რიცხვების გამოკლების სრული სისტემა, რომელიც იყოფა. გამოქვითვები. გამოქვითვების სრული და შემცირებული სისტემები. გამოქვითვის კლასები. დედუქციის სისტემები

მოდულის ნარჩენი რგოლი ნაღნიშნავენ ან. მისი მრავლობითი ჯგუფი, როგორც რგოლების შექცევადი ელემენტების ჯგუფების ზოგად შემთხვევაში, აღინიშნება ∗ × × .

უმარტივესი შემთხვევა

ჯგუფის სტრუქტურის გასაგებად, შეგვიძლია განვიხილოთ სპეციალური შემთხვევა, სადაც არის მარტივი რიცხვი და განვაზოგადოთ იგი. განვიხილოთ უმარტივესი შემთხვევა, როდესაც, ანუ.

თეორემა: - ციკლური ჯგუფი.

მაგალითი : განვიხილოთ ჯგუფი

= (1,2,4,5,7,8) ჯგუფის გენერატორი არის ნომერი 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ როგორც ვხედავთ, ჯგუფის ნებისმიერი ელემენტი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სახით, სადაც ≤ℓφ . ანუ ჯგუფი ციკლურია.

ზოგადი შემთხვევა

ზოგადი შემთხვევის განსახილველად აუცილებელია პრიმიტიული ფესვის განსაზღვრა. პრიმიტიული ფესვის მოდულო მარტივი რიცხვია, რომელიც ნარჩენების კლასთან ერთად ქმნის ჯგუფს.

მაგალითები: 2 11 ; 8 - პრიმიტიული ფესვის მოდული 11 ; 3 არ არის პრიმიტიული ფესვის მოდული 11 .

მთლიანი მოდულის შემთხვევაში, განმარტება იგივეა.

ჯგუფის სტრუქტურა განისაზღვრება შემდეგი თეორემით: თუ p არის კენტი მარტივი რიცხვი და l არის დადებითი მთელი რიცხვი, მაშინ არსებობს პრიმიტიული ფესვები modulo , ანუ ციკლური ჯგუფი.

მაგალითი

მოდულის ნარჩენების მოცემული სისტემა შედგება ნარჩენების კლასებისაგან: . ნარჩენების კლასებისთვის განსაზღვრულ გამრავლებასთან დაკავშირებით, ისინი ქმნიან ჯგუფს და ასევე არიან ურთიერთშებრუნებული (ანუ, ⋅ ), და ასევე მათი შებრუნებული.

ჯგუფის სტრუქტურა

აღნიშვნა ნიშნავს "n რიგის ციკლურ ჯგუფს".

ჯგუფის სტრუქტურა (Z/ ნზ) ×

	×	φ	λ	ჯგუფის გენერატორი		×	φ	λ	ჯგუფის გენერატორი		×	φ	λ	ჯგუფის გენერატორი		×	φ	λ	ჯგუფის გენერატორი
1	C 1	1	1	0	33	C 2 × C 10	20	10	2, 10	65	C 4 × C 12	48	12	2, 12	97	C 96	96	96	5
2	C 1	1	1	1	34	C 16	16	16	3	66	C 2 × C 10	20	10	5, 7	98	C 42	42	42	3
3	C 2	2	2	2	35	C 2 × C 12	24	12	2, 6	67	C 66	66	66	2	99	C 2 × C 30	60	30	2, 5
4	C 2	2	2	3	36	C 2 × C 6	12	6	5, 19	68	C 2 × C 16	32	16	3, 67	100	C 2 × C 20	40	20	3, 99
5	C 4	4	4	2	37	C 36	36	36	2	69	C 2 × C 22	44	22	2, 68	101	C 100	100	100	2
6	C 2	2	2	5	38	C 18	18	18	3	70	C 2 × C 12	24	12	3, 69	102	C 2 × C 16	32	16	5, 101
7	C 6	6	6	3	39	C 2 × C 12	24	12	2, 38	71	C 70	70	70	7	103	C 102	102	102	5
8	C 2 × C 2	4	2	3, 5	40	C 2 × C 2 × C 4	16	4	3, 11, 39	72	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 17, 19	104	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 103
9	C 6	6	6	2	41	C 40	40	40	6	73	C 72	72	72	5	105	C 2 × C 2 × C 12	48	12	2, 29, 41
10	C 4	4	4	3	42	C 2 × C 6	12	6	5, 13	74	C 36	36	36	5	106	C 52	52	52	3
11	C 10	10	10	2	43	C 42	42	42	3	75	C 2 × C 20	40	20	2, 74	107	C 106	106	106	2
12	C 2 × C 2	4	2	5, 7	44	C 2 × C 10	20	10	3, 43	76	C 2 × C 18	36	18	3, 37	108	C 2 × C 18	36	18	5, 107
13	C 12	12	12	2	45	C 2 × C 12	24	12	2, 44	77	C 2 × C 30	60	30	2, 76	109	C 108	108	108	6
14	C 6	6	6	3	46	C 22	22	22	5	78	C 2 × C 12	24	12	5, 7	110	C 2 × C 20	40	20	3, 109
15	C 2 × C 4	8	4	2, 14	47	C 46	46	46	5	79	C 78	78	78	3	111	C 2 × C 36	72	36	2, 110
16	C 2 × C 4	8	4	3, 15	48	C 2 × C 2 × C 4	16	4	5, 7, 47	80	C 2 × C 4 × C 4	32	4	3, 7, 79	112	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 111
17	C 16	16	16	3	49	C 42	42	42	3	81	C 54	54	54	2	113	C 112	112	112	3
18	C 6	6	6	5	50	C 20	20	20	3	82	C 40	40	40	7	114	C 2 × C 18	36	18	5, 37
19	C 18	18	18	2	51	C 2 × C 16	32	16	5, 50	83	C 82	82	82	2	115	C 2 × C 44	88	44	2, 114
20	C 2 × C 4	8	4	3, 19	52	C 2 × C 12	24	12	7, 51	84	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 11, 13	116	C 2 × C 28	56	28	3, 115
21	C 2 × C 6	12	6	2, 20	53	C 52	52	52	2	85	C 4 × C 16	64	16	2, 3	117	C 6 × C 12	72	12	2, 17
22	C 10	10	10	7	54	C 18	18	18	5	86	C 42	42	42	3	118	C 58	58	58	11
23	C 22	22	22	5	55	C 2 × C 20	40	20	2, 21	87	C 2 × C 28	56	28	2, 86	119	C 2 × C 48	96	48	3, 118
24	C 2 × C 2 × C 2	8	2	5, 7, 13	56	C 2 × C 2 × C 6	24	6	3, 13, 29	88	C 2 × C 2 × C 10	40	10	3, 5, 7	120	C 2 × C 2 × C 2 × C 4	32	4	7, 11, 19, 29
25	C 20	20	20	2	57	C 2 × C 18	36	18	2, 20	89	C 88	88	88	3	121	C 110	110	110	2
26	C 12	12	12	7	58	C 28	28	28	3	90	C 2 × C 12	24	12	7, 11	122	C 60	60	60	7
27	C 18	18	18	2	59	C 58	58	58	2	91	C 6 × C 12	72	12	2, 3	123	C 2 × C 40	80	40	7, 83
28	C 2 × C 6	12	6	3, 13	60	C 2 × C 2 × C 4	16	4	7, 11, 19	92	C 2 × C 22	44	22	3, 91	124	C 2 × C 30	60	30	3, 61
29	C 28	28	28	2	61	C 60	60	60	2	93	C 2 × C 30	60	30	11, 61	125	C 100	100	100	2
30	C 2 × C 4	8	4	7, 11	62	C 30	30	30	3	94	C 46	46	46	5	126	C 6 × C 6	36	6	5, 13
31	C 30	30	30	3	63	C 6 × C 6	36	6	2, 5	95	C 2 × C 36	72	36	2, 94	127	C 126	126	126	3
32	C 2 × C 8	16	8	3, 31	64	C 2 × C 16	32	16	3, 63	96	C 2 × C 2 × C 8	32	8	5, 17, 31	128	C 2 × C 32	64	32	3, 127

განაცხადი

სირთულეზე, ფერმა, ჰული, . უორინგიმ ჩამოაყალიბა ვილსონის თეორემა და ლაგრანჟმა დაამტკიცა. ეილერმა შესთავაზა პრიმიტიული ფესვების არსებობა მარტივი რიცხვის მოდულში. გაუსმა დაამტკიცა ეს. არტინმა წამოაყენა თავისი ჰიპოთეზა მარტივი რიცხვების არსებობისა და რაოდენობრივი განსაზღვრის შესახებ, მოდული, რომელიც მოცემული მთელი რიცხვი არის პრიმიტიული ფესვი. ბროუერმა ხელი შეუწყო თანმიმდევრული მთელი რიცხვების სიმრავლეების არსებობის პრობლემას, რომელთაგან თითოეული არის kth სიმძლავრის mod p. ბილჰარცმა დაამტკიცა არტინის ვარაუდის ანალოგი. ჰულიმ დაამტკიცა არტინის ვარაუდი რიმანის გაფართოებული ჰიპოთეზის მართებულობის დაშვებით ალგებრული რიცხვების ველებში.

შენიშვნები

ლიტერატურა

ირლანდია კ., როზენ მ.კლასიკური შესავალი თანამედროვე თეორიანომრები. - მ.: მირი, 1987 წ.
ალფეროვი A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. ჩერემუშკინი A.V.კრიპტოგრაფიის საფუძვლები. - მოსკოვი: "Helios ARV", 2002 წ.
როსტოვცევი ა.გ., მახოვენკო ე.ბ.თეორიული კრიპტოგრაფია. - სანკტ-პეტერბურგი: NPO “Professional”, 2004 წ.

No15 შედარებების თვისების მიხედვით, იგივე კლასის მოდულის რიცხვები მაქვს მოდულთან ერთად მიგივე GCD. განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია ის კლასები, რომლებისთვისაც ის უდრის 1-ს.

თითოეული ამ კლასიდან თითო რიცხვის აღებით, მივიღებთ გამოქვითვების შემცირებული სისტემამოდული მ. ის ჩვეულებრივ იზოლირებულია ყველაზე ნაკლებად არაუარყოფითი მოდულის ნარჩენების სისტემიდან მ.

ყველაზე ნაკლებად არაუარყოფითი მოდულის ნარჩენების შემცირებული სისტემა მაღინიშნება უ მ.

ნარჩენების მოცემულ მოდულ სისტემაში რიცხვების რაოდენობა მაშკარად უდრის φ( მ).

მაგალითი:

გამოკლების მოდულო 15 მოცემული სისტემა არის (1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14). გაითვალისწინეთ, რომ φ(15)=(5–1)∙(3–1)= 8 და მართლაც, ნარჩენების მოდულის მოცემულ სისტემაში 15 არის ზუსტად 8 ელემენტი.

განცხადება 1

ნებისმიერი φ( მ) რიცხვები, რომლებიც წყვილში შეუდარებელია მოდულში მდა ორმხრივად პრემიერ ერთად მ, ქმნიან ნარჩენების შემცირებულ სისტემას.

(მტკიცებულება აშკარაა, როგორც განცხადებაში 1, პუნქტი 2)

განცხადება 2

თუ ( ა, მ) = 1, xგადის მოდულის ნარჩენების შემცირებულ სისტემაში მ, ეს ცულიასევე გადის მოდულის ნარჩენების შემცირებულ სისტემაში მ. (მტკიცებულება აშკარაა, როგორც მე-2, პუნქტი 2-ში).

საპირისპირო ელემენტი.

ამბობენ, რომ ელემენტი ბდაურეკა საპირისპირორომ ამოდული მ, თუ a∙b≡1 (მოდ მ) და დაწერე ბ ≡ ა-1 (მოდ მ).

ზოგადად, კლასიკურ რიცხვთა თეორიას არ სჭირდება ისეთი კონცეფცია, როგორც შებრუნებული ელემენტი, როგორც ეს ჩანს წაკითხვით, მაგალითად, . თუმცა, კრიპტოლოგია იყენებს ნარჩენ სისტემებს როგორც რიცხვთა თეორიულ, ასევე ალგებრულ ასპექტში და, შესაბამისად, კრიპტოლოგიის ალგებრული საფუძვლების წარმოდგენის მოხერხებულობისთვის, ჩვენ შემოგთავაზებთ ინვერსიული ელემენტის კონცეფციას.

ჩნდება კითხვა: მართალია თუ არა ამ მოდულის ყველა ელემენტისთვის? მარის შებრუნებული (გამრავლებით) და თუ ზოგიერთი ელემენტისთვის ინვერსია არსებობს, როგორ ვიპოვოთ იგი?

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად გამოვიყენებთ გაფართოებულ ევკლიდეს ალგორითმს. ჯერ განვიხილოთ თანაპირისპირული რიცხვები ადა მოდული მ. მაშინ აშკარად ( ა,მ)=1. გაფართოებული ევკლიდური ალგორითმი გაძლევთ საშუალებას მიიღოთ რიცხვები xდა წ, ისეთი რომ ნაჯახი+ჩემი=(ა,მ), ან, რაც იგივეა, ნაჯახი+ჩემი=1. ბოლო გამონათქვამიდან ვიღებთ შედარებას ნაჯახი+ჩემი≡1 (მოდ მ). მას შემდეგ, რაც ჩემი≡0 (მოდ მ), ეს ცული≡1 (მოდ მ), რაც ნიშნავს გაფართოებული ევკლიდური ალგორითმის გამოყენებით მიღებულ რიცხვს xეს არის ზუსტად რიცხვის სასურველი ინვერსიული ელემენტი ამოდული მ.

მაგალითი.

ა=5, მ=7. საჭიროა მოძებნა ა-1 მოდიფიკაცია მ.

მოდით გამოვიყენოთ გაფართოებული ევკლიდური ალგორითმი.

უკუ:

1=5–2∙2=5–(7–5∙1)∙2=5∙3–7∙2.

x=3, წ=–2.

5 -1 ≡3 (მოდიფიკაცია 7)

შემოწმება: 5∙3=15. 15≡1 (მოდიფიკაცია 7).

მართლაც, 3 არის 5 მოდულო 7-ის შებრუნებული.

ამრიგად, ჩვენ კონსტრუქციულად დავადასტურეთ, რომ რიცხვებისთვის, რომლებიც თანხმდებიან მოდულთან, არის შებრუნებული ამ მოდულის მიმართ. არსებობს თუ არა შებრუნებული ელემენტები რიცხვებისთვის, რომლებიც არ არიან თანაპირისპირი მათი მოდულის მიმართ?

დაე ( ა,მ)=დ≠1. შემდეგ a და m შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით ა=დ∙ა 1 , მ=დ∙მ 1. დავუშვათ, რომ a-სთვის არის შებრუნებული ელემენტი მოდულო m, ანუ ბ: ა∙ბ≡1 (მოდ მ). მერე ა∙b= m∙კ+1. ან რა არის იგივე, დ∙ა 1 ∙ბ=დ∙მ 1 ∙კ+1. მაგრამ შემდეგ, თეორემა 2-დან §1 გვ.1, იმის გამო, რომ მარცხენა მხარე მოცემული განტოლება, ხოლო მარჯვენა მხარეს პირველი წევრი იყოფა დ, ეს დ\1, მაგრამ ეს ასე არ არის, რადგან დ≠1. ჩვენ წინააღმდეგობამდე მივედით, ამიტომ ვარაუდი შებრუნებული ელემენტის არსებობის შესახებ არასწორია.

ასე რომ, ჩვენ უბრალოდ დავამტკიცეთ

შექცევადობის თეორემა

ა-1 (მოდ მ) (ა, მ) = 1.

ამ წერტილის ყველა მსჯელობის შეჯამებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მხოლოდ რიცხვები, რომლებიც შედარებით მარტივია მოდულით, შექცევადია და მათი ინვერსიების პოვნა შესაძლებელია გაფართოებული ევკლიდური ალგორითმის გამოყენებით.

დისერტაცია

2.5.2 გამოქვითვები. გამოქვითვების სრული და შემცირებული სისტემები

ტოლი ნარჩენი რიცხვები, ან, რაც იგივეა, შესადარებელი მოდულო m, ქმნიან რიცხვთა კლასს modulo m.

ამ განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ კლასში ყველა რიცხვი შეესაბამება იმავე ნაშთს r და მივიღებთ კლასის ყველა რიცხვს, თუ mq + r სახით, q გავუშვებთ ყველა მთელ რიცხვს.

შესაბამისად მ სხვადასხვა მნიშვნელობა r გვაქვს რიცხვების m კლასები modulo m.

კლასის ნებისმიერ რიცხვს ეწოდება ნარჩენი მოდული m იმავე კლასის ყველა რიცხვთან მიმართებაში. q = 0-ზე მიღებულ ნარჩენს, რომელიც უდრის თავად r ნარჩენს, უმცირესი არაუარყოფითი ნარჩენი ეწოდება.

თითოეული კლასიდან თითო გამოქვითვით ვიღებთ გამოქვითვების სრულ სისტემას modulo m. ყველაზე ხშირად, ნარჩენების სრულ სისტემად გამოიყენება უმცირესი არაუარყოფითი ნარჩენები 0, 1, ..., m-1 ან ასევე აბსოლუტურად უმცირესი ნარჩენები. ეს უკანასკნელი, როგორც ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, კენტი m-ის შემთხვევაში წარმოდგენილია რიგით

1, 0, 1, ...,

ხოლო ლუწი m-ის შემთხვევაში ორი სერიიდან რომელიმე

1, 0, 1, ...,

1, 0, 1, ..., .

ნებისმიერი m რიცხვი, რომელიც წყვილში შეუდარებელია მოდულო m, ქმნის ნარჩენების სრულ სისტემას modulo m.

მართლაც, შეუდარებელია, ამგვარად ეს რიცხვები განსხვავებულ კლასებს მიეკუთვნება და რადგან მათგან m არის, ე.ი. რამდენი კლასია, მაშინ თითოეულ კლასს ალბათ ექნება ერთი ნომერი.

თუ (a, m) = 1 და x გადის სრული ნარჩენი სისტემის მოდულო m, მაშინ ax + b, სადაც b არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი, ასევე გადის სრული ნარჩენი სისტემის მოდულო m.

მართლაც, იქნება იმდენი რიცხვი ax + b რამდენიც არის x რიცხვი, ე.ი. მ. წინა განცხადების თანახმად, რჩება მხოლოდ იმის ჩვენება, რომ ნებისმიერი ორი რიცხვი ax 1 + b და ax 2 + b, რომლებიც შეესაბამება შეუდარებელ x 1-ს და x 2-ს, თავად იქნება შეუდარებელი მოდული m.

მაგრამ თუ ვივარაუდებთ, რომ ax 1 + b ax 2 + b (mod m), მივდივართ შედარებამდე ax 1 = ax 2 (mod m), საიდანაც, (a, m) = 1-ის გამო, ვიღებთ

x 1 x 2 (mod m),

რაც ეწინააღმდეგება ვარაუდს, რომ x 1 და x 2 რიცხვები შეუდარებელია.

იგივე კლასის მოდულო m რიცხვებს აქვთ იგივე უდიდესი საერთო გამყოფი. განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია ის კლასები, რომლებისთვისაც ეს გამყოფი ერთის ტოლია, ე.ი. კლასები, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს, თანხმდებიან მოდულამდე.

თითოეული ასეთი კლასიდან თითო ნარჩენის აღებით, ვიღებთ ნარჩენების შემცირებულ სისტემას modulo m. მაშასადამე, ნარჩენების მოცემული სისტემა შეიძლება შედგებოდეს სრული სისტემის რიცხვებისგან, რომლებიც მოდულის თანაპრიმიტია. როგორც წესი, ნარჩენების მოცემული სისტემა იზოლირებულია ყველაზე ნაკლებად არაუარყოფითი ნარჩენების სისტემისგან: 0, 1, ..., m-1. ვინაიდან ამ რიცხვებს შორის m-ის თანაპირისპირული რიცხვი არის (m), მაშინ რიცხვების რაოდენობა შემცირებულ სისტემაში, ისევე როგორც იმ კლასების რაოდენობა, რომლებიც შეიცავენ თანაპირისპირ რიცხვებს მოდულამდე, არის (m).

მაგალითი. გამოკლების მოდულო 42 მოცემული სისტემა იქნება 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

ნებისმიერი (m) რიცხვი, რომელიც არის წყვილში შეუდარებელი მოდულო m და შედარებით მარტივი მოდულის მიმართ, ქმნის ნარჩენების შემცირებულ სისტემას modulo m.

მართლაც, როგორც შეუდარებელი და თანაპრიმიტია მოდულის მიმართ, ეს რიცხვები ამგვარად მიეკუთვნება სხვადასხვა კლასებს, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს მოდულის თანაპრიმებს, და რადგან მათგან არის (m), ე.ი. რამდენი კლასია მითითებული ტიპის, მაშინ თითოეული კლასი ალბათ შეიცავს ერთ რიცხვს.

თუ (a, m) = 1 და x გადის ნარჩენების შემცირებულ სისტემაში modulo m, მაშინ ax ასევე გადის ნარჩენების შემცირებულ სისტემაში modulo m.

მართლაც, იქნება იმდენი რიცხვი ax, რამდენიც არის რიცხვი x, ე.ი. (მ). წინა თვისების მიხედვით, მაშასადამე, რჩება მხოლოდ იმის ჩვენება, რომ რიცხვები ax modulo m შეუდარებელია და coprime modulo. პირველი გამომდინარეობს შედარების თვისებიდან (თუ შედარება ხდება მოდულო m, მაშინ ის ასევე ხდება მოდული d, უდრის m რიცხვის ნებისმიერ გამყოფს) უფრო ზოგადი ფორმის ax + b რიცხვებისთვის, ხოლო მეორე გამომდინარეობს. (a, m) = 1, (x, m) = 1.

სპეციალური ფორმის მატრიცებისა და მისი პროგრამული უზრუნველყოფის ალგებრული საკუთარი მნიშვნელობის ამოცანა

მატრიცებისთვის საკუთრივ მნიშვნელობების პრობლემის დასმისას, რომელთა ელემენტები მოცემულია დაახლოებით, ბუნებრივად ჩნდება კითხვა მიღებული ამოხსნის სტაბილურობის შესახებ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კითხვა ...

MS Access მონაცემთა ბაზა

პროგრამული უზრუნველყოფამონაცემთა ბაზებთან მუშაობა საკმაოდ დიდი ხანია გამოიყენება პერსონალურ კომპიუტერებზე. სამწუხაროდ, ეს პროგრამები იყო ან ელემენტარული მეხსიერების მენეჯერები და არ გააჩნდათ აპლიკაციის განვითარების ინსტრუმენტები...

ფაილური სისტემის დეფრაგმენტატორი

სრული დეფრაგმენტაცია ან თავისუფალი სივრცის დეფრაგმენტაცია იყო ერთ-ერთი პირველი გამოყენებული მეთოდი. ეს მეთოდი ახდენს ყველა ფაილის დეფრაგმენტაციას და ათავსებს მათ დანაყოფის დასაწყისში, რაც საშუალებას გაძლევთ გაათავისუფლოთ დისკის მაქსიმალური შესაძლო თავისუფალი ზონა...

რობოტების მოწყობილობების კომპიუტერული მოდელირება

ამ საკურსო ნაშრომში აუცილებელია რობოტული მოწყობილობების მოდელირების შესწავლა შემდეგი მეთოდების გამოყენებით: 1. MathCAD სისტემის გამოყენებით - რობოტის ერთი რგოლის ქცევის შესწავლა...

კომპიუტერული ინფორმაციის დაცვის მეთოდები და საშუალებები

Rijndael ალგორითმის გამოყენებით დაშიფვრა ხორციელდება შემდეგი ფსევდოკოდის სახით. არგუმენტები განიხილება, როგორც მითითებები ბაიტის ან ოთხბაიტიანი სიტყვის ველებზე. ველების, ცვლადების და ფუნქციების ინტერპრეტაცია მოცემულია ცხრილებში 11-13...

ელექტრული წრედის ძირითადი მოდელის განხორციელების აღწერა

ამ საკურსო ნამუშევარში თქვენ უნდა შეასრულოთ: 1. MathCAD სისტემის გამოყენებით გამოთვალეთ კონდენსატორზე დამუხტვის ფუნქციის მნიშვნელობები მოცემულში. ელექტრული დიაგრამა. ააგეთ კონდენსატორის ტევადობის ფუნქციისა და დამუხტვის ფუნქციის გრაფიკები. 2...

Windows პროგრამები: Paint გრაფიკული რედაქტორი

პალიტრის უჯრედზე ორჯერ დაწკაპუნებით, შეგიძლიათ აირჩიოთ მისთვის ფერი სრული ფერის პალიტრიდან...

სისტემების გამოყენება კომპიუტერული მოდელირებაკვლევისთვის მათემატიკური მოდელი RLC სქემები

Mathcad და Matlab სისტემების გამოყენება ელექტრული მოდელის მათემატიკური მოდელის შესასწავლად, მათ შორის EMF წყარო, წინააღმდეგობა R, ტევადობა C და ინდუქტორი L. პრობლემის სრული განცხადება: 1. Mathcad 1 სისტემის გამოყენება...

MathCAD სისტემის გამოყენება ცვლადი ინდუქციით ელექტრული წრედის მოდელის შესასწავლად

MathCAD სისტემის გამოყენება ელექტრული წრედის მოდელის შესასწავლად ცვლადი ინდუქციით გრაფიკულად მითითებული. პრობლემის განცხადება: 1...

MathCAD სისტემის გამოყენება გარე გავლენებზე ელექტრული წრედის რეაგირების შესასწავლად

Mathcad სისტემის გამოყენება გარე ზემოქმედებაზე ელექტრული წრედის პასუხის შესასწავლად. დახატეთ u(t) და e(t) ფუნქციების გრაფიკები. 2...

პროგრამა ჩვეულებრივი სისტემის გადასაჭრელად დიფერენციალური განტოლებები

მოცემული ფუნქციის გამოსათვლელად ალგორითმის და პასკალის პროგრამის შემუშავება

დავწეროთ სრული პასკალის პროგრამა შემუშავებული ალგორითმის შესაბამისად, რომელიც მოცემულია დანართში A. პროგრამა n_33; var m, n, j: მთელი რიცხვი; b, an, multi, h: რეალური; x: უძრავის მასივი; y: უძრავის მასივი; გ: უძრავის მასივი; gd,gm,n,m,i,j:მთლიანი; s,b,srk,min,max,y1:real; დაწყება clrscr; წერლნ (ვვედიტე კოლ-ვო ჩლენოვი ც,ხ); წაიკითხეთ(ნ...

უპილოტო საჰაერო ხომალდის სივრცითი მოძრაობის კოორდინირებული კონტროლის ალგორითმების სინთეზი

ცნობილია, რომ თვითმფრინავის მათემატიკური მოდელის შედგენის ან შემუშავების ერთ-ერთი მთავარი პუნქტია სხვადასხვა ვარაუდების მიღება, რომლებიც ამარტივებს და ასახავს რეალურ პროცესს. ვარაუდების გაკეთება საინჟინრო ამოცანაა, სწორი...

პროექტის მენეჯმენტი განხორციელებისთვის ავტომატიზირებული საინფორმაციო სისტემაშპს "რიმისთვის"

ავტომატური მართვის სისტემა, როგორც სისტემა, შედგება სხვადასხვა დონის ელემენტების დიდი რაოდენობით და სხვადასხვა მიზნებისთვის. ეს მოიცავს ქვესისტემებს, მოდულებს, საკონტროლო ერთეულებს, ამოცანებს, მართვის პროცედურებს, ფუნქციებს, ოპერაციებს და ა.შ. ძირითადი სისტემები, როგორიცაა ERP...

კერძოდ, გვექნება (p a) = p a - p a-1, (p) = p-1.

მაგალითები. (60) = 60

(81) = 81-27 = 54

გამრავლების ფუნქცია

ფუნქცია (a) ეწოდება მრავლობითი, თუ იგი აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას:

ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა დადებითი მთელი რიცხვისთვის a და არ არის ნულის ტოლი მინიმუმ ერთი ასეთი a-სთვის.

ნებისმიერი დადებითი თანაპრაიმისთვის 1 და 2 გვაქვს:

(a 1 a 2) = (a 1) (a 2) .

შედარებების თეორიის ძირითადი ცნებები

შედარების თვისებები

ჩვენ განვიხილავთ მთელ რიცხვებს ნაშთებთან დაკავშირებით, როდესაც გავყოფთ მათ მოცემულ დადებით მთელ რიცხვზე m, რომელსაც დავარქმევთ მოდულს.

ყოველი რიცხვი შეესაბამება გარკვეულ ნაშთს m-ზე გაყოფისას. თუ ორი მთელი რიცხვი a და b შეესაბამება ერთსა და იმავე ნაშთს r, მაშინ მათ ეწოდებათ equiremainder modulo m.

a და b მოდულის m რიცხვების შედარება იწერება:

a და b მოდულის m რიცხვების შედარება უდრის:

a-ს წარმოდგენის შესაძლებლობა a = b + mt, სადაც t არის მთელი რიცხვი.

b-ის გაყოფა m-ზე.

მართლაც, a-დან (mod m) მოყვება

a = mq + r, b = mq 1 + r, 0<= r

საიდანაც a - b = m (q - q 1), a = b + mt, t = q - q 1.

პირიქით, a = b + mt-დან, რომელიც წარმოადგენს b-ს, როგორც

b = mq 1 + r, 0<=r

გამოვიყვანთ a = mq + r, q = q 1 + t, ე.ი. a b (mod m).

ორივე განცხადება დადასტურდა.

მესამესთან შედარებით ორი რიცხვი შედარებულია ერთმანეთთან.

შედარება შეიძლება დაემატოს ტერმინით.

მართლაც, დაე

A 1 b 1 (mod m), a 2 b 2 (mod m) , …, a k b k (mod m) (1).

შემდეგ a 1 = b 1 + mt 1, a 2 = b 2 + mt 2, ..., a k = b k + mt k (2),

საიდანაც a 1 + a 2 + … + a k = b 1 + b 2 + … + b k + m (t 1 + t 2 + … + t k), ან

a 1 + a 2 + … + a k b 1 + b 2 + … + b k (mod m).

შედარება შეიძლება გამრავლდეს ტერმინით.

განვიხილოთ (1) და (2). ტოლობების (2) ვამრავლით ვამრავლებით მივიღებთ:

a 1 a 2 …a k b 1 b 2 …b k + mN,

სადაც N არის მთელი რიცხვი.

აქედან გამომდინარე: a 1 a 2 …a k b 1 b 2 …b k (mod m).

შედარების ორივე ნაწილი შეიძლება გაიზარდოს იმავე ძალაზე.

შედარების ორივე მხარე შეიძლება გამრავლდეს იმავე მთელ რიცხვზე.

მართლაც, a b (mod m) შედარების გამრავლებით აშკარა შედარება k k (mod m), მივიღებთ ak bk (mod m).

შედარების ორივე მხარე შეიძლება დაიყოს მათი საერთო გამყოფით, თუ ეს უკანასკნელი არის მოდულის თანაპირველი.

მართლაც, a b-დან (mod m), a = a 1 d, b = b 1 d, (d, m) = 1 გამომდინარეობს, რომ სხვაობა a - b, ტოლია (a 1 - b 1)d, იყოფა. m-ით, ანუ a 1 b 1 (mod m) .

გამოქვითვები. გამოქვითვების სრული და შემცირებული სისტემები

r-ის m სხვადასხვა მნიშვნელობების შესაბამისი, გვაქვს რიცხვების m კლასები მოდულო m.

1, 0, 1, ...,

ხოლო ლუწი m-ის შემთხვევაში ორი სერიიდან რომელიმე

1, 0, 1, ...,

1, 0, 1, ..., .

x 1 x 2 (mod m),

რაც ეწინააღმდეგება ვარაუდს, რომ x 1 და x 2 რიცხვები შეუდარებელია.

მაგალითი. გამოკლების მოდულო 42 მოცემული სისტემა იქნება 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

ეილერის და ფერმას თეორემები

ეილერის თეორემა (2. 5. 3. 1).

m>1 და (a, m) = 1-ისთვის გვაქვს a (m) 1 (mod m).

მტკიცებულება. მართლაც, თუ x გადის ნარჩენების შემცირებულ სისტემაში

x = r 1, r 2, ..., r c; c = (მ),

შედგება უმცირესი არაუარყოფითი ნარჩენებისგან, შემდეგ უმცირესი არაუარყოფითი ნარჩენები 1, 2, ..., რიცხვებიდან ცული გადის იმავე სისტემაში, მაგრამ განლაგებულია, ზოგადად, სხვა თანმიმდევრობით (1).

შედარებების გამრავლება ტერმინით

ar 1 1 (mod m), ar 2 2 (mod m), ..., ar c c (mod m),

ვიღებთ c 1 (mod m).

ფერმას თეორემა (2. 5. 3. 2).

p მარტივი და არ იყოფა p-ზე, გვაქვს

a p-1 1 (mod p). (2)

მტკიცებულება. ეს თეორემა არის ეილერის თეორემის შედეგი m = p. ფერმას თეორემას შეიძლება მივცეთ უფრო მოსახერხებელი ფორმა შედარების (2) ორივე მხარის a-ზე გამრავლებით. . თეორემა დადასტურდა.

თეორემა (2. 5. 3. 3). თუ n = pq, (p და q სხვადასხვა მარტივი რიცხვებია), მაშინ (n) = (p-1)(q-1).

თეორემა (2. 5. 3. 4). თუ n = pq, (p და q განსხვავებული მარტივი რიცხვებია) და x არის მარტივი p და q მიმართ, მაშინ x (n) = 1 (mod n).

პუნქტი 17. გამოქვითვების სრული და შემცირებული სისტემები.

წინა პუნქტში აღინიშნა, რომ ურთიერთობა є მშედარების მოდული თვითნებური მარის ეკვივალენტური მიმართება მთელ რიცხვთა სიმრავლეზე. ეს ეკვივალენტური მიმართება იწვევს მთელი რიცხვების სიმრავლის დაყოფას ელემენტების ერთმანეთის ეკვივალენტურ კლასებად, ე.ი. რიცხვები, რომლებიც იყოფა მიდენტური ნაშთები. ეკვივალენტური კლასების რაოდენობა є მ(ექსპერტები იტყვიან - „ეკვივალენტობის ინდექსი є მ") ზუსტად ტოლია მ .

განმარტება.ნებისმიერი რიცხვი ეკვივალენტობის კლასიდან є მჩვენ მას მოდულის ნარჩენს დავარქმევთ მ. გამოქვითვების ნაკრები, რომელიც აღებულია თითო ეკვივალენტური კლასიდან є მ, ეწოდება მოდულის ნარჩენების სრულ სისტემას მ(ამგვარად, მხოლოდ გამოქვითვების სრულ სისტემაში მრიცხვების ცალი). ნაშთები თავად როცა იყოფა მუწოდებენ უმცირეს არაუარყოფით ნარჩენებს და, რა თქმა უნდა, ქმნიან მოდულის ნარჩენების სრულ სისტემას. მ. ნარჩენს r ეწოდება აბსოლუტურად უმცირესი, თუ ის ყველაზე პატარაა მოცემული კლასის ნარჩენების მოდულებს შორის.

მაგალითი: დაე მ= 5. შემდეგ:

0, 1, 2, 3, 4 - ყველაზე პატარა არაუარყოფითი ნარჩენები;

2, -1, 0, 1, 2 არის აბსოლუტური უმცირესი გამოკლებები.

რიცხვების ორივე მოცემული ნაკრები ქმნის მოდულის ნარჩენების სრულ სისტემებს 5 .

ლემა 1. 1) ნებისმიერი მნაწილები, რომლებიც არ არის შედარებული მოდულით მრიცხვები ქმნიან მოდულის ნარჩენების სრულ სისტემას მ .

2) თუ ადა მშედარებით მარტივია და x მ, შემდეგ ხაზოვანი ფორმის მნიშვნელობები ნაჯახი+ბ, სად ბ- ნებისმიერი მთელი რიცხვი, ასევე გადის მოდულის ნარჩენების სრულ სისტემაში მ .

მტკიცებულება.განცხადება 1) აშკარაა. მოდით დავამტკიცოთ განცხადება 2). ნომრები ნაჯახი+ბგლუვი მრამ. მოდით ვაჩვენოთ, რომ ისინი არ არის შედარებადი მოდულით მ. კარგი დაე, ეს იყოს განსხვავებული x 1და x 2გამოქვითვების სრული სისტემიდან აღმოჩნდა რომ ax 1 +b є ax 2 +b(mod m). შემდეგ, წინა აბზაცის შედარების თვისებების მიხედვით, ვიღებთ:

ax 1 є ax 2 (mod m)

x 1 є x 2 (mod m)

- წინააღმდეგობა იმ ფაქტთან, რომ x 1და x 2განსხვავდებიან და აღებულია გამოქვითვების სრული სისტემიდან.

ვინაიდან მოცემული ეკვივალენტობის კლასის ყველა რიცხვი є მიიღება მოცემული კლასის ერთი რიცხვიდან იმ რიცხვის დამატებით, რომელიც არის მრავალჯერადი. მ, მაშინ ამ კლასის ყველა რიცხვს აქვს მოდული მიგივე უდიდესი საერთო გამყოფი. გარკვეული მიზეზების გამო, გაზრდილი ინტერესი არის ის გამოქვითვები, რომლებსაც აქვთ მოდული მუდიდესი საერთო გამყოფი ერთის ტოლი, ე.ი. ნარჩენები, რომლებიც მოდულის თანაპრიმიტია.

განმარტება.მოდულის გამოკლების შემცირებული სისტემა მარის ყველა ნარჩენების ერთობლიობა სრული სისტემიდან, რომლებიც კოპრიმია მოდულამდე მ .

შემცირებული სისტემა ჩვეულებრივ არჩეულია ყველაზე ნაკლებად არაუარყოფითი ნარჩენებიდან. ნათელია, რომ მოდულის ნარჩენების მოცემული სისტემა მშეიცავს j( მ) გამოკლების ნაწილები, სადაც j ( მ) – ეილერის ფუნქცია – რიცხვებზე ნაკლები მდა ორმხრივად პრემიერ ერთად მ. თუ ამ დროისთვის უკვე დაგავიწყდათ ეილერის ფუნქცია, გადახედეთ მე-14 პარაგრაფს და დარწმუნდით, რომ მასზე რაღაც ითქვა.

მაგალითი.დაე მ= 42. მაშინ ნარჩენების მოცემული სისტემა არის:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

ლემა 2. 1) ნებისმიერი j ( მ) რიცხვები, რომლებიც წყვილში შეუდარებელია მოდულში მდა კოპრიმი მოდულთან ერთად, ქმნიან მოდულის ნარჩენების შემცირებულ სისტემას მ .

2) თუ (a,m) = 1და xგადის მოდულის ნარჩენების შემცირებულ სისტემაში მ, ეს ცულიასევე გადის მოდულის ნარჩენების შემცირებულ სისტემაში მ .

მტკიცებულება.განცხადება 1) აშკარაა. მოდით დავამტკიცოთ განცხადება 2). ნომრები ცულიისინი წყვილში შეუდარებელია (ეს დადასტურებულია ისევე, როგორც ამ პუნქტის 1 ლემაში), არის ზუსტად j მათგანი ( მ) ნივთები. ასევე ნათელია, რომ ყველა მათგანი მოდულის შედარებით პრიმიტიულია, რადგან (a,m)=1, (x,m)=1 Yu (ax.m)=1. ასე რომ, ნომრები ცულიქმნიან ნარჩენების შემცირებულ სისტემას.

ეს არის ნარჩენების სრული და შემცირებული სისტემების განმარტებები და ძირითადი თვისებები, თუმცა მათემატიკური ცოდნის ბარგში არის არაერთი ძალიან საინტერესო და სასარგებლო ფაქტი ნარჩენების სისტემებთან დაკავშირებით. თუ მათზე ამ ეტაპზე გაჩუმდებით, მაშინ ეს, მეშინია, კანონის პირდაპირი დარღვევა იქნება რუსეთის ფედერაციაინფორმაციის შესახებ, რომლის მავნე დამალვა, ამ კანონის მიხედვით, არის ადმინისტრაციული და სისხლის სამართლის დანაშაულიც კი. გარდა ამისა, დედუქციის სისტემების შემდგომი მნიშვნელოვანი თვისებების გაცნობის გარეშე, მე-17 პუნქტი აღმოჩნდება ძალიან მწირი. გავაგრძელოთ.

ლემა 3.დაე m 1, m 2, ..., m k– არიან წყვილში შედარებით მარტივი და m 1 m 2 ...m k =M 1 m 1 =M 2 m 2 =...=M k m k, სად

1) თუ x 1, x 2, ..., x kგადის ნარჩენების მოდულის სრულ სისტემებში m 1, m 2, ..., m kშესაბამისად, შემდეგ ხაზოვანი ფორმის მნიშვნელობები M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x kგადის მოდულის გამოკლების სრულ სისტემაში m=m 1 m 2 ...m k .

2) თუ x 1, x 2, ..., x kგადის ნარჩენების მოდულის შემცირებულ სისტემებში m 1, m 2, ..., m kშესაბამისად, შემდეგ ხაზოვანი ფორმის მნიშვნელობები M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x kგადის მოდულის ნარჩენების შემცირებულ სისტემაში m=m 1 m 2 ...m k .

მტკიცებულება.

1) ფორმა M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x kაშკარად იღებს m 1 m 2 ...m k =mღირებულებები. მოდით ვაჩვენოთ, რომ ეს მნიშვნელობები წყვილში შეუდარებელია. კარგი იყოს

M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k є M 1 x 1 С +M 2 x 2 С + ...+M k x k С (mod m)

ყველანაირი რამ მჯ, განსხვავებული მ ს, მრავალჯერადი მ წმ. ბოლო შედარებაში მარცხნივ და მარჯვნივ ტერმინების ამოღება, რომლებიც მრავლობითია მ წმ, ვიღებთ:

M s x є M s x s С (mod m s) У x є x s С (mod m s)

- წინააღმდეგობა იმ ფაქტთან, რომ xsგადის მოდულის ნარჩენების სრულ სისტემაში მ წმ .

2). ფორმა M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x kაშკარად იღებს j ( მ 1) j ( მ 2) ჩ ... ჩ ჯ ( მ კ) = j ( m 1 m 2 H ... H m k)= j ( მ) (ეილერის ფუნქცია არის მრავლობითი!) სხვადასხვა მნიშვნელობების, რომლებიც ერთმანეთს მოდულობენ m=m 1 m 2 ...m kწყვილი შეუდარებელი. ეს უკანასკნელი ადვილად დასტურდება ამ ლემის 1) დებულების მტკიცებულებაში განხორციელებული მსჯელობის მსგავსი მსჯელობით. იმიტომ რომ ( M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k ,m s)=(M s x s ,m s)=1ყველასთვის 1 Ј s Ј k, ეს ( M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k ,m s)=1, აქედან გამომდინარე, ფორმის მნიშვნელობების ნაკრები M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x kაყალიბებს მოდულის ნარჩენების შემცირებულ სისტემას მ .

ლემა 4.დაე x 1, x 2, ..., x k,xსრული სირბილი და x 1, x 2,..., x k, x– გადის ნარჩენების მოდულის მოცემულ სისტემებში m 1, m 2, ..., m kდა m=m 1 m 2 ...m kშესაბამისად, სადაც (m i m j)=1ზე მე არა ჯ. შემდეგ წილადები (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k)ემთხვევა წილადებს (x/m), და წილადები ( x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k )ემთხვევა წილადებს (x/m) .

მტკიცებულება.ლემა 4-ის ორივე განცხადების მტკიცებულება ადვილად მიიღება წინა ლემა 3-ის გამოყენებით მას შემდეგ, რაც თქვენ მიიღებთ თითოეულ ჯამს. (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k)და ( x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k )საერთო მნიშვნელამდე:

(x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k )=((M 1 x 1 +M 2 x 2 +...+M k x k)/მ) ;

( x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k )=((M 1 x 1 +M 2 x 2 +...+M k x k)/მ) ,

სად M j =m 1 ...m j-1 m j+1 ...m k .

თუ ახლა გავითვალისწინებთ, რომ მოდულზე გაყოფისას მიღებული რიცხვების წილადი ნაწილები მნებისმიერი ორი რიცხვი შედარებადი მოდულში მ, იგივეა (ისინი ტოლია რ/მ, სად რარის უმცირესი არაუარყოფითი ნარჩენი მოცემული კლასიდან), მაშინ ამ ლემის განცხადებები აშკარა ხდება.

ამ მონაკვეთის დანარჩენ ნაწილში ყველაზე საინტერესო მოხდება - ჩვენ შევაჯამებთ რთულ ფესვებს მ-ერთიანობის ძალა და ჩვენ აღმოვაჩენთ საოცარ კავშირებს ფესვების ჯამებს, ნარჩენების სისტემებსა და უკვე ნაცნობ მრავლობითი Möbius ფუნქციას შორის. მ) .

ე კ-ით აღვნიშნოთ კფესვი მ-ოჰ ერთიანობის ძალა:

რთული რიცხვების წერის ეს ფორმები კარგად გვახსოვს პირველი წლიდან. აქ k=0,1,...,m-1- გადის მოდულის გამოკლების სრულ სისტემაში მ .

შეგახსენებთ, რომ თანხა e 0 + e 1 +...+ e m-1ყველა ფესვი მერთის ტოლი ნულის ტოლია ნებისმიერისთვის მ. მართლაც, დაე e 0 + e 1 +...+ e m-1 =a. გავამრავლოთ ეს ჯამი არანულოვანი რიცხვით e 1-ზე. კომპლექსურ სიბრტყეში გეომეტრიულად ასეთი გამრავლება ნიშნავს სწორის ბრუნვას მ- სამკუთხედი ფესვებით მის წვეროებზე e 0 , e 1 ,..., e m-1, არანულოვანი კუთხით 2პ/მ. ნათელია, რომ ამ შემთხვევაში ფესვი e 0ფესვამდე წავა e 1, ფესვი e 1ფესვამდე წავა e 2და ა.შ. და ფესვი e m-1ფესვამდე წავა e 0, ე.ი. ჯამი e 0 + e 1 +...+ e m-1არ შეიცვლება. გვაქვს e 1 a=a, სადაც a=0 .

თეორემა 1.დაე m>0- მთელი რიცხვი, ო ზ , xგადის მოდულის ნარჩენების სრულ სისტემაში მ. მაშინ თუ ამრავალჯერადი მ, ეს

ვ წინააღმდეგ შემთხვევაში, ზე აარა მრავალჯერადი მ ,

მტკიცებულება.ზე ამრავალჯერადი მჩვენ გვაქვს: a=mdდა

ზე აარ იყოფა მ, გაყავით წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი ა/მ on დ- უდიდესი საერთო გამყოფი ადა მ, მივიღებთ შეუქცევად წილადს a 1 / მ 1. შემდეგ, ლემა 1-ით, a 1 xგაივლის მოდულის გამოქვითვების სრულ სისტემას მ. ჩვენ გვაქვს:

რადგან ხარისხის ყველა ფესვის ჯამი მ 1ერთიდან უდრის ნულს.

შეგახსენებთ, რომ ფესვი ე კ მერთიანობის ხარისხს ანტიწარმოებულს უწოდებენ, თუ მისი ინდექსი კკოპრაიმთან ერთად მ. ამ შემთხვევაში, როგორც პირველ წელს დადასტურდა, თანმიმდევრული ხარისხი e k 1 , e k 2 ,..., e k m-1ფესვი ე კქმნის ფესვების მთელ კომპლექტს მ- ერთის ძალა ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ე კარის ყველა ფესვის ციკლური ჯგუფის წარმომქმნელი ელემენტი მ- ერთიანობის ძალა.

ცხადია, სხვადასხვა პრიმიტიული ფესვების რაოდენობა მერთიანობის ხარისხი უდრის j ( მ), სადაც j არის ეილერის ფუნქცია, რადგან ანტიდერივატიული ფესვების ინდექსები ქმნიან მოდულის ნარჩენების შემცირებულ სისტემას. მ .

თეორემა 2.დაე m>0– მთელი რიცხვი, x გადის ნარჩენების მოდულო შემცირებულ სისტემაში მ. შემდეგ (ხარისხის ანტიდერივატიული ფესვების ჯამი მ):

სად მ ( მ) – Möbius ფუნქცია.

მტკიცებულება.დაე m=p 1 a 1 p 2 a 2 ...p k a k- რიცხვის კანონიკური გაფართოება მ ; m 1 =p 1 a 1 , m 2 =p 2 a 2 , m 3 =p 3 a 3; x i გადის მოდულის ნარჩენების შემცირებულ სისტემაში მ ი. ჩვენ გვაქვს:

ზე a s =1თურმე მხოლოდ ფესვი e 0 =1არ არის ანტიწარმოებული, ამიტომ ყველა ანტიდერივატიული ფესვების ჯამი არის ყველა ფესვის ჯამი მინუს ერთი:

ამიტომ, თუ მთავისუფალი კვადრატებისგან (ანუ არ იყოფა r 2, ზე r > 1), ეს

თუ რაიმე მაჩვენებელი სერთზე მეტი (ე.ი. მიყოფა r 2, ზე r>1), შემდეგ ხარისხის ყველა ანტიდერივატიული ფესვის ჯამი მ წმარის ხარისხის ყველა ფესვის ჯამი მ წმგამოკლებული ყველა არაპირველი ფესვების ჯამი, ე.ი. ყველა ფესვი რაღაც ხარისხით ნაკლებია მ წმ. ზუსტად თუ m s =p s m s *, ეს:

ახლა, ძვირფასო მკითხველო, როდესაც მე წარმოვადგინე საკმაოდ მნიშვნელოვანი ინფორმაცია გამოქვითვების სრული და მოცემული სისტემების შესახებ, ვერავინ დამადანაშაულებს ინფორმაციის დამალვით რუსეთის ფედერაციის კანონის ბოროტად დარღვევაში, ასე რომ, ვასრულებ. ეს პუნქტი კმაყოფილებით.

პრობლემები

1 . ჩაწერეთ ფურცელზე ყველა უმცირესი არაუარყოფითი ნარჩენი და ყველა აბსოლუტურად უმცირესი ნარჩენი

ა) მოდული 6,

ბ) მოდული 8.

ქვემოთ ჩამოწერეთ ამ მოდულების გამოქვითვების მოცემული სისტემები. კომპლექსურ სიბრტყეზე ცალ-ცალკე დახაზეთ ერთიანობის მეექვსე და მერვე ფესვები, შემოხაზეთ პრიმიტიული ფესვები ორივე ნახატში და იპოვეთ მათი ჯამი თითოეულ შემთხვევაში.

2 . დაე ე– ხარისხის პრიმიტიული ფესვი 2nერთიდან.

იპოვნეთ თანხა: 1+ e + e 2 +...+ e n-1 .

3 . იპოვეთ ყველა პრიმიტიული ფესვის ჯამი: ა) მე-15; ბ) 24-ე; გ) ერთის 30-ე ხარისხში.

4 . იპოვეთ პრიმიტიული ფესვების ყველა შესაძლო პროდუქტის ჯამი ნ-ე ძალა ერთიდან, ორად აღებული.

5 . იპოვეთ თანხა კ- x ყველა ფესვის ძალა ნ- ერთიანობის ძალა.

6 . დაე m>1 , (a, m)=1 , ბ- მთელი რიცხვი, Xგადის მოდულის ნარჩენების სრულ და x – შემცირებულ სისტემაში მ. დაამტკიცე რომ:

ა)

ბ)

7 . დაამტკიცე რომ:

სად რგადის რიცხვის ყველა პირველ ფაქტორზე ა .

სტატიები თემაზე

მშობლებთან ურთიერთობა

„ჭრიჭინა და ჭიანჭველა“ და ბრძოლა სამართლიანობისთვის

დღის ასტრონომია შესაძლებელია თუ არა ვენერას შეუიარაღებელი თვალით დანახვა

ნორმალური არტერიული წნევა (BP) მოზრდილებში ასაკის მიხედვით

რამდენი და როგორ მოვამზადოთ გაყინული კენკრის კომპოტი

ფინიკის წარმოუდგენელი სარგებელი: გულისთვის, სისხლძარღვებისთვის, ლამაზი ფიგურისთვის

ევგენი ლათინურიდან ნიშნავს

პოპულარული

სსრკ-სა და გერმანიას შორის თავდაუსხმელობის პაქტი გერმანია-საბჭოთა თავდაუსხმელობის პაქტი ფაქტია, რომ რუსეთისთვის სევდიანი 17-იანი წლების შემდეგ ტრანსკარპატების რესპუბლიკა შეუერთდა ახლად შექმნილ ჩეხოსლოვაკიის რესპუბლიკას...

მშობლებთან ურთიერთობა Themepie – უფასო ერთგვერდიანი PSD ვებ შაბლონიSTANDERD – უფასო ერთგვერდიანი PSD შაბლონიWooster – უფასო ვინტაჟური ერთგვერდიანი PSD ThemeFaddy – უფასო პორტფოლიო PSD...