმუნდეთ, რომ ზუსტად გესმით. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჩადგმული ლექსიკონი ამ შემთხვევაში არის იგივე ჰისტოგრამა, რომელიც გვეხმარება თვალყური ადევნოთ ბმულებს და ტექსტში მათი არსებობის სიხშირეს სხვა სიტყვებთან მიმართებაში. უნდა აღინიშნოს, რომ ასეთი ლექსიკის ბაზაც კი ძალიან მცირეა ბუნებრივ ენაზე სწორი თაობის ტექსტებისთვის - ის უნდა შეიცავდეს 20 000-ზე მეტ სიტყვას, ან კიდევ უკეთესი, 500 000-ზე მეტს ლექსიკის ბაზაზე, რომელიც ჩვენ მივიღეთ.
მარკოვის ჯაჭვი ამ შემთხვევაში აგებულია პირველი მაგალითის მსგავსად - ყოველი შემდეგი სიტყვა შეირჩევა მხოლოდ მიმდინარე სიტყვის შესახებ ცოდნის საფუძველზე, ყველა სხვა სიტყვა არ არის გათვალისწინებული. მაგრამ ლექსიკონში მონაცემთა შენახვის წყალობით, თუ რომელი სიტყვები უფრო ხშირად ჩნდება, ვიდრე სხვები, შეგვიძლია მივიღოთ არჩევისას ინფორმირებული გადაწყვეტილება. მოდით შევხედოთ კონკრეტულ მაგალითს:
მეტი:
ანუ თუ ახლანდელი სიტყვა სიტყვაა "მეტი", მის შემდეგ შეიძლება იყოს სიტყვები 25% თანაბარი ალბათობით "საქმეები"და "ადგილები", ხოლო 50%-იანი ალბათობით - სიტყვა "ეს". მაგრამ ალბათობა შეიძლება იყოს ყველა თანაბარი:
იფიქრე:
Windows-თან მუშაობა
აქამდე ჩვენ განვიხილავდით მხოლოდ ერთი სიტყვის ზომას. თქვენ შეგიძლიათ გაზარდოთ ფანჯრის ზომა ისე, რომ ტექსტის გენერატორმა წარმოქმნას უფრო "დამოწმებული" წინადადებები. ეს ნიშნავს, რომ რაც უფრო დიდია ფანჯარა, მით უფრო მცირეა გადახრები სხეულიდან გენერირების დროს. ფანჯრის ზომის გაზრდა შეესაბამება მარკოვის ჯაჭვის უფრო მაღალ ხარისხზე გადასვლას. ადრე ჩვენ ავაშენეთ პირველი რიგის წრედი ფანჯრისთვის, ორი სიტყვა გამოიმუშავებს მეორე რიგის წრეს, სამი - მესამე რიგის წრედს და ა.შ.
ფანჯარა- ეს არის მონაცემები სისტემის ამჟამინდელ მდგომარეობაში, რომელიც გამოიყენება გადაწყვეტილების მისაღებად. თუ გავაერთიანებთ დიდ ფანჯარას და მცირე მონაცემთა ნაკრებს, დიდი ალბათობით, ყოველ ჯერზე ერთსა და იმავე წინადადებას მივიღებთ. ავიღოთ ლექსიკის ბაზა ჩვენი პირველი მაგალითიდან და გავაფართოვოთ ფანჯარა 2 ზომამდე:
გაფართოება ნიშნავს, რომ ახლა თითოეულ ფანჯარას აქვს მხოლოდ ერთი ვარიანტი სისტემის შემდეგი მდგომარეობისთვის - რაც არ უნდა გავაკეთოთ, ჩვენ ყოველთვის მივიღებთ იგივე წინადადებას, ჩვენი შემთხვევის იდენტური. ამიტომ, იმისათვის, რომ ექსპერიმენტი ჩაატაროთ Windows-ზე და ტექსტის გენერატორმა დააბრუნოს უნიკალური შინაარსი, შეინახეთ მინიმუმ 500 000 სიტყვის ლექსიკა.
დანერგვა პითონში
დიქტოგრამის მონაცემთა სტრუქტურა
დიქტოგრამა (დიქტი არის ჩაშენებული ლექსიკონის მონაცემთა ტიპი პითონში) აჩვენებს კავშირებს ბმულებსა და მათ სიხშირეს შორის ტექსტში, ანუ მათ განაწილებას შორის. მაგრამ ამავე დროს, მას ექნება ლექსიკონის თვისება, რომელიც ჩვენ გვჭირდება - პროგრამის შესრულების დრო არ იქნება დამოკიდებული შეყვანის მონაცემების რაოდენობაზე, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ვქმნით ეფექტურ ალგორითმს.
იმპორტი შემთხვევითი კლასის დიქტოგრამა(dict): def __init__(self, iterable=None): # დააყენეთ ჩვენი განაწილება, როგორც ახალი კლასის ობიექტი, # დაამატეთ არსებული ელემენტები super(Dictogram, self).__init__() self.types = 0 # ნომერი უნიკალური კლავიშები განაწილებაში self.tokens = 0 # ყველა სიტყვის საერთო რაოდენობა განაწილებაში, თუ iterable: self.update(iterable) def update(self, iterable): # განაახლეთ განაწილება ელემენტებით არსებული # iterable მონაცემთა ნაკრებიდან ელემენტი iterable-ში: თუ ელემენტი საკუთარ თავში : self += 1 self.tokens += 1 other: self = 1 self.types += 1 self.tokens += 1 def count(self, item): # დააბრუნე ელემენტის მრიცხველი , ან 0, თუ ელემენტი საკუთარ თავში: დააბრუნეთ თვითდაბრუნება 0 def return_random_word(self): random_key = random.sample(self, 1) # სხვა გზა: # random.choice(histogram.keys()) return random_key def return_weighted_random_word(self) : # შექმენით ფსევდო შემთხვევითი რიცხვი 0-დან (n-1) შორის, # სადაც n არის სიტყვების მთლიანი რაოდენობა random_int = random.randint(0, self.tokens-1) index = 0 list_of_keys = self.keys() # print "შემთხვევითი ინდექსი:", random_int for i-სთვის დიაპაზონში( 0, self.types): index += self] # დაბეჭდე ინდექსი if(index > random_int): # გასაღებების_სიის ამობეჭდვა[i] კლავიშების_სიის დაბრუნება[i]
დიქტოგრამის სტრუქტურის კონსტრუქტორს შეიძლება გადაეცეს ნებისმიერი ობიექტი, რომლის გამეორებაც შესაძლებელია. ამ ობიექტის ელემენტები იქნება დიქტოგრამის ინიციალიზაციის სიტყვები, მაგალითად, ყველა სიტყვა წიგნიდან. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვითვლით ელემენტებს ისე, რომ რომელიმე მათგანზე წვდომისთვის არ დაგვჭირდეს ყოველ ჯერზე მთელი მონაცემთა ნაკრების გავლა.
ჩვენ ასევე შევქმენით ორი ფუნქცია შემთხვევითი სიტყვის დასაბრუნებლად. ერთი ფუნქცია ირჩევს შემთხვევით კლავიშს ლექსიკონში, ხოლო მეორე, ტექსტში თითოეული სიტყვის გაჩენის რაოდენობის გათვალისწინებით, აბრუნებს ჩვენთვის საჭირო სიტყვას.
მარკოვის ჯაჭვის სტრუქტურა
ჰისტოგრამებიდან იმპორტი დიქტოგრამა def make_markov_model(data): markov_model = dict() for i-სთვის დიაპაზონში(0, len(data)-1): if data[i] markov_model-ში: # უბრალოდ დაამატეთ არსებულ განაწილებას markov_model].update( ]) else: markov_model] = დიქტოგრამა() დააბრუნებს markov_modelზემოთ განხორციელებისას, ჩვენ გვაქვს ლექსიკონი, რომელიც ინახავს Windows-ს, როგორც გასაღებს წყვილში „(გასაღები, მნიშვნელობა)“ და ანაწილებს მნიშვნელობებს ამ წყვილში.
Nth რიგის მარკოვის ჯაჭვის სტრუქტურა
ჰისტოგრამებიდან იმპორტი დიქტოგრამა def make_higher_order_markov_model(order, data): markov_model = dict() for i range(0, len(data)-order): # ფანჯრის ფანჯრის შექმნა = tuple(data) # დამატება ლექსიკონში, თუ ფანჯარა in markov_model: # მიამაგრეთ არსებულ დისტრიბუციას markov_model.update() else: markov_model = დიქტოგრამა() return markov_modelძალიან ჰგავს პირველი რიგის მარკოვის ჯაჭვს, მაგრამ ამ შემთხვევაში ჩვენ ვინახავთ ავტოკოლონიაროგორც გასაღები ლექსიკონში „(გასაღები, მნიშვნელობა)“ წყვილში. ჩვენ ვიყენებთ მას სიის ნაცვლად, რადგან ტუპლი დაცულია ყოველგვარი ცვლილებისგან და ეს ჩვენთვის მნიშვნელოვანია - ბოლოს და ბოლოს, ლექსიკონის გასაღებები არ უნდა შეიცვალოს.
მოდელის გარჩევა
შესანიშნავია, ჩვენ განვახორციელეთ ლექსიკონი. მაგრამ როგორ შეგვიძლია ახლა კონტენტის გენერირება არსებული მდგომარეობისა და შემდეგი მდგომარეობისკენ გადადგმული ნაბიჯის მიხედვით? მოდით გადახედოთ ჩვენს მოდელს:
ჰისტოგრამებიდან იმპორტი დიქტოგრამა შემთხვევითი იმპორტი კოლექციებიდან import deque import re def generate_random_start(model): # ნებისმიერი საწყისი სიტყვის გენერირებისთვის, გააუქმეთ სტრიქონი: # return random.choice(model.keys()) # "სწორი" საწყისი სიტყვის გენერირება , გამოიყენეთ ქვემოთ მოცემული კოდი: # სწორი სათესლე სიტყვები არის ის, რაც იყო წინადადებების დასაწყისი კორპუსში, თუ "END" მოდელში: seed_word = "END" while seed_word == "END": seed_word = მოდელი["END"]. return_weighted_random_word() return seed_word return random.choice(model.keys()) def generate_random_sentence(სიგრძე, მარკოვის_მოდელი): მიმდინარე_სიტყვა =gene_random_start(markov_model) წინადადება = i-სთვის დიაპაზონში(0, სიგრძე): მიმდინარე_დიქტოგრამა = markov_weight_weight_word_random. () current_word = random_weighted_word sentence.append(current_word) sentence = sentence.capitalize() return " ".join(sentence) + "."
რა არის შემდეგი?
შეეცადეთ დაფიქრდეთ, სად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ტექსტის გენერატორი, რომელიც დაფუძნებულია მარკოვის ჯაჭვებზე. უბრალოდ არ დაგავიწყდეთ, რომ ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, თუ როგორ აანალიზებთ მოდელს და რა განსაკუთრებულ შეზღუდვებს აყენებთ თაობაზე. ამ სტატიის ავტორმა, მაგალითად, ტვიტების გენერატორის შექმნისას გამოიყენა დიდი ფანჯარა, შეზღუდა გენერირებული შინაარსი 140 სიმბოლომდე და გამოიყენა მხოლოდ „სწორი“ სიტყვები წინადადებების დასაწყებად, ანუ ის, რაც იყო წინადადებების დასაწყისი. კორპუსი.
მარკოვის პროცესი- სისტემაში მიმდინარე შემთხვევითი პროცესი, რომელსაც აქვს თვისება: t 0 დროის ყოველი მომენტისთვის, მომავალში სისტემის ნებისმიერი მდგომარეობის ალბათობა (t>t 0-ზე) დამოკიდებულია მხოლოდ მის მდგომარეობაზე აწმყოში (at t = t 0) და არ არის დამოკიდებული იმაზე, როდის და როგორ მივიდა სისტემა ამ მდგომარეობაში (ანუ როგორ განვითარდა პროცესი წარსულში).
პრაქტიკაში ხშირად ვხვდებით შემთხვევით პროცესებს, რომლებიც მიახლოების სხვადასხვა ხარისხით შეიძლება ჩაითვალოს მარკოვიანად.
მარკოვის ნებისმიერი პროცესი აღწერილია მდგომარეობების და გარდამავალი ალბათობების გამოყენებით.
მარკოვის პროცესის P k (t) მდგომარეობების ალბათობაარის ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი პროცესი (სისტემა) t დროს იმყოფება S k მდგომარეობაში:
მარკოვის პროცესის გარდამავალი ალბათობებიარის პროცესის (სისტემის) ერთი მდგომარეობიდან მეორეში გადასვლის ალბათობა:
მარკოვის პროცესი ე.წ ერთგვაროვანი, თუ დროის ერთეულზე გადასვლის ალბათობა არ არის დამოკიდებული დროის ღერძზე სად ხდება გადასვლა.
ყველაზე მარტივი პროცესიარის მარკოვის ჯაჭვი- მარკოვის შემთხვევითი პროცესი დისკრეტული დროით და მდგომარეობების დისკრეტული სასრული ნაკრებით.
როდესაც გაანალიზებულია, მარკოვის ჯაჭვებია მდგომარეობის გრაფიკი, რომელზეც ჯაჭვის (სისტემის) ყველა მდგომარეობა და არანულოვანი ალბათობა აღინიშნება ერთ საფეხურზე.
მარკოვის ჯაჭვი შეიძლება ჩაითვალოს, თითქოს წერტილი, რომელიც წარმოადგენს სისტემას, შემთხვევით გადაადგილდება მდგომარეობის გრაფიკში, გადაადგილდება მდგომარეობიდან სახელმწიფოში ერთი ნაბიჯით ან რჩება იმავე მდგომარეობაში რამდენიმე ნაბიჯით.
მარკოვის ჯაჭვის გადასვლის ალბათობები ერთ საფეხურზე იწერება P=||P ij || მატრიცის სახით, რომელსაც ეწოდება გარდამავალი ალბათობის მატრიცა ან უბრალოდ გარდამავალი მატრიცა.
მაგალითი: სპეციალობის სტუდენტების მდგომარეობა ასეთია:
S 1 – პირველკურსელი;
S 2 – მეორე კურსი…;
S 5 – მე-5 კურსის სტუდენტი;
S 6 – სპეციალისტი, რომელმაც დაამთავრა უნივერსიტეტი;
S 7 - ადამიანი, რომელიც სწავლობდა უნივერსიტეტში, მაგრამ არ დაამთავრა.
S 1 მდგომარეობიდან ერთი წლის განმავლობაში, S 2 მდგომარეობაზე გადასვლა შესაძლებელია r 1 ალბათობით; S 1 ალბათობით q 1 და S 7 ალბათობით p 1 და:
r 1 +q 1 +p 1 =1.
მოდით ავაშენოთ მდგომარეობის გრაფიკი ამ მარკოვის ჯაჭვისთვის და აღვნიშნოთ გადასვლის ალბათობებით (არანულოვანი).
მოდით შევქმნათ გარდამავალი ალბათობების მატრიცა:
გარდამავალ მატრიცებს აქვთ შემდეგი თვისებები:
მათი ყველა ელემენტი არაუარყოფითია;
მათი მწკრივების ჯამები ერთის ტოლია.
ამ თვისების მქონე მატრიცებს სტოქასტური ეწოდება.
გარდამავალი მატრიცები საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ნებისმიერი მარკოვის ჯაჭვის ტრაექტორიის ალბათობა ალბათობის გამრავლების თეორემის გამოყენებით.
მარკოვის ერთგვაროვანი ჯაჭვებისთვის, გარდამავალი მატრიცები არ არის დამოკიდებული დროზე.
მარკოვის ჯაჭვების შესწავლისას ყველაზე დიდი ინტერესია:
გადასვლის ალბათობა m საფეხურებში;
განაწილება მდგომარეობებზე m→∞ საფეხურზე;
გარკვეულ მდგომარეობაში გატარებული საშუალო დრო;
საშუალო დრო ამ მდგომარეობაში დასაბრუნებლად.
განვიხილოთ მარკოვის ერთგვაროვანი ჯაჭვი n მდგომარეობით. S i მდგომარეობიდან S j მდგომარეობაზე გადასვლის ალბათობის მისაღებად m საფეხურებში, ჯამური ალბათობის ფორმულის შესაბამისად, უნდა შევაჯამოთ Si მდგომარეობიდან Sk შუალედურ მდგომარეობაზე გადასვლის ალბათობის ნამრავლები l საფეხურებში ალბათობით. Sk-დან Sj-ზე გადასვლის დანარჩენში მ-ლ ნაბიჯები, ე.ი.
ეს მიმართება არის ყველა i=1, …, n; j=1, …,n შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მატრიცების ნამრავლი:
P(m)=P(l)*P(m-l).
ამრიგად, ჩვენ გვაქვს:
P(2)=P(1)*P(1)=P2
P(3)=P(2)*P(1)=P(1)*P(2)=P3 და ა.შ.
P(m)=P(m-1)*P(1)=P(1)*P(M-1)=P m,
რაც შესაძლებელს ხდის მდგომარეობებს შორის გადასვლის ალბათობების პოვნა ნებისმიერ საფეხურზე, გარდამავალი მატრიცის ცოდნა ერთ საფეხურზე, კერძოდ P ij (m) - P(m) მატრიცის ელემენტი არის S მდგომარეობიდან გადასვლის ალბათობა. i ჩამოვთვალოთ S j m ნაბიჯებით.
მაგალითი: ამინდი გარკვეულ რეგიონში ხანგრძლივ პერიოდებში იცვლება წვიმიანი და მშრალი. თუ წვიმს, მაშინ 0,7 ალბათობით წვიმს მეორე დღეს; თუ ამინდი გარკვეულ დღეს მშრალია, მაშინ 0,6 ალბათობით მეორე დღესაც შენარჩუნდება. ცნობილია, რომ ოთხშაბათს წვიმიანი ამინდი იყო. რა არის იმის ალბათობა, რომ მომდევნო პარასკევს წვიმს?
მოდით ჩამოვწეროთ მარკოვის ჯაჭვის ყველა მდგომარეობა ამ პრობლემაში: D – წვიმიანი ამინდი, C – მშრალი ამინდი.
მოდით ავაშენოთ მდგომარეობის გრაფიკი:
პასუხი: p 11 = p (D ქუსლი | D საშუალო) = 0.61.
ალბათობის ლიმიტები р 1 (m), р 2 (m),…, р n (m) m→∞-ისთვის, თუ ისინი არსებობენ, ე.წ. სახელმწიფოების ალბათობების შეზღუდვა.
შემდეგი თეორემა შეიძლება დადასტურდეს: თუ მარკოვის ჯაჭვში შეგიძლიათ გადახვიდეთ + თითოეული მდგომარეობიდან (ნაბიჯების მოცემული რაოდენობით) ერთმანეთზე, მაშინ მდგომარეობების შემზღუდავი ალბათობა არსებობს და არ არის დამოკიდებული სისტემის საწყის მდგომარეობაზე. .
ამრიგად, როგორც m→∞, სისტემაში დამყარებულია გარკვეული შემზღუდველი სტაციონარული რეჟიმი, რომელშიც თითოეული მდგომარეობა ხდება გარკვეული მუდმივი ალბათობით.
ზღვრული ალბათობებით შედგენილი p ვექტორი უნდა აკმაყოფილებდეს მიმართებას: p=p*P.
სახელმწიფოში გატარებული საშუალო დრო S i დრო T უდრის p i *T, სადაც p i - S i მდგომარეობის ზღვრული ალბათობა. საშუალო დრო სახელმწიფოში დასაბრუნებლად S i უდრის.
მაგალითი.
მრავალი ეკონომიკური პრობლემისთვის აუცილებელია ვიცოდეთ წლების მონაცვლეობა მდინარის წლიური ნაკადების გარკვეული მნიშვნელობებით. რა თქმა უნდა, ამ მონაცვლეობის დადგენა შეუძლებელია აბსოლუტურად ზუსტად. მონაცვლეობის (გადასვლის) ალბათობების დასადგენად ნაკადებს ვყოფთ ოთხი გრადაციის (სისტემის მდგომარეობების) შემოღებით: პირველი (ყველაზე დაბალი ნაკადი), მეორე, მესამე, მეოთხე (უმაღლესი ნაკადი). დაზუსტებისთვის ვივარაუდებთ, რომ პირველ გრადაციას არასოდეს მოსდევს მეოთხე, ხოლო მეოთხეს - პირველი ტენის დაგროვების გამო (მიწაში, წყალსაცავში და ა.შ.). დაკვირვებებმა აჩვენა, რომ გარკვეულ რეგიონში შესაძლებელია სხვა გადასვლები და:
ა) პირველი გრადაციადან შეგიძლიათ გადახვიდეთ თითოეულ შუაზე ორჯერ უფრო ხშირად, ვიდრე ისევ პირველზე, ე.ი.
p 11 =0.2; p 12 =0.4; p 13 =0.4; p 14 =0;
ბ) მეოთხე გრადაციადან მეორე და მესამე გრადაციაზე გადასვლა ხდება ოთხჯერ და ხუთჯერ უფრო ხშირად, ვიდრე მეორეში, ე.ი.
მძიმე, ე.ი.
მეოთხეში, ე.ი.
p 41 =0; p 42 =0.4; p 43 =0.5; p 44 =0.1;
გ) მეორედან სხვა გრადაციამდე შეიძლება იყოს მხოლოდ ნაკლებად ხშირი: პირველში - ორჯერ ნაკლები, მესამეში 25%-ით, მეოთხეში - ოთხჯერ უფრო იშვიათად, ვიდრე მეორეზე გადასვლა, ე.ი.
p 21 = 0,2; p 22 = 0,4; p 23 =0.3; p 24 =0.1;
დ) მესამე გრადაციიდან მეორე გრადაციაზე გადასვლა ისეთივე სავარაუდოა, როგორც მესამე გრადაციაზე დაბრუნება, ხოლო პირველ და მეოთხე გრადაციაზე გადასვლა ოთხჯერ ნაკლებია, ე.ი.
p 31 =0.1; p 32 =0.4; p 33 =0.4; p 34 =0.1;
მოდით ავაშენოთ გრაფიკი:
მოდით შევქმნათ გარდამავალი ალბათობების მატრიცა:
მოდით ვიპოვოთ საშუალო დრო გვალვასა და მაღალი წყლის წლებს შორის. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ ლიმიტის განაწილება. ის არსებობს იმიტომ თეორემის პირობა დაკმაყოფილებულია (მატრიცა P2 არ შეიცავს ნულოვან ელემენტებს, ანუ ორ საფეხურზე შეგიძლიათ გადახვიდეთ სისტემის ნებისმიერი მდგომარეობიდან ნებისმიერ სხვაზე).
სადაც p 4 =0.08; p 3 =; p 2 =; p 1 =0.15
S i მდგომარეობაში დაბრუნების სიხშირე უდრის.
შესაბამისად, მშრალი წლების სიხშირე საშუალოდ არის 6,85, ე.ი. 6-7 წელი და წვიმიანი წელი 12.
თავისთავად და ნაწილობრივ მიგვაჩნია იმის გამო, რომ მისი პრეზენტაცია არ საჭიროებს ახალი ტერმინების დიდი რაოდენობის დანერგვას.განვიხილოთ ვირის პრობლემა, რომელიც დგას ზუსტად ორ თივის ღეროს შორის: ჭვავის ჩალასა და ხორბლის ჩალას (სურ. 10.5).
ვირი დგას ორ თივის ღეროს შორის: „ჭვავი“ და „ხორბალი“ (სურ. 10.5). ყოველ წუთს ან ათიოდე მეტრს მიიწევს პირველი თივის გროვისკენ (ალბათობით), ან მეორე თივისკენ (ალბათობით), ან რჩება იქ, სადაც იდგა (ალბათობით); ამ ქცევას ეწოდება ერთგანზომილებიანი შემთხვევითი სიარული.ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ორივე თივის ღერო „შთამნთქმელია“ იმ გაგებით, რომ თუ ვირი ერთ-ერთ თივის გროვას მიუახლოვდება, ის იქ დარჩება. იცოდეთ მანძილი ორ თივას შორის და ვირის თავდაპირველი პოზიცია, შეგიძლიათ დაუსვათ რამდენიმე კითხვა, მაგალითად: რომელ თივის გროვში მოხვდება და რა დრო დასჭირდება მას იქ მისასვლელად?
ბრინჯი. 10.5.
ამ პრობლემის უფრო დეტალურად შესასწავლად, დავუშვათ, რომ დარტყმებს შორის მანძილი ორმოცდაათი მეტრია, ხოლო ჩვენი ვირი ოცი მეტრია "ხორბლის" დარტყმისგან. თუ ადგილები, სადაც შეგიძლიათ გაჩერება, მითითებულია 
(- თავად დარტყმები), მაშინ მისი საწყისი პოზიცია შეიძლება განისაზღვროს ვექტორით, რომლის მე-1 კომპონენტი უდრის ალბათობას, რომ იგი თავდაპირველად მდებარეობს. გარდა ამისა, ერთი წუთის შემდეგ მისი მდებარეობის ალბათობა აღწერილია ვექტორით, ხოლო ორი წუთის შემდეგ - ვექტორით. ცხადია, რომ წუთების გასვლის შემდეგ მოცემულ ადგილას მისი ყოფნის ალბათობის პირდაპირ გამოთვლა რთული ხდება. აღმოჩნდა, რომ ამის ყველაზე მოსახერხებელი გზა შესვლაა გარდამავალი მატრიცა.
მოდით იყოს ალბათობა იმისა, რომ ის ერთ წუთში გადავა. მაგალითად და. ამ ალბათობებს ე.წ გადასვლის ალბათობადა -მატრიცა ეწოდება გარდამავალი მატრიცა. გაითვალისწინეთ, რომ მატრიცის თითოეული ელემენტი არაუარყოფითია და რომ რომელიმე მწკრივის ელემენტების ჯამი ერთის ტოლია. ამ ყველაფრიდან გამომდინარეობს, რომ - ზემოთ განსაზღვრული საწყისი მწკრივის ვექტორი, ვირის მდებარეობა ერთი წუთის შემდეგ აღწერილია მწკრივის ვექტორით, ხოლო წუთის შემდეგ - ვექტორით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორის მე-მე კომპონენტი განსაზღვრავს ალბათობას, რომ რამდენიმე წუთის შემდეგ ვირი აღმოჩნდეს .
ეს ცნებები შეიძლება განზოგადდეს. მოდით დავურეკოთ ალბათობათა ვექტორიმწკრივის ვექტორი, რომლის ყველა კომპონენტი არაუარყოფითია და ემატება ერთს. მერე გარდამავალი მატრიცაგანისაზღვრება, როგორც კვადრატული მატრიცა, რომელშიც თითოეული მწკრივი არის ალბათობის ვექტორი. ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ მარკოვის ჯაჭვი (ან უბრალოდ ჯაჭვი), როგორც წყვილი, სადაც არის - გარდამავალი მატრიცადა არის მწკრივის ვექტორი. თუ თითოეული ელემენტი განიხილება, როგორც პოზიციიდან პოზიციაზე გადასვლის ალბათობა და - როგორც ალბათობის საწყისი ვექტორი, მაშინ მივდივართ კლასიკურ კონცეფციამდე. დისკრეტული სტაციონარული მარკოვის ჯაჭვი, რომელიც გვხვდება ალბათობის თეორიის წიგნებში (იხ. Feller V. Introduction to theory of probability and its applications. ტ. 1. M.: Mir. 1967) პოზიციას ჩვეულებრივ უწოდებენ ჯაჭვის მდგომარეობას. აღვწეროთ სხვადასხვა გზებიმათი კლასიფიკაციები.
ჩვენ დავინტერესდებით: შესაძლებელია თუ არა ერთი მდგომარეობიდან მეორეში გადასვლა და თუ ასეა, რა უმოკლეს დროში. მაგალითად, ვირის პრობლემაში შეგიძლიათ მიიღოთ დან სამ წუთში, მაგრამ ვერ მოხვდებით დან მდე. აქედან გამომდინარე, ჩვენ ძირითადად დავინტერესდებით არა თავად ალბათობით, არამედ დადებითია თუ არა. შემდეგ იმედოვნებს, რომ ყველა ეს მონაცემი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი დიგრაფის სახით, რომლის წვეროები შეესაბამება მდგომარეობებს, ხოლო რკალი მიუთითებს, შესაძლებელია თუ არა ერთი მდგომარეობიდან მეორეში გადასვლა ერთ წუთში. უფრო ზუსტად, თუ თითოეული მდგომარეობა წარმოდგენილია მისი შესაბამისი წვერით).
მარკოვის ჯაჭვები შემთხვევითი პროცესების თეორიის კარგ შესავალს ემსახურება, ე.ი. შემთხვევითი ცვლადების ოჯახების მარტივი მიმდევრობის თეორია, როგორც წესი, დამოკიდებულია პარამეტრზე, რომელიც უმეტეს აპლიკაციებში თამაშობს დროის როლს. ის ძირითადად განკუთვნილია სრული აღწერაპროცესის როგორც გრძელვადიანი, ისე ადგილობრივი ქცევა. აქ არის რამდენიმე ყველაზე შესწავლილი საკითხი ამ კუთხით.
ბრაუნის მოძრაობა და მისი განზოგადება - დიფუზიური პროცესები და პროცესები დამოუკიდებელი ნაზრდით. შემთხვევითი პროცესების თეორიამ ხელი შეუწყო ალბათობის თეორიას, ოპერატორთა თეორიასა და თეორიას შორის კავშირის გაღრმავებას. დიფერენციალური განტოლებები, რომელიც სხვა საკითხებთან ერთად ჰქონდა მნიშვნელოვანიფიზიკისა და სხვა აპლიკაციებისთვის. აპლიკაციები მოიცავს აქტუარულ (დაზღვევის) მათემატიკის, რიგის თეორიის, გენეტიკას, რეგულირებისთვის საინტერესო პროცესებს მოძრაობა, ელექტრული წრედების თეორიები, აგრეთვე საქონლის აღრიცხვისა და დაგროვების თეორიები.
მარტინგალესი. ეს პროცესები ინარჩუნებენ მარკოვის ჯაჭვების საკმარის თვისებებს, რომ მნიშვნელოვანი ერგოდიული თეორემები მათთვის ძალაში რჩება. მარტინგალეები განსხვავდება მარკოვის ჯაჭვებისგან იმით, რომ როდესაც არსებული მდგომარეობა ცნობილია, მხოლოდ მომავლის მათემატიკური მოლოდინი, მაგრამ არა აუცილებლად თავად ალბათობის განაწილება, არ არის დამოკიდებული წარსულზე. გარდა იმისა, რომ მარტინგალების თეორია კვლევისთვის მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტია, მან გაამდიდრა სტატისტიკაში წარმოქმნილი შემთხვევითი პროცესების თეორია და გაყოფის თეორია ახალი ზღვრული თეორემებით. ატომის ბირთვი, გენეტიკა და ინფორმაციის თეორია.
სტაციონარული პროცესები. უძველესი ცნობილი ერგოდიული თეორემა, როგორც ზემოთ აღინიშნა, შეიძლება განიმარტოს, როგორც სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის შემზღუდველი ქცევის აღწერის შედეგი. ასეთ პროცესს აქვს თვისება, რომ ყველა ის ალბათური კანონი, რომელსაც ის აკმაყოფილებს, უცვლელი რჩება დროის ცვლასთან მიმართებაში. ერგოდიული თეორემა, რომელიც პირველად ჩამოყალიბდა ფიზიკოსების მიერ, როგორც ჰიპოთეზა, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც განცხადება, რომ როდესაც გარკვეული პირობებიანსამბლური საშუალო ემთხვევა დროის საშუალოს. ეს ნიშნავს, რომ იგივე ინფორმაციის მიღება შესაძლებელია სისტემაზე გრძელვადიანი დაკვირვებით და იმავე სისტემის მრავალი დამოუკიდებელი ასლის ერთდროული (და მყისიერი) დაკვირვებით. დიდი რიცხვების კანონი სხვა არაფერია, თუ არა ბირკოფის ერგოდიული თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა. სტაციონარული გაუსის პროცესების ქცევის ინტერპოლაცია და პროგნოზირება, ფართო გაგებით, წარმოადგენს კლასიკური უმცირეს კვადრატების თეორიის მნიშვნელოვან განზოგადებას. სტაციონარული პროცესების თეორია აუცილებელი კვლევის ინსტრუმენტია მრავალ სფეროში, მაგალითად, კომუნიკაციის თეორიაში, რომელიც ეხება სისტემების შესწავლას და შექმნას, რომლებიც გადასცემენ შეტყობინებებს ხმაურის ან შემთხვევითი ჩარევის არსებობისას.
მარკოვის პროცესები (პროცესები შემდგომი ეფექტის გარეშე) დიდ როლს თამაშობს რიგის სისტემების (QS) მოდელირებაში, ასევე საზოგადოებაში მიმდინარე სოციალურ-ეკონომიკური პროცესების მართვის სტრატეგიის მოდელირებასა და არჩევაში. მაგალითად, განვიხილოთ მარკოვის კონტროლირებადი ჯაჭვები.
მარკოვის ჯაჭვები
შესავალი
§ 1. მარკოვის ჯაჭვი
§ 2. მარკოვის ერთგვაროვანი ჯაჭვი. გარდამავალი ალბათობები. გარდამავალი მატრიცა
§3. მარკოვის თანასწორობა
§4. სტაციონარული განაწილება. ლიმიტის ალბათობის თეორემა
§5. თეორემის დადასტურება შეზღუდვის ალბათობაზე მარკოვის ჯაჭვში
§6. მარკოვის ჯაჭვების აპლიკაციები
დასკვნა
გამოყენებული ლიტერატურის სია
შესავალი
ჩვენი კურსის მუშაობის თემაა მარკოვის ჯაჭვი. მარკოვის ჯაჭვები ეწოდა გამოჩენილი რუსი მათემატიკოსის, ანდრეი ანდრეევიჩ მარკოვის პატივსაცემად, რომელიც ინტენსიურად მუშაობდა შემთხვევით პროცესებზე და დიდი წვლილი შეიტანა ამ სფეროს განვითარებაში. ახლახან შეგიძლიათ გაიგოთ მარკოვის ჯაჭვების გამოყენების შესახებ სხვადასხვა სფეროში: თანამედროვე ვებ ტექნოლოგიები, ლიტერატურული ტექსტების გაანალიზებისას ან თუნდაც თამაშის ტაქტიკის შემუშავებისას. საფეხბურთო გუნდი. მათ, ვინც არ იცის, რა არის მარკოვის ჯაჭვები, შეიძლება ჰქონდეს განცდა, რომ ეს არის რაღაც ძალიან რთული და თითქმის გაუგებარი.
არა, პირიქითაა. მარკოვის ჯაჭვი არის შემთხვევითი მოვლენების თანმიმდევრობის ერთ-ერთი უმარტივესი შემთხვევა. მაგრამ, მიუხედავად მისი სიმარტივისა, ის ხშირად შეიძლება სასარგებლო იყოს საკმაოდ რთული ფენომენების აღწერისასაც კი. მარკოვის ჯაჭვი არის შემთხვევითი მოვლენების თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული მოვლენის ალბათობა დამოკიდებულია მხოლოდ წინაზე, მაგრამ არ არის დამოკიდებული ადრინდელ მოვლენებზე.
სანამ უფრო ღრმად ჩავუღრმავდებით, უნდა განვიხილოთ რამდენიმე დამხმარე საკითხი, რომლებიც საყოველთაოდ ცნობილია, მაგრამ აბსოლუტურად აუცილებელია შემდგომი გამოფენისთვის.
ჩემი საკურსო მუშაობის მიზანია უფრო დეტალურად შევისწავლო მარკოვის ჯაჭვების აპლიკაციები, პრობლემის განცხადებები და მარკოვის პრობლემები.
§1. მარკოვის ჯაჭვი
წარმოვიდგინოთ, რომ ტარდება ტესტების თანმიმდევრობა.
განმარტება.მარკოვის ჯაჭვი არის ცდების თანმიმდევრობა, რომელთაგან თითოეულში ჩნდება ერთი და მხოლოდ ერთი შეუთავსებელი მოვლენა სრული ჯგუფის და პირობითი ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა მოხდეს მე-3 ცდაში არის 
, იმ პირობით, რომ მოვლენა მოხდა სასამართლო პროცესზე 
, არ არის დამოკიდებული წინა ტესტების შედეგებზე.
მაგალითად, თუ ცდების თანმიმდევრობა ქმნის მარკოვის ჯაჭვს და სრული ჯგუფი შედგება ოთხი შეუთავსებელი მოვლენისგან და ცნობილია, რომ მოვლენა მოხდა მეექვსე ცდაში, მაშინ პირობითი ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა მოხდეს მეშვიდე ცდაში არ არის დამოკიდებული. რა მოვლენები გამოჩნდა პირველ მეორე, ..., მეხუთე ტესტებში.
გაითვალისწინეთ, რომ დამოუკიდებელი ტესტები მარკოვის ჯაჭვის განსაკუთრებული შემთხვევაა. მართლაც, თუ ტესტები დამოუკიდებელია, მაშინ რომელიმე ტესტში გარკვეული მოვლენის დადგომა არ არის დამოკიდებული ადრე ჩატარებული ტესტების შედეგებზე. აქედან გამომდინარეობს, რომ მარკოვის ჯაჭვის კონცეფცია არის დამოუკიდებელი ცდების კონცეფციის განზოგადება.
ხშირად მარკოვის ჯაჭვების თეორიის წარმოდგენისას ისინი იცავენ განსხვავებულ ტერმინოლოგიას და საუბრობენ გარკვეულ ფიზიკურ სისტემაზე, რომელიც დროის ყოველ მომენტში იმყოფება ერთ-ერთ მდგომარეობაში: და იცვლის თავის მდგომარეობას მხოლოდ დროის ცალკეულ მომენტებში, რომ არის, სისტემა გადადის ერთი მდგომარეობიდან მეორეში (მაგალითად, დან მდე). მარკოვის ჯაჭვებისთვის, ნებისმიერ შტატში წასვლის ალბათობაა ამჟამად დამოკიდებულია მხოლოდ იმაზე, თუ რა მდგომარეობაში იყო სისტემა იმ მომენტში და არ იცვლება, რადგან მისი მდგომარეობა ადრეულ მომენტებში ხდება ცნობილი. ასევე, კერძოდ, ტესტირების შემდეგ სისტემა შეიძლება დარჩეს იმავე მდგომარეობაში („გადატანა“ მდგომარეობიდან სახელმწიფოში).
საილუსტრაციოდ, განიხილეთ მაგალითი.
მაგალითი 1.წარმოვიდგინოთ, რომ სწორ ხაზზე მდებარე ნაწილაკი მოძრაობს ამ სწორი ხაზის გასწვრივ მომენტებში მომხდარი შემთხვევითი დარტყმების გავლენის ქვეშ. ნაწილაკი შეიძლება განთავსდეს წერტილებში მთელი რიცხვის კოორდინატებით: 
; ამრეკლავი კედლები განლაგებულია წერტილებში. თითოეული ბიძგი ნაწილაკს მოძრაობს მარჯვნივ ალბათობით და მარცხნივ ალბათობით, თუ ნაწილაკი კედელთან ახლოს არ არის. თუ ნაწილაკი კედელთან ახლოსაა, მაშინ ნებისმიერი ბიძგი მას მოძრაობს ერთი ერთეულით კედლებს შორის არსებული უფსკრულის შიგნით. აქ ჩვენ ვხედავთ, რომ ნაწილაკების სიარულის ეს მაგალითი ტიპიური მარკოვის ჯაჭვია.
ამრიგად, მოვლენებს სისტემის მდგომარეობებს უწოდებენ, ტესტებს კი მის მდგომარეობებში ცვლილებას.
ახლა განვსაზღვროთ მარკოვის ჯაჭვი ახალი ტერმინოლოგიის გამოყენებით.
დისკრეტული დროის მარკოვის ჯაჭვი არის წრე, რომლის მდგომარეობა იცვლება გარკვეულ ფიქსირებულ დროში.
უწყვეტი დროის მარკოვის ჯაჭვი არის ჯაჭვი, რომლის მდგომარეობა იცვლება დროის ნებისმიერ შემთხვევით შესაძლო მომენტში.
§2. მარკოვის ერთგვაროვანი ჯაჭვი. გარდამავალი ალბათობები. გარდამავალი მატრიცა
განმარტება.მარკოვის ჯაჭვს ჰომოგენური ეწოდება, თუ პირობითი ალბათობა (მდგომარეობიდან მდგომარეობაზე გადასვლა) არ არის დამოკიდებული საცდელ რიცხვზე. ამიტომ, იმის ნაცვლად, რომ უბრალოდ დაწერო.
მაგალითი 1.შემთხვევითი სიარული. მოდით იყოს მატერიალური ნაწილაკი სწორ ხაზზე მთელი რიცხვის კოორდინატის მქონე წერტილში. დროის გარკვეულ მომენტებში ნაწილაკი განიცდის შოკს. ბიძგის გავლენით ნაწილაკი მოძრაობს ალბათობით ერთი ერთეული მარჯვნივ და ალბათობით ერთი ერთეული მარცხნივ. ნათელია, რომ ნაწილაკების პოზიცია (კოორდინატი) დარტყმის შემდეგ დამოკიდებულია იმაზე, თუ სად იყო ნაწილაკი უშუალოდ წინა დარტყმის შემდეგ და არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ როგორ მოძრაობდა იგი სხვა წინა დარტყმების გავლენის ქვეშ.
ამრიგად, შემთხვევითი გასეირნება არის ჰომოგენური მარკოვის ჯაჭვის მაგალითი დისკრეტული დროით.
გადასვლის ალბათობა არის პირობითი ალბათობა იმისა, რომ მდგომარეობიდან (რომელშიც სისტემა აღმოჩნდა რაღაც ტესტის შედეგად, რა რიცხვიც არ უნდა იყოს) მომდევნო ტესტის შედეგად სისტემა გადავა მდგომარეობაზე.
ამრიგად, აღნიშვნაში პირველი ინდექსი მიუთითებს წინა მდგომარეობის რაოდენობაზე, ხოლო მეორე მიუთითებს შემდგომი მდგომარეობის რაოდენობაზე. მაგალითად, არის მეორე მდგომარეობიდან მესამეზე გადასვლის ალბათობა.
მდგომარეობების რაოდენობა იყოს სასრული და ტოლი.
სისტემის გარდამავალი მატრიცა არის მატრიცა, რომელიც შეიცავს ამ სისტემის ყველა გადასვლის ალბათობას:
ვინაიდან მატრიცის ყოველი მწკრივი შეიცავს მოვლენათა ალბათობას (გადასასვლელი ერთი და იგივე მდგომარეობიდან ნებისმიერ შესაძლო მდგომარეობაზე), რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს, ამ მოვლენების ალბათობათა ჯამი უდრის ერთს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გარდამავალი მატრიცის თითოეული მწკრივის გადასვლის ალბათობების ჯამი უდრის ერთს:
მოვიყვანოთ სისტემის გარდამავალი მატრიცის მაგალითი, რომელიც შეიძლება იყოს სამ მდგომარეობაში; მდგომარეობიდან მდგომარეობაზე გადასვლა ხდება მარკოვის ერთგვაროვანი ჯაჭვის სქემის მიხედვით; გადასვლის ალბათობები მოცემულია მატრიცით:
აქ ჩვენ ვხედავთ, რომ თუ სისტემა მდგომარეობაში იყო, მაშინ ერთი ნაბიჯით მდგომარეობის შეცვლის შემდეგ, ის დარჩება იმავე მდგომარეობაში 0,5 ალბათობით, დარჩება იმავე მდგომარეობაში 0,5 ალბათობით და გადავა მდგომარეობაში 0,2 ალბათობით, შემდეგ გადასვლის შემდეგ ის შეიძლება დასრულდეს მდგომარეობებში; მას არ შეუძლია გადაადგილება სახელმწიფოდან. მატრიცის ბოლო მწკრივი გვიჩვენებს, რომ მდგომარეობიდან რომელიმეზე გადასვლა შესაძლო სახელმწიფოებიიგივე ალბათობით 0,1.
სისტემის გარდამავალი მატრიცის საფუძველზე შეგიძლიათ ააწყოთ სისტემის ე.წ. მდგომარეობის გრაფიკი. ეს მოსახერხებელია მიკროსქემის ვიზუალური წარმოდგენისთვის. მოდით შევხედოთ გრაფიკების აგების თანმიმდევრობას მაგალითის გამოყენებით.
მაგალითი 2.მოცემული გარდამავალი მატრიცის გამოყენებით ააგეთ მდგომარეობის გრაფიკი.
იმიტომ რომ მეოთხე რიგის მატრიცა, შესაბამისად, სისტემას აქვს 4 შესაძლო მდგომარეობა.
გრაფიკი არ მიუთითებს სისტემის ერთი მდგომარეობიდან იმავეზე გადასვლის ალბათობებზე. კონკრეტული სისტემების განხილვისას მოსახერხებელია ჯერ ავაშენოთ მდგომარეობის გრაფიკი, შემდეგ განვსაზღვროთ სისტემის გადასვლის ალბათობა ერთი მდგომარეობიდან იმავეში (მოთხოვნის საფუძველზე, რომ მატრიცის მწკრივების ელემენტების ჯამი იყოს ერთის ტოლი. ), შემდეგ ააშენეთ სისტემის გარდამავალი მატრიცა.
§3. მარკოვის თანასწორობა
განმარტება.ავღნიშნოთ ალბათობით, რომ ნაბიჯების (ტესტების) შედეგად სისტემა გადავა მდგომარეობიდან სახელმწიფოში. მაგალითად, არის 10 ნაბიჯით გადასვლის ალბათობა მეორე მდგომარეობიდან მეხუთეზე.
ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ ჩვენ ვიღებთ გარდამავალ ალბათობებს
მოდით დავსვათ დავალება: ვიცოდეთ გადასვლის ალბათობები, ვიპოვოთ სისტემის მდგომარეობიდან მდგომარეობაზე გადასვლის ალბათობა ეტაპობრივად.
ამ მიზნით განვიხილავთ შუალედურ მდგომარეობას (და შორის). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ საწყის მდგომარეობიდან ეტაპობრივად სისტემა გადავა ალბათობით შუალედურ მდგომარეობაში, რის შემდეგაც შუალედური მდგომარეობიდან დარჩენილ საფეხურებში გადავა საბოლოო მდგომარეობაზე ალბათობით.
საერთო ალბათობის ფორმულის გამოყენებით, ვიღებთ
. (1)
ამ ფორმულას მარკოვის თანასწორობა ჰქვია.
ახსნა.მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა:
– მოვლენა, რომელიც გვაინტერესებს (ეტაპობრივად სისტემა გადავა საწყისი მდგომარეობიდან საბოლოო მდგომარეობაში), შესაბამისად, ; 
− ჰიპოთეზები (საფეხურებით სისტემა გადავა საწყისი მდგომარეობიდან შუალედურ მდგომარეობაში), შესაბამისად, − პირობითი ალბათობა დადგომის პირობით, იმ პირობით, რომ ჰიპოთეზა განხორციელდა (ეტაპობრივად სისტემა გადავა შუალედური მდგომარეობიდან საბოლოო მდგომარეობაში), ამიტომ, 
საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით,
()
ან ჩვენ მიერ მიღებულ აღნიშვნაში
რომელიც ემთხვევა მარკოვის ფორმულას (1).
ყველა გარდამავალი ალბათობის ცოდნა, ანუ მდგომარეობიდან მდგომარეობაზე გადასვლის მატრიცის ერთ საფეხურზე ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ მდგომარეობიდან მდგომარეობაზე გადასვლის ალბათობა ორ საფეხურზე და, შესაბამისად, თავად გადასვლის მატრიცა; ცნობილი მატრიცის გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ გადასვლის მატრიცა მდგომარეობიდან სახელმწიფოში სამ ნაბიჯში და ა.შ.
მართლაც, მარკოვის თანასწორობის დაყენება
,
ნიშნების ჯაჭვი შემთხვევითი ალბათობა
,
(2)
ამრიგად, ფორმულის გამოყენებით (2) შეგიძლიათ იპოვოთ ყველა ალბათობა და, შესაბამისად, თავად მატრიცა. ვინაიდან ფორმულის (2) პირდაპირი გამოყენება დამღლელი აღმოჩნდება და მატრიცული გამოთვლა უფრო სწრაფად მიდის მიზნამდე, მე დავწერ (2)-დან წარმოშობილ მიმართებებს მატრიცის სახით:
ჩასვით (1), ჩვენ ანალოგიურად ვიღებთ
ზოგადად
თეორემა 1.ნებისმიერი ს, ტ
(3)
მტკიცებულება. გამოვთვალოთ ალბათობა 
საერთო ალბათობის ფორმულის გამოყენებით (), აყენებს
თანასწორობიდან
აქედან გამომდინარე ტოლობებიდან (4) და
ვიღებთ თეორემის დებულებას.
მოდით განვსაზღვროთ მატრიცაში აღნიშვნა (3) აქვს ფორმას
მას შემდეგ სად არის გადასვლის ალბათობის მატრიცა. (5)-დან გამომდინარეობს
(6)
მატრიცების თეორიაში მიღებული შედეგები საშუალებას იძლევა (6) ფორმულის გამოყენებით გამოვთვალოთ და შევისწავლოთ მათი ქცევა როდის
მაგალითი 1.მითითებულია გარდამავალი მატრიცა 
იპოვეთ გარდამავალი მატრიცა 
გამოსავალი. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა
მატრიცების გამრავლებით, საბოლოოდ მივიღებთ:
.
§4. სტაციონარული განაწილება. ლიმიტის ალბათობის თეორემა
ალბათობის განაწილება დროის თვითნებურ მომენტში შეიძლება მოიძებნოს საერთო ალბათობის ფორმულის გამოყენებით
(7)
შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ ეს დროზე არ არის დამოკიდებული. მოდით დავურეკოთ სტაციონარული განაწილებავექტორი 
პირობებს აკმაყოფილებს
სად არის გადასვლის ალბათობა.
თუ მარკოვის ჯაჭვში 
შემდეგ ნებისმიერისთვის
ეს განცხადება მოჰყვება ინდუქციას (7) და (8).
წარმოგიდგენთ თეორემის ფორმულირებას ზღვრული ალბათობების შესახებ მარკოვის ჯაჭვების ერთი მნიშვნელოვანი კლასისთვის.
თეორემა 1. თუ ზოგიერთი >0-სთვის მატრიცის ყველა ელემენტი დადებითია, მაშინ ნებისმიერისთვის, for
, (9)
სად 
სტაციონარული განაწილება გარკვეული მუდმივით, რომელიც აკმაყოფილებს 0 უტოლობას<
თ
<1.
ვინაიდან, მაშინ თეორემის პირობების მიხედვით, ნებისმიერი მდგომარეობიდან შეგიძლიათ დროულად მიხვიდეთ ნებისმიერ მდგომარეობამდე დადებითი ალბათობით. თეორემის პირობები გამორიცხავს ჯაჭვებს, რომლებიც გარკვეული გაგებით პერიოდულია.
თუ თეორემა 1-ის პირობები დაკმაყოფილებულია, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ სისტემა გარკვეულ მდგომარეობაშია, არ არის დამოკიდებული საწყისი განაწილების ლიმიტზე. მართლაც, (9) და (7)-დან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი საწყისი განაწილებისთვის,
განვიხილოთ მარკოვის ჯაჭვების რამდენიმე მაგალითი, რომელთათვისაც თეორემა 1-ის პირობები არ არის დაკმაყოფილებული. ძნელი არ არის იმის გადამოწმება, რომ ასეთი მაგალითები მაგალითებია. მაგალითში გადასვლის ალბათობებს აქვთ საზღვრები, მაგრამ ეს ლიმიტები დამოკიდებულია საწყის მდგომარეობაზე. კერძოდ, როცა
სხვა მაგალითებში, ალბათობის დიაპაზონი აშკარად არ არსებობს.
ვიპოვოთ სტაციონარული განაწილება მაგალითში 1. უნდა ვიპოვოთ ვექტორი 
დამაკმაყოფილებელი პირობები (8):
,
;
ამრიგად, არსებობს სტაციონარული განაწილება, მაგრამ ყველა კოორდინატთა ვექტორი არ არის დადებითი.
პოლინომიური სქემისთვის შემოღებული იქნა შემთხვევითი ცვლადები მოცემული ტიპის შედეგების რაოდენობის ტოლი. შემოვიღოთ მსგავსი რაოდენობით მარკოვის ჯაჭვებისთვის. მოდით იყოს სისტემაში შესვლის დროში დროის რაოდენობა. შემდეგ სისტემის დარტყმის სიხშირე სახელმწიფოში. ფორმულების გამოყენებით (9) შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ როდესაც მიდგომები . ამისათვის თქვენ უნდა მიიღოთ ასიმპტომური ფორმულები და გამოიყენოთ ჩებიშევის უტოლობა. აქ არის ფორმულის წარმოშობა. წარმოვადგინოთ იგი ფორმით
(10)
სად, თუ და სხვაგვარად. იმიტომ რომ
,
შემდეგ მათემატიკური მოლოდინის თვისებისა და ფორმულის (9) გამოყენებით ვიღებთ
.
თეორემა 1-ის ძალით, ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს სამმაგი წევრი არის კონვერგენტული რიგის ნაწილობრივი ჯამი. აყენებს 
, ვიღებთ
იმიტომ რომ
კერძოდ (11) ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ
ზე
თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ ფორმულა, რომელიც გამოიყენება დისპერსიის გამოსათვლელად.
§5. მარკოვის ჯაჭვში შეზღუდვის ალბათობების თეორემის დადასტურება
ჯერ დავამტკიცოთ ორი ლემა. დავსვათ
ლემა 1. ნებისმიერისთვის არის შეზღუდვები
მტკიცებულება. (3) განტოლების გამოყენებით ვიღებთ
ამრიგად, თანმიმდევრობა არის როგორც მონოტონური, ასევე შეზღუდული. ეს გულისხმობს ლემა 1-ის განცხადებას.
ლემა 2.
თუ თეორემა 2-ის პირობები დაკმაყოფილებულია, მაშინ არსებობს მუდმივები, 
ისეთი რომ
ნებისმიერისთვის
სადაც , ნიშნავს შეჯამებას ყველასთვის, რომლისთვისაც დადებითია, და ჯამი დანარჩენზე. აქედან
. (12)
ვინაიდან 1-ლი თეორემის პირობებში გადასვლის ალბათობები ყველასთვის, შემდეგ ნებისმიერისთვის
და მდგომარეობების სასრული რაოდენობის გამო
ახლა შევაფასოთ განსხვავება 
. (3) განტოლების გამოყენებით , , ვიღებთ
აქედან, (8)-(10) გამოყენებით ვპოულობთ
=
.
ამ კავშირის უტოლობასთან (14) გაერთიანებით, ჩვენ ვიღებთ ლემის განცხადებას.
გადადით თეორემის დადასტურებაზე. ვინაიდან თანმიმდევრობები მონოტონურია, მაშინ
0<
. (15)
აქედან და ლემა 1-დან ვპოულობთ
ამიტომ, როცა მიიღებთ და
პოზიტიურობა გამომდინარეობს უთანასწორობიდან (15). (3) განტოლებაში და ზღვრამდე მივიღებთ, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას (12). თეორემა დადასტურდა.
§6. მარკოვის ჯაჭვების აპლიკაციები
მარკოვის ჯაჭვები შემთხვევითი პროცესების თეორიის კარგ შესავალს ემსახურება, ე.ი. შემთხვევითი ცვლადების ოჯახის მარტივი მიმდევრობების თეორია, როგორც წესი, დამოკიდებულია პარამეტრზე, რომელიც უმეტეს აპლიკაციებში თამაშობს დროის როლს. იგი ძირითადად მიზნად ისახავს პროცესის გრძელვადიანი და ადგილობრივი ქცევის სრულად აღწერას. აქ არის რამდენიმე ყველაზე შესწავლილი საკითხი ამ კუთხით.
ბრაუნის მოძრაობა და მისი განზოგადება - დიფუზიური პროცესები და პროცესები დამოუკიდებელი ნაზრდით . შემთხვევითი პროცესების თეორიამ ხელი შეუწყო ალბათობის თეორიას, ოპერატორთა თეორიას და დიფერენციალური განტოლებების თეორიას შორის კავშირის გაღრმავებას, რაც, სხვა საკითხებთან ერთად, მნიშვნელოვანი იყო ფიზიკისა და სხვა აპლიკაციებისთვის. აპლიკაციები მოიცავს აქტუარული (დაზღვევის) მათემატიკისთვის საინტერესო პროცესებს, რიგის თეორიას, გენეტიკას, მოძრაობის კონტროლს, ელექტრული წრედის თეორიას და ინვენტარის თეორიას.
მარტინგალესი . ეს პროცესები ინარჩუნებენ მარკოვის ჯაჭვების საკმარის თვისებებს, რომ მნიშვნელოვანი ერგოდიული თეორემები მათთვის ძალაში რჩება. მარტინგალეები განსხვავდება მარკოვის ჯაჭვებისგან იმით, რომ როდესაც არსებული მდგომარეობა ცნობილია, მხოლოდ მომავლის მათემატიკური მოლოდინი, მაგრამ არა აუცილებლად თავად ალბათობის განაწილება, არ არის დამოკიდებული წარსულზე. გარდა იმისა, რომ მარტინგალების თეორია კვლევისთვის მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტია, მან გაამდიდრა სტატისტიკაში წარმოქმნილი შემთხვევითი პროცესების თეორია, ბირთვული დაშლის თეორია, გენეტიკა და ინფორმაციის თეორია ახალი ზღვრული თეორემებით.
სტაციონარული პროცესები . უძველესი ცნობილი ერგოდიული თეორემა, როგორც ზემოთ აღინიშნა, შეიძლება განიმარტოს, როგორც სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის შემზღუდველი ქცევის აღწერის შედეგი. ასეთ პროცესს აქვს თვისება, რომ ყველა ის ალბათური კანონი, რომელსაც ის აკმაყოფილებს, უცვლელი რჩება დროის ცვლასთან მიმართებაში. ერგოდიული თეორემა, რომელიც პირველად ჩამოყალიბდა ფიზიკოსების მიერ, როგორც ჰიპოთეზა, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც განცხადება, რომ გარკვეულ პირობებში, ანსამბლის საშუალო ემთხვევა დროის საშუალოს. ეს ნიშნავს, რომ იგივე ინფორმაციის მიღება შესაძლებელია სისტემაზე გრძელვადიანი დაკვირვებით და იმავე სისტემის მრავალი დამოუკიდებელი ასლის ერთდროული (და მყისიერი) დაკვირვებით. დიდი რიცხვების კანონი სხვა არაფერია, თუ არა ბირკოფის ერგოდიული თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა. სტაციონარული გაუსის პროცესების ქცევის ინტერპოლაცია და პროგნოზირება, ფართო გაგებით, წარმოადგენს კლასიკური უმცირეს კვადრატების თეორიის მნიშვნელოვან განზოგადებას. სტაციონარული პროცესების თეორია აუცილებელი კვლევის ინსტრუმენტია მრავალ სფეროში, მაგალითად, კომუნიკაციის თეორიაში, რომელიც ეხება სისტემების შესწავლას და შექმნას, რომლებიც გადასცემენ შეტყობინებებს ხმაურის ან შემთხვევითი ჩარევის არსებობისას.
მარკოვის პროცესები (პროცესები შემდგომი ეფექტის გარეშე) დიდ როლს თამაშობს რიგის სისტემების (QS) მოდელირებაში, ასევე საზოგადოებაში მიმდინარე სოციალურ-ეკონომიკური პროცესების მართვის სტრატეგიის მოდელირებასა და არჩევაში.
მარკოვის ჯაჭვის გამოყენება შესაძლებელია ტექსტების გენერირებისთვისაც. შეყვანის სახით მოწოდებულია რამდენიმე ტექსტი, შემდეგ აშენდება მარკოვის ჯაჭვი ერთი სიტყვის შემდეგ მეორეს ალბათობით და შედეგად მიღებული ტექსტი იქმნება ამ ჯაჭვის საფუძველზე. სათამაშო აღმოჩნდება ძალიან გასართობი!
დასკვნა
ამრიგად, ჩვენი კურსის მუშაობაში ჩვენ ვსაუბრობდით მარკოვის ჯაჭვის წრეზე. ჩვენ ვისწავლეთ რა სფეროებში და როგორ გამოიყენება, დამოუკიდებელმა ტესტებმა დაამტკიცა თეორემა მარკოვის ჯაჭვში ალბათობების შეზღუდვის შესახებ, მოვიყვანეთ მაგალითები ტიპიური და ერთგვაროვანი მარკოვის ჯაჭვისთვის, ასევე გარდამავალი მატრიცის საპოვნელად.
ჩვენ დავინახეთ, რომ მარკოვის ჯაჭვის დიზაინი არის დამოუკიდებელი ტესტის დიზაინის პირდაპირი განზოგადება.
გამოყენებული ლიტერატურის სია
1. ჩისტიაკოვი ვ.პ. ალბათობის თეორიის კურსი. მე-6 გამოცემა, რევ. − პეტერბურგი: გამომცემლობა Lan, 2003. − 272 გვ. − (სახელმძღვანელო უნივერსიტეტებისთვის. სპეციალური ლიტერატურა).
2. გნედენკო ბ.ვ. ალბათობის თეორიის კურსი.
3. გმურმანი ვ.ე. ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა.
4. ვენცელი ე.ს. ალბათობის თეორია და მისი საინჟინრო აპლიკაციები.
5. კოლმოგოროვი ა.ნ., ჟურბენკო ი.გ., პროხოროვი ა.ვ. შესავალი ალბათობის თეორიაში. − მოსკოვი-იჟევსკი: კომპიუტერული კვლევის ინსტიტუტი, 2003, 188 გვ.
6. Katz M. ალბათობა და მასთან დაკავშირებული საკითხები ფიზიკაში.
სტატიები თემაზე
