სკალარული ვექტორის გამრავლება. როგორ მოვძებნოთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი. წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები
განმარტება 1
წერტილოვანი პროდუქტივექტორები არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ამ ვექტორების დინების ნამრავლისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსის.
a → და b → ვექტორების ნამრავლის აღნიშვნას აქვს ფორმა a → , b →. მოდით გარდავქმნათ იგი ფორმულაში:
a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → და b → აღნიშნავენ ვექტორების სიგრძეებს, a → , b → ^ - მოცემულ ვექტორებს შორის კუთხის აღნიშვნა. თუ ერთი ვექტორი მაინც არის ნული, ანუ აქვს მნიშვნელობა 0, მაშინ შედეგი იქნება ნულის ტოლი, a → , b → = 0.
ვექტორის თავის თავზე გამრავლებისას მივიღებთ მისი სიგრძის კვადრატს:
a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2
განმარტება 2
ვექტორის სკალარული გამრავლება თავისთავად ეწოდება სკალარული კვადრატი.
გამოითვლება ფორმულით:
a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
აღნიშვნა a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → აჩვენებს, რომ n p b → a → არის a → რიცხვითი პროექცია. b → , n p a → a → - b → პროექცია a →-ზე, შესაბამისად.
მოდით ჩამოვაყალიბოთ პროდუქტის განმარტება ორი ვექტორისთვის:
ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი a → b → ეწოდება a → ვექტორის სიგრძის ნამრავლს b → პროექციით a → ან b → სიგრძის ნამრავლი a პროექციით, შესაბამისად.
წერტილოვანი პროდუქტი კოორდინატებში
სკალარული პროდუქტის გამოთვლა შესაძლებელია მოცემულ სიბრტყეში ან სივრცეში ვექტორების კოორდინატების გამოყენებით.
სიბრტყეზე ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი, სამგანზომილებიან სივრცეში, ეწოდება a → და b → მოცემული ვექტორების კოორდინატთა ჯამს.
მოცემული ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამოთვლისას a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) სიბრტყეზე დეკარტის სისტემაში გამოიყენეთ:
a →, b → = a x b x + a y b y,
ამისთვის სამგანზომილებიანი სივრცემოქმედი გამოხატულება:
a →, b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z.
სინამდვილეში, ეს არის სკალარული პროდუქტის მესამე განმარტება.
დავამტკიცოთ.
მტკიცებულება 1
ამის დასამტკიცებლად ვიყენებთ a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y ვექტორებისთვის a → = (a x , a y) , b → = (b x , ბ შ) დეკარტის სისტემაზე.
ვექტორები განზე უნდა იყოს
O A → = a → = a x, a y და O B → = b → = b x, b y.
მაშინ A B → ვექტორის სიგრძე იქნება A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) .
განვიხილოთ სამკუთხედი O A B.
A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) სწორია კოსინუსების თეორემაზე დაყრდნობით.
პირობის მიხედვით ირკვევა, რომ O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , რაც ნიშნავს, რომ ვწერთ ვექტორებს შორის კუთხის პოვნის ფორმულას განსხვავებულად.
b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .
შემდეგ პირველი განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , რაც ნიშნავს (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .
ვექტორების სიგრძის გამოთვლის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y
მოდით დავამტკიცოთ თანასწორობა:
(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z
– შესაბამისად სამგანზომილებიანი სივრცის ვექტორებისთვის.
კოორდინატების მქონე ვექტორების სკალარული ნამრავლი ამბობს, რომ ვექტორის სკალარული კვადრატი უდრის მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამს შესაბამისად სივრცეში და სიბრტყეზე. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) და (a →, a →) = a x 2 + a y 2.
Dot პროდუქტი და მისი თვისებები
არსებობს წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები, რომლებიც ეხება →, b → და c →:
- კომუტატიურობა (a → , b →) = (b → , a →) ;
- განაწილება (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , გ →) ;
- კომბინაციური თვისება (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - ნებისმიერი რიცხვი;
- სკალარული კვადრატი ყოველთვის მეტია ნულზე (a → , a →) ≥ 0, სადაც (a → , a →) = 0 იმ შემთხვევაში, როდესაც a → ნულოვანი.
თვისებები ასახსნელია სიბრტყეზე სკალარული ნამრავლის განმარტებისა და რეალური რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების თვისებების წყალობით.
დაამტკიცეთ კომუტაციური თვისება (a → , b →) = (b → , a →) . განმარტებიდან გვაქვს, რომ (a → , b →) = a y · b y + a y · b y და (b → , a →) = b x · a x + b y · a y.
კომუტატიურობის თვისებით მართებულია ტოლობები a x · b x = b x · a x და a y · b y = b y · a y, რაც ნიშნავს x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .
აქედან გამომდინარეობს, რომ (a → , b →) = (b → , a →) . ქ.ე.დ.
განაწილება მოქმედებს ნებისმიერი რიცხვისთვის:
(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)
და (a → , b (1) → + b (2) → + . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,
აქედან გამომდინარე გვაქვს
(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)
წერტილოვანი პროდუქტი მაგალითებით და გადაწყვეტილებებით
ამ ტიპის ნებისმიერი პრობლემა მოგვარებულია სკალარული პროდუქტის თვისებებისა და ფორმულების გამოყენებით:
- (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
- (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
- (a → , b →) = a x · b x + a y · b y ან (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z;
- (a → , a →) = a → 2 .
მოდით შევხედოთ რამდენიმე გადაწყვეტის მაგალითს.
მაგალითი 2
a-ს სიგრძე არის 3, b-ის სიგრძე არის 7. იპოვეთ წერტილის ნამრავლი, თუ კუთხეს აქვს 60 გრადუსი.
გამოსავალი
პირობით, ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი, ამიტომ ვიანგარიშებთ მას ფორმულის გამოყენებით:
(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2
პასუხი: (a → , b →) = 21 2 .
მაგალითი 3
მოცემული ვექტორები a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . რა არის სკალარული პროდუქტი?
გამოსავალი
ეს მაგალითი განიხილავს კოორდინატების გამოთვლის ფორმულას, რადგან ისინი მითითებულია პრობლემის განცხადებაში:
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 + 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - 9
პასუხი: (a → , b →) = - 9
მაგალითი 4
იპოვეთ A B → და A C → სკალარული ნამრავლი. წერტილები A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) მოცემულია კოორდინატულ სიბრტყეზე.
გამოსავალი
დასაწყისისთვის, გამოითვლება ვექტორების კოორდინატები, რადგან პირობით მოცემულია წერტილების კოორდინატები:
A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)
კოორდინატების გამოყენებით ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.
პასუხი: (A B → , A C →) = 28 .
მაგალითი 5
მოცემული ვექტორები a → = 7 · m → + 3 · n → და b → = 5 · m → + 8 · n → იპოვეთ მათი ნამრავლი. m → უდრის 3 და n → უდრის 2 ერთეულს, ისინი პერპენდიკულარულია.
გამოსავალი
(a → , b →) = (7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) . გამანაწილებლობის თვისების გამოყენებისას ვიღებთ:
(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + ( 3 n → , 8 n →)
პროდუქტის ნიშნიდან ვიღებთ კოეფიციენტს და ვიღებთ:
(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)
კომუტატიურობის თვისებით ჩვენ გარდაქმნით:
35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n → ) + 24 · (n → , n →)
შედეგად ვიღებთ:
(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) .
ახლა ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას სკალარული პროდუქტისთვის პირობით განსაზღვრული კუთხით:
(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .
პასუხი: (a → , b →) = 411
თუ არსებობს რიცხვითი პროექცია.
მაგალითი 6
იპოვეთ a → და b → სკალარული ნამრავლი. ვექტორს a → აქვს კოორდინატები a → = (9, 3, - 3), პროექცია b → კოორდინატებით (- 3, - 1, 1).
გამოსავალი
პირობით, ვექტორები a → და პროექცია b → საპირისპიროა მიმართული, რადგან a → = - 1 3 · n p a → b → → , რაც ნიშნავს, რომ b → პროექცია შეესაბამება n p a → b → → სიგრძეს და თან " -“ ნიშანი:
n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,
ფორმულის ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამს:
(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .
პასუხი: (a → , b →) = - 33 .
ამოცანები ცნობილ სკალარულ ნამრავლთან, სადაც საჭიროა ვექტორის სიგრძის ან რიცხვითი პროექციის პოვნა.
მაგალითი 7
რა მნიშვნელობა უნდა მიიღოს λ მოცემული სკალარული ნამრავლისთვის a → = (1, 0, λ + 1) და b → = (λ, 1, λ) იქნება -1-ის ტოლი.
გამოსავალი
ფორმულიდან ირკვევა, რომ აუცილებელია კოორდინატების ნამრავლების ჯამის პოვნა:
(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.
მოცემული გვაქვს (a → , b →) = - 1 .
λ-ს საპოვნელად გამოვთვლით განტოლებას:
λ 2 + 2 · λ = - 1, შესაბამისად λ = - 1.
პასუხი: λ = - 1.
სკალარული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა
მექანიკა განიხილავს წერტილოვანი პროდუქტის გამოყენებას.
როდესაც A მუშაობს მუდმივი ძალით F → მოძრავი სხეული M წერტილიდან N-მდე, შეგიძლიათ იპოვოთ F → და M N → ვექტორების სიგრძის ნამრავლი მათ შორის კუთხის კოსინუსთან, რაც ნიშნავს, რომ სამუშაო ტოლია. ძალისა და გადაადგილების ვექტორების ნამრავლზე:
A = (F → , M N →) .
მაგალითი 8
მოძრავი მატერიალური წერტილი 3 მეტრი 5 ნტონის ტოლი ძალის გავლენის ქვეშ, მიმართული ღერძთან მიმართებაში 45 გრადუსიანი კუთხით. იპოვეთ ა.
გამოსავალი
ვინაიდან სამუშაო არის ძალის ვექტორისა და გადაადგილების პროდუქტი, ეს ნიშნავს, რომ F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, ვიღებთ A = (F →, S). →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .
პასუხი: A = 15 2 2 .
მაგალითი 9
მატერიალური წერტილი, რომელიც მოძრაობს M-დან (2, - 1, - 3) N-მდე (5, 3 λ - 2, 4) F → = (3, 1, 2) ძალის ქვეშ, მუშაობდა 13 J-ის ტოლი. გამოთვალეთ მოძრაობის სიგრძე.
გამოსავალი
მოცემული ვექტორული კოორდინატებისთვის M N → გვაქვს M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) .
ვექტორებთან F → = (3, 1, 2) და M N → = (3, 3 λ - 1, 7) მუშაობის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 (3). λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.
პირობის მიხედვით მოცემულია A = 13 J, რაც ნიშნავს 22 + 3 λ = 13. ეს გულისხმობს λ = - 3, რაც ნიშნავს M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).
M N → მოძრაობის სიგრძის საპოვნელად გამოიყენეთ ფორმულა და ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობები:
M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.
პასუხი: 158.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
ლექცია: ვექტორული კოორდინატები; ვექტორების სკალარული ნამრავლი; კუთხე ვექტორებს შორის
ვექტორული კოორდინატები
ასე რომ, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ვექტორი არის მიმართული სეგმენტი, რომელსაც აქვს საკუთარი დასაწყისი და დასასრული. თუ დასაწყისი და დასასრული წარმოდგენილია გარკვეული წერტილებით, მაშინ მათ აქვთ საკუთარი კოორდინატები სიბრტყეზე ან სივრცეში.
თუ თითოეულ წერტილს აქვს თავისი კოორდინატები, მაშინ შეგვიძლია მივიღოთ მთელი ვექტორის კოორდინატები.
ვთქვათ, გვაქვს ვექტორი, რომლის დასაწყისსა და დასასრულს აქვს შემდეგი აღნიშვნები და კოორდინატები: A(A x ; Ay) და B(B x ; By)
მოცემული ვექტორის კოორდინატების მისაღებად აუცილებელია საწყისის შესაბამისი კოორდინატები გამოვაკლოთ ვექტორის ბოლო კოორდინატებს:
სივრცეში ვექტორის კოორდინატების დასადგენად გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა:
ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი
სკალარული პროდუქტის კონცეფციის განსაზღვრის ორი გზა არსებობს:
- გეომეტრიული მეთოდი. მისი მიხედვით, სკალარული პროდუქტი უდრის ამ მოდულების მნიშვნელობების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის კოსინუსს.
- ალგებრული მნიშვნელობა. ალგებრის თვალსაზრისით, ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის გარკვეული რაოდენობა, რომელიც მიღებულია შესაბამისი ვექტორების ნამრავლების ჯამის შედეგად.
თუ ვექტორები მოცემულია სივრცეში, მაშინ უნდა გამოიყენოთ მსგავსი ფორმულა:
თვისებები:
- თუ ორ იდენტურ ვექტორს სკალარულად გაამრავლებთ, მაშინ მათი სკალარული ნამრავლი არ იქნება უარყოფითი:
- თუ ორი იდენტური ვექტორის სკალარული ნამრავლი აღმოჩნდება ნულის ტოლი, მაშინ ეს ვექტორები ითვლება ნულად:
- თუ გარკვეული ვექტორი თავისთავად მრავლდება, მაშინ სკალარული ნამრავლი უდრის მისი მოდულის კვადრატს:
- სკალარული პროდუქტის კომუნიკაციის თვისებაა, ანუ სკალარული პროდუქტი არ შეიცვლება, თუ ვექტორები გადანაწილდება:
- არანულოვანი ვექტორების სკალარული ნამრავლი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია:
- ვექტორების სკალარული ნამრავლისთვის, კომუტაციური კანონი მოქმედებს ერთ-ერთი ვექტორის რიცხვზე გამრავლების შემთხვევაში:
- სკალარული პროდუქტით, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება:
კუთხე ვექტორებს შორის
კუთხე ვექტორებს შორის
განვიხილოთ ორი მოცემული ვექტორი $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$. მოდით გამოვაკლოთ ვექტორები $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ და $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ თვითნებურად არჩეულ $O$ წერტილს, მაშინ კუთხე $AOB$ ეწოდება. კუთხე $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ ვექტორებს შორის (ნახ. 1).
სურათი 1.
აქვე გაითვალისწინეთ, რომ თუ ვექტორები $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ თანამიმართულები არიან ან ერთ-ერთი მათგანი ნულოვანი ვექტორია, მაშინ ვექტორებს შორის კუთხე არის $0^0$.
აღნიშვნა: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$
ვექტორების სკალარული პროდუქტის კონცეფცია
მათემატიკურად, ეს განმარტება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
წერტილოვანი პროდუქტი შეიძლება იყოს ნული ორ შემთხვევაში:
თუ ერთ-ერთი ვექტორი არის ნულოვანი ვექტორი (მაშ, მისი სიგრძე ნულის ტოლია).
თუ ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია (ანუ $cos(90)^0=0$).
ასევე გაითვალისწინეთ, რომ სკალარული ნამრავლი არის ნულზე მეტი, თუ კუთხე ამ ვექტორებს შორის მკვეთრია (რადგან $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , და ნულზე ნაკლები, თუ ამ ვექტორებს შორის კუთხე ბლაგვია (რადგან $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )
სკალარული პროდუქტის კონცეფციასთან არის დაკავშირებული სკალარული კვადრატის კონცეფცია.
განმარტება 2
$\overrightarrow(a)$ ვექტორის სკალარული კვადრატი არის ამ ვექტორის სკალარული ნამრავლი საკუთარ თავთან.
ჩვენ ვხვდებით, რომ სკალარული კვადრატი ტოლია
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a) )\მარჯვნივ
წერტილის ნამრავლის გამოთვლა ვექტორული კოორდინატებიდან
გარდა სკალარული პროდუქტის მნიშვნელობის პოვნის სტანდარტული გზით, რომელიც გამომდინარეობს განმარტებიდან, არსებობს კიდევ ერთი გზა.
განვიხილოთ.
დაე, ვექტორებს $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ ჰქონდეთ კოორდინატები $\left(a_1,b_1\right)$ და $\left(a_2,b_2\right)$, შესაბამისად.
თეორემა 1
$\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ ვექტორების სკალარული ნამრავლი უდრის შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების ჯამს.
მათემატიკურად ეს შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]
მტკიცებულება.
თეორემა დადასტურდა.
ამ თეორემას აქვს რამდენიმე შედეგი:
დასკვნა 1: ვექტორები $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ პერპენდიკულარულია თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ $a_1a_2+b_1b_2=0$
დასკვნა 2: ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი უდრის $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$
ვექტორების სკალარული ნამრავლის თვისებები
ნებისმიერი სამი ვექტორისთვის და რეალური რიცხვისთვის $k$ ეს მართალია:
$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$
ეს თვისება გამომდინარეობს სკალარული კვადრატის განმარტებიდან (განმარტება 2).
მოგზაურობის კანონი:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.
ეს თვისება გამომდინარეობს სკალარული პროდუქტის განმარტებიდან (განმარტება 1).
გამანაწილებელი კანონი:
$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \დასრულება (ჩათვლა)
თეორემა 1-ით გვაქვს:
\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]
კომბინაციის კანონი:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \დასრულება (ჩათვლა)
თეორემა 1-ით გვაქვს:
\[\მარცხნივ(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]
ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამოთვლის პრობლემის მაგალითი
მაგალითი 1
იპოვეთ $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ ვექტორების სკალარული ნამრავლი, თუ $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ და $\left|\overrightarrow(b)\right |= 2$ და მათ შორის კუთხეა $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.
გამოსავალი.
განმარტება 1-ის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ
$(30)^0:$-ად
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]
$(45)^0:$-ად
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]
$(90)^0:$-ად
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]
$(135)^0:$-ად
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ მარჯვნივ)=-3\sqrt(2)\]
თუ პრობლემაში ვექტორების სიგრძეც და კუთხეც მათ შორისაა წარმოდგენილი "ვერცხლის ლანგარზე", მაშინ პრობლემის მდგომარეობა და მისი ამოხსნა ასე გამოიყურება:
მაგალითი 1.მოცემულია ვექტორები. იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი, თუ მათი სიგრძე და მათ შორის კუთხე წარმოდგენილია შემდეგი მნიშვნელობებით:
ასევე მოქმედებს სხვა განმარტება, რომელიც სრულიად ექვივალენტურია 1-ლი განმარტებისა.
განმარტება 2. ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის რიცხვი (სკალარული) ტოლი ამ ვექტორებიდან ერთ-ერთის სიგრძისა და მეორე ვექტორის პროექციის ღერძზე, რომელიც განსაზღვრულია ამ ვექტორებიდან პირველით. ფორმულა მე-2 განმარტების მიხედვით:
ამოცანას ამ ფორმულის გამოყენებით მოვაგვარებთ შემდეგი მნიშვნელოვანი თეორიული პუნქტის შემდეგ.
ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტება კოორდინატების მიხედვით
იგივე რიცხვი შეიძლება მივიღოთ, თუ გამრავლებულ ვექტორებს მიეცემათ მათი კოორდინატები.
განმარტება 3.ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი არის რიცხვი, რომელიც ტოლია მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლების ჯამს.
თვითმფრინავში
თუ ორი ვექტორი და სიბრტყეზე განისაზღვრება მათი ორით დეკარტის მართკუთხა კოორდინატები
მაშინ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლების ჯამს:
.
მაგალითი 2.იპოვეთ ვექტორის პროექციის რიცხვითი მნიშვნელობა ვექტორის პარალელურ ღერძზე.
გამოსავალი. ვექტორების სკალარული ნამრავლს ვპოულობთ მათი კოორდინატების წყვილი ნამრავლების დამატებით:
ახლა ჩვენ უნდა გავაიგივოთ მიღებული სკალარული ნამრავლი ვექტორის სიგრძის ნამრავლთან და ვექტორის პროექცია ვექტორის პარალელურ ღერძზე (ფორმულის შესაბამისად).
იპოვეთ ვექტორის სიგრძე როგორც კვადრატული ფესვიმისი კოორდინატების კვადრატების ჯამიდან:
.
ჩვენ ვქმნით განტოლებას და ვხსნით მას:
უპასუხე. საჭირო რიცხვითი მნიშვნელობა არის მინუს 8.
სივრცეში
თუ ორი ვექტორი და სივრცეში განისაზღვრება მათი სამი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატით
,
მაშინ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი ასევე უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლის ჯამს, მხოლოდ იქ უკვე სამი კოორდინატია:
.
განხილული მეთოდის გამოყენებით სკალარული პროდუქტის პოვნის ამოცანაა სკალარული პროდუქტის თვისებების ანალიზი. რადგან პრობლემაში დაგჭირდებათ განსაზღვროთ რა კუთხით ქმნიან გამრავლებული ვექტორები.
ვექტორების სკალარული ნამრავლის თვისებები
ალგებრული თვისებები
1. (კომუტაციური თვისება: გამრავლებული ვექტორების ადგილების შებრუნება არ ცვლის მათი სკალარული ნამრავლის მნიშვნელობას).
2. 
(ასოციაციური თვისება რიცხვითი ფაქტორის მიმართ: ვექტორის სკალარული ნამრავლი გამრავლებული გარკვეულ ფაქტორზე და სხვა ვექტორი ტოლია ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამრავლებული იმავე კოეფიციენტზე).
3. 
(გამანაწილებელი თვისება ვექტორთა ჯამის მიმართ: მესამე ვექტორის მიერ ორი ვექტორის ჯამის სკალარული ნამრავლი უდრის პირველი ვექტორის სკალარული ნამრავლების ჯამს მესამე ვექტორზე და მეორე ვექტორის მესამე ვექტორზე).
4. (ნულზე მეტი ვექტორის სკალარული კვადრატი), თუ არის არანულოვანი ვექტორი და, თუ არის ნულოვანი ვექტორი.
გეომეტრიული თვისებები
ჩვენ მიერ შესწავლილი ოპერაციის განმარტებებში უკვე შევეხეთ ორ ვექტორს შორის კუთხის ცნებას. დროა განვმარტოთ ეს კონცეფცია.
ზემოთ მოცემულ ფიგურაში შეგიძლიათ იხილოთ ორი ვექტორი, რომლებიც მიყვანილია საერთო საწყისამდე. და პირველი, რასაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ არის ის, რომ ამ ვექტორებს შორის არის ორი კუთხე - φ 1 და φ 2 . ამ კუთხიდან რომელი ჩნდება ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტებებსა და თვისებებში? განხილული კუთხეების ჯამი არის 2 π და ამიტომ ამ კუთხეების კოსინუსები ტოლია. წერტილოვანი პროდუქტის განმარტება მოიცავს მხოლოდ კუთხის კოსინუსს და არა მისი გამოხატვის მნიშვნელობას. მაგრამ თვისებები მხოლოდ ერთ კუთხეს ითვალისწინებს. და ეს არის ორი კუთხიდან ერთი, რომელიც არ აღემატება π ანუ 180 გრადუსი. ფიგურაში ეს კუთხე მითითებულია როგორც φ 1 .
1. ორი ვექტორი ეწოდება ორთოგონალური და ამ ვექტორებს შორის კუთხე სწორია (90 გრადუსი ან π /2), თუ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის ნული :
.
ვექტორულ ალგებრაში ორთოგონალურობა არის ორი ვექტორის პერპენდიკულარობა.
2. ორი არანულოვანი ვექტორი შედგება მწვავე კუთხე (0-დან 90 გრადუსამდე, ან, რაც იგივეა - ნაკლები π წერტილოვანი პროდუქტი დადებითია .
3. ორი არანულოვანი ვექტორი შედგება ბლაგვი კუთხე (90-დან 180 გრადუსამდე, ან, რაც იგივეა - მეტი π /2) თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი წერტილოვანი პროდუქტი უარყოფითია .
მაგალითი 3.კოორდინატები მოცემულია ვექტორებით:
.
გამოთვალეთ მოცემული ვექტორების ყველა წყვილის სკალარული ნამრავლები. რა კუთხეს (მწვავე, მარჯვენა, ბლაგვი) ქმნიან ვექტორების ეს წყვილი?
გამოსავალი. გამოვთვლით შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების მიმატებით.
მივიღეთ უარყოფითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან ბლაგვ კუთხეს.
მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.
მივიღეთ ნული, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მართ კუთხეს.
მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.
.
მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.
თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი .
მაგალითი 4.მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე:
.
დაადგინეთ რიცხვის რომელ მნიშვნელობზეა ვექტორები და არიან ორთოგონალური (პერპენდიკულარული).
გამოსავალი. მოდით გავამრავლოთ ვექტორები მრავალწევრების გამრავლების წესის გამოყენებით:
ახლა მოდით გამოვთვალოთ თითოეული ტერმინი:
.
შევქმნათ განტოლება (ნამრავლი ტოლია ნულის), დავამატოთ მსგავსი ტერმინები და ამოხსნათ განტოლება:
პასუხი: ჩვენ მივიღეთ ღირებულება λ = 1.8, სადაც ვექტორები ორთოგონალურია.
მაგალითი 5.დაამტკიცეთ რომ ვექტორი 
ვექტორთან ორთოგონალური (პერპენდიკულარული).
გამოსავალი. ორთოგონალურობის შესამოწმებლად, ჩვენ ვამრავლებთ ვექტორებს და როგორც მრავალწევრებს, ჩაანაცვლებს პრობლემის დებულებაში მოცემულ გამოსახულებას:
.
ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი მრავალწევრის თითოეული წევრი (ტერმინი) მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქტები:
.
შედეგად, ფრაქცია მცირდება. მიიღება შემდეგი შედეგი:
დასკვნა: გამრავლების შედეგად მივიღეთ ნული, შესაბამისად, დადასტურებულია ვექტორების ორთოგონალურობა (პერპენდიკულარულობა).
თავად მოაგვარეთ პრობლემა და შემდეგ იხილეთ გამოსავალი
მაგალითი 6.ვექტორების სიგრძე და მოცემულია და კუთხე ამ ვექტორებს შორის არის π /4. განსაზღვრეთ რა ღირებულებით μ ვექტორები და ერთმანეთის პერპენდიკულურია.
თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი .
ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის მატრიცული წარმოდგენა და n-განზომილებიანი ვექტორების ნამრავლი
ზოგჯერ სიცხადისთვის ხელსაყრელია ორი გამრავლებული ვექტორის წარმოდგენა მატრიცების სახით. შემდეგ პირველი ვექტორი წარმოდგენილია მწკრივის მატრიცის სახით, ხოლო მეორე, როგორც სვეტის მატრიცა:
მაშინ ვექტორების სკალარული ნამრავლი იქნება ამ მატრიცების პროდუქტი :
შედეგი იგივეა, რაც ჩვენ მიერ უკვე განხილული მეთოდით მიღებული. ჩვენ მივიღეთ ერთი რიცხვი, ხოლო მწკრივის მატრიცის ნამრავლი სვეტის მატრიცით არის ასევე ერთი რიცხვი.
მოსახერხებელია აბსტრაქტული n-განზომილებიანი ვექტორების ნამრავლის წარმოდგენა მატრიცის სახით. ამრიგად, ორი ოთხგანზომილებიანი ვექტორის ნამრავლი იქნება მწკრივის მატრიცის ნამრავლი ოთხი ელემენტით სვეტის მატრიცით ასევე ოთხი ელემენტით, ორი ხუთგანზომილებიანი ვექტორის ნამრავლი იქნება მწკრივის მატრიცის ნამრავლი ხუთი ელემენტით. სვეტის მატრიცა ასევე ხუთი ელემენტით და ა.შ.
მაგალითი 7.იპოვნეთ ვექტორთა წყვილის სკალარული ნამრავლი
,
მატრიცული წარმოდგენის გამოყენებით.
გამოსავალი. ვექტორების პირველი წყვილი. ჩვენ წარმოვადგენთ პირველ ვექტორს, როგორც მწკრივის მატრიცას, ხოლო მეორეს, როგორც სვეტის მატრიცას. ჩვენ ვპოულობთ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლს, როგორც მწკრივის მატრიცის და სვეტის მატრიცის ნამრავლს:
ჩვენ ანალოგიურად წარმოვადგენთ მეორე წყვილს და ვპოულობთ:
როგორც ხედავთ, შედეგები იგივე იყო, რაც იგივე წყვილებისთვის მე-2 მაგალითიდან.
კუთხე ორ ვექტორს შორის
ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულის წარმოშობა ძალიან ლამაზი და ლაკონურია.
ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის გამოხატვა
(1)
კოორდინატთა სახით, პირველ რიგში ვიპოვით ერთეული ვექტორების სკალარული ნამრავლს. ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთან განსაზღვრებით:
რაც წერია ზემოთ მოცემულ ფორმულაში ნიშნავს: ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთან უდრის მისი სიგრძის კვადრატს. ნულის კოსინუსი უდრის ერთს, ამიტომ თითოეული ერთეულის კვადრატი იქნება ერთის ტოლი:
ვინაიდან ვექტორები
არის წყვილი პერპენდიკულარული, მაშინ ერთეული ვექტორების წყვილი ნამრავლი იქნება ნულის ტოლი:
ახლა შევასრულოთ ვექტორული მრავალწევრების გამრავლება:
ჩვენ ვცვლით ერთეული ვექტორების შესაბამისი სკალარული პროდუქტების მნიშვნელობებს ტოლობის მარჯვენა მხარეს:
ჩვენ ვიღებთ ფორმულას ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსისთვის:
მაგალითი 8.სამი ქულაა მოცემული ა(1;1;1), ბ(2;2;1), C(2;1;2).
იპოვეთ კუთხე.
გამოსავალი. ვექტორების კოორდინატების პოვნა:
,
.
კოსინუსების კუთხის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
აქედან გამომდინარე,.
თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი .
მაგალითი 9.მოცემულია ორი ვექტორი
იპოვეთ ჯამი, განსხვავება, სიგრძე, წერტილოვანი ნამრავლი და კუთხე მათ შორის.
2.განსხვავება
1. განმარტება და უმარტივესი თვისებები. ავიღოთ არა ნულოვანი ვექტორები a და b და გამოვსახოთ ისინი თვითნებური O წერტილიდან: OA = a და OB = b. AOB კუთხის სიდიდეს ეწოდება კუთხე a და b ვექტორებს შორის და აღინიშნება (ა, ბ). თუ ორი ვექტორიდან ერთი მაინც არის ნული, მაშინ მათ შორის კუთხე, განსაზღვრებით, სწორად ითვლება. გაითვალისწინეთ, რომ განმარტებით, ვექტორებს შორის კუთხე არის არანაკლებ 0 და არა უმეტეს . უფრო მეტიც, კუთხე ორ არანულოვან ვექტორს შორის არის 0-ის ტოლი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს ვექტორები თანამიმართულები არიან და ტოლია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი საპირისპირო მიმართულებით არიან.
შევამოწმოთ, რომ ვექტორებს შორის კუთხე არ იყოს დამოკიდებული O წერტილის არჩევანზე. IN წინააღმდეგ შემთხვევაშიგადადო თვითნებური წერტილიდან O 1 ვექტორები O 1 ა 1 = ა და ო 1 IN 1 = b და გაითვალისწინეთ, რომ სამკუთხედები AOB და A 1 შესახებ 1 IN 1 ტოლია სამი მხრიდან, რადგან |OA| = |ო 1 ა 1 | = |a|, |OB| = |ო 1 IN 1 | = |ბ|, |აბ| = |ა 1 IN 1 | = |ბ–ა|. ამიტომ კუთხეები AOB და A 1 შესახებ 1 IN 1 თანაბარი არიან.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ მთავარი აზრი ამ პუნქტში
(5.1) განმარტება. ორი a და b ვექტორის სკალარული ნამრავლი (აღნიშნულია ab) არის რიცხვი 6 ტოლია ამ ვექტორების სიგრძისა და ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსების ნამრავლის. მოკლედ რომ ვთქვათ:
აბ = |ა||ბ|ქოს (ა, ბ).
სკალარული ნამრავლის პოვნის ოპერაციას ეწოდება სკალარული ვექტორის გამრავლება. თავისთან ვექტორის სკალარული ნამრავლი aa ეწოდება ამ ვექტორის სკალარული კვადრატი და აღინიშნება 2 .
(5.2) ვექტორის სკალარული კვადრატი უდრის მისი სიგრძის კვადრატს.
თუ |ა| 0, მაშინ (ა, ა) = 0, საიდანაც ა 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . თუ a = 0, მაშინ a 2 = |ა| 2 = 0.
(5.3) კოშის უტოლობა. ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლის მოდული არ აღემატება ფაქტორების მოდულის ნამრავლს: |ab| |ა||ბ|. ამ შემთხვევაში, თანასწორობა მიიღწევა, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები a და b არის კოლინარული.
განმარტებით |აბ| = ||ა||ბ|ქოს (a,b)| = |ა||ბ||ქო (a,b)| |ა||ბ. ეს ადასტურებს თავად კოშის უთანასწორობას. ახლა შევამჩნიოთ. რომ არანულოვანი ვექტორებისთვის a და b მასში ტოლობა მიიღწევა თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ |cos (a,b)| = 1, ე.ი. ზე (ა, ბ) = 0 ან (ა, ბ) = . ეს უკანასკნელი ექვივალენტურია იმისა, რომ a და b ვექტორები არიან თანამიმართული ან საპირისპირო მიმართულები, ე.ი. კოლინარული. თუ a და b ვექტორებიდან ერთი მაინც არის ნული, მაშინ ისინი ხაზოვანი და |ab| არიან = |ა||ბ| = 0.
2. სკალარული გამრავლების ძირითადი თვისებები. ეს მოიცავს შემდეგს:
(SU1) ab = ba (კომუტატიულობა);
(SU2) (xa)b = x(ab) (ასოციაციურობა);
(SU3) a(b+c) = ab + ac (განაწილება).
კომუტატიურობა აქ აშკარაა, რადგან აბ = ბა. ასევე აშკარაა ასოციაციურობა x = 0-ზე. თუ x > 0, მაშინ
(ჰა) ბ = |ჰა||ბ|ქო (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),
ამისთვის (xa,b) = (a,b) (xa და a ვექტორების თანამიმართულებიდან - სურ. 21). თუ x< 0, მაშინ
(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),
ამისთვის (xa,b) = – (a,b) (xa და a ვექტორების საპირისპირო მიმართულებიდან - სურ. 22). ამრიგად, ასოციაციურობაც დადასტურებულია.
განაწილების მტკიცება უფრო რთულია. ამისთვის გვჭირდება ასეთი
(5.4) ლემა. დავუშვათ a არის არანულოვანი ვექტორი l წრფის პარალელურად, ხოლო b თვითნებური ვექტორი. შემდეგ ორთოგონალური პროექციაბ" b ვექტორის l სწორი ხაზის ტოლია 
.
1)
<
/2. შემდეგ ვექტორები a და 
თანადადგმული (სურ. 23) და
ბ"
=
=
=
.
2) > /2. შემდეგ ვექტორები a დაბსაპირისპიროა მიმართული (სურ. 24) და
ბ"
=
–
=
–
=
.
3)
=
/2. მერებ"
=
0 და აბ
=
0, საიდანაცბ"
=
=
0.
ახლა ჩვენ ვამტკიცებთ დისტრიბუციურობას (SU3). აშკარაა, თუ ვექტორი a არის ნული. დაე ა
0. შემდეგ ვხაზავთ სწორ ხაზს l
||
ა და აღვნიშნოთბ"დაგb და c ვექტორების ორთოგონალური პროგნოზები მასზე და მეშვეობითდ" არის d = b+c ვექტორის ორთოგონალური პროექცია მასზე. თეორემა 3.5დ"
=
ბ"+
გ„ლემა 5.4-ის ბოლო ტოლობის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ ტოლობას 
=
. სკალარული გამრავლებით a-ზე, ჩვენ ვხვდებით, რომ 
2
=
, საიდანაც ad = ab+ac, რისი დამტკიცება იყო საჭირო.
ვექტორების სკალარული გამრავლების თვისებები, რომლებიც ჩვენ დავამტკიცეთ, მსგავსია რიცხვების გამრავლების შესაბამისი თვისებების. მაგრამ რიცხვების გამრავლების ყველა თვისება არ გადადის ვექტორების სკალარულ გამრავლებაზე. აქ არის ტიპიური მაგალითები:
1
2) თუ ab = ac, მაშინ ეს არ ნიშნავს, რომ b = c, თუნდაც ვექტორი a არ იყოს ნულოვანი. მაგალითი: b და c არის ერთი და იგივე სიგრძის ორი განსხვავებული ვექტორი, რომლებიც ქმნიან თანაბარ კუთხეებს a ვექტორთან (ნახ. 25).
3) არ არის მართალი, რომ a(bc) = (ab)c ყოველთვის მართალია: თუ მხოლოდ იმიტომ, რომ ასეთი ტოლობის მართებულობა bc, ab 0 გულისხმობს a და c ვექტორების კოლინარობას.
3. ვექტორთა ორთოგონალურობა. ორ ვექტორს ეწოდება ორთოგონალური, თუ მათ შორის კუთხე სწორია. ვექტორების ორთოგონალურობა მითითებულია ხატით .
როდესაც ჩვენ განვსაზღვრეთ კუთხე ვექტორებს შორის, შევთანხმდით, რომ კუთხე ნულოვან ვექტორსა და ნებისმიერ სხვა ვექტორს შორის სწორი იყო. ამიტომ ნულოვანი ვექტორი ორთოგონალურია ნებისმიერის მიმართ. ეს შეთანხმება გვაძლევს ამის დამტკიცების საშუალებას
(5.5) ტესტი ორი ვექტორის ორთოგონალურობაზე. ორი ვექტორი ორთოგონალურია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი წერტილის ნამრავლი არის 0.
დაე, a და b იყოს თვითნებური ვექტორები. თუ ერთი მათგანი მაინც არის ნული, მაშინ ისინი ორთოგონალურია და მათი სკალარული ნამრავლი 0-ის ტოლია. ამრიგად, ამ შემთხვევაში თეორემა მართალია. ახლა დავუშვათ, რომ ორივე ვექტორი არ არის ნულოვანი. განმარტებით ab = |a||b|cos (ა, ბ). ვინაიდან, ჩვენი ვარაუდით, რიცხვები |a| და |ბ| არ არის 0-ის ტოლი, მაშინ ab = 0 cos (a,b) = 0 (ა, ბ) = /2, რისი დამტკიცება იყო საჭირო.
ტოლობა ab = 0 ხშირად მიიღება ვექტორების ორთოგონალურობის დასადგენად.
(5.6) დასკვნა. თუ ვექტორი a ორთოგონალურია a ვექტორების მიმართ 1 ,…, ა ნ , მაშინ ის ორთოგონალურია მათი ნებისმიერი წრფივი კომბინაციის მიმართ.
საკმარისია აღინიშნოს, რომ თანასწორობიდან ა.ა 1 = ... = აა ნ = 0 მიჰყვება ტოლობას a(x 1 ა 1 + … +x ნ ა ნ ) = x 1 (აჰჰ 1 ) + … + x ნ (აჰჰ ნ ) = 0.
დასკვნა 5.6-დან შეგვიძლია მარტივად გამოვიტანოთ წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის სკოლის კრიტერიუმი. ფაქტობრივად, მოდით, რომელიმე ხაზი MN იყოს პერპენდიკულარული ორი გადამკვეთი წრფის AB და AC. მაშინ ვექტორი MN ორთოგონალურია AB და AC ვექტორების მიმართ. ავიღოთ ნებისმიერი სწორი ხაზი DE ABC სიბრტყეში. ვექტორი DE თანაპლენარულია არასწორხაზოვანი ვექტორების AB და AC და ამიტომ ფართოვდება მათ გასწვრივ. მაგრამ მაშინ ის ასევე ორთოგონალურია ვექტორთან MN, ანუ წრფეები MN და DE პერპენდიკულარულია. გამოდის, რომ სწორი ხაზი MN პერპენდიკულარულია ABC სიბრტყის ნებისმიერ სწორ ხაზზე, რისი დამტკიცებაც იყო საჭირო.
4. ორთონორმული ბაზები. (5.7) განმარტება. ვექტორული სივრცის საფუძველს ორთონორმალური ეწოდება, თუ, პირველ რიგში, მის ყველა ვექტორს აქვს ერთეული სიგრძე და, მეორეც, მისი ნებისმიერი ორი ვექტორი ორთოგონალურია.
ორთონორმალური საფუძვლის ვექტორები სამგანზომილებიან სივრცეში ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით i, j და k, ხოლო ვექტორულ სიბრტყეში ასოებით i და j. ორი ვექტორის ორთოგონალურობის ნიშნის და ვექტორის სკალარული კვადრატის ტოლობის გათვალისწინებით მისი სიგრძის კვადრატთან, V სივრცის საფუძვლის (i,j,k) ორთონორმალობის პირობები. 3 შეიძლება დაიწეროს ასე:
(5.8) ი 2 = ჯ 2 = კ 2 = 1, ij = ik = jk = 0,
და ვექტორული სიბრტყის საფუძველი (i,j) - ასე:
(5.9)ი 2 = ჯ 2 = 1, ij = 0.
ვთქვათ a და b ვექტორებს აქვთ V სივრცის ორთონორმალური საფუძველი (i,j,k). 3 კოორდინატები (ა 1 , ა 2 , ა 3 ) და (ბ 1 ბ 2 , ბ 3 ) შესაბამისად. მერეab = (ა 1 მე+ა 2 j+ა 3 ლ) (ბ 1 მე+ბ 2 j+b 3 ლ) = ა 1 ბ 1 მე 2 +ა 2 ბ 2 ჯ 2 +ა 3 ბ 3 კ 2 +ა 1 ბ 2 იჯ+ა 1 ბ 3 იკ+ა 2 ბ 1 ჯი+ა 2 ბ 3 ჯკ+ა 3 ბ 1 კი+ა 3 ბ 2 kj = ა 1 ბ 1 + ა 2 ბ 2 + ა 3 ბ 3 . ასე ვიღებთ a(a) ვექტორების სკალარული ნამრავლის ფორმულას 1 , ა 2 , ა 3 ) და ბ (ბ 1 ,ბ 2 ,ბ 3 ), მოცემულია მათი კოორდინატებით V სივრცის ორთონორმულ საფუძველში 3 :
(5.10) ab = a 1 ბ 1 + ა 2 ბ 2 + ა 3 ბ 3 .
ვექტორებისთვის a(a 1 , ა 2 ) და ბ (ბ 1 , ბ 2 ), ვექტორულ სიბრტყეზე მათი კოორდინატების მიხედვით ორთონორმალურ საფუძველზე, მას აქვს ფორმა
(5.11) ab = a 1 ბ 1 + ა 2 ბ 2 .
ჩავანაცვლოთ b = a ფორმულაში (5.10). გამოდის, რომ ორთონორმალურ საფუძველზე ა 2 = ა 1 2 + ა 2 2 + ა 3 2 . ვინაიდან ა 2 = |ა| 2 ვექტორის სიგრძის საპოვნელად ვიღებთ შემდეგ ფორმულას a(a 1 , ა 2 , ა 3 ), მოცემული მისი კოორდინატებით V სივრცის ორთონორმულ საფუძველში 3 :
(5.12) |ა| = 
.
ვექტორულ სიბრტყეზე, (5.11) გამო, ის იღებს ფორმას
(5.13) |ა| = 
.
b = i, b = j, b = k ფორმულაში (5.10) ჩანაცვლებით, მივიღებთ კიდევ სამ სასარგებლო ტოლობას:
(5.14) ai = a 1 , aj = ა 2 , აკ = ა 3 .
კოორდინატთა ფორმულების სიმარტივე ვექტორების სკალარული ნამრავლისა და ვექტორის სიგრძის საპოვნელად ორთონორმალური ფუძეების მთავარი უპირატესობაა. არაორთონორმალური ბაზებისთვის ეს ფორმულები, ზოგადად რომ ვთქვათ, არასწორია და მათი გამოყენება ამ შემთხვევაში უხეში შეცდომაა.
5. მიმართულების კოსინუსები. ავიღოთ V სივრცის ორთონორმალური საფუძველი (i,j,k). 3 ვექტორი a (a 1 , ა 2 , ა 3 ). მერეai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (ა, ი).მეორე მხრივ, ai = a 1 ფორმულის მიხედვით 5.14. თურმე
(5.15) ა 1 = |ა|ქო (ა, ი).
და, ანალოგიურად,
ა 2 = |ა|ქო (a,j) და 3 = |ა|ქო (ა, კ).
თუ ვექტორი a არის ერთეული, ეს სამი ტოლობა იღებს განსაკუთრებით მარტივ ფორმას:
(5.16) ა 1 = cos (ა, მე),ა 2 = cos (a, j),ა 3 = cos (ა, კ).
ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხეების კოსინუსებს ორთონორმალური საფუძვლის ვექტორებთან ერთად ამ ვექტორის მიმართულების კოსინუსებს უწოდებენ ამ საფუძველში. როგორც ფორმულები 5.16 გვიჩვენებს, ერთეული ვექტორის კოორდინატები ორთონორმალურ საფუძველზე უდრის მისი მიმართულების კოსინუსებს.
5.15-დან გამომდინარეობს, რომ ა 1 2 + ა 2 2 + ა 3 2 = |ა| 2 (კოს 2 (a,i)+cos 2 (a,j) +cos 2 (ა, კ)). მეორე მხრივ, ა 1 2 + ა 2 2 + ა 3 2 = |ა| 2 . თურმე
(5.17) არანულოვანი ვექტორის მიმართულების კოსინუსების კვადრატების ჯამი 1-ის ტოლია.
ეს ფაქტი შეიძლება სასარგებლო იყოს ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად.
(5.18) პრობლემა. მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალი 60-იან კუთხეებს ქმნის, მისი ორი კიდე ერთი და იმავე წვეროდან გამოდის. . რა კუთხეს ქმნის ის ამ წვეროდან გამოსული მესამე კიდით?
განვიხილოთ V სივრცის ორთონორმალური საფუძველი 3
, რომლის ვექტორები გამოსახულია მოცემული წვეროდან გაშლილი პარალელეპიპედის კიდეებით. ვინაიდან დიაგონალური ვექტორი ქმნის 60-იან კუთხეებს ამ საფუძვლის ორი ვექტორით
, მისი სამი მიმართულების კოსინუსებიდან ორის კვადრატები უდრის cos-ს 2
60
= 1/4. მაშასადამე, მესამე კოსინუსის კვადრატი უდრის 1/2-ს, ხოლო თავად ეს კოსინუსი უდრის 1/-ს. 
. ეს ნიშნავს, რომ საჭირო კუთხე არის 45
.
სტატიები თემაზე
