განვითარებული, ბლაგვი, ვერტიკალური და განუვითარებელი: გეომეტრიის კუთხეების ტიპები. ცნება და კუთხეების ტიპები რა არის ღია კუთხე?
"პატარა ვაჟი მივიდა მამასთან და ჰკითხა თინის: "რა კუთხეებია?" მაგრამ მამაო, პასუხი დამავიწყდა. ეს ძალიან ცუდია!
ჩვენს სტატიაში გთავაზობთ, დაიმახსოვროთ თქვენი მათემატიკის გაკვეთილები და იპოვოთ პასუხები კროჩის კითხვებზე.
რა არის კუთხე
რა არის კუთხე, რა თქმა უნდა, უფრო ადვილია იმის ჩვენება, ვიდრე ახსნა. დან დაწყებითი კლასებიჩვენ ვიცით, რომ სიბრტყის კუთხე არის:
- ეს გეომეტრიული ფიგურა.
- იგი წარმოიქმნება ორი მხარით - სხივებით.
- სხივები გამოდის ერთი წვეროდან - წერტილიდან.
- იზომება გრადუსით.
ანუ, თუ რომელიმე სიბრტყეზე დააყენებთ წერტილს, შემდეგ კი ამ წერტილიდან დახაზავთ ორ სხივს (სხივი არის სწორი ხაზი დასაწყისით, მაგრამ დასასრულის გარეშე), მაშინ მივიღებთ კუთხეს და არა ერთს, არამედ ორს. ეს იმიტომ ხდება, რომ სხივებმა თვითმფრინავი ორ ნაწილად დაყო. ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ ორი კუთხე - შიდა და გარე.
კუთხის აღნიშვნა
კუთხე აღინიშნება მათემატიკაში ამ სიმბოლოთი - "˪" და ბერძნული ასოებით: β, δ, φ. თქვენ ასევე შეგიძლიათ დანიშნოთ კუთხეები მცირე ან დიდი ლათინური ასოებით. მცირე (d, c, b) აღნიშნავს სხივებს, რომლებიც ქმნიან კუთხეს, შესაბამისად, სახელი შედგება ორი ასოსგან და ხატისაგან - ˪ab. დიდი ლათინური ასოები მიუთითებს კუთხის სამ წერტილზე: ორი გვერდებზე და ერთი წვერო (˪ DEF). უფრო მეტიც, წვეროს ასო ყოველთვის იქნება სახელის შუაში, მაგრამ არ აქვს მნიშვნელობა როგორ წაიკითხოთ DEF ან FED.
კუთხეების ტიპები
გრადუსიდან გამომდინარე (გაზომვა), კუთხეები იყოფა:
- მკვეთრი (>90 გრადუსი);
- Straight (ზუსტად 90);
- მუნჯი (180);
- გაფართოებული (უდრის 180-ს);
- არაამოზნექილი (180-ზე მეტი, მაგრამ 360-ზე ნაკლები);
- სრული(360);
ყველა კუთხეს, რომელიც არ არის სწორი ან სწორი, ირიბი ეწოდება.
ასევე, რა არის კუთხეები?
- მიმდებარე - მათ აქვთ ერთი მხარე საერთო, ხოლო სხვები ცრუობენ, არ ემთხვევა, იმავე სიბრტყეში. ასეთი კუთხეების ჯამი ყოველთვის იქნება 180-ის ტოლი.
- ვერტიკალური - ორი გადამკვეთი სწორი ხაზით წარმოქმნილი კუთხეები და მათ არ აქვთ საერთო გვერდები, მაგრამ მათი სხივები ერთი წერტილიდან გამოდის. ანუ ერთი კუთხის გვერდი მეორის გაგრძელებაა. ეს კუთხეები ტოლია.
- ცენტრალური - კუთხე, რომლის წვერო არის წრის ცენტრი.
- ჩაწერილი კუთხე. მისი წვერო წრეზეა და მის შემქმნელი სხივები კვეთს ამ წრეს.
ახლა თქვენ იცით, რომელია მართი კუთხე და ასევე შეგიძლიათ განსაზღვროთ რომელი კუთხეა მახვილი. არ არის რთული დასამახსოვრებელი და სხვა ტიპის კუთხეებსაც აქვთ დამახასიათებელი სახელები.
დავიწყოთ იმით, თუ რა არის კუთხე. ჯერ ერთი, მეორეც, იგი იქმნება ორი სხივით, რომლებსაც კუთხის გვერდებს უწოდებენ. მესამე, ეს უკანასკნელი გამოდის ერთი წერტილიდან, რომელსაც კუთხის წვერო ეწოდება. ამ მახასიათებლებზე დაყრდნობით ჩვენ შეგვიძლია შევქმნათ განმარტება: კუთხე არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება ორი სხივისაგან (გვერდისგან), რომელიც გამოდის ერთი წერტილიდან (ვერტექსიდან).
ისინი კლასიფიცირდება ხარისხის მნიშვნელობით, ერთმანეთთან შედარებით მდებარეობით და წრესთან შედარებით. დავიწყოთ კუთხეების ტიპებით მათი სიდიდის მიხედვით.
მათი რამდენიმე სახეობა არსებობს. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ თითოეულ ტიპს.
არსებობს მხოლოდ ოთხი ძირითადი ტიპის კუთხე - სწორი, ბლაგვი, მწვავე და სწორი კუთხეები.
პირდაპირი
ეს ასე გამოიყურება:
მისი გრადუსის ზომა ყოველთვის არის 90 o, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მართი კუთხე არის 90 გრადუსიანი კუთხე. მხოლოდ ისეთ ოთხკუთხედებს აქვთ, როგორიცაა კვადრატი და მართკუთხედი.
ბლანტი
ეს ასე გამოიყურება:
ხარისხის საზომი ყოველთვის არის 90 o-ზე მეტი, მაგრამ 180 o-ზე ნაკლები. ის გვხვდება ოთხკუთხედებში, როგორიცაა რომბი, თვითნებური პარალელოგრამი და მრავალკუთხედები.
ცხარე
ეს ასე გამოიყურება:
მწვავე კუთხის ხარისხი ყოველთვის 90°-ზე ნაკლებია. ის გვხვდება ყველა ოთხკუთხედში, გარდა კვადრატისა და ნებისმიერი პარალელოგრამისა.
გაფართოვდა
გაშლილი კუთხე ასე გამოიყურება:
ის არ გვხვდება მრავალკუთხედებში, მაგრამ არანაკლებ მნიშვნელოვანია, ვიდრე ყველა სხვა. სწორი კუთხე არის გეომეტრიული ფიგურა, რომლის გრადუსის ზომა ყოველთვის არის 180º. თქვენ შეგიძლიათ ააშენოთ მასზე ერთი ან მეტი სხივის დახატვით მისი ზემოდან ნებისმიერი მიმართულებით.
არსებობს რამდენიმე სხვა მცირე ტიპის კუთხე. მათ სკოლებში არ სწავლობენ, მაგრამ მათი არსებობის შესახებ მაინც უნდა ვიცოდეთ. არსებობს მხოლოდ ხუთი მეორადი ტიპის კუთხე:
1. ნული
ეს ასე გამოიყურება:
თავად კუთხის სახელი უკვე მიუთითებს მის ზომაზე. მისი შიდა ფართობი არის 0°, ხოლო გვერდები ერთმანეთზე დევს, როგორც ნაჩვენებია სურათზე.
2. ირიბი
ირიბი კუთხე შეიძლება იყოს სწორი კუთხე, ბლაგვი კუთხე, მახვილი კუთხე ან სწორი კუთხე. მისი მთავარი პირობაა, რომ არ იყოს 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.
3. ამოზნექილი
ამოზნექილი კუთხეებია ნულოვანი, სწორი, ბლაგვი, მახვილი და სწორი კუთხეები. როგორც უკვე მიხვდით, ამოზნექილი კუთხის გრადუსის ზომაა 0°-დან 180°-მდე.
4. არაამოზნექილი
181°-დან 359°-მდე გრადუსიანი ზომების მქონე კუთხეები არ არის ამოზნექილი.
5. სრული
სრული კუთხე არის 360 გრადუსი.
ეს არის ყველა ტიპის კუთხე მათი სიდიდის მიხედვით. ახლა მოდით შევხედოთ მათ ტიპებს ერთმანეთის მიმართ თვითმფრინავზე მდებარეობის მიხედვით.
1. დამატებითი
ეს არის ორი მწვავე კუთხე, რომელიც ქმნის ერთ სწორ ხაზს, ე.ი. მათი ჯამი არის 90 o.
2. მიმდებარე
მიმდებარე კუთხეები წარმოიქმნება, თუ სხივი გაივლის გაშლილ კუთხეში, უფრო სწორად მის წვეროზე, ნებისმიერი მიმართულებით. მათი ჯამი 180 o.
3. ვერტიკალური
ვერტიკალური კუთხეები წარმოიქმნება ორი სწორი ხაზის გადაკვეთისას. მათი ხარისხის ზომები თანაბარია.
ახლა მოდით გადავიდეთ წრეზე მდებარე კუთხეების ტიპებზე. მათგან მხოლოდ ორია: ცენტრალური და წარწერიანი.
1. ცენტრალური
ცენტრალური კუთხე არის კუთხე მისი წვეროთი წრის ცენტრში. მისი ხარისხის ზომა უდრის გვერდების მიერ დაქვეითებული პატარა რკალის გრადუსის ზომას.
2. წარწერიანი
ჩაწერილი კუთხე არის კუთხე, რომლის წვერო დევს წრეზე და რომლის გვერდები კვეთენ მას. მისი ხარისხის ზომა უდრის რკალის ნახევარს, რომელზეც ის ეყრდნობა.
ეს არის ის კუთხეებისთვის. ახლა თქვენ იცით, რომ გარდა ყველაზე ცნობილი - მწვავე, ბლაგვი, სწორი და განლაგებული - გეომეტრიაში არსებობს მათი მრავალი სხვა სახეობა.
როცა ორი სხივი (ა.ო.და ო.ბ.) მოდის ერთი წერტილიდან, მაშინ ამ სხივების მიერ წარმოქმნილი ფიგურა (მათ მიერ შეზღუდული სიბრტყის ნაწილთან ერთად) ე.წ. კუთხე
კუთხის შემქმნელ სხივებს ე.წ პარტიები. წერტილი, საიდანაც ისინი წარმოიქმნება არის ზედაკუთხე.
კუთხის მხარეებიუნდა წარმოვიდგინოთ ზემოდან უსასრულოდ გაშლილი.
კუთხეჩვეულებრივ აღინიშნება სამი ასოთი, რომელთაგან შუა მოთავსებულია მწვერვალები, და უკიდურესები არის მხარეების ზოგიერთ წერტილში. მაგალითად, ისინი ამბობენ „კუთხე AOBან კუთხე SAI" მაგრამ კუთხის აღნიშვნა შეგიძლიათ წვეროზე მოთავსებული ერთი ასოთი, თუ ამ წვეროზე სხვა კუთხეები არ არის. ჩვენ ხანდახან კუთხეს აღვნიშნავთ წვეროზე კუთხის შიგნით მოთავსებული რიცხვით. სიტყვა "კუთხე" წერილობით ხშირად იცვლება ნიშნით / .
როცა ერთიდან ორი სხივი მოდის ქულები, შემდეგ მკაცრად ამბობენ, რომ ისინი ქმნიან არა ერთ კუთხეს, არამედ ორ კუთხეს.
ეს ორი კუთხე ერთმანეთის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სხივები ა.ო.და ო.ბ.შეადგინე ერთი პირდაპირი .
ამ კუთხეს ე.წ შემობრუნებული კუთხე.
ორი კუთხე ითვლის თანაბარი კუთხეები, თუ ზედმეტად ზემოქმედებისას შეიძლება მათი გაერთიანება.
ჩვენ ვიღებთ აშკარად, რომ ნებისმიერი კუთხის შიგნით, მისი წვეროდან შესაძლებელია გამოვხატოთ სხივი (და მხოლოდ ერთი), რომელიც ამ კუთხეს შუაზე ყოფს. ასეთ სხივს ე.წ კუთხის ბისექტორი .
ორი კუთხე ( ა.ო.ბდა BOC) ეძახიან მიმდებარე, თუ მათ ერთი მხარე აქვთ საერთო, ხოლო დანარჩენი ორი მხარე არის სწორი ხაზი.
ჯანდაბა 1. ჯანდაბა 2
როცა ორი მიმდებარე კუთხეტოლია (ნახ. 2), შემდეგ მათი საერთო მხარე ო.ბ.დაურეკა პერპენდიკულარულისწორ ხაზზე A.C., რომელზედაც სხვა მხარეები დევს.
თუ მიმდებარე კუთხეები არათანაბარია (ნახ. 1), მაშინ საერთო მხარე ო.ბ.დაურეკა მიდრეკილირომ A.C..
ორივე შემთხვევაში, მიუთითეთ ოდაურეკა საფუძველი(პერპენდიკულური ან ირიბი).
სწორი ხაზის ნებისმიერი წერტილიდან შეგიძლიათ, ამ სწორი ხაზის ორივე მხარეს, აღადგინოთ იგი პერპენდიკულარულიდა მხოლოდ ერთი .
თითოეულ თანაბარ მიმდებარე კუთხეს უწოდებენ პირდაპირი. მართი კუთხე არის მუდმივიმნიშვნელობა უდრის 90 0-ს (ეს ჩვეულებრივ აღინიშნება ნიშნით დ, ე.ი. ფრანგული სიტყვის "droit" საწყისი ასო - სწორი). შედეგად, ჩვეულებრივი კუთხეები შედარებულია ზომით მართ კუთხესთან.
ნებისმიერი გაფართოვდაკუთხე არის 2 დ= 180°.
ყველა კუთხე ( AOC), უფრო პატარა სწორი კუთხე (AOB) ეწოდება მკვეთრი.
ყველა კუთხე ( AOD) უფრო დიდი პირდაპირი ეწოდება სულელი.
ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ ერთ-ერთ ძირითად გეომეტრიულ ფიგურას - კუთხეს. დავიწყოთ დამხმარე ცნებებითა და განმარტებებით, რომლებიც მიგვიყვანს კუთხის განსაზღვრებამდე. ამის შემდეგ წარმოგიდგენთ კუთხეების აღნიშვნის მიღებულ გზებს. შემდეგი, ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ კუთხეების გაზომვის პროცესს. დასასრულს, ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ შეგიძლიათ მონიშნოთ კუთხეები ნახაზში. ჩვენ ყველა თეორიას მივაწოდეთ საჭირო ნახატები და გრაფიკული ილუსტრაციები მასალის უკეთ დასამახსოვრებლად.
გვერდის ნავიგაცია.
კუთხის განმარტება.
კუთხე გეომეტრიაში ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ფიგურაა. კუთხის განმარტება მოცემულია სხივის განმარტებით. თავის მხრივ, სხივის იდეა ვერ მიიღება ისეთი გეომეტრიული ფიგურების ცოდნის გარეშე, როგორიცაა წერტილი, სწორი ხაზი და სიბრტყე. ამიტომ, სანამ კუთხის განმარტებას გაეცნოთ, ჩვენ გირჩევთ თეორიის განხილვას სექციებიდან და.
ასე რომ, ჩვენ დავიწყებთ წერტილის, წრფის სიბრტყეზე და სიბრტყის ცნებებიდან.
ჯერ მივცეთ სხივის განმარტება.
მოდით მივცეთ სწორი ხაზი თვითმფრინავზე. ავღნიშნოთ ასო ა. მოდით O იყოს a წრფის რაღაც წერტილი. წერტილი O ყოფს a ხაზს ორ ნაწილად. თითოეულ ამ ნაწილს O წერტილთან ერთად ე.წ სხივიდა წერტილი O ეწოდება სხივის დასაწყისი. ასევე შეგიძლიათ გაიგოთ რა ჰქვია სხივს ნახევრადპირდაპირი.
მოკლედ და მოხერხებულობისთვის დაინერგა სხივების შემდეგი აღნიშვნა: სხივი აღინიშნება ან მცირე ლათინური ასოებით (მაგალითად, ray p ან ray k), ან ორი დიდი ლათინური ასოებით, რომელთაგან პირველი შეესაბამება საწყისს. სხივი, ხოლო მეორე აღნიშნავს ამ სხივის გარკვეულ წერტილს (მაგალითად, ray OA ან ray CD). მოდით ვაჩვენოთ ნახატზე სხივების გამოსახულება და აღნიშვნა.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ კუთხის პირველი განმარტება.
განმარტება.
კუთხეარის ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურა (ანუ მთლიანად დევს გარკვეულ სიბრტყეში), რომელიც შედგება ორი განსხვავებული წარმოშობის სხივებისგან. თითოეულ სხივს ე.წ კუთხის მხარე, კუთხის გვერდების საერთო წარმოშობა ეწოდება კუთხის წვერო.
შესაძლებელია, რომ კუთხის გვერდები ქმნიან სწორ ხაზს. ამ კუთხეს თავისი სახელი აქვს.
განმარტება.
თუ კუთხის ორივე მხარე ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს, მაშინ ასეთ კუთხეს უწოდებენ გაფართოვდა.
თქვენს ყურადღებას წარმოგიდგენთ შემობრუნებული კუთხის გრაფიკულ ილუსტრაციას.
კუთხის აღსანიშნავად გამოიყენეთ კუთხის ხატულა "". თუ კუთხის გვერდები მითითებულია პატარა ლათინური ასოებით (მაგალითად, კუთხის ერთი მხარე არის k, ხოლო მეორე არის h), მაშინ ამ კუთხის აღსანიშნავად, კუთხის ხატის შემდეგ, გვერდების შესაბამისი ასოები იწერება. მწკრივი და წერის თანმიმდევრობას არ აქვს მნიშვნელობა (ანუ ან). თუ კუთხის მხარეები მითითებულია ორი დიდი ლათინური ასოებით (მაგალითად, კუთხის ერთი მხარე არის OA, ხოლო კუთხის მეორე მხარე არის OB), მაშინ კუთხე აღინიშნება შემდეგნაირად: კუთხის ხატის შემდეგ სამი იწერება ასოები, რომლებიც მონაწილეობენ კუთხის გვერდების აღნიშვნაში, ხოლო კუთხის წვეროს შესაბამისი ასო მდებარეობს შუაში (ჩვენს შემთხვევაში, კუთხე დანიშნულ იქნება როგორც ან ). თუ კუთხის წვერო არ არის სხვა კუთხის წვერო, მაშინ ასეთი კუთხე შეიძლება აღინიშნოს კუთხის წვეროს შესაბამისი ასოთი (მაგალითად, ). ზოგჯერ ხედავთ, რომ ნახატებში კუთხეები მონიშნულია რიცხვებით (1, 2 და ა.შ.), ეს კუთხეები მითითებულია როგორც და ა.შ. სიცხადისთვის წარმოგიდგენთ ნახატს, რომელშიც კუთხეებია გამოსახული და მითითებული.
ნებისმიერი კუთხე სიბრტყეს ორ ნაწილად ყოფს. უფრო მეტიც, თუ კუთხე არ არის შემობრუნებული, მაშინ სიბრტყის ერთ ნაწილს უწოდებენ შიდა კუთხის ფართობიდა მეორე - გარე კუთხის ფართობი. შემდეგი სურათი განმარტავს, თუ თვითმფრინავის რომელი ნაწილი შეესაბამება კუთხის შიდა არეალს და რომელი გარე.
ნებისმიერი ორი ნაწილიდან, რომლებშიც გაშლილი კუთხე ყოფს სიბრტყეს, შეიძლება ჩაითვალოს გაშლილი კუთხის შიდა რეგიონი.
კუთხის შიდა რეგიონის განსაზღვრა მიგვიყვანს კუთხის მეორე განმარტებამდე.
განმარტება.
კუთხეარის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება ორი განსხვავებული სხივისგან, საერთო წარმოშობისა და კუთხის შესაბამისი შიდა ფართობით.
უნდა აღინიშნოს, რომ კუთხის მეორე განმარტება უფრო მკაცრია ვიდრე პირველი, რადგან ის შეიცავს მეტ პირობებს. თუმცა, კუთხის პირველი განმარტება არ უნდა იყოს უგულებელყოფილი და არც კუთხის პირველი და მეორე განმარტებები ცალკე განხილული უნდა იყოს. მოდით განვმარტოთ ეს წერტილი. როდესაც ვსაუბრობთ კუთხეზე, როგორც გეომეტრიულ ფიგურაზე, მაშინ კუთხე გაგებულია, როგორც ფიგურა, რომელიც შედგება ორი სხივისგან საერთო წარმოშობის მქონე. თუ საჭიროა ამ კუთხით რაიმე მოქმედების განხორციელების აუცილებლობა (მაგალითად, კუთხის გაზომვა), მაშინ კუთხე უკვე უნდა გავიგოთ, როგორც ორი სხივი საერთო დასაწყისით და შიდა ფართობით (თორემ ორმაგი სიტუაცია წარმოიქმნება იმის გამო. კუთხის როგორც შიდა, ისე გარე უბნების არსებობა).
მოდით ასევე მივცეთ მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხეების განმარტებები.
განმარტება.
მიმდებარე კუთხეები- ეს არის ორი კუთხე, რომლებშიც ერთი მხარე საერთოა, ხოლო დანარჩენი ორი ქმნის გაშლილ კუთხეს.
განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მიმდებარე კუთხეები ავსებენ ერთმანეთს კუთხის შემობრუნებამდე.
განმარტება.
ვერტიკალური კუთხეები- ეს არის ორი კუთხე, რომლებშიც ერთი კუთხის გვერდები მეორის გვერდების გაგრძელებაა.
ფიგურაში ნაჩვენებია ვერტიკალური კუთხეები.
ცხადია, ორი გადამკვეთი ხაზი ქმნის ოთხ წყვილ მიმდებარე კუთხეს და ორ წყვილ ვერტიკალურ კუთხეს.
კუთხეების შედარება.
სტატიის ამ პარაგრაფში გავიგებთ ტოლი და არათანაბარი კუთხეების განმარტებებს და ასევე არათანაბარი კუთხეების შემთხვევაში განვმარტავთ რომელი კუთხე ითვლება უფრო დიდად და რომელი უფრო მცირე.
შეგახსენებთ, რომ ორ გეომეტრიულ ფიგურას ტოლი ეწოდება, თუ მათი გაერთიანება შესაძლებელია გადახურვით.
მოდით მივცეთ ორი კუთხე. წარმოგიდგენთ რამდენიმე მსჯელობას, რომელიც დაგვეხმარება პასუხის მიღებაში კითხვაზე: ტოლია თუ არა ეს ორი კუთხე?
ცხადია, ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია დავამთხვიოთ ორი კუთხის წვეროები, ისევე როგორც პირველი კუთხის ერთი მხარე მეორე კუთხის ორივე მხარეს. მოდით გავასწოროთ პირველი კუთხის გვერდი მეორე კუთხის იმ მხარესთან ისე, რომ კუთხეების დარჩენილი გვერდები იყოს იმ სწორი ხაზის იმავე მხარეს, რომელზეც დევს კუთხეების გაერთიანებული გვერდები. მაშინ, თუ კუთხის დანარჩენი ორი მხარე ემთხვევა, მაშინ კუთხეები ეწოდება თანაბარი.
თუ კუთხის დანარჩენი ორი მხარე არ ემთხვევა, მაშინ კუთხეები ეწოდება არათანაბარი, და უფრო პატარაგანიხილება კუთხე, რომელიც წარმოადგენს მეორის ნაწილს ( დიდიარის კუთხე, რომელიც მთლიანად შეიცავს სხვა კუთხეს).
ცხადია, ორი სწორი კუთხე ტოლია. ასევე აშკარაა, რომ განვითარებული კუთხე აღემატება ნებისმიერ განუვითარებელ კუთხეს.
კუთხეების გაზომვა.
კუთხეების გაზომვა ემყარება გაზომილი კუთხის შედარებას საზომ ერთეულად აღებულ კუთხესთან. კუთხეების გაზომვის პროცესი ასე გამოიყურება: დაწყებული გაზომილი კუთხის ერთ-ერთი გვერდიდან, მისი შიდა ფართობი თანმიმდევრულად ივსება ცალკეული კუთხით, მჭიდროდ ათავსებენ ერთმანეთს. ამავე დროს, ახსოვთ დაყენებული კუთხეების რაოდენობა, რაც იძლევა გაზომილი კუთხის ზომას.
სინამდვილეში, ნებისმიერი კუთხე შეიძლება იქნას მიღებული, როგორც კუთხეების საზომი ერთეული. ამასთან, არსებობს მრავალი ზოგადად მიღებული კუთხეების საზომი ერთეული, რომლებიც დაკავშირებულია მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა დარგთან, მათ მიიღეს სპეციალური სახელები.
კუთხეების საზომი ერთ-ერთი ერთეულია ხარისხი.
განმარტება.
ერთი ხარისხი- ეს არის კუთხე, რომელიც ტოლია შემობრუნებული კუთხის ას ოთხმოცდამეათეედს.
ხარისხი აღინიშნება სიმბოლოთი "", ამიტომ ერთი ხარისხი აღინიშნება როგორც .
ამრიგად, შემობრუნებულ კუთხეში შეგვიძლია 180 კუთხე მოვათავსოთ ერთ გრადუსში. 180 თანაბარ ნაწილად გაჭრილ ნახევარ მრგვალ ღვეზელს ჰგავს. ძალიან მნიშვნელოვანია: „ტორტის ნაჭრები“ მჭიდროდ ერგება ერთმანეთს (ანუ კუთხეების გვერდები გასწორებულია), პირველი კუთხის მხარე გასწორებული კუთხის ერთ მხარეს, ხოლო ბოლო ერთეული კუთხის მხარე. ემთხვევა გაშლილი კუთხის მეორე მხარეს.
კუთხეების გაზომვისას გაარკვიეთ რამდენჯერ არის გრადუსი (ან კუთხეების საზომი სხვა ერთეული) მოთავსებული გასაზომ კუთხეში მანამ, სანამ საზომი კუთხის შიდა ფართობი მთლიანად არ დაიფარება. როგორც უკვე ვნახეთ, ბრუნვის კუთხეში გრადუსია ზუსტად 180-ჯერ. ქვემოთ მოცემულია კუთხეების მაგალითები, რომლებშიც ერთი გრადუსის კუთხე ერგება ზუსტად 30-ჯერ (ასეთი კუთხე არის გაშლილი კუთხის მეექვსედი) და ზუსტად 90-ჯერ (გაშლილი კუთხის ნახევარი).
ერთ გრადუსზე ნაკლები კუთხეების (ან კუთხეების საზომი სხვა ერთეულის) გასაზომად და იმ შემთხვევებში, როდესაც კუთხის გაზომვა შეუძლებელია მთელი რიგი გრადუსით (აღებული საზომი ერთეულები), საჭიროა გამოიყენოთ გრადუსის ნაწილები (ნაწილები აღებული საზომი ერთეულები). ხარისხის ზოგიერთ ნაწილს ეძლევა სპეციალური სახელები. ყველაზე გავრცელებულია ე.წ წუთები და წამები.
განმარტება.
წუთიარის ხარისხის სამოცდამეათედელი.
განმარტება.
მეორეარის წუთის ერთი სამოცი.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წუთში არის სამოცი წამი, ხოლო გრადუსში სამოცი წუთი (3600 წამი). სიმბოლო "" გამოიყენება წუთების აღსანიშნავად, ხოლო სიმბოლო "" გამოიყენება წამების აღსანიშნავად (არ აურიოთ წარმოებული და მეორე წარმოებული ნიშნები). შემდეგ, შემოღებული განმარტებებითა და აღნიშვნებით, გვაქვს და კუთხე, რომელშიც 17 გრადუსი 3 წუთი და 59 წამი შეესაბამება, შეიძლება აღვნიშნოთ როგორც .
განმარტება.
კუთხის ხარისხის საზომიარის დადებითი რიცხვი, რომელიც გვიჩვენებს რამდენჯერ ჯდება გრადუსი და მისი ნაწილები მოცემულ კუთხეში.
მაგალითად, განვითარებული კუთხის გრადუსიანი ზომა არის ას ოთხმოცი, ხოლო კუთხის გრადუსიანი ზომა არის 
.
არსებობს კუთხეების საზომი სპეციალური საზომი ხელსაწყოები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია პროტრაქტორი.
თუ კუთხის აღნიშვნა (მაგალითად, ) და მისი ხარისხის ზომა (დავუშვათ 110) ცნობილია, მაშინ გამოიყენეთ ფორმის მოკლე აღნიშვნა. 
და ისინი ამბობენ: "კუთხე AOB უდრის ას ათი გრადუსს."
კუთხისა და კუთხის გრადუსული საზომის განმარტებებიდან გამომდინარეობს, რომ გეომეტრიაში კუთხის ზომა გრადუსებში გამოიხატება რეალური რიცხვიინტერვალიდან (0, 180] (ტრიგონომეტრიაში განიხილება თვითნებური ხარისხის საზომი კუთხეები, მათ უწოდებენ). ოთხმოცდაათი გრადუსიან კუთხეს განსაკუთრებული სახელი აქვს, ე.წ. სწორი კუთხე. კუთხეს 90 გრადუსზე ნაკლები ეწოდება მწვავე კუთხე. ოთხმოცდაათი გრადუსზე მეტი კუთხე ეწოდება ბლაგვი კუთხე. ასე რომ, მწვავე კუთხის ზომა გრადუსებში გამოიხატება რიცხვით ინტერვალიდან (0, 90), ბლაგვი კუთხის ზომა გამოიხატება რიცხვით ინტერვალიდან (90, 180), მართი კუთხე უდრის ოთხმოცდაათი გრადუსი. აქ მოცემულია მახვილი კუთხის, ბლაგვი კუთხის და მართი კუთხის ილუსტრაციები.
კუთხეების გაზომვის პრინციპიდან გამომდინარეობს, რომ თანაბარი კუთხის გრადუსული ზომები ერთნაირია, უფრო დიდი კუთხის გრადუსული ზომა უფრო დიდია, ვიდრე პატარას გრადუსი და კუთხის გრადუსული ზომა, რომელიც შედგება რამდენიმესგან. კუთხეები უდრის შემადგენელი კუთხეების ხარისხიანი ზომების ჯამს. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს AOB კუთხეს, რომელიც შედგება AOC, COD და DOB კუთხეებით, ამ შემთხვევაში.
ამრიგად, მიმდებარე კუთხეების ჯამი ას ოთხმოცი გრადუსია, ვინაიდან ისინი ქმნიან სწორ კუთხეს.
ამ განცხადებიდან გამომდინარეობს, რომ. მართლაც, თუ კუთხეები AOB და COD ვერტიკალურია, მაშინ კუთხეები AOB და BOC მეზობელია და კუთხეები COD და BOC ასევე მეზობელია, შესაბამისად, ტოლობები და მოქმედებს, რაც ტოლობას გულისხმობს.
ხარისხთან ერთად კუთხეების საზომი მოსახერხებელი ერთეული ეწოდება რადიანი. რადიანის ზომა ფართოდ გამოიყენება ტრიგონომეტრიაში. მოდით განვსაზღვროთ რადიანი.
განმარტება.
კუთხე ერთი რადიანი- ეს ცენტრალური კუთხე, რომელიც შეესაბამება რკალის სიგრძეს, რომელიც უდრის შესაბამისი წრის რადიუსის სიგრძეს.
მოდით მივცეთ ერთი რადიანის კუთხის გრაფიკული ილუსტრაცია. ნახაზზე OA რადიუსის სიგრძე (ისევე როგორც OB რადიუსი) უდრის AB რკალის სიგრძეს, შესაბამისად, განმარტებით, AOB კუთხე უდრის ერთ რადიანს.
აბრევიატურა "რად" გამოიყენება რადიანების აღსანიშნავად. მაგალითად, ჩანაწერი 5 რად ნიშნავს 5 რადიანს. თუმცა, წერილობით აღნიშვნა "რად" ხშირად გამოტოვებულია. მაგალითად, როდესაც წერენ, რომ კუთხე უდრის პის, ეს ნიშნავს პი რად.
ცალკე უნდა აღინიშნოს, რომ რადიანებში გამოხატული კუთხის სიდიდე არ არის დამოკიდებული წრის რადიუსის სიგრძეზე. ეს გამოწვეულია იმით, რომ მოცემული კუთხით შემოსაზღვრული ფიგურები და მოცემული კუთხის წვეროზე ცენტრის მქონე წრის რკალი ერთმანეთის მსგავსია.
რადიანებში კუთხეების გაზომვა შეიძლება განხორციელდეს ისევე, როგორც კუთხეების გაზომვა გრადუსით: გაარკვიეთ, რამდენჯერ ჯდება ერთი რადიანის კუთხე (და მისი ნაწილები) მოცემულ კუთხეში. ან შეგიძლიათ გამოთვალოთ შესაბამისი ცენტრალური კუთხის რკალის სიგრძე და შემდეგ გაყოთ იგი რადიუსის სიგრძეზე.
პრაქტიკული მიზნებისთვის, სასარგებლოა იმის ცოდნა, თუ როგორ არის დაკავშირებული ხარისხი და რადიანის ზომები ერთმანეთთან, რადგან საკმაოდ ბევრი მათგანი უნდა განხორციელდეს. ეს სტატია ადგენს კავშირს კუთხის ხარისხსა და რადიანულ ზომებს შორის და მოცემულია გრადუსების რადიანებად გადაქცევის მაგალითები და პირიქით.
კუთხეების აღნიშვნა ნახაზში.
ნახატებში, მოხერხებულობისა და სიცხადისთვის, კუთხეები შეიძლება აღინიშნოს რკალებით, რომლებიც ჩვეულებრივ დახატულია კუთხის შიდა არეში კუთხის ერთი მხრიდან მეორეზე. თანაბარი კუთხეებიაღინიშნება რკალების ერთნაირი რაოდენობა, არათანაბარი კუთხეები - განსხვავებული რაოდენობის რკალებით. ნახატში სწორი კუთხეები მითითებულია სიმბოლოთი, როგორიცაა "", რომელიც გამოსახულია მარჯვენა კუთხის შიდა არეში კუთხის ერთი მხრიდან მეორეზე.
თუ ნახატში მრავალი განსხვავებული კუთხის მონიშვნა მოგიწევთ (ჩვეულებრივ სამზე მეტი), მაშინ კუთხის მონიშვნისას, ჩვეულებრივი რკალების გარდა, დასაშვებია რაიმე განსაკუთრებული ტიპის რკალების გამოყენება. მაგალითად, შეგიძლიათ გამოსახოთ დაკბილული რკალი, ან მსგავსი რამ.
გასათვალისწინებელია, რომ ნახატებში კუთხის აღნიშვნით არ უნდა გატაცებულიყავით და არ გააფუჭოთ ნახატები. ჩვენ გირჩევთ მონიშნოთ მხოლოდ ის კუთხეები, რომლებიც აუცილებელია ამოხსნის ან დამტკიცების პროცესში.
ცნობები.
- ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., პოზნიაკი ე.გ., იუდინა ი.ი. გეომეტრია. 7 – 9 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
- ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., კისელევა ლ.ს., პოზნიაკი ე.გ. გეომეტრია. სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის 10-11 კლასებისთვის.
- პოგორელოვი A.V., გეომეტრია. სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებში 7-11 კლასებისთვის.
კუთხე არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება ერთი წერტილიდან გამომავალი ორი განსხვავებული სხივისგან. ამ შემთხვევაში ამ სხივებს კუთხის მხარეებს უწოდებენ. წერტილს, რომელიც არის სხივების დასაწყისი, ეწოდება კუთხის წვერო. სურათზე ხედავთ კუთხეს წვეროსთან წერტილში შესახებდა მხარეები კდა მ.
წერტილები A და C აღინიშნება კუთხის გვერდებზე. შუაში უნდა იყოს იმ წერტილის სახელი, რომელზეც მდებარეობს კუთხის წვერო. ასევე არსებობს სხვა აღნიშვნები, კუთხე O ან კუთხე კმ. გეომეტრიაში, სიტყვის კუთხის ნაცვლად, ხშირად იწერება სპეციალური სიმბოლო.
განვითარებული და არა გაფართოებული კუთხე
თუ კუთხის ორივე მხარე ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს, მაშინ ასეთ კუთხეს უწოდებენ გაფართოვდაკუთხე. ანუ კუთხის ერთი მხარე არის კუთხის მეორე მხარის გაგრძელება. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს გაფართოებულ კუთხეს O.
უნდა აღინიშნოს, რომ ნებისმიერი კუთხე სიბრტყეს ორ ნაწილად ყოფს. თუ კუთხე არ არის გაშლილი, მაშინ ერთ ნაწილს კუთხის შიდა რეგიონი ეწოდება, მეორეს კი ამ კუთხის გარე მხარე. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს განუვითარებელ კუთხეს და აღნიშნავს ამ კუთხის გარე და შიდა რეგიონებს.
განვითარებული კუთხის შემთხვევაში, ორი ნაწილიდან რომელიმე, რომელშიც ის ყოფს სიბრტყეს, შეიძლება ჩაითვალოს კუთხის გარე რეგიონად. ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ წერტილის პოზიციაზე კუთხესთან მიმართებაში. წერტილი შეიძლება მდებარეობდეს კუთხის გარეთ (გარე რეგიონში), შეიძლება განთავსდეს მის ერთ-ერთ მხარეს, ან შეიძლება იყოს კუთხეში შიგნით (შიდა რეგიონში).
ქვემოთ მოყვანილ სურათზე, წერტილი A მდებარეობს O კუთხის გარეთ, წერტილი B მდებარეობს კუთხის ერთ მხარეს და წერტილი C მდებარეობს კუთხის შიგნით.
კუთხეების გაზომვა
კუთხეების გასაზომად არის მოწყობილობა, რომელსაც პროტრაქტორი ეწოდება. კუთხის ერთეული არის ხარისხი. უნდა აღინიშნოს, რომ თითოეულ კუთხეს აქვს გარკვეული ხარისხის ზომა, რომელიც მეტია ნულზე.
ხარისხის საზომიდან გამომდინარე, კუთხეები იყოფა რამდენიმე ჯგუფად.
სტატიები თემაზე
