ღია კომპლექტების თვლადი რაოდენობის კვეთა. ღია ნაკრების თვისებები. რეალური ხაზის კომპლექტების სახეები

მტკიცებულება.

1) მართლაც, თუ წერტილი ამიეკუთვნება ღია სიმრავლეთა გაერთიანებას, მაშინ იგი მიეკუთვნება ამ სიმრავლეებიდან ერთ-ერთს მაინც, რომელიც თეორემის პირობებით ღიაა. ეს ნიშნავს, რომ იგი მიეკუთვნება წერტილის O(a) გარკვეულ უბანს ა, მაგრამ მაშინ ეს სამეზობლოც ეკუთვნის ყველა ღია ნაკრების გაერთიანებას. ამიტომ, წერტილი აარის შიდა გაერთიანების წერტილი. იმიტომ რომ აარის თვითნებური გაერთიანების წერტილი, მაშინ იგი შედგება მხოლოდ შიდა წერტილებისგან და, შესაბამისად, განმარტებით, არის ღია ნაკრები.

2) მოდით ახლა X– სასრული რაოდენობის ღია კომპლექტების გადაკვეთა. თუ აარის მითითებული წერტილი X, მაშინ ის ეკუთვნის თითოეულ ღია კომპლექტს და, შესაბამისად, არის თითოეული ღია ნაკრების შიდა წერტილი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არის ინტერვალები, რომლებიც მთლიანად შეიცავს კომპლექტებს, შესაბამისად. ავღნიშნოთ რიცხვებიდან ყველაზე პატარა. მაშინ ინტერვალი ყველა ინტერვალში ერთდროულად იქნება, ე.ი. მთლიანად იქნება შეტანილი , და ,..., და ში, ე.ი. . აქედანდა ჩვენ ვასკვნით, რომ ნებისმიერი წერტილი არის ნაკრების შიდა წერტილი X, ე.ი. ბევრი Xღიაა.

ამ თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ a წერტილის სასრული რაოდენობის სამეზობლოების გადაკვეთა ისევ ამ წერტილის მეზობელია. გაითვალისწინეთ, რომ უსასრულო რაოდენობის ღია ნაკრების გადაკვეთა ყოველთვის არ არის ღია ნაკრები.

მაგალითად, ინტერვალების კვეთა ,... არის სიმრავლე, რომელიც შედგება a წერტილისგან, რომელიც არ არის ღია სიმრავლე (რატომ?).

a წერტილს ეწოდება X სიმრავლის ზღვრული წერტილი, თუ ამ წერტილის რომელიმე პუნქციურ მიდამოში არის X სიმრავლის ერთი წერტილი მაინც. , ასე რომ, წერტილი არის სეგმენტის ზღვრული წერტილი

ვინაიდან წერტილის ნებისმიერ პუნქციურ ინტერვალში არის ამ სეგმენტის კუთვნილი წერტილი. მაგალითად, წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს უთანასწორობას. და აშკარად ბევრი ასეთი პუნქტია. 0, 1] ადვილი დასამტკიცებელია, რომ სეგმენტის თითოეული წერტილი [ არისსაბოლოო ამ სეგმენტის წერტილი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სეგმენტი შედგება მთლიანად მისი ზღვრული წერტილებისგან. მსგავსი განცხადება მართალია ნებისმიერი სეგმენტისთვის. გაითვალისწინეთ, რომ ნაკრების ყველა ზღვრული წერტილი (0, 1 მიეკუთვნება ამ სეგმენტს. ასევე აშკარაა, რომ სეგმენტის ყველა წერტილი იქნება ზღვრული წერტილები ინტერვალისთვის ) (დაამტკიცე!). თუმცა, უკვე არსებობს ორი შემზღუდველი წერტილიარ მიეკუთვნება ინტერვალს (0, 1). ამ მაგალითებში ჩვენ ვხედავთ, რომ

ნაკრების ზღვრული წერტილები შეიძლება ეკუთვნოდეს მას ან არ ეკუთვნოდეს მას. შეიძლება დადასტურდეს, რომ X სიმრავლის a ზღვრული წერტილის ნებისმიერ პუნქციურ მიმდებარე ტერიტორიაზე X სიმრავლის უსასრულოდ ბევრი წერტილია.

X სიმრავლეს ეწოდება დახურული სიმრავლე, თუ იგი შეიცავს მის ყველა ზღვრულ წერტილს.

ასე რომ, ყველა სეგმენტი არის დახურული ნაკრები. ინტერვალი (0, 1) არ არის დახურული ნაკრები, რადგან მისი ორი ზღვრული წერტილი მას არ ეკუთვნის ) (დაამტკიცე!). თუმცა, უკვე არსებობს ორი შემზღუდველი წერტილი. ყველა რაციონალური რიცხვის სიმრავლე ქარ არის დახურული, რადგან ის არ შეიცავს მის ზღვრულ წერტილებს. კერძოდ, რიცხვი არის ნაკრების ზღვრული წერტილი ქ(დაამტკიცე!), მაგრამ ქ.

მას შემდეგ, რაც ნაკრების თითოეული წერტილი რარის ამ ნაკრების ზღვრული წერტილი და ეკუთვნის მას, მაშინ R - დახურული ნაკრები.

ყოველი სასრული ნაკრები დახურულია,ვინაიდან მისი ზღვრული წერტილების სიმრავლე ცარიელი სიმრავლეა Æ , რომელიც ეკუთვნის თავად კომპლექტს.

დახურული ნაკრები შეიძლება იყოს შემოსაზღვრული, მაგალითად, სეგმენტი და შეუზღუდავი, მაგალითად, ნაკრები რეალური რიცხვებირ.ვერნა

ღია და დახურული ნაკრები

დანართი 1 . ღია და დახურული ნაკრები

ბევრი მსწორ ხაზზე ეწოდება გახსნა, თუ მისი თითოეული წერტილი შეიცავს ამ ნაკრებში გარკვეულ ინტერვალთან ერთად. დახურულიაარის სიმრავლე, რომელიც შეიცავს მის ყველა ზღვრულ წერტილს (ანუ ისეთი, რომ ამ წერტილის შემცველი ნებისმიერი ინტერვალი კვეთს სიმრავლეს კიდევ ერთ წერტილში მაინც). მაგალითად, სეგმენტი არის დახურული ნაკრები, მაგრამ არ არის ღია, ხოლო ინტერვალი, პირიქით, არის ღია ნაკრები, მაგრამ არ არის დახურული. არის კომპლექტები, რომლებიც არც ღიაა და არც დახურული (მაგალითად, ნახევარი ინტერვალით). არის ორი კომპლექტი, რომელიც დახურულია და ღია - ეს ცარიელია და ეს არის ის ზ(დაამტკიცეთ, რომ სხვა არ არსებობს). ადვილი მისახვედრია, რომ თუ მგახსენით, შემდეგ [` მ] (ან ზ \ მ- ნაკრების დამატება მრომ ზ) დახურულია. მართლაც, თუ [` მ] არ არის დახურული, მაშინ ის არ შეიცავს რაიმე ზღვრულ წერტილს მ. მაგრამ შემდეგ მშესახებ მდა თითოეული ინტერვალი შეიცავს მ, კვეთს სიმრავლეს [` მ], ანუ აქვს აზრი არ ტყუის მდა ეს ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ მ- გახსნა. ანალოგიურად, ასევე პირდაპირ განმარტებიდან დასტურდება, რომ თუ მდახურულია, შემდეგ [` მ] გახსნა (შეამოწმეთ!).

ახლა ჩვენ დავამტკიცებთ შემდეგ მნიშვნელოვან თეორემას.

თეორემა. ნებისმიერი ღია ნაკრები მშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ინტერვალების გაერთიანებად რაციონალურ ბოლოებთან (ანუ ბოლოებით რაციონალურ წერტილებთან).

მტკიცებულება . განიხილეთ კავშირი უყველა ინტერვალი რაციონალური ბოლოებით, რომლებიც ჩვენი ნაკრების ქვესიმრავლეებია. მოდით დავამტკიცოთ, რომ ეს კავშირი ემთხვევა მთელ კომპლექტს. მართლაც, თუ მ- რაღაც მომენტიდან მ, შემდეგ არის ინტერვალი ( მ 1 , მ 2) მ მშემცველი მ(ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ მ- ღია). ნებისმიერ ინტერვალზე შეგიძლიათ იპოვოთ რაციონალური წერტილი. მოდით ( მ 1 , მ) - ეს მ 3, ზე ( მ, მ 2) - ეს არის მ 4. შემდეგ მიუთითეთ მგაერთიანებით დაფარული უკერძოდ, ინტერვალი ( მ 3 , მ 4). ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თითოეული წერტილი მსაწყისი მგაერთიანებით დაფარული უ. უფრო მეტიც, როგორც ეს აშკარად გამომდინარეობს კონსტრუქციიდან უ, არანაირი აზრი არ შეიცავს მ, არ არის დაფარული უ. ნიშნავს, უდა მმატჩი.

ამ თეორემის მნიშვნელოვანი შედეგია ის ფაქტი, რომ ნებისმიერი ღია სიმრავლე არის თვლადიინტერვალების გაერთიანება.

არსად მკვრივი სიმრავლეები და ნულის ზომის სიმრავლეები. კანტორის ნაკრები>

დანართი 2 . არსად მკვრივი სიმრავლეები და ნულის ზომის სიმრავლეები. კანტორის ნაკრები

ბევრი ადაურეკა არსად მკვრივი, თუ რაიმე განსხვავებული პუნქტისთვის ადა ბარის სეგმენტი [ გ, დ] მ [ ა, ბ], არ იკვეთება ა. მაგალითად, მიმდევრობის წერტილების ნაკრები ა ნ = [ 1/(ნ)] არსად არის მკვრივი, მაგრამ რაციონალური რიცხვების სიმრავლე არ არის.

ბაირის თეორემა. სეგმენტი არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც არსად მკვრივი სიმრავლეების თვლადი გაერთიანება.

მტკიცებულება . დავუშვათ, რომ არსებობს თანმიმდევრობა ა კარსად მკვრივი წყლები ისეთი რომ და მე ა მე = [ა, ბ]. ავაშენოთ სეგმენტების შემდეგი თანმიმდევრობა. დაე მე 1 - ზოგიერთი სეგმენტი ჩართულია [ ა, ბ] და არ იკვეთება ა 1. განმარტებით, არსად მკვრივი ნაკრები ინტერვალზე მე 1 არის სეგმენტი, რომელიც არ კვეთს სიმრავლეს ა 2. მოდით დავურეკოთ მას მე 2. გარდა ამისა, სეგმენტზე მე 2, ანალოგიურად აიღეთ სეგმენტი მე 3, არ იკვეთება ა 3 და ა.შ თანმიმდევრობა მე კარის წყობილი სეგმენტები საერთო წერტილი(ეს არის რეალური რიცხვების ერთ-ერთი მთავარი თვისება). კონსტრუქციით, ეს წერტილი არცერთ ნაკრებში არ დევს ა კ, რაც ნიშნავს, რომ ეს ნაკრები არ მოიცავს მთელ სეგმენტს [ ა, ბ].

მოდით მოვუწოდებთ კომპლექტს მ საზომი ნულის მქონე, თუ რომელიმე დადებითი e-სთვის არის თანმიმდევრობა მე კინტერვალები საერთო სიგრძით e-ზე ნაკლები, დაფარვა მ. ცხადია, ნებისმიერ თვლადი სიმრავლეს აქვს ზომა ნული. თუმცა, ასევე არის უთვალავი კომპლექტები, რომლებსაც აქვთ ზომა ნული. ავაშენოთ ერთი, ძალიან ცნობილი, სახელად Cantor's.

ბრინჯი. 11

ავიღოთ სეგმენტი. გავყოთ სამ თანაბარ ნაწილად. ამოვაგდოთ შუა სეგმენტი (ნახ. 11, ა). იქნება საერთო სიგრძის ორი სეგმენტი [2/3]. თითოეულ მათგანთან ზუსტად იგივე ოპერაციას შევასრულებთ (ნახ. 11, ბ). დარჩება ოთხი სეგმენტი საერთო სიგრძით [4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . ასე გაგრძელდება (ნახ. 11, ვ–ე) უსასრულობამდე ვიღებთ სიმრავლეს, რომელსაც აქვს ზომა ნაკლები, ვიდრე წინასწარ განსაზღვრული დადებითი ზომა, ანუ ზომა ნული. შესაძლებელია ამ სიმრავლის წერტილებსა და ნულებისა და ერთეულების უსასრულო მიმდევრობას შორის ერთი-ერთზე შესაბამისობის დადგენა. თუ პირველი „გადაგდებისას“ ჩვენი წერტილი მოხვდება მარჯვენა სეგმენტში, ჩვენ დავსვამთ 1-ს მიმდევრობის დასაწყისში, თუ მარცხნივ - 0 (ნახ. 11, ა). შემდეგი, პირველი „გაგდების“ შემდეგ ვიღებთ დიდი სეგმენტის პატარა ასლს, რომლითაც იგივეს ვაკეთებთ: თუ ამოგდების შემდეგ ჩვენი წერტილი მოხვდება მარჯვენა სეგმენტში, ვსვამთ 1-ს, თუ ის მარცხენაშია. – 0 და ა.შ. (გადაამოწმეთ ერთი-ერთზე ურთიერთობა) , ბრინჯი. 11, ბ, ვ. ვინაიდან ნულებისა და ერთეულების მიმდევრობათა სიმრავლეს აქვს კარდინალურობის უწყვეტობა, კანტორის სიმრავლეს ასევე აქვს კარდინალურობის უწყვეტობა. უფრო მეტიც, ადვილი დასამტკიცებელია, რომ ის არსად მკვრივი არ არის. თუმცა, არ არის მართალი, რომ მას აქვს მკაცრი ზომა ნული (იხ. მკაცრი ზომის განმარტება). ამ ფაქტის დადასტურების იდეა შემდეგია: აიღეთ თანმიმდევრობა ა ნ, ძალიან სწრაფად მიდრეკილია ნულისკენ. მაგალითად, თანმიმდევრობა ა ნ = [ 1/(2 2 ნ)]. მაშინ ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ ეს თანმიმდევრობა ვერ ფარავს კანტორის სიმრავლეს (გააკეთე ეს!).

დანართი 3 . ამოცანები

ოპერაციების დაყენება

კომპლექტი ადა ბეძახიან თანაბარითუ ნაკრების თითოეული ელემენტი აკომპლექტს ეკუთვნის ბ, და პირიქით. აღნიშვნა: ა = ბ.

ბევრი ადაურეკა ქვეჯგუფიკომპლექტი ბთუ ნაკრების თითოეული ელემენტი აკომპლექტს ეკუთვნის ბ. აღნიშვნა: ამ ბ.

1. თითოეული შემდეგი ნაკრებისთვის მიუთითეთ არის თუ არა ერთი მეორის ქვესიმრავლე:

{1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {3,2,1}, {{2,1}}.

2. დაამტკიცეთ, რომ კომპლექტი ათუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ არის სიმრავლის ქვესიმრავლე ბ, როდესაც ყველა ელემენტი არ ეკუთვნის ბ, არ ეკუთვნის ა.

3. დაამტკიცეთ, რომ თვითნებური კომპლექტებისთვის ა, ბდა C

ა) ამ ა; ბ) თუ ამ ბდა ბმ C, ეს ამ C;

V) ა = ბ, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში ამ ბდა ბმ ა.

კომპლექტი ე.წ ცარიელი, თუ ის არ შეიცავს რაიმე ელემენტს. დანიშნულება: F.

4. რამდენი ელემენტი აქვს თითოეულ ქვემოთ ჩამოთვლილ კომპლექტს:

F , (1), (1,2), (1,2,3), ((1),2,3), ((1,2),3), (F), ((2,1) )?

5. რამდენი ქვესიმრავლე აქვს სამი ელემენტისგან შემდგარ სიმრავლეს?

6. შეიძლება კომპლექტს ჰქონდეს ზუსტად ა) 0; ბ*) 7; გ) 16 ქვეჯგუფი?

ასოციაციაკომპლექტი ადა ბ x, რა xშესახებ აან xშესახებ ბ. აღნიშვნა: ადა ბ.

გადაკვეთითკომპლექტი ადა ბეწოდება კომპლექტი, რომელიც შედგება ასეთი x, რა xშესახებ ადა xშესახებ ბ. აღნიშვნა: აზ ბ.

განსხვავებითკომპლექტი ადა ბეწოდება კომპლექტი, რომელიც შედგება ასეთი x, რა xშესახებ ადა xპ ბ. აღნიშვნა: ა \ ბ.

7. მოცემული კომპლექტები ა = {1,3,7,137}, ბ = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, დ= (0,7,23,1998). იპოვნეთ კომპლექტები:

ა) ადა ბ;	ბ) აზ ბ;	V) ( აზ ბ) და დ;
გ) C Z ( დზ ბ);	დ) ( ადა ბ)Z ( Cდა დ);	ე) ( ადა ( ბზ C)) ზ დ;
და) ( Cზ ა)და (( ადა ( Cზ დ)) ზ ბ);	თ) ( ადა ბ) \ (Cზ დ);	და) ა \ (ბ \ (C \ დ));
მდე) (( ა \ (ბდა დ)) \ C) და ბ.

8. დაე აარის ლუწი რიცხვების სიმრავლე და ბ– 3-ზე გაყოფილი რიცხვების სიმრავლე. იპოვე აზ ბ.

9. დაამტკიცეთ ეს ნებისმიერი ნაკრებისთვის ა, ბ, C

ა) ადა ბ = ბდა ა, აზ ბ = ბზ ა;

ბ) ადა ( ბდა C) = (ადა ბ) და C, ა Z ( ბზ C) = (აზ ბ) ზ C;

V) ა Z ( ბდა C) = (აზ ბ)და ( აზ C), ადა ( ბზ C) = (ადა ბ)Z ( ადა C);

გ) ა \ (ბდა C) = (ა \ ბ)Z ( ა \ C), ა \ (ბზ C) = (ა \ ბ)და ( ა \ C).

10. მართალია, რომ ნებისმიერი ნაკრებისთვის ა, ბ, C

ა) ა Z ZH = F, ამე F = ა;	ბ) ადა ა = ა, აზ ა = ა;	V) აზ ბ = აი ამ ბ;
გ) ( ა \ ბ) და ბ = ა; 7 დ) ა \ (ა \ ბ) = აზ ბ;	ე) ა \ (ბ \ C) = (ა \ ბ)და ( აზ C);
და) ( ა \ ბ)და ( ბ \ ა) = ადა ბ?

რუკების დაყენება

თუ თითოეული ელემენტი xკომპლექტი Xზუსტად ერთი ელემენტი ემთხვევა ვ(x) კომპლექტები ი, მერე ამბობენ, რომ ეს არის მოცემული ჩვენება ვბევრისგან Xსიმრავლეში ი. ამავე დროს, თუ ვ(x) = წ, შემდეგ ელემენტი წდაურეკა გზაელემენტი xროდესაც ნაჩვენებია ვდა ელემენტი xდაურეკა პროტოტიპიელემენტი წროდესაც ნაჩვენებია ვ. აღნიშვნა: ვ: X ® ი.

11. დახაზეთ ყველა შესაძლო გამოსახვა სიმრავლიდან (7,8,9) სიმრავლემდე (0,1).

დაე ვ: X ® ი, წშესახებ ი, ამ X, ბმ ი. ელემენტის სრული პროტოტიპი წ როდესაც ნაჩვენებია ვკომპლექტი ჰქვია ( xშესახებ X | ვ(x) = წ). აღნიშვნა: ვ - 1 (წ). სიმრავლის გამოსახულება ამ X როდესაც ნაჩვენებია ვკომპლექტი ჰქვია ( ვ(x) | xშესახებ ა). აღნიშვნა: ვ(ა). ნაკრების პროტოტიპი ბმ ი კომპლექტი ჰქვია ( xშესახებ X | ვ(x) შესახებ ბ). აღნიშვნა: ვ - 1 (ბ).

12. საჩვენებლად ვ: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), მოცემულია სურათზე, იპოვეთ ვ({0,3}), ვ({1,3,4}), ვ - 1 (2), ვ - 1 ({2,5}), ვ - 1 ({5,18}).

ა) ბ) გ)

13. დაე ვ: X ® ი, ა 1 , ა 2 მ X, ბ 1 , ბ 2 მ ი. ყოველთვის ასეა

ა) ვ(X) = ი;

ბ) ვ - 1 (ი) = X;

V) ვ(ა 1 მე ა 2) = ვ(ა 1) და ვ(ა 2);

გ) ვ(ა 1 ვტ ა 2) = ვ(ა 1) ზ ვ(ა 2);

დ) ვ - 1 (ბ 1 მე ბ 2) = ვ - 1 (ბ 1) და ვ - 1 (ბ 2);

ე) ვ - 1 (ბ 1 ვტ ბ 2) = ვ - 1 (ბ 1) ზ ვ - 1 (ბ 2);

ზ) თუ ვ(ა 1) მ ვ(ა 2), შემდეგ ა 1 მ ა 2 ;

თ) თუ ვ - 1 (ბ 1) მ ვ - 1 (ბ 2), შემდეგ ბ 1 მ ბ 2 ?

კომპოზიციარუკების ვ: X ® იდა გ: ი ® ზეწოდება რუკა, რომელიც აკავშირებს ელემენტს xკომპლექტი Xელემენტი გ(ვ(x)) კომპლექტი ზ. აღნიშვნა: გ° ვ.

14. დაამტკიცეთ ეს თვითნებური რუკებისთვის ვ: X ® ი, გ: ი ® ზდა თ: ზ ® ვკეთდება შემდეგი: თ° ( გ° ვ) = (თ° გ)° ვ.

15. დაე ვ: (1,2,3,5) ® (0,1,2), გ: (0,1,2) ® (3,7,37,137), თ: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – ნახატზე ნაჩვენები რუკები:

ვ: გ: თ:

დახატეთ სურათები შემდეგი ეკრანებისთვის:

ა) გ° ვ; ბ) თ° გ; V) ვ° თ° გ; გ) გ° თ° ვ.

ჩვენება ვ: X ® იდაურეკა ბიექტიური, თუ თითოეულისთვის წშესახებ იარის ზუსტად ერთი xშესახებ Xისეთი რომ ვ(x) = წ.

16. დაე ვ: X ® ი, გ: ი ® ზ. მართალია თუ ვდა გმაშინ ბიექტურია გ° ვბიექტურად?

17. დაე ვ: (1,2,3) ® (1,2,3), გ: (1,2,3) ® (1,2,3), – ნახატზე ნაჩვენები რუკები:

18. ყოველი შემდეგი სიმრავლისთვის, გაარკვიეთ, არის თუ არა ბიექცია პირველიდან მეორემდე (დავარაუდეთ, რომ ნული ნატურალური რიცხვია):

ა) ბევრი ნატურალური რიცხვები;

ბ) ლუწი ნატურალური რიცხვების სიმრავლე;

გ) ნატურალური რიცხვების სიმრავლე 3 რიცხვის გარეშე.

მეტრული სივრცეკომპლექტს უწოდებენ Xმოცემულთან ერთად მეტრიკა r: X× X ® ზ

1) " x,წშესახებ Xრ ( x,წ) მე 0 და r ( x,წ) = 0 თუ და მხოლოდ თუ x = წ (არანეგატიურობა ); 2) " x,წშესახებ Xრ ( x,წ) = რ ( წ,x) (სიმეტრია ); 3) " x,წ,ზშესახებ Xრ ( x,წ) + რ ( წ,ზ) მე ვარ ( x,ზ) (სამკუთხედის უტოლობა ). 19 19. X

ა) X = ზ, რ ( x,წ) = | x - წ| ;

ბ) X = ზ 2, r 2 (( x 1 ,წ 1),(x 2 ,წ 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (წ 1 - წ 2) 2 };

V) X = C[ა,ბა,ბ] ფუნქციები,

სად დ

გახსენით(შესაბამისად, დახურული) რადიუსის ბურთი რსივრცეში Xწერტილზე ორიენტირებული xკომპლექტს უწოდებენ უ რ (x) = {წშესახებ x:რ ( x,წ) < რ) (შესაბამისად, ბ რ (x) = {წშესახებ X:რ ( x,წ) Ј რ}).

შიდა წერტილიკომპლექტი უმ X უ

გახსნა შემოგარენიეს წერტილი.

ლიმიტის წერტილიკომპლექტი ფმ X ფ.

დახურული

20. დაამტკიცე რომ

21. დაამტკიცე რომ

ბ) სიმრავლის გაერთიანება ა მოკლე ჩართვა ა

ჩვენება ვ: X ® იდაურეკა უწყვეტი

22.

23. დაამტკიცე რომ

ფ (x) = ინფ წშესახებ ფრ ( x,წ

ფ.

24. დაე ვ: X ® ი– . მართალია, რომ მისი ინვერსია უწყვეტია?

უწყვეტი ურთიერთგაგება ერთი-ერთზე რუქა ვ: X ® ი ჰომეომორფიზმი. ფართები X, იჰომეომორფული.

25.

26. რომელი წყვილებისთვის? X, ი ვ: X ® ი, რომელიც არ ჯდება ერთადქულები (ე.ი. ვ(x) № ვ(წ) ზე x № წ ინვესტიციები)?

27*. ადგილობრივი ჰომეომორფიზმი(ანუ თითოეულ წერტილში xთვითმფრინავი და ვ(x) ტორუსი არის ასეთი უბნები უდა ვ, რა ვჰომეომორფულად რუქები უ on ვ).

მეტრული სივრცეები და უწყვეტი რუკებები

მეტრული სივრცეკომპლექტს უწოდებენ Xმოცემულთან ერთად მეტრიკა r: X× X ® ზ, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ აქსიომებს:

1) " x,წშესახებ Xრ ( x,წ) მე 0 და r ( x,წ) = 0 თუ და მხოლოდ თუ x = წ (არანეგატიურობა ); 2) " x,წშესახებ Xრ ( x,წ) = რ ( წ,x) (სიმეტრია ); 3) " x,წ,ზშესახებ Xრ ( x,წ) + რ ( წ,ზ) მე ვარ ( x,ზ) (სამკუთხედის უტოლობა ). 28. დაამტკიცეთ, რომ შემდეგი წყვილები ( X,r ) არის მეტრიკული სივრცეები:

ა) X = ზ, რ ( x,წ) = | x - წ| ;

ბ) X = ზ 2, r 2 (( x 1 ,წ 1),(x 2 ,წ 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (წ 1 - წ 2) 2 };

V) X = C[ა,ბ] – უწყვეტის ნაკრები [ ა,ბ] ფუნქციები,

სად დ- ერთეული რადიუსის წრე საწყისთან ცენტრით.

გახსენით(შესაბამისად, დახურული) რადიუსის ბურთი რსივრცეში Xწერტილზე ორიენტირებული xკომპლექტს უწოდებენ უ რ (x) = {წშესახებ x:რ ( x,წ) < რ) (შესაბამისად, ბ რ (x) = {წშესახებ X:რ ( x,წ) Ј რ}).

შიდა წერტილიკომპლექტი უმ Xარის წერტილი, რომელიც შეიცავს უნულოვანი რადიუსის ბურთთან ერთად.

კომპლექტს, რომლის ყველა წერტილი ინტერიერია, ეწოდება გახსნა. ღია ნაკრები, რომელიც შეიცავს მოცემულ წერტილს, ეწოდება შემოგარენიეს წერტილი.

ლიმიტის წერტილიკომპლექტი ფმ Xარის ისეთი წერტილი, რომლის ნებისმიერი სამეზობლო შეიცავს სიმრავლის უსასრულოდ ბევრ წერტილს ფ.

სიმრავლე, რომელიც შეიცავს მის ყველა ზღვრულ წერტილს, ეწოდება დახურული(შეადარეთ ეს განმარტება დანართ 1-ში მოცემულ განმარტებას).

29. დაამტკიცე რომ

ა) ნაკრები ღიაა, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი კომპლიმენტი დახურულია;

ბ) დახურული სიმრავლეთა სასრული კავშირი და თვლადი კვეთა დახურულია;

გ) ღია სიმრავლეთა თვლადი კავშირი და სასრული კვეთა ღიაა.

30. დაამტკიცე რომ

ა) ნებისმიერი სიმრავლის ზღვრული წერტილების სიმრავლე არის დახურული ნაკრები;

ბ) სიმრავლის გაერთიანება ადა მისი ზღვრული წერტილების ნაკრები ( მოკლე ჩართვა ა) არის დახურული ნაკრები.

ჩვენება ვ: X ® იდაურეკა უწყვეტი, თუ ყოველი ღია ნაკრების ინვერსიული გამოსახულება ღიაა.

31. დაამტკიცეთ, რომ ეს განსაზღვრება შეესაბამება ხაზზე ფუნქციების უწყვეტობის განმარტებას.

32. დაამტკიცე რომ

ა) მანძილი დაყენება r ფ (x) = ინფ წშესახებ ფრ ( x,წ) არის უწყვეტი ფუნქცია;

ბ) ა) პუნქტში ფუნქციის ნულების სიმრავლე ემთხვევა დახურვას ფ.

33. დაე ვ: X ® ი

უწყვეტი ერთი-ერთზე რუქა ვ: X ® ი, რომლის შებრუნებაც ასევე უწყვეტია ჰქვია ჰომეომორფიზმი. ფართები X, ი, რისთვისაც არსებობს ასეთი რუქა, ე.წ ჰომეომორფული.

34. შემდეგი ნაკრების თითოეული წყვილისთვის დაადგინეთ არის თუ არა ისინი ჰომეომორფული:

35. რომელი წყვილებისთვის? X, ისივრცეები წინა პრობლემისგან არის უწყვეტი რუქა ვ: X ® ი, რომელიც არ ჯდება ერთადქულები (ე.ი. ვ(x) № ვ(წ) ზე x № წ– ასეთ რუკებს უწოდებენ ინვესტიციები)?

36*. ამუშავება უწყვეტი რუკების თვითმფრინავიდან torus რომ იქნება ადგილობრივი ჰომეომორფიზმი(ანუ თითოეულ წერტილში xთვითმფრინავი და ვ(x) ტორუსი არის ასეთი უბნები უდა ვ, რა ვჰომეომორფულად რუქები უ on ვ).

სისრულე. ბაირის თეორემა

დაე X- მეტრიკული სივრცე. ქვემიმდევრობა x ნმის ელემენტებს ე.წ ფუნდამენტური, თუ

"e > 0 $ ნ " კ,მ > ნრ ( x კ ,x მ) < e .

37. დაამტკიცეთ, რომ კონვერგენტული მიმდევრობა ფუნდამენტურია. მართალია საპირისპირო განცხადება?

მეტრულ სივრცეს ე.წ სრული, თუ მასში ყველა ფუნდამენტური თანმიმდევრობა იყრის თავს.

38. მართალია, რომ სრული ჰომეომორფული სივრცე სრულია?

39. დაამტკიცეთ, რომ სრული სივრცის დახურული ქვესივრცე თავისთავად სრულია; მასში დახურულია თვითნებური სივრცის სრული ქვესივრცე.

40. დაამტკიცეთ, რომ სრულ მეტრულ სივრცეში ჩასმული დახურული ბურთების თანმიმდევრობას ნულისკენ მიდრეკილი რადიუსი აქვს საერთო ელემენტს.

41. შესაძლებელია თუ არა წინა ამოცანაში სივრცის სისრულის პირობის ან ბურთების რადიუსის ნულისკენ მიდრეკილების ამოღება?

ჩვენება ვმეტრულ სივრცეში Xდაუძახა საკუთარ თავში კომპრესიული, თუ

$ გ (0 Ј გ < 1): " x,წშესახებ Xრ ( ვ(x),ვ(წ)) < გრ ( x,წ).

42. დაამტკიცეთ, რომ შეკუმშვის რუკა უწყვეტია.

43. ა) დაამტკიცეთ, რომ სრული მეტრული სივრცის შეკუმშვის რუკას აქვს ზუსტად ერთი ფიქსირებული წერტილი.

ბ) განათავსეთ რუსეთის რუკა 1:20 000 000 მასშტაბით რუსეთის რუკაზე 1:5 000 000 მასშტაბით დაამტკიცეთ, რომ არის წერტილი, რომლის გამოსახულებები ორივე რუკაზე ემთხვევა.

44*. არის თუ არა არასრული მეტრული სივრცე, რომელშიც ჭეშმარიტია პრობლემის განცხადება eh?

მეტრულ სივრცის ქვესიმრავლე ეწოდება მკვრივი ყველგან, თუ მისი დახურვა ემთხვევა მთელ სივრცეს; არსად მკვრივი– თუ მის დახურვას არ აქვს არა ცარიელი ღია ქვეჯგუფები (შეადარეთ ეს განმარტება დანართ 2-ში მოცემულ განმარტებას).

45. ა) მოდით ა, ბ, ა , ბ ო ზდა ა < a < b < ბ. დაამტკიცეთ, რომ უწყვეტი ფუნქციების სიმრავლე [ ა,ბ], ერთფეროვანი, არსად მკვრივი ყველა უწყვეტი ფუნქციის სივრცეში [ ა,ბ] ერთიანი მეტრიკით.

ბ) მოდით ა, ბ, გ, ე ო ზდა ა < ბ, გ> 0, e > 0. შემდეგ უწყვეტი ფუნქციების ნაკრები [ ა,ბ], ისეთი რომ

$ xშესახებ [ ა,ბ]: " წ (0 < | x - წ| < e ) Ю | ვ(x) - ვ(წ)| | x - წ| Ј გ,

არსად მკვრივი ყველა უწყვეტი ფუნქციის სივრცეში [ ა,ბ] ერთიანი მეტრიკით.

46. (განზოგადებული ბაირის თეორემა .) დაამტკიცეთ, რომ სრული მეტრული სივრცე არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც არსად მკვრივი სიმრავლეების თვლადი რიცხვის კავშირი.

47. დაამტკიცეთ, რომ უწყვეტი, არაერთფეროვანი სიმრავლე ნებისმიერ ცარიელ ინტერვალზე და არსად დიფერენცირებად ფუნქციებზე, რომლებიც განსაზღვრულია ინტერვალზე, ყველგან მკვრივია ყველა უწყვეტი ფუნქციის სივრცეში ერთიანი მეტრიკით.

48*. დაე ვ- დიფერენცირებადი ფუნქცია ინტერვალზე. დაამტკიცეთ, რომ მისი წარმოებული უწყვეტია წერტილების ყველგან მკვრივ სიმრავლეზე. ეს არის განმარტებალებეგის ზომავს ნულს. თუ ინტერვალების თვლადი რაოდენობა ჩანაცვლებულია სასრულით, მივიღებთ განმარტებასჟორდანოვა

ზომავს ნულს.

1. გეგმავენ .
2. ვექტორული სივრცე
3. კომპლექტის შიდა წერტილი სივრცეში
4. ღია ნაკრების თვისებები
5. ნაკრების ზღვრული წერტილი. დახურული კომპლექტები სივრცეში

დახურული კომპლექტების თვისებები სივრცეში . 1. ვექტორული სივრცე

მეტრიკის კონცეფცია. მეტრული თვისებები

დაე იყოს. სივრცის ელემენტები არის ვექტორები, სადაც. სივრცეში დაინერგა ორი ოპერაცია: ვექტორების შეკრება და ვექტორის გამრავლება სკალარზე, რომელთა თვისებები განხილულია ალგებრისა და გეომეტრიის კურსში.

მოდით განვსაზღვროთ ვექტორული ნორმა, როგორც ფუნქცია:

ვექტორული ნორმის ფუნქცია აკმაყოფილებს შემდეგ თვისებებს:. განმარტება 1მანძილი სივრცეში

ვექტორებს შორის ეწოდება

მანძილის თვისებები:

1. მე თუ და მხოლოდ თუ;განმარტება 2

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომმაგალითი

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ. - ეს არის ინტერვალი (ნახ. 1).

განმარტება 3. დაე იყოს. რადიუსის დახურული ბურთი, რომლის ცენტრია წერტილში (აღნიშნული) არის ისეთი წერტილების ერთობლიობა, რომ

განმარტება 4. წერტილს ეწოდება ამ ნაკრების შიდა წერტილი, თუ არის ღია ბურთი, რომელიც მთლიანად შეიცავს ნაკრებში.

განმარტება 5. სიმრავლეს ეწოდება ღია ნაკრები, თუ მისი თითოეული წერტილი არის შიდა წერტილი.

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ. ცარიელი კომპლექტი და ნაკრები არის ღია კომპლექტი.

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ. დაამტკიცეთ, რომ არის ღია ნაკრები (ნახ. 3).

ავიღოთ. ეს იმას ნიშნავს, რომ. აღვნიშნოთ განვიხილოთ ღია ბურთი. ეს დავამტკიცოთ. ამისათვის მოდით ვაჩვენოთ რას ეკუთვნის ერთდროულად:

ამრიგად, და ეს ნიშნავს იმას.

განმარტება 6. ღია პარალელეპიპედი არის წერტილების ერთობლიობა, რომლებისთვისაც მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:

ვარჯიში. აჩვენეთ, რომ ღია პარალელეპიპედი არის ღია სიმრავლე.

თეორემა 1. ღია სიმრავლეების ნებისმიერი სასრული რაოდენობის კვეთა არის ღია სიმრავლე.

მტკიცებულება. იყოს ღია კომპლექტი, . მოდით ვაჩვენოთ, რომ ეს არის ღია ნაკრები. ამისათვის ავიღოთ და ვაჩვენოთ, რომ ეს წერტილი შიდაა:

ვინაიდან ყველა ნაკრები ღიაა, ამისთვის არის ღია ბურთი. აღვნიშნოთ მერე

ამრიგად, ეს არის შიდა ამ ნაკრებისთვის და თავად ნაკრები ღიაა.

კომენტარი. უსასრულო რაოდენობის ღია ნაკრების კვეთა შეიძლება არ იყოს ღია ნაკრები.

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ. მოდით განვიხილოთ მათთვის ღია ნაკრების უსასრულო კოლექცია. ნაკრები, რომელიც შეიცავს ერთ წერტილს, არ არის ღია.

თეორემა 2. ნებისმიერი რაოდენობის ღია კომპლექტების გაერთიანება არის ღია ნაკრები.

მტკიცებულება. მოდით იყოს ინდექსების გარკვეული ნაკრები. დაე კომპლექტი იყოს ღია. განვიხილოთ. მოდით ვაჩვენოთ, რომ ის ღიაა. ამისათვის ავიღოთ და ვაჩვენოთ, რომ ეს წერტილი შიდაა:

Since არის ღია ნაკრები, მაშ, და ეს ნიშნავს, რომ არის ღია ნაკრები.

წერტილთა სიმრავლეების თეორიის ერთ-ერთი მთავარი ამოცანაა სხვადასხვა ტიპის წერტილოვანი სიმრავლეების თვისებების შესწავლა. მოდით გავეცნოთ ამ თეორიას ორი მაგალითის გამოყენებით და შევისწავლოთ ე.წ დახურული და ღია სიმრავლეების თვისებები.

კომპლექტი ე.წ დახურული , თუ იგი შეიცავს მის ყველა ზღვრულ წერტილს. თუ კომპლექტს არ აქვს ერთი ზღვრული წერტილი, მაშინ ის ასევე ითვლება დახურულად. გარდა ლიმიტის ქულებისა, დახურული ნაკრები შეიძლება შეიცავდეს იზოლირებულ წერტილებსაც. კომპლექტი ე.წ გახსნა , თუ მისი თითოეული წერტილი მისთვის შიდაა.

მივცეთ დახურული და ღია ნაკრების მაგალითები .

ყველა სეგმენტი არის დახურული სიმრავლე და ყოველი ინტერვალი (a, b) არის ღია სიმრავლე. არასწორი ნახევრად ინტერვალები და დახურული, და არასათანადო ინტერვალები და გახსნა. მთელი ხაზი არის დახურული და ღია ნაკრები. მოსახერხებელია ჩათვალოთ ცარიელი ნაკრები ერთდროულად დახურულ და ღიად. ხაზზე წერტილების ნებისმიერი სასრული ნაკრები დახურულია, რადგან მას არ აქვს ზღვრული წერტილები.

ნაკრები, რომელიც შედგება ქულებისგან:

დახურული; ამ სიმრავლეს აქვს უნიკალური ზღვრული წერტილი x=0, რომელიც ეკუთვნის სიმრავლეს.

მთავარი ამოცანაა გავარკვიოთ, თუ როგორ არის სტრუქტურირებული თვითნებური დახურული ან ღია ნაკრები. ამისთვის დაგვჭირდება არაერთი დამხმარე ფაქტი, რომელსაც მტკიცების გარეშე მივიღებთ.

• 1. ნებისმიერი რაოდენობის დახურული ნაკრების კვეთა დახურულია.
• 2. ნებისმიერი რაოდენობის ღია კომპლექტების ჯამი არის ღია ნაკრები.
• 3. თუ დახურული ნაკრები ზემოთ არის შემოსაზღვრული, მაშინ ის შეიცავს თავის უზენაესს. ანალოგიურად, თუ დახურული ნაკრები შემოიფარგლება ქვემოთ, მაშინ ის შეიცავს მის ინფიმუმს.

მოდით E იყოს წერტილების თვითნებური ნაკრები წრფეზე. მოდით ვუწოდოთ E სიმრავლის შევსება და CE-ით აღვნიშნოთ წრფის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომელიც არ მიეკუთვნება E სიმრავლეს. ნათელია, რომ თუ x არის E-ს გარე წერტილი, მაშინ ის არის შიდა წერტილი. კომპლექტი CE და პირიქით.

4. თუ F სიმრავლე დახურულია, მაშინ მისი კომპლემენტი CF ღიაა და პირიქით.

წინადადება 4 გვიჩვენებს, რომ არსებობს ძალიან მჭიდრო კავშირი დახურულ და ღია კომპლექტებს შორის: ზოგი სხვას ავსებს. ამის გამო საკმარისია მხოლოდ დახურული ან მხოლოდ ღია ნაკრების შესწავლა. ერთი ტიპის კომპლექტების თვისებების ცოდნა საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ გაარკვიოთ სხვა ტიპის კომპლექტების თვისებები. მაგალითად, ნებისმიერი ღია ნაკრები მიიღება ხაზიდან ზოგიერთი დახურული ნაკრების ამოღებით.

დავიწყოთ დახურული სიმრავლეთა თვისებების შესწავლა. შემოვიტანოთ ერთი განმარტება. დაე, F იყოს დახურული სიმრავლე. ინტერვალს (a, b), რომელსაც აქვს თვისება, რომ მისი არც ერთი წერტილი არ მიეკუთვნება F სიმრავლეს, მაგრამ a და b წერტილები ეკუთვნის F-ს, ეწოდება F სიმრავლის მიმდებარე ინტერვალი.

ჩვენ ასევე ჩავრთავთ არასათანადო ინტერვალებს მიმდებარე ინტერვალებად, ან თუ წერტილი a ან b მიეკუთვნება F სიმრავლეს და თავად ინტერვალები არ იკვეთება F-სთან. ვაჩვენოთ, რომ თუ წერტილი x არ მიეკუთვნება დახურულ F სიმრავლეს, მაშინ ის მიეკუთვნება მის ერთ-ერთ მიმდებარე ინტერვალს.

ავღნიშნოთ სიმრავლის F ნაწილით, რომელიც მდებარეობს x წერტილის მარჯვნივ. ვინაიდან წერტილი x არ მიეკუთვნება F სიმრავლეს, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გადაკვეთის სახით:

თითოეული ნაკრები არის F და დახურულია. ამიტომ, წინადადება 1-ით, ნაკრები დახურულია. თუ ნაკრები ცარიელია, მაშინ მთელი ნახევარი ინტერვალი არ მიეკუთვნება F სიმრავლეს. ახლა დავუშვათ, რომ ნაკრები ცარიელი არ არის. ვინაიდან ეს ნაკრები მთლიანად მდებარეობს ნახევარ ინტერვალზე, ის შემოიფარგლება ქვემოთ. მისი ქვედა ზღვარი ავღნიშნოთ b-ით. მე-3 წინადადების მიხედვით, რაც ნიშნავს. გარდა ამისა, რადგან b არის სიმრავლის ინფიმუმი, b წერტილის მარცხნივ დევს ნახევარი ინტერვალი (x, b) არ შეიცავს სიმრავლის წერტილებს და, შესაბამისად, არ შეიცავს F სიმრავლის წერტილებს. ჩვენ ავაშენეთ ნახევარ-ინტერვალი (x, b), რომელიც არ შეიცავს F სიმრავლის წერტილებს, და რომელიმე ან b წერტილი ეკუთვნის F სიმრავლეს. ანალოგიურად, აგებულია ნახევრად ინტერვალი (a, x), რომელიც არ შეიცავს წერტილებს. კომპლექტის F, და ან, ან. ახლა ცხადია, რომ ინტერვალი (a, b) შეიცავს x წერტილს და არის F სიმრავლის მიმდებარე ინტერვალი. ადვილი მისახვედრია, რომ თუ არის F სიმრავლის ორი მიმდებარე ინტერვალი, მაშინ ეს ინტერვალები ან ემთხვევა ან ემთხვევა. არ იკვეთება.

წინადან გამომდინარეობს, რომ წრფეზე ნებისმიერი დახურული სიმრავლე მიიღება წრფიდან გარკვეული რაოდენობის ინტერვალების ამოღებით, კერძოდ, F სიმრავლის მიმდებარე ინტერვალებით. ვინაიდან ყოველი ინტერვალი შეიცავს მინიმუმ ერთ რაციონალურ წერტილს და არსებობს თვლადი სიმრავლე. ხაზის ყველა რაციონალური წერტილი, ადვილია დარწმუნდეთ, რომ ყველა მიმდებარე ინტერვალის რაოდენობა მაქსიმუმ თვლადია. აქედან მივიღებთ საბოლოო დასკვნას. ხაზზე ყოველი დახურული ნაკრები მიიღება ხაზიდან მაქსიმუმ არაერთგვაროვანი ინტერვალების თვლადი ნაკრების ამოღებით.

წინადადება 4-ის ძალით, მაშინვე ირკვევა, რომ ყოველი ღია სიმრავლე წრფეზე სხვა არაფერია, თუ არა არაერთგვაროვანი ინტერვალების თვლადი ჯამი. 1 და 2 წინადადებების ძალით, ასევე ცხადია, რომ ნებისმიერი ნაკრები, რომელიც მოწყობილია ზემოთ, მართლაც დახურულია (ღია).

როგორც შემდეგი მაგალითიდან ჩანს, დახურულ კომპლექტებს შეიძლება ჰქონდეთ ძალიან რთული სტრუქტურა.

§6. თეორემები ღია და დახურულ სიმრავლეებზე

თეორემა 1. ნებისმიერი რაოდენობის ღია კომპლექტების გაერთიანება არის ღია ნაკრები.

დაე გ კ - ღია ნაკრები.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ ეს არის ღია ნაკრები.

მიიღეთ ნებისმიერი წერტილი X ო  გ. სიმრავლეთა გაერთიანების განმარტებით წერტილი X ომიეკუთვნება ერთ-ერთ კომპლექტს მაინც გ კ . იმიტომ რომ გ კარის ღია ნაკრები, მაშინ არსებობს  - წერტილის მეზობლობა X ო, რომელიც მთლიანად ეკუთვნის კომპლექტს გ კ :

მივიღე ეს რაიმე აზრი X ო  გ – შიდა, რაც იმას ნიშნავს გ- ღია ნაკრები. 

თეორემა 2 . ღია არა ცარიელი სიმრავლეთა სასრული რაოდენობის კვეთა არის ღია სიმრავლე.

დაე გ კ ( კ = 1,2, …,ნ) არის ღია ნაკრები.

ეს დავამტკიცოთ
- ღია ნაკრები.

მიიღეთ ნებისმიერი წერტილი X ო  გ. სიმრავლეთა გადაკვეთის განსაზღვრებით X ომიეკუთვნება თითოეულ კომპლექტს გ კ. იმიტომ რომ კომპლექტი გ კღია, შემდეგ ნებისმიერ კომპლექტში გ კარსებობს  კ- წერტილის მეზობლობა X ო : უ( x ო ,  კ)  გ კ. უამრავი რიცხვი { 1 ,  2 ,…,  ნ ) სასრულია, ამიტომ   = წთ { 1 ,  2 ,…,  ნ). მერე  - წერტილის მეზობლობა X ო ყველას ეკუთვნის  კ- წერტილის მეზობლობა X ო :

მივხვდი X ო- ნაკრების შიდა წერტილი გ, რაც იმას ნიშნავს გ- ღია ნაკრები. 

შენიშვნა 1.უსასრულო რაოდენობის ღია ნაკრების კვეთა შეიძლება არ იყოს ღია ნაკრები.

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ 1 . შეუშვით სივრცეში რ სად კ= 1,2,…,ნ, ….

თეორემა 3 . დახურული არა ცარიელი სიმრავლეების უსასრულო რაოდენობის კვეთა არის დახურული სიმრავლე.

დაე ფ კ- დახურული ნაკრები.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ კომპლექტი
დახურულია, ე.ი. ის შეიცავს ყველა მის ზღვრულ წერტილს.

თეორემა 4. დახურული არა ცარიელი სიმრავლეთა სასრული რაოდენობის გაერთიანება არის დახურული სიმრავლე.

ნება კომპლექტი ფ კ- დაიხურა.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ ნაკრები
დახურულია, ანუ თუ X ო ფ, ეს X ო  ფ.

შენიშვნა 2.უსასრულო რაოდენობის დახურული სიმრავლის გაერთიანება შეიძლება იყოს ღია სიმრავლე.

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ 2 . სივრცეში რ: ფ კ =

თეორემა 5 . თუ კომპლექტი ედახურულია, შემდეგ მისი დამატება კომპლექტში X: C X E=CE –ღია ნაკრები.

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ .3 . E=, C რ ე =

თეორემა 6 . თუ კომპლექტი ეგახსნა, შემდეგ მისი კომპლექტი შეავსებს X: C X E=CE –დახურული ნაკრები.

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ 4 . E=(2,5), C რ ე =

§7. წერტილების მიმდევრობა მეტრულ სივრცეში

განმარტება 1 . წერტილების თანმიმდევრობა მეტრულ სივრცეში (X,  ) რუკებს უწოდებენ ვნატურალური რიცხვების ნაკრები ნსიმრავლეში X: ვ: ნX.

ამ რუკის ღირებულება წერტილში ნ  ნ დაურეკა ნ-პუნქტათა მიმდევრობის წევრი მეტრულ სივრცეში და აღინიშნება x ნ = ვ(ნ). ჩვენ აღვნიშნავთ თანმიმდევრობას (x ნ) ან ( X 1 , X 2 ,…, X ნ … ).

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ 1. სივრცეში რ 2 : X ნ = (1 ნ, ნ+ 1/ ნ));

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ 2 . სივრცეში თან: (X ნ = (1/ nx + ნ 2 x)) სად  ა,b არ შეიცავს 0-ს.

განმარტება 2 . დაე ( x ნX, ), (კ 1 , კ 2 ,…, კ ნ ,… ) არის ნატურალური რიცხვების მზარდი მიმდევრობა. შემდეგ თანმიმდევრობა (x კნ) ეწოდება თანმიმდევრობის ქვემიმდევრობა (x ნ).

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ 3. თანმიმდევრობა (1 / ნ 2 ) – თანმიმდევრობის ქვემიმდევრობა (1 / ნ).

განმარტება 3 . დაე ( x ნ) X, ), ქვემიმდევრობა (x ნ) ეწოდება შეზღუდული თუ არის დახურული ბურთი ცენტრით ადა საბოლოო რადიუსი R, რომელიც შეიცავს მიმდევრობის ყველა წევრს, ე.ი.

.

შენიშვნა 1 . მონოტონური მიმდევრობის ცნება არ შეიძლება დაინერგოს ყველა მეტრულ სივრცეში.

განმარტება 4. დაე ( x ნ) - მეტრიკული სივრცის წერტილების თანმიმდევრობა ( X, ). წერტილი ა Xდაურეკა თანმიმდევრობის ზღვარი (x ნ) თუ:

  (    ნ   ნ   ( , ნ  ნ   x ნ , ა  

ან, რაც იგივეა, რიცხვითი თანმიმდევრობა (  x ნ , ა)) - უსასრულოდ მცირე (მიდრეკილია 0-მდე), თან ნ , იმათ.

და აბაზანაეცცა

მეტრიკის მიხედვით  ან
, ზე ნ .

თუ თანმიმდევრობა ( x ნ) აქვს სასრული ზღვარი, მაშინ მას ეწოდება კონვერგენტული, in წინააღმდეგ შემთხვევაში- განსხვავებული.

თუ ( x ნ) – მეტრული სივრცის წერტილების თანმიმდევრობა ( X, ) უახლოვდება წერტილს ა X, ეს ა- მიმდევრობის ზღვრული წერტილი ( x ნ).

პირიქით ყოველთვის არ ხდება.

შენიშვნა 2 . ერთი და იგივე თანმიმდევრობა სხვადასხვა მეტრულ სივრცეში შეიძლება გადაიზარდოს და განსხვავდებოდეს

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ 4. თანმიმდევრობა (1 / ნ) იყრის R სივრცეში, მაგრამ გადადის სივრცეში ( X, ), სად
 (x, წ)=  X ზე იმიტომ 0
.

თეორემები მოქმედებს კონვერგენციულ მიმდევრობებზე.

თეორემა 1. თუ ( x ნ) – მეტრული სივრცის კონვერგენტული მიმდევრობა ( X, ), მაშინ მისი ლიმიტი უნიკალურია.

  x ნ , ა 0 და
  x ნ ,ბ 0.

მეტრიკის 0-ის აქსიომების მიხედვით   ა, ბ    x ნ , ა +  x ნ , ბ. ჩვენ გავდივართ ლიმიტამდე, ზე ნ , მივიღებთ  ა, ბ = 0  ა= ბ. 

თეორემა 2 . თუ ( x ნ) – მეტრული სივრცის წერტილების თანმიმდევრობა ( X, ) – კონვერგენტული, მაშინ ის შემოსაზღვრულია.

ნება
.

თეორემა 3 . თუ ( x ნ) – მეტრული სივრცის წერტილების თანმიმდევრობა ( X, ) უახლოვდება წერტილს ა X, მაშინ მისი რომელიმე ქვემიმდევრობა იყრის თავს ა.

ნება
– თანმიმდევრობის ნებისმიერი ქვემიმდევრობა (x ნ). პირობის მიხედვით. ეს ნიშნავს, რომ:      ნ    x ნ , ა   .

იმიტომ რომ კ ნ  ნ, შემდეგ ყველასთვის ნ> ნ უფლება კ ნ > ნ და ამიტომ 
.

ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ ეს     ნ   , ეს იმას ნიშნავს
.

§8. კონვერგენტული მიმდევრობების თვისებები ზოგიერთში

მეტრულ სივრცეებს

თეორემა 1 (მიმდევრობის კოორდინატულ კონვერგენციაზე m-ში.რ მ ). მეტრულ სივრცეში წერტილების მიმდევრობის მიზნით რ მ

(X ნ = (X 1 ( ნ ) , X 2 ( ნ ) ,…, X მ ( ნ ) ) ერთ წერტილამდე გადაიზარდა ა = (ა 1 , ა 2 ,…, ა მ) ეს სივრცე აუცილებელია და საკმარისია რიცხვითი მიმდევრებისთვის ( X 1 ( ნ ) ), (X 2 ( ნ ) ),…, (X მ ( ნ ) ) (შესაბამისი კოორდინატები) შესაბამისად მიდრეკილია რიცხვების მიხედვით ა 1 , ა 2 ,…, ა მ , ე.ი.

,
,...,
(1)

თუ ტოლობები (1) დაკმაყოფილებულია, მაშინ ვამბობთ, რომ თანმიმდევრობა ( X ნ) უახლოვდება წერტილს აკოორდინაცია კოორდინატით.

1. შეუშვით m.pr. რ მ . (2)

დავამტკიცოთ, რომ ტოლობები (1) დაკმაყოფილებულია.

ტოლობის ძალით (2) (მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრით) მ.პ. რ მგვექნება:

  ნ    x ნ , ა ,

სად  - მეტრული სივრცის მეტრიკა რ მ :

x, y რ მ .

2. დაე, დაკმაყოფილდეს ტოლობები (1).

დავამტკიცოთ, რომ (2) მეტრულ სივრცეში რ მ .

დაე  - ნებისმიერი დადებითი რიცხვი ითვლება რიცხვად
. მერე

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ 1 . იპოვეთ ლიმიტი ა = (ა 1 , ა 2 ) თანმიმდევრობები

სივრცეში რ 2 .

ამრიგად, = (1/4;3).

თეორემა 2 (ბოლზანა-ვეიერშტრასე მ.პრ.რ მ ). სივრცის ნებისმიერი შეზღუდული თანმიმდევრობიდან რ მშესაძლებელია კონვერგენტული ქვემიმდევრობის იდენტიფიცირება.

ამ თეორემის კონკრეტული შემთხვევა სივრცისთვის რ 1 პირველ წელს დადასტურდა.

თეორემა 3 . თანმიმდევრობით ( x ნ) პუნქტები მ.პრ. თან [ ა , ბ] ჩებიშევის მეტრიკით, რომელიც კონვერგირდება ელემენტთან Xეს და ა.შ. აუცილებელია და საკმარისია ფუნქციური თანმიმდევრობისთვის ( x ნ) ერთგვაროვნად გადაიხარა Xზე [ ა, ბ].

მოდით დავამტკიცოთ ეს ერთიანი კონვერგენციის კრიტერიუმის გამოყენებით.

 ცნობილია, რომ ფუნქციური თანმიმდევრობა ( x ნ) ერთნაირად კონვერგირდება ზღვრულ ფუნქციასთან Xმაშინ და მხოლოდ მაშინ

მ.პრ-ში მეტრიკის განსაზღვრის გათვალისწინებით. თან[ა, ბ] ვიღებთ თანასწორობას

(იხ. განმარტება 4 §7)
მეტრიკის მიხედვით  m.pr-ში თან[ა, ბ]. 

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ 2. x ნ (ტ) = ტ ნ  ტ ;   ნ ნ. ცნობილია, რომ ;/2 ფუნქციური მიმდევრობით x ნ (ტ) = ტ ნთანაბრად ემთხვევა ზღვრულ ფუნქციას x (ტ) = 0. ამრიგად  ტ ; თანმიმდევრობა ( x ნ) აერთიანებს ფუნქციას x = 0 m.pr. თან.

თეორემა 4. თუ ა- ნაკრების ზღვრული წერტილი ემეტრული სივრცე ( X,  ), შემდეგ არის თანმიმდევრობა ( x ნ), რომლის წევრებიც ეკუთვნიან ედა არ არიან თანაბარი ადა ( x ნ), ემთხვევა აამ მეტრულ სივრცეში.

მტკიცებულება კოსმოსში არსებული მტკიცებულების მსგავსია რ.

შენიშვნა 1. ვინაიდან ნებისმიერი ნორმა განსაზღვრავს მეტრულს,

 o ( x, წ) =

შემდეგ ნორმალიზებულ სივრცეში აასევე შესაძლებელია ნორმირებული სივრცის ელემენტების თანმიმდევრობის ლიმიტის განსაზღვრა.

შენიშვნა 2. ვინაიდან ჰილბერტამდელი სივრცე არის ნორმირებული სივრცე ნორმით
, მაშინ ჰილბერტამდელ სივრცეში ასევე შეიძლება განისაზღვროს პრეჰილბერტის სივრცის ელემენტების მიმდევრობის ზღვარი.

§9. სრული მეტრიკული სივრცეები

განმარტება 1 . შემდგომი ( x ნ) მეტრული სივრცე ( X, ) ეწოდება ფუნდამენტური თუ

ფუნდამენტური მიმდევრობის მაგალითია წერტილების ნებისმიერი კონვერგენტული თანმიმდევრობა მეტრულ სივრცეში.

სივრცეში რნებისმიერი ფუნდამენტური თანმიმდევრობა კონვერგენტულია. მაგრამ ნებისმიერი მ.პრ. არა მეტრული სივრცის ყველა ფუნდამენტური თანმიმდევრობა ( X,  ) თავსდება ამ სივრცეში.

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ 1 . m.pr-ში. X = (ქ;  =  X ზე) თანმიმდევრობა ფუნდამენტურია, მაგრამ 1 წლიდან ცნობილია, რომ მაგრამ ე X(ე მე ).

განმარტება 2 . მეტრულ სივრცეს ე.წ სრული მეტრული სივრცე , თუ ამ სივრცეში წერტილების რომელიმე ფუნდამენტური თანმიმდევრობა იყრის მასში.

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ 2 . მეტრული სივრცე რარის სრული მეტრული სივრცე, რადგან ნებისმიერი ფუნდამენტური თანმიმდევრობა გადადის სივრციდან რიცხვთან რ. ეს გამომდინარეობს კოშის კრიტერიუმიდან (იხ. 1 კურსი).

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ 3 . მოდით დავამტკიცოთ ეს სივრცე რ მ- სრული მეტრული სივრცე.

 დაუშვით თანმიმდევრობა ( x n= x 1 (ნ) , x 2 (ნ) ,…, xმ ( ნ)) (1)

სივრცის ნებისმიერი ფუნდამენტური თანმიმდევრობა რ მ . ვაჩვენოთ, რომ ეს მიმდევრობა კონვერგენტულია და მისი ზღვარი სივრცეს ეკუთვნის რ მ .

ფუნდამენტური მიმდევრობის და მეტრიკის განსაზღვრის შესახებ სივრცეში რ მ

0 N( ) ნ  p,n >N  (x გვ , x ნ) 

თეორემა 1 §8-ის დადასტურების მიხედვით, რიცხვების მიმდევრობის ფუნდამენტური ბუნება ( x 1 ( ნ ) ), (x 2 ( ნ ) ),…, (x მ ( ნ ) ), და აქედან გამომდინარე, მათი დაახლოება (კოშის კრიტერიუმის მიხედვით).

დაე

განიხილეთ წერტილი a =(ა 1 , ა 2 ,…, ა მ). იმიტომ რომ ა 1 , ა 2 ,…, ა მ  რ, რომ ა რ მ. თეორემით 1 §8 ვიღებთ, რომ m.pr. რ მ შემდგომი ( x ნ) ემთხვევა ა რ მ . ეს ნიშნავს, რომ სივრცე რ მ სრული მეტრული სივრცე. 

. დაე იყოს. რადიუსის ღია ბურთი, რომელიც მდებარეობს წერტილზე (აღნიშნული) არის წერტილების ერთობლიობა, რომ 4 . დავამტკიცოთ, რომ მეტრული სივრცე თან[ა, ბ] დასრულებულია.

 მოდით ( x ნ) – ნებისმიერი ფუნდამენტური თანმიმდევრობა მ.პ. თან[ა, ბ] , მისი ვადები უწყვეტია [ ა, ბ] ფუნქციები.

დავამტკიცოთ, რომ თანმიმდევრობა ( x ნ) კონვერგირდება მეტრულ სივრცეში თან [ ა , ბ] . ჯერ ვაჩვენებთ, რომ ის უახლოვდება ზღვრულ ფუნქციას Xსეგმენტზე [ ა, ბ].

ფუნდამენტური მიმდევრობის განსაზღვრით

ეს იმას ნიშნავს, რომ  ტ [ა, ბ] (გასწორება ტ) ფუნდამენტურია რიცხვების თანმიმდევრობა ( x ნ (ტ) ). ეს ნიშნავს, რომ მას აქვს ზღვარი, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ
თითოეული ფიქსირებულისთვის ტ [ა, ბ].

მოდით ვაჩვენოთ, რომ ლიმიტის ფუნქცია x(ტ) უწყვეტი [ ა, ბ]. ამისათვის უტოლობაში (2) მივდივართ ლიმიტამდე at მ . ვიღებთ

 x (ტ) x ნ (ტ)   n>N ტ [ა, ბ].

ამრიგად, ჩვენ ეს დავამტკიცეთ

0 ნნ  m,n > N x (ტ) x ნ (ტ)   ტ [ა, ბ].

ეს ნიშნავს, რომ თანმიმდევრობა ( x ნ) თანაბრად ემთხვევა ფუნქციას Xზე [ ა, ბ]. იმიტომ რომ თანმიმდევრობის ყველა წევრი ( x ნ) უწყვეტი [ ა, ბ] ფუნქცია, მაშინ ლიმიტის ფუნქცია ასევე უწყვეტია ამ სეგმენტზე, ანუ ის არის მეტრული სივრცის ელემენტი თან [ ა , ბ]. თეორემა 2 §8 ამ სივრცეში თანმიმდევრობა ( x ნ) ემთხვევა X. ეს ნიშნავს სივრცეს თან [ ა , ბ] – სრული მეტრული სივრცე. 

განმარტება 3. სრული ნორმირებული სივრცე ე.წ ბანოჰავ ე სივრცე მ .

ბანოჰავიური სივრცეები არის სივრცეები:

რ ნსტანდარტებით
,
;

ლ 2 ვექტორული ნორმით x = (x ნ) = (x 1 , x 2 , … )

C [ ა, ბ] ფუნქციების ნორმით x(ტ)
.

და სივრცე C 1 [ა, ბ] ნორმით არ არის ბანოხი.

განმარტება 2 . სრული პრე-ჰილბერტის სივრცე ნორმის (2) §3-ის მიმართ ეწოდება ჰილბერტის სივრცე .

ჰილბერტის სივრცეების მაგალითები არის ჩამოთვლილი სივრცეები §4-ის მაგალითებიდან. ჰილბერტამდელი სივრცე §4-ის მე-3 მაგალითიდან არ არის სრული (2) ნორმის მიმართ და, შესაბამისად, არ არის ჰილბერტი.

ინფორმატიკა, 4 წელი, 1-2 მოდული) განმარტებამეტრიკასივრცე(მ.პ.). მაგალითები. ღია და დახურული კომპლექტები მ.პ. კონვერგენცია... ნორმალიზებულთა წრფივი რუკებები სივრცეები. მაგალითები. ნორმალიზებული სივრცეხაზოვანი რუკები. თეორემა...

ლექცია No3 მეტრული სივრცეები ღია და დახურული კომპლექტები

ლექცია

... სივრცეები. განმარტება 4. მეტრიკასივრცესრული ეწოდება, თუ მასში რომელიმე ფუნდამენტური თანმიმდევრობა ემთხვევა (ამის ელემენტს სივრცე!). მაგალითები. 9) ბ სივრცე ...

მეტრულ სივრცეების შესასწავლად

დოკუმენტი

რასაც მივიღებთ, ექვივალენტურია განმარტებამეტრიკასივრცე. 4. დაამტკიცეთ, რომ თვითნებური მეტრიკასივრცეáX, rñ არის დებულების ექვივალენტური... უწყვეტი შენიშვნები მეტრიკასივრცეებიუწყვეტი. მიუთითეთ მაგალითი, რა...

ფეისბუქი

Twitter

VKontakte

კლასელები

Google+