ცოდვა არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი: განმარტებები ტრიგონომეტრიაში, მაგალითები, ფორმულები. გამონათქვამები სინუსის და კოსინუსის გამოყენებით

ეს სტატია შეიცავს სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების ცხრილები. პირველ რიგში, ჩვენ შემოგთავაზებთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი მნიშვნელობების ცხრილს, ანუ 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 გრადუსიანი კუთხეების სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ცხრილს ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πრადიანი). ამის შემდეგ ჩვენ მივცემთ სინუსების და კოსინუსების ცხრილს, ასევე ტანგენტებისა და კოტანგენტების ცხრილს V.M. Bradis-ის მიერ და ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ეს ცხრილები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების პოვნისას.

გვერდის ნავიგაცია.

სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების ცხრილი 0, 30, 45, 60, 90, ... გრადუსიანი კუთხეებისთვის

ცნობები.

• ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის. საშ. სკოლა/იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky - M.: განათლება, 1990. - 272 გვ.: ISBN 5-09-002727-7
• ბაშმაკოვი M.I.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო. 10-11 კლასებისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განათლება, 1993. - 351გვ.: ავად. - ISBN 5-09-004617-4.
• ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 კლასებისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn და სხვ. რედ. A. N. Kolmogorov - 14th ed - M.: განათლება, 2004. - 384 pp.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.
• ბრედის V.M.ოთხნიშნა მათემატიკური ცხრილები: ზოგადი განათლებისთვის. სახელმძღვანელო დაწესებულებები. - მე-2 გამოცემა. - M.: Bustard, 1999.- 96გვ.: ავად. ISBN 5-7107-2667-2

სინუსი არის ერთ-ერთი ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომლის გამოყენება არ შემოიფარგლება მხოლოდ გეომეტრიით. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოსათვლელი ცხრილები, როგორიცაა საინჟინრო კალკულატორები, ყოველთვის არ არის ხელთ და სინუსის გამოთვლა ზოგჯერ საჭიროა სხვადასხვა პრობლემების გადასაჭრელად. ზოგადად, სინუსის გამოთვლა ხელს შეუწყობს ხატვის უნარებისა და ტრიგონომეტრიული იდენტობების ცოდნის კონსოლიდაციას.

თამაშები სახაზავთან და ფანქრით

მარტივი ამოცანა: როგორ მოვძებნოთ ქაღალდზე დახატული კუთხის სინუსი? გადასაჭრელად დაგჭირდებათ ჩვეულებრივი სახაზავი, სამკუთხედი (ან კომპასი) და ფანქარი. კუთხის სინუსის გამოსათვლელად უმარტივესი ხერხია მართკუთხა კუთხით სამკუთხედის შორი წრის გრძელ მხარეს - ჰიპოტენუზაზე გაყოფა. ამრიგად, თქვენ ჯერ უნდა დაასრულოთ მახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედის ფორმასთან, კუთხის წვეროდან თვითნებური დაშორებით ერთ-ერთი სხივის პერპენდიკულარული ხაზის დახაზვით. ჩვენ დაგვჭირდება ზუსტად 90°-იანი კუთხის შენარჩუნება, რისთვისაც გვჭირდება სასულიერო სამკუთხედი.

კომპასის გამოყენება ცოტა უფრო ზუსტია, მაგრამ მეტი დრო დასჭირდება. ერთ-ერთ სხივზე თქვენ უნდა მონიშნოთ 2 წერტილი გარკვეულ მანძილზე, დააყენოთ რადიუსი კომპასზე დაახლოებით ტოლი წერტილებს შორის მანძილით და დახაზოთ ნახევარწრეები ცენტრებით ამ წერტილებში, სანამ არ მიიღება ამ ხაზების კვეთა. ჩვენი წრეების გადაკვეთის წერტილების ერთმანეთთან შეერთებით, ჩვენ ვიღებთ მკაცრ პერპენდიკულარს ჩვენი კუთხის სხივთან მიმართებაში, რჩება მხოლოდ ხაზის გახანგრძლივება, სანამ ის სხვა სხივს არ გადაიკვეთება.

შედეგად სამკუთხედში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ სახაზავი, რათა გაზომოთ კუთხის მოპირდაპირე მხარე და გრძელი მხარე ერთ-ერთ სხივზე. პირველი განზომილების შეფარდება მეორესთან იქნება მახვილი კუთხის სინუსის სასურველი მნიშვნელობა.

იპოვეთ სინუსი 90°-ზე მეტი კუთხისთვის

ბლაგვი კუთხისთვის ამოცანა არ არის ბევრად უფრო რთული. ჩვენ უნდა დავხატოთ სხივი წვეროდან საპირისპირო მიმართულებით სახაზავის გამოყენებით, რათა ჩამოვაყალიბოთ სწორი ხაზი ჩვენთვის დაინტერესებული კუთხის ერთ-ერთი სხივით. მიღებული მახვილი კუთხე უნდა დამუშავდეს ისე, როგორც ზემოთ იყო აღწერილი, მიმდებარე კუთხეების სინუსები, რომლებიც ერთად ქმნიან 180°-ის საპირისპირო კუთხეს, ტოლია.

სინუსის გამოთვლა სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით

ასევე, სინუსის გამოთვლა შესაძლებელია, თუ ცნობილია კუთხის სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები ან მინიმუმ სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები. ამაში დაგვეხმარება ტრიგონომეტრიული იდენტობები. მოდით შევხედოთ საერთო მაგალითებს.

როგორ ვიპოვოთ სინუსი კუთხის ცნობილი კოსინუსით? პირველი ტრიგონომეტრიული იდენტობა, რომელიც დაფუძნებულია პითაგორას თეორემაზე, ამბობს, რომ ერთი და იგივე კუთხის სინუსის და კოსინუსის კვადრატების ჯამი ერთის ტოლია.

როგორ ვიპოვოთ სინუსი კუთხის ცნობილი ტანგენტით? ტანგენსი მიიღება შორეული მხარის ახლო მხარეს ან სინუსის კოსინუსზე გაყოფით. ამრიგად, სინუსი იქნება კოსინუსისა და ტანგენსის ნამრავლი, ხოლო სინუსის კვადრატი იქნება ამ ნამრავლის კვადრატი. ჩვენ ვცვლით კვადრატულ კოსინუსს ერთიანობისა და კვადრატული სინუსის სხვაობით პირველი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით და, მარტივი მანიპულაციების მეშვეობით, ვამცირებთ განტოლებას კვადრატული სინუსის გამოთვლამდე ტანგენტის მეშვეობით, რათა გამოვთვალოთ სინუსი უნდა ამოიღოთ მიღებული შედეგის ფესვი.

როგორ ვიპოვოთ სინუსი კუთხის ცნობილი კოტანგენსით? კოტანგენსის სიდიდე შეიძლება გამოითვალოს კუთხესთან ყველაზე ახლოს ფეხის სიგრძის გაყოფით შორის სიგრძეზე, ასევე კოსინუსის გაყოფით სინუსზე, ანუ კოტანგენსი არის ტანგენტის ნათესავთან შებრუნებული ფუნქცია. 1 რიცხვამდე. სინუსის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოთვალოთ ტანგენსი ფორმულის გამოყენებით tg α = 1 / ctg α და გამოიყენოთ ფორმულა მეორე ვარიანტში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ პირდაპირი ფორმულა ტანგენტის ანალოგიით, რომელიც ასე გამოიყურება.

როგორ მოვძებნოთ სამკუთხედის სამი გვერდის სინუსი

არსებობს ფორმულა ნებისმიერი სამკუთხედის და არა მხოლოდ მართკუთხა სამკუთხედის უცნობი გვერდის სიგრძის საპოვნელად ორი ცნობილი გვერდიდან მოპირდაპირე კუთხის კოსინუსის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გამოყენებით. ის ასე გამოიყურება.

მათემატიკის ერთ-ერთი სფერო, რომელსაც სტუდენტები ყველაზე მეტად ებრძვიან, არის ტრიგონომეტრია. გასაკვირი არ არის: იმისათვის, რომ თავისუფლად დაეუფლოთ ცოდნის ამ სფეროს, გჭირდებათ სივრცითი აზროვნება, სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, კოტანგენტების პოვნის უნარი ფორმულების გამოყენებით, გამოსახულებების გამარტივება და რიცხვის pi გამოყენება. გამოთვლები. გარდა ამისა, თქვენ უნდა შეგეძლოთ ტრიგონომეტრიის გამოყენება თეორემების დამტკიცებისას და ეს მოითხოვს ან განვითარებულ მათემატიკური მეხსიერებას ან რთული ლოგიკური ჯაჭვების გამოყვანის უნარს.

ტრიგონომეტრიის წარმოშობა

ამ მეცნიერების გაცნობა უნდა დაიწყოს კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის განმარტებით, მაგრამ ჯერ უნდა გესმოდეთ, რას აკეთებს ზოგადად ტრიგონომეტრია.

ისტორიულად, მათემატიკური მეცნიერების ამ დარგის შესწავლის მთავარი ობიექტი იყო მართკუთხა სამკუთხედები. 90 გრადუსიანი კუთხის არსებობა შესაძლებელს ხდის სხვადასხვა ოპერაციების განხორციელებას, რაც საშუალებას იძლევა განისაზღვროს მოცემული ფიგურის ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ორი მხარის და ერთი კუთხის ან ორი კუთხის და ერთი მხარის გამოყენებით. წარსულში ხალხმა შეამჩნია ეს ნიმუში და დაიწყო მისი აქტიურად გამოყენება შენობების მშენებლობაში, ნავიგაციაში, ასტრონომიაში და ხელოვნებაშიც კი.

საწყისი ეტაპი

თავდაპირველად, ადამიანები საუბრობდნენ კუთხეებსა და გვერდებს შორის ურთიერთობაზე მხოლოდ მართკუთხა სამკუთხედების მაგალითის გამოყენებით. შემდეგ აღმოაჩინეს სპეციალური ფორმულები, რომლებმაც შესაძლებელი გახადეს გამოყენების საზღვრების გაფართოება ყოველდღიური ცხოვრებამათემატიკის ეს ფილიალი.

დღეს სკოლაში ტრიგონომეტრიის შესწავლა იწყება მართკუთხა სამკუთხედებით, რის შემდეგაც მოსწავლეები იყენებენ მიღებულ ცოდნას ფიზიკაში და ხსნიან აბსტრაქტულ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს, რომლებიც იწყება საშუალო სკოლაში.

სფერული ტრიგონომეტრია

მოგვიანებით, როდესაც მეცნიერებამ მიაღწია განვითარების შემდეგ საფეხურს, ფორმულები სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის გამოყენებით დაიწყეს სფერულ გეომეტრიაში, სადაც მოქმედებს სხვადასხვა წესები და სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსზე მეტია. ეს განყოფილება სკოლაში არ არის შესწავლილი, მაგრამ აუცილებელია ვიცოდეთ მისი არსებობის შესახებ, თუნდაც იმიტომ, რომ დედამიწის ზედაპირი და ნებისმიერი სხვა პლანეტის ზედაპირი ამოზნექილია, რაც ნიშნავს, რომ ნებისმიერი ზედაპირის მარკირება იქნება სამგანზომილებიანი სივრცე"რკალისებური".

აიღეთ გლობუსი და ძაფი. მიამაგრეთ ძაფი გლობუსის ნებისმიერ ორ წერტილზე ისე, რომ დაჭიმული იყოს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ - მან რკალის ფორმა მიიღო. ისეთ ფორმებს ეხება სფერული გეომეტრია, რომელიც გამოიყენება გეოდეზიაში, ასტრონომიაში და სხვა თეორიულ და გამოყენებით დარგებში.

მართკუთხა სამკუთხედი

ცოტა რამ რომ ვისწავლეთ ტრიგონომეტრიის გამოყენების გზების შესახებ, დავუბრუნდეთ ძირითად ტრიგონომეტრიას, რათა შემდგომ გავიგოთ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, რა გამოთვლები შეიძლება შესრულდეს მათი დახმარებით და რა ფორმულები გამოვიყენოთ.

პირველი ნაბიჯი არის მართკუთხა სამკუთხედთან დაკავშირებული ცნებების გაგება. პირველი, ჰიპოტენუზა არის 90 გრადუსიანი კუთხის მოპირდაპირე მხარე. ის ყველაზე გრძელია. გვახსოვს, რომ პითაგორას თეორემის მიხედვით, მისი რიცხვითი მნიშვნელობა უდრის დანარჩენი ორი მხარის კვადრატების ჯამის ფესვს.

მაგალითად, თუ ორივე მხარე 3 და 4 სანტიმეტრია შესაბამისად, ჰიპოტენუზის სიგრძე იქნება 5 სანტიმეტრი. სხვათა შორის, ძველმა ეგვიპტელებმა ამის შესახებ იცოდნენ დაახლოებით ოთხნახევარი ათასი წლის წინ.

დარჩენილ ორ მხარეს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები. გარდა ამისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი უდრის 180 გრადუსს.

განმარტება

და ბოლოს, გეომეტრიული საფუძვლის მტკიცე გაგებით, შეიძლება მივმართოთ კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის განმარტებას.

კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის (ე.ი. სასურველი კუთხის მოპირდაპირე მხარის) თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე მხარის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.

გახსოვდეთ, რომ არც სინუსი და არც კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ერთზე დიდი! რატომ? იმის გამო, რომ ჰიპოტენუზა ნაგულისხმევად ყველაზე გრძელია, რაც არ უნდა იყოს ფეხი, ის უფრო მოკლე იქნება ვიდრე ჰიპოტენუზა, რაც ნიშნავს, რომ მათი თანაფარდობა ყოველთვის იქნება ერთზე ნაკლები. ამრიგად, თუ პრობლემის პასუხში მიიღებთ სინუსს ან კოსინუსს 1-ზე მეტი მნიშვნელობით, მოძებნეთ შეცდომა გამოთვლებში ან მსჯელობაში. ეს პასუხი აშკარად არასწორია.

დაბოლოს, კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან. სინუსის კოსინუსზე გაყოფა იგივე შედეგს იძლევა. ნახეთ: ფორმულის მიხედვით გვერდის სიგრძეს ვყოფთ ჰიპოტენუზაზე, შემდეგ ვყოფთ მეორე მხარის სიგრძეზე და ვამრავლებთ ჰიპოტენუზაზე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ იგივე ურთიერთობას, როგორც ტანგენტის განმარტებაში.

კოტანგენსი, შესაბამისად, არის კუთხის მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს. იგივე შედეგს ვიღებთ ერთის ტანგენსზე გაყოფით.

ასე რომ, ჩვენ გადავხედეთ განმარტებებს, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი და შეგვიძლია გადავიდეთ ფორმულებზე.

უმარტივესი ფორმულები

ტრიგონომეტრიაში თქვენ არ შეგიძლიათ ფორმულების გარეშე - როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მათ გარეშე? მაგრამ ეს არის ზუსტად ის, რაც საჭიროა პრობლემების გადაჭრისას.

პირველი ფორმულა, რომელიც უნდა იცოდეთ ტრიგონომეტრიის შესწავლისას, ამბობს, რომ კუთხის სინუსისა და კოსინუსების კვადრატების ჯამი ერთის ტოლია. ეს ფორმულა არის პითაგორას თეორემის პირდაპირი შედეგი, მაგრამ ის დაზოგავს დროს, თუ საჭიროა იცოდეთ კუთხის ზომა და არა გვერდი.

ბევრ მოსწავლეს არ ახსოვს მეორე ფორმულა, რომელიც ასევე ძალიან პოპულარულია სასკოლო ამოცანების ამოხსნისას: ერთისა და კუთხის ტანგენსის კვადრატის ჯამი ტოლია ერთის გაყოფილი კუთხის კოსინუსზე. დააკვირდით: ეს იგივე განცხადებაა, როგორც პირველ ფორმულაში, იდენტურობის მხოლოდ ორივე მხარე იყოფა კოსინუსის კვადრატით. გამოდის, რომ მარტივი მათემატიკური ოპერაცია ტრიგონომეტრიულ ფორმულას სრულიად ამოუცნობს ხდის. გახსოვდეთ: იმის ცოდნა, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, ტრანსფორმაციის წესები და რამდენიმე ძირითადი ფორმულა, ნებისმიერ დროს შეგიძლიათ ფურცელზე გამოიყვანოთ საჭირო უფრო რთული ფორმულები.

ორმაგი კუთხეების ფორმულები და არგუმენტების დამატება

კიდევ ორი ​​ფორმულა, რომელიც უნდა ისწავლოთ, დაკავშირებულია სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობებთან კუთხეების ჯამისთვის და სხვაობისთვის. ისინი წარმოდგენილია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პირველ შემთხვევაში სინუსი და კოსინუსი მრავლდება ორივეჯერ, ხოლო მეორეში ემატება სინუსისა და კოსინუსის წყვილი ნამრავლი.

ასევე არსებობს ფორმულები, რომლებიც დაკავშირებულია ორმაგი კუთხის არგუმენტებთან. ისინი მთლიანად მომდინარეობს წინადან - ტრენინგის სახით შეეცადეთ მიიღოთ ისინი ალფა კუთხის აღებით კუთხის ტოლიბეტა.

დაბოლოს, გაითვალისწინეთ, რომ ორმაგი კუთხის ფორმულები შეიძლება გადანაწილდეს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის ალფას სიმძლავრის შესამცირებლად.

თეორემები

ძირითადი ტრიგონომეტრიის ორი ძირითადი თეორემაა სინუსების თეორემა და კოსინუსების თეორემა. ამ თეორემების დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი და, შესაბამისად, ფიგურის ფართობი და თითოეული მხარის ზომა და ა.შ.

სინუსების თეორემა ამბობს, რომ სამკუთხედის თითოეული გვერდის სიგრძის საპირისპირო კუთხით გაყოფა იგივე რიცხვს იძლევა. უფრო მეტიც, ეს რიცხვი ტოლი იქნება შემოხაზული წრის ორი რადიუსის, ანუ წრე, რომელიც შეიცავს მოცემული სამკუთხედის ყველა წერტილს.

კოსინუსების თეორემა აზოგადებს პითაგორას თეორემას, აპროექტებს მას ნებისმიერ სამკუთხედზე. გამოდის, რომ ორი გვერდის კვადრატების ჯამს გამოაკელით მათი ნამრავლი გამრავლებული მიმდებარე კუთხის ორმაგ კოსინუსზე - მიღებული მნიშვნელობა უდრის მესამე მხარის კვადრატს. ამრიგად, პითაგორას თეორემა აღმოჩნდება კოსინუსების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა.

უყურადღებო შეცდომები

იმის ცოდნაც კი, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი, ადვილია შეცდომის დაშვება უგუნებობის ან უმარტივესი გამოთვლების შეცდომის გამო. ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, მოდით შევხედოთ ყველაზე პოპულარულს.

პირველ რიგში, თქვენ არ უნდა გადაიყვანოთ წილადები ათწილადებად, სანამ არ მიიღებთ საბოლოო შედეგს - შეგიძლიათ დატოვოთ პასუხი როგორც საერთო წილადი, თუ პირობებში სხვა რამ არ არის მითითებული. ასეთ ტრანსფორმაციას არ შეიძლება ეწოდოს შეცდომა, მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ პრობლემის თითოეულ ეტაპზე შეიძლება აღმოჩნდეს ახალი ფესვები, რომლებიც, ავტორის იდეით, უნდა შემცირდეს. ამ შემთხვევაში თქვენ დაკარგავთ დროს არასაჭირო მათემატიკურ ოპერაციებზე. ეს განსაკუთრებით ეხება ისეთ მნიშვნელობებს, როგორიცაა სამის ფესვი ან ორის ფესვი, რადგან ისინი ყოველ ნაბიჯზე გვხვდება პრობლემებში. იგივე ეხება "მახინჯი" რიცხვების დამრგვალებას.

გარდა ამისა, გაითვალისწინეთ, რომ კოსინუსების თეორემა ვრცელდება ნებისმიერ სამკუთხედზე, მაგრამ არა პითაგორას თეორემაზე! თუ შეცდომით დაგავიწყდათ გვერდების ნამრავლის ორჯერ გამოკლება მათ შორის კუთხის კოსინუსზე გამრავლებული, თქვენ არა მხოლოდ მიიღებთ სრულიად არასწორ შედეგს, არამედ გამოავლენთ საგნის სრულ გაუგებრობასაც. ეს უყურადღებო შეცდომაზე უარესია.

მესამე, ნუ აურიეთ მნიშვნელობები 30 და 60 გრადუსიანი კუთხისთვის სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, კოტანგენტებისთვის. დაიმახსოვრეთ ეს მნიშვნელობები, რადგან 30 გრადუსის სინუსი უდრის 60-ის კოსინუსს და პირიქით. მათი აღრევა ადვილია, რის შედეგადაც აუცილებლად მიიღებთ მცდარ შედეგს.

განაცხადი

ბევრი სტუდენტი არ ჩქარობს ტრიგონომეტრიის შესწავლას, რადგან არ ესმით მისი პრაქტიკული მნიშვნელობა. რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ინჟინრისთვის ან ასტრონომისთვის? ეს არის ცნებები, რომლებიც შესაძლებელს ხდის შორეულ ვარსკვლავებამდე მანძილის გამოთვლას, მეტეორიტის დაცემის პროგნოზირებას ან სხვა პლანეტაზე კვლევითი ზონდის გაგზავნას. მათ გარეშე შეუძლებელია შენობის აშენება, მანქანის დაპროექტება, ზედაპირზე დატვირთვის ან ობიექტის ტრაექტორიის გამოთვლა. და ეს მხოლოდ ყველაზე ნათელი მაგალითებია! ყოველივე ამის შემდეგ, ტრიგონომეტრია ამა თუ იმ ფორმით გამოიყენება ყველგან, მუსიკიდან მედიცინამდე.

დასასრულს

ასე რომ, თქვენ ხართ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენტი. შეგიძლიათ გამოიყენოთ ისინი გამოთვლებში და წარმატებით მოაგვაროთ სკოლის პრობლემები.

ტრიგონომეტრიის მთელი აზრი მიდის იმ ფაქტზე, რომ სამკუთხედის ცნობილი პარამეტრების გამოყენებით თქვენ უნდა გამოთვალოთ უცნობი. სულ ექვსი პარამეტრია: სამი მხარის სიგრძე და სამი კუთხის ზომა. დავალებებს შორის განსხვავება მხოლოდ ისაა, რომ მოცემულია სხვადასხვა შეყვანის მონაცემები.

ახლა თქვენ იცით, როგორ იპოვოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ფეხების ან ჰიპოტენუზის ცნობილი სიგრძის საფუძველზე. ვინაიდან ეს ტერმინები არაფერს ნიშნავს, თუ არა თანაფარდობა, ხოლო თანაფარდობა არის წილადი, ტრიგონომეტრიის ამოცანის მთავარი მიზანი არის ჩვეულებრივი განტოლების ან განტოლებათა სისტემის ფესვების პოვნა. და აქ რეგულარული სკოლის მათემატიკა დაგეხმარებათ.

სინუსი და კოსინუსი თავდაპირველად წარმოიშვა მართკუთხა სამკუთხედებში რაოდენობების გამოთვლის აუცილებლობის გამო. შენიშნა, რომ თუ მართკუთხა სამკუთხედში კუთხეების გრადუსის ზომა არ იცვლება, მაშინ ასპექტის თანაფარდობა, რაც არ უნდა შეიცვალოს ეს გვერდები სიგრძეში, ყოველთვის იგივე რჩება.

ასე შემოვიდა სინუსის და კოსინუსის ცნებები. მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე მხარის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, ხოლო კოსინუსი არის ჰიპოტენუზას მიმდებარე გვერდის თანაფარდობა.

კოსინუსების და სინუსების თეორემები

მაგრამ კოსინუსები და სინუსები შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მართკუთხა სამკუთხედებისთვის. ნებისმიერი სამკუთხედის ბლაგვი ან მახვილი კუთხის ან გვერდის მნიშვნელობის საპოვნელად საკმარისია გამოვიყენოთ კოსინუსებისა და სინუსების თეორემა.

კოსინუსების თეორემა საკმაოდ მარტივია: „სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამის გამოკლებით ორჯერ ამ გვერდების ნამრავლსა და მათ შორის კუთხის კოსინუსს“.

სინუსების თეორემის ორი ინტერპრეტაცია არსებობს: მცირე და გაფართოებული. არასრულწლოვნის მიხედვით: "სამკუთხედში კუთხეები მოპირდაპირე გვერდების პროპორციულია." ეს თეორემა ხშირად ფართოვდება სამკუთხედის შემოხაზული წრის თვისების გამო: „სამკუთხედში კუთხეები მოპირდაპირე გვერდების პროპორციულია და მათი თანაფარდობა უდრის შემოხაზული წრის დიამეტრს“.

წარმოებულები

წარმოებული არის მათემატიკური ინსტრუმენტი, რომელიც აჩვენებს რამდენად სწრაფად იცვლება ფუნქცია მისი არგუმენტის ცვლილებასთან შედარებით. წარმოებულები გამოიყენება გეომეტრიაში და რიგ ტექნიკურ დისციპლინაში.

პრობლემების გადაჭრისას უნდა იცოდეთ ცხრილის მნიშვნელობებიტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები: სინუსი და კოსინუსი. სინუსის წარმოებული არის კოსინუსი, ხოლო კოსინუსი არის სინუსი, მაგრამ მინუს ნიშნით.

გამოყენება მათემატიკაში

სინუსები და კოსინუსები განსაკუთრებით ხშირად გამოიყენება მართკუთხა სამკუთხედების და მათთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნისას.

სინუსებისა და კოსინუსების მოხერხებულობა აისახება ტექნოლოგიაშიც. კუთხეების და გვერდების შეფასება ადვილი იყო კოსინუსებისა და სინუსების თეორემების გამოყენებით, რთული ფორმებისა და ობიექტების დაშლა „მარტივ“ სამკუთხედებად. ინჟინრები, რომლებიც ხშირად საქმიანობენ ასპექტის თანაფარდობების გამოთვლებით და ხარისხობრივი ზომებით, დიდ დროს და ძალისხმევას ხარჯავდნენ არატაბულური კუთხეების კოსინუსებისა და სინუსების გამოთვლაში.

შემდეგ ბრედისის ცხრილები მოვიდა სამაშველოში, რომელიც შეიცავს სხვადასხვა კუთხის სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ათასობით მნიშვნელობას. IN საბჭოთა ეპოქაზოგიერთი მასწავლებელი აიძულებდა თავის მოსწავლეებს დაემახსოვრებინათ ბრედისის ცხრილების გვერდები.

რადიანი არის რკალის კუთხის მნიშვნელობა, რომლის სიგრძე უდრის რადიუსს ან 57,295779513° გრადუსს.

ხარისხი (გეომეტრიაში) - წრის 1/360 ნაწილი ან 1/90 ნაწილი სწორი კუთხე.

π = 3.141592653589793238462… (P-ის მიახლოებითი მნიშვნელობა).

მასწავლებლები თვლიან, რომ ყველა მოსწავლეს უნდა შეეძლოს გამოთვლების განხორციელება და ტრიგონომეტრიული ფორმულების ცოდნა, მაგრამ ყველა მასწავლებელი არ ხსნის რა არის სინუსი და კოსინუსი. რა არის მათი მნიშვნელობა, სად გამოიყენება? რატომ ვსაუბრობთ სამკუთხედებზე, მაგრამ სახელმძღვანელოში ნაჩვენებია წრე? შევეცადოთ ყველა ფაქტი ერთმანეთთან დავაკავშიროთ.

სასკოლო საგანი

ტრიგონომეტრიის შესწავლა ჩვეულებრივ იწყება საშუალო სკოლის მე-7-8 კლასში. ამ დროს მოსწავლეებს უხსნიან რა არის სინუსი და კოსინუსი და სთხოვენ ამ ფუნქციების გამოყენებით გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნას. მოგვიანებით, უფრო რთული ფორმულები და გამონათქვამები ჩნდება, რომლებიც საჭიროა ალგებრულადგარდაქმნა (ორმაგი და ნახევარკუთხის ფორმულები, სიმძლავრის ფუნქციები), მუშაობა ტრიგონომეტრიულ წრეზე.

თუმცა, მასწავლებლებს ყოველთვის არ შეუძლიათ ნათლად ახსნან გამოყენებული ცნებების მნიშვნელობა და ფორმულების გამოყენებადობა. ამიტომ, მოსწავლე ხშირად ვერ ხედავს აზრს ამ საგანში და დამახსოვრებული ინფორმაცია სწრაფად ივიწყება. თუმცა, ღირს ერთხელ აუხსნათ საშუალო სკოლის მოსწავლეს, მაგალითად, კავშირი ფუნქციასა და რხევითი მოძრაობა, და ლოგიკური კავშირი მრავალი წლის განმავლობაში დაამახსოვრდებათ და თემის უსარგებლობაზე ხუმრობები წარსულს ჩაბარდება.

გამოყენება

ცნობისმოყვარეობისთვის, მოდით გადავხედოთ ფიზიკის სხვადასხვა დარგებს. გსურთ განსაზღვროთ ჭურვის დიაპაზონი? ან ითვლით ხახუნის ძალას ობიექტსა და გარკვეულ ზედაპირს შორის? ქანქარას რხევა, მინაზე გამავალი სხივების ყურება, ინდუქციის გამოთვლა? ტრიგონომეტრიული ცნებები ჩნდება თითქმის ნებისმიერ ფორმულაში. რა არის სინუსი და კოსინუსი?

განმარტებები

კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე მხარის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, კოსინუსი არის მიმდებარე მხარის თანაფარდობა იმავე ჰიპოტენუზასთან. აქ აბსოლუტურად არაფერია რთული. შესაძლოა, სტუდენტები ჩვეულებრივ დაბნეულები არიან იმ მნიშვნელობებით, რომლებსაც ისინი ხედავენ ტრიგონომეტრიის ცხრილში, რადგან ის მოიცავს კვადრატულ ფესვებს. დიახ, მათგან ათწილადების მიღება არც თუ ისე მოსახერხებელია, მაგრამ ვინ თქვა, რომ მათემატიკაში ყველა რიცხვი ტოლი უნდა იყოს?

სინამდვილეში, ტრიგონომეტრიის პრობლემების წიგნებში შეგიძლიათ იპოვოთ სასაცილო მინიშნება: აქ პასუხების უმეტესობა ლუწია და, უარეს შემთხვევაში, შეიცავს ორი ან სამის ფუძეს. დასკვნა მარტივია: თუ თქვენი პასუხი აღმოჩნდება "მრავალსართულიანი" წილადი, გადაამოწმეთ გამოსავალი შეცდომები გამოთვლებში ან მსჯელობაში. და დიდი ალბათობით იპოვით მათ.

რა უნდა გვახსოვდეს

ნებისმიერი მეცნიერების მსგავსად, ტრიგონომეტრიას აქვს მონაცემები, რომლებიც უნდა ვისწავლოთ.

პირველ რიგში, თქვენ უნდა დაიმახსოვროთ რიცხვითი მნიშვნელობები მართკუთხა სამკუთხედის სინუსებისთვის, კოსინუსებისთვის 0 და 90, ასევე 30, 45 და 60 გრადუსი. ეს მაჩვენებლები გვხვდება სკოლის ათიდან ცხრა პრობლემაში. ამ მნიშვნელობების სახელმძღვანელოში ნახვით, თქვენ დაკარგავთ დიდ დროს და საერთოდ არსად გექნებათ მათი ნახვა ტესტის ან გამოცდის დროს.

უნდა გვახსოვდეს, რომ ორივე ფუნქციის ღირებულება არ შეიძლება აღემატებოდეს ერთს. თუ სადმე თქვენს გამოთვლებში მიიღებთ მნიშვნელობას 0-1 დიაპაზონის მიღმა, შეჩერდით და ისევ სცადეთ პრობლემა.

სინუსის და კოსინუსების კვადრატების ჯამი უდრის ერთს. თუ თქვენ უკვე იპოვნეთ ერთ-ერთი მნიშვნელობა, გამოიყენეთ ეს ფორმულა დანარჩენის საპოვნელად.

თეორემები

ძირითადი ტრიგონომეტრიაში ორი ძირითადი თეორემაა: სინუსები და კოსინუსები.

პირველში ნათქვამია, რომ სამკუთხედის თითოეული გვერდის შეფარდება მოპირდაპირე კუთხის სინუსთან იგივეა. მეორე ის არის, რომ ნებისმიერი გვერდის კვადრატი შეიძლება მივიღოთ დარჩენილი ორი გვერდის კვადრატების დამატებით და მათი ორმაგი ნამრავლის გამოკლებით, გამრავლებული მათ შორის მდებარე კუთხის კოსინუსზე.

ამრიგად, თუ 90 გრადუსიანი კუთხის მნიშვნელობას ჩავანაცვლებთ კოსინუსების თეორემაში, მივიღებთ... პითაგორას თეორემას. ახლა, თუ თქვენ გჭირდებათ გამოთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც არ არის მართკუთხა სამკუთხედი, თქვენ აღარ უნდა ინერვიულოთ - განხილული ორი თეორემა მნიშვნელოვნად გაამარტივებს პრობლემის გადაჭრას.

მიზნები და ამოცანები

ტრიგონომეტრიის სწავლა ბევრად უფრო ადვილი გახდება, როდესაც გააცნობიერებთ ერთ მარტივ ფაქტს: ყველა მოქმედება, რომელსაც თქვენ ასრულებთ, მხოლოდ ერთი მიზნის მიღწევას ისახავს მიზნად. სამკუთხედის ნებისმიერი პარამეტრის ნახვა შეგიძლიათ, თუ იცით მის შესახებ ინფორმაციის მინიმალური მინიმალური რაოდენობა - ეს შეიძლება იყოს ერთი კუთხის მნიშვნელობა და ორი მხარის სიგრძე ან, მაგალითად, სამი გვერდი.

ნებისმიერი კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის დასადგენად, ეს მონაცემები საკმარისია და მათი დახმარებით შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ ფიგურის ფართობი. თითქმის ყოველთვის, პასუხი მოითხოვს ერთ-ერთ ხსენებულ მნიშვნელობას და მათი ნახვა შესაძლებელია იგივე ფორმულების გამოყენებით.

შეუსაბამობები ტრიგონომეტრიის სწავლაში

ერთ-ერთი დამაბნეველი კითხვა, რომლის თავიდან აცილებასაც სტუდენტები ურჩევნიათ, არის ტრიგონომეტრიაში სხვადასხვა ცნებებს შორის კავშირების აღმოჩენა. როგორც ჩანს, სამკუთხედები გამოიყენება კუთხეების სინუსებისა და კოსინუსების შესასწავლად, მაგრამ რატომღაც სიმბოლოები ხშირად გვხვდება ფიგურაში წრეში. გარდა ამისა, არსებობს სრულიად გაუგებარი ტალღის მსგავსი გრაფიკა, რომელსაც სინუსური ტალღა ჰქვია, რომელსაც არ აქვს გარეგანი მსგავსება არც წრესთან და არც სამკუთხედებთან.

უფრო მეტიც, კუთხეები იზომება გრადუსებში ან რადიანებში, ხოლო რიცხვი Pi, რომელიც უბრალოდ 3.14 (ერთეულების გარეშე) არის დაწერილი, რატომღაც ჩნდება ფორმულებში, რომელიც შეესაბამება 180 გრადუსს. როგორ უკავშირდება ეს ყველაფერი?

საზომი ერთეულები

რატომ არის Pi ზუსტად 3.14? გახსოვთ რას ნიშნავს ეს? ეს არის რადიუსების რაოდენობა, რომლებიც ჯდება რკალში ნახევარ წრეზე. თუ წრის დიამეტრი 2 სანტიმეტრია, გარშემოწერილობა იქნება 3.14 * 2, ან 6.28.

მეორე პუნქტი: შესაძლოა შეამჩნიეთ მსგავსება სიტყვებს „რადიანი“ და „რადიუსი“ შორის. ფაქტია, რომ ერთი რადიანი რიცხობრივად უდრის წრის ცენტრიდან ერთი რადიუსის სიგრძის რკალამდე აღებულ კუთხეს.

ახლა ჩვენ გავაერთიანებთ შეძენილ ცოდნას და გავიგებთ, რატომ წერია „Pi ნახევარში“ ტრიგონომეტრიაში კოორდინატთა ღერძის თავზე, ხოლო მარცხნივ „Pi“. ეს არის კუთხური მნიშვნელობა, რომელიც იზომება რადიანებში, რადგან ნახევარწრე არის 180 გრადუსი, ანუ 3,14 რადიანი. და სადაც არის გრადუსები, არის სინუსები და კოსინუსები. ადვილია სამკუთხედის დახატვა სასურველი წერტილიდან, გამოვყოთ სეგმენტები ცენტრამდე და კოორდინატთა ღერძამდე.

შევხედოთ მომავალს

სკოლაში შესწავლილი ტრიგონომეტრია ეხება სწორხაზოვან კოორდინატულ სისტემას, სადაც, რაც არ უნდა უცნაურად ჟღერდეს, სწორი ხაზი სწორი ხაზია.

მაგრამ სივრცესთან მუშაობის უფრო რთული გზებიც არსებობს: აქ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადუსზე მეტი იქნება, ხოლო სწორი ხაზი ჩვენი აზრით ნამდვილ რკალს ჰგავს.

მოდით გადავიდეთ სიტყვებიდან მოქმედებაზე! აიღე ვაშლი. დანით გააკეთეთ სამი ნაჭერი ისე, რომ ზემოდან დათვალიერებისას მიიღოთ სამკუთხედი. ამოიღეთ მიღებული ვაშლის ნაჭერი და შეხედეთ "ნეკნებს", სადაც კანი მთავრდება. ისინი საერთოდ არ არიან სწორი. თქვენს ხელში ნაყოფს პირობითად შეიძლება ეწოდოს მრგვალი, მაგრამ ახლა წარმოიდგინეთ, რამდენად რთული უნდა იყოს ფორმულები, რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ ნაჭრის ფართობი. მაგრამ ზოგიერთი სპეციალისტი ასეთ პრობლემებს ყოველდღე წყვეტს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ცხოვრებაში

შეგიმჩნევიათ, რომ თვითმფრინავის უმოკლეს მარშრუტს ჩვენი პლანეტის ზედაპირზე A წერტილიდან B წერტილამდე აქვს გამოხატული რკალის ფორმა? მიზეზი მარტივია: დედამიწა სფერულია, რაც იმას ნიშნავს, რომ სამკუთხედების გამოყენებით ბევრის გამოთვლა არ შეგიძლია - უფრო რთული ფორმულები უნდა გამოიყენოთ.

თქვენ არ შეგიძლიათ გააკეთოთ მწვავე კუთხის სინუსის/კოსინუსის გარეშე სივრცესთან დაკავშირებულ ნებისმიერ კითხვაში. საინტერესოა, რომ აქ ბევრი ფაქტორია გაერთიანებული: ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისაჭიროა პლანეტების მოძრაობის გაანგარიშებისას წრეებში, ელიფსებში და უფრო რთული ფორმის სხვადასხვა ტრაექტორიებში; რაკეტების, თანამგზავრების, შატლების გაშვების, კვლევითი მანქანების განბლოკვის პროცესი; შორეულ ვარსკვლავებზე დაკვირვება და გალაქტიკების შესწავლა, რომლებსაც ადამიანები უახლოეს მომავალში ვერ მიაღწევენ.

ზოგადად, ტრიგონომეტრიის მცოდნე ადამიანის საქმიანობის სფერო ძალიან ფართოა და, როგორც ჩანს, დროთა განმავლობაში მხოლოდ გაფართოვდება.

დასკვნა

დღეს გავიგეთ, ან თუნდაც გავიმეორეთ, რა არის სინუსი და კოსინუსი. ეს ის ცნებებია, რომელთა არ უნდა შეგეშინდეთ - უბრალოდ მოისურვეთ ისინი და მიხვდებით მათ მნიშვნელობას. დაიმახსოვრე, რომ ტრიგონომეტრია არ არის მიზანი, არამედ მხოლოდ ინსტრუმენტი, რომლის გამოყენებაც შესაძლებელია რეალურის დასაკმაყოფილებლად ადამიანის მოთხოვნილებები: ააშენეთ სახლები, უზრუნველყავით მოძრაობის უსაფრთხოება, თუნდაც შეისწავლეთ სამყაროს უკიდეგანო სივრცე.

მართლაც, თავად მეცნიერება შეიძლება მოსაწყენად მოგეჩვენოთ, მაგრამ როგორც კი მასში საკუთარი მიზნების მიღწევისა და თვითრეალიზაციის გზას იპოვით, სწავლის პროცესი საინტერესო გახდება და თქვენი პირადი მოტივაცია გაიზრდება.

როგორც საშინაო დავალებაშეეცადეთ იპოვოთ გზები, რომ გამოიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები იმ აქტივობის სფეროში, რომელიც პირადად გაინტერესებთ. წარმოიდგინე, გამოიყენე შენი ფანტაზია და მერე ალბათ აღმოაჩენ, რომ ახალი ცოდნა მომავალში გამოგადგება. გარდა ამისა, მათემატიკა სასარგებლოა აზროვნების ზოგადი განვითარებისთვის.