პარალელური ხაზები და მათი თვისებები. პარალელური ხაზები. გადაკვეთილი კუთხეები ტოლია
ეს სტატია ეხება პარალელურ ხაზებსა და პარალელურ ხაზებს. თავდაპირველად მოცემულია პარალელური წრფეების განმარტება სიბრტყეზე და სივრცეში, შემოღებულია აღნიშვნები, მოცემულია პარალელური წრფეების მაგალითები და გრაფიკული ილუსტრაციები. შემდეგ განიხილება ხაზების პარალელურობის ნიშნები და პირობები. დასასრულს ნაჩვენებია წრფეების პარალელურობის დამადასტურებელი დამახასიათებელი ამოცანების ამონახსნები, რომლებიც მოცემულია წრფის გარკვეული განტოლებით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე და სამგანზომილებიანი სივრცე.
გვერდის ნავიგაცია.
პარალელური ხაზები - ძირითადი ინფორმაცია.
განმარტება.
სიბრტყეში ორი ხაზი ეწოდება პარალელურადთუ არ აქვთ საერთო წერტილები.
განმარტება.
სამგანზომილებიან სივრცეში ორი ხაზი ეწოდება პარალელურად, თუ ისინი ერთ სიბრტყეში წევენ და არ აქვთ საერთო წერტილები.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პუნქტი "თუ ისინი იმავე სიბრტყეში არიან" სივრცეში პარალელური წრფეების განმარტებაში ძალიან მნიშვნელოვანია. მოდით განვმარტოთ ეს პუნქტი: სამგანზომილებიან სივრცეში ორი წრფე, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები და არ დევს ერთ სიბრტყეში, არ არის პარალელური, არამედ იკვეთება.
აქ მოცემულია პარალელური ხაზების რამდენიმე მაგალითი. ნოუთბუქის ფურცლის საპირისპირო კიდეები დევს პარალელურ ხაზებზე. სწორი ხაზები, რომლებზეც სახლის კედლის სიბრტყე კვეთს ჭერისა და იატაკის სიბრტყეებს, პარალელურია. რკინიგზის რელსები გასწორებულ ადგილზე ასევე შეიძლება ჩაითვალოს პარალელურ ხაზებად.
პარალელური ხაზების აღსანიშნავად გამოიყენეთ სიმბოლო "". ანუ თუ a და b წრფეები პარალელურია, მაშინ შეგვიძლია მოკლედ დავწეროთ b.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თუ a და b წრფეები პარალელურია, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ a წრფე პარალელურია b წრფესთან და ასევე, რომ b წრფე პარალელურია a წრფესთან.
მოდით გამოვთქვათ განცხადება, რომელიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებს სიბრტყეზე პარალელური წრფეების შესწავლაში: მოცემულ წრფეზე არ მყოფი წერტილის გავლით გადის მოცემულის პარალელურად ერთადერთი სწორი ხაზი. ეს დებულება მიღებულია როგორც ფაქტი (არ შეიძლება დადასტურდეს პლანიმეტრიის ცნობილი აქსიომების საფუძველზე) და მას უწოდებენ პარალელური წრფეების აქსიომას.
სივრცეში შემთხვევისთვის მართებულია თეორემა: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის ერთი სწორი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს თეორემა ადვილად დამტკიცდება პარალელური წრფეების ზემოაღნიშნული აქსიომის გამოყენებით (მისი მტკიცებულება შეგიძლიათ იპოვოთ გეომეტრიის სახელმძღვანელოში 10-11 კლასებისთვის, რომელიც ჩამოთვლილია სტატიის ბოლოს ცნობარების სიაში).
სივრცეში შემთხვევისთვის მართებულია თეორემა: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის ერთი სწორი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს თეორემა მარტივად შეიძლება დადასტურდეს ზემოთ მოცემული პარალელური ხაზის აქსიომის გამოყენებით.
წრფეთა პარალელიზმი – პარალელურობის ნიშნები და პირობები.
ხაზების პარალელურობის ნიშანიხაზების პარალელურად ყოფნის საკმარისი პირობაა, ანუ პირობა, რომლის შესრულებაც იძლევა ხაზების პარალელურობის გარანტიას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ პირობის შესრულება საკმარისია იმისთვის, რომ დადგინდეს ხაზების პარალელურობა.
ასევე არის აუცილებელი და საკმარისი პირობები სიბრტყეზე და სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეების პარალელურობისთვის.
მოდით ავხსნათ ფრაზის მნიშვნელობა "აუცილებელი და საკმარისი პირობა პარალელური ხაზებისთვის".
ჩვენ უკვე განვიხილეთ პარალელური ხაზების საკმარისი პირობა. რა არის „აუცილებელი პირობა პარალელური ხაზებისთვის“? სახელწოდებიდან „აუცილებელი“ ირკვევა, რომ ამ პირობის შესრულება აუცილებელია პარალელური ხაზებისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ პარალელური ხაზებისთვის აუცილებელი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ხაზები არ არის პარალელური. ამრიგად, აუცილებელი და საკმარისი პირობა პარალელური ხაზებისთვისარის პირობა, რომლის შესრულებაც აუცილებელია და საკმარისია პარალელური ხაზებისთვის. ანუ, ერთის მხრივ, ეს არის წრფეთა პარალელურობის ნიშანი და მეორე მხრივ, ეს არის თვისება, რომელიც გააჩნია პარალელურ წრფეებს.
ხაზების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობის ჩამოყალიბებამდე მიზანშეწონილია გავიხსენოთ რამდენიმე დამხმარე განმარტება.
სკანტური ხაზიარის წრფე, რომელიც კვეთს თითოეულ მოცემულ ორ წრფეს, რომლებიც ერთმანეთს არ ემთხვევა.
როდესაც ორი სწორი ხაზი იკვეთება განივი ხაზით, იქმნება რვა განუვითარებელი. ე.წ იწვა ჯვარედინად, შესაბამისიდა ცალმხრივი კუთხეები. მოდით ვაჩვენოთ ისინი ნახატზე.
თეორემა.
თუ სიბრტყეში ორი სწორი წრფე იკვეთება განივი ხაზით, მაშინ მათი პარალელური ყოფნისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ გადამკვეთი კუთხეები იყოს ტოლი, ან შესაბამისი კუთხეები ტოლი, ან ცალმხრივი კუთხეების ჯამი იყოს 180-ის ტოლი. გრადუსი.
მოდით ვაჩვენოთ ამ აუცილებელი და საკმარისი პირობის გრაფიკული ილუსტრაცია სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობისთვის.
ამ პირობების მტკიცებულებები შეგიძლიათ იპოვოთ ხაზების პარალელურობისთვის 7-9 კლასის გეომეტრიის სახელმძღვანელოებში.
გაითვალისწინეთ, რომ ამ პირობების გამოყენება შესაძლებელია სამგანზომილებიან სივრცეშიც - მთავარია, რომ ორი ხაზი და სეკანტი ერთ სიბრტყეში იყოს.
აქ არის კიდევ რამდენიმე თეორემა, რომლებიც ხშირად გამოიყენება წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.
თეორემა.
თუ სიბრტყეში ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია. ამ თვისების დადასტურება გამომდინარეობს პარალელური წრფეების აქსიომიდან.
მსგავსი პირობაა პარალელური ხაზებისთვის სამგანზომილებიან სივრცეში.
თეორემა.
თუ სივრცეში ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია. ამ კრიტერიუმის დადასტურება მე-10 კლასში გეომეტრიის გაკვეთილებზე განიხილება.
მოდით ილუსტრაციულად განვმარტოთ გამოთქმული თეორემები.
წარმოვადგინოთ კიდევ ერთი თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ წრფეების პარალელურობა სიბრტყეზე.
თეორემა.
თუ სიბრტყეში ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ ისინი პარალელურია.
არსებობს მსგავსი თეორემა სივრცეში წრფეებისთვის.
თეორემა.
თუ სამგანზომილებიან სივრცეში ორი წრფე პერპენდიკულარულია იმავე სიბრტყის მიმართ, მაშინ ისინი პარალელურია.
მოდით დავხატოთ ამ თეორემების შესაბამისი სურათები.
ზემოთ ჩამოყალიბებული ყველა თეორემა, კრიტერიუმი და აუცილებელი და საკმარისი პირობა შესანიშნავია გეომეტრიის მეთოდების გამოყენებით წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად. ანუ ორი მოცემული წრფის პარალელურობის დასამტკიცებლად, თქვენ უნდა აჩვენოთ, რომ ისინი პარალელურია მესამე წრფის, ან აჩვენოთ ჯვარედინი დაწოლის კუთხეების თანასწორობა და ა.შ. გიმნაზიაში გეომეტრიის გაკვეთილებზე ბევრი მსგავსი პრობლემა წყდება. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ ხშირ შემთხვევაში მოსახერხებელია კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება სიბრტყეზე ან სამგანზომილებიან სივრცეში ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად. ჩამოვაყალიბოთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მითითებული წრფეების პარალელიზმისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობები.
მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელიზმი.
სტატიის ამ პუნქტში ჩამოვაყალიბებთ აუცილებელი და საკმარისი პირობები პარალელური ხაზებისთვისმართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, ამ ხაზების განმსაზღვრელი განტოლების ტიპებიდან გამომდინარე, და ჩვენ ასევე ვაძლევთ დეტალურ ამონახსნებს დამახასიათებელი ამოცანების შესახებ.
დავიწყოთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy სიბრტყეზე ორი სწორი წრფის პარალელურობის პირობით. მისი მტკიცებულება ეფუძნება წრფის მიმართულების ვექტორის განმარტებას და სიბრტყეზე წრფის ნორმალური ვექტორის განსაზღვრას.
თეორემა.
იმისთვის, რომ სიბრტყეში ორი არათანაბარი წრფე იყოს პარალელურად, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ წრფეების მიმართულების ვექტორები იყოს წრფივი, ან ამ წრფეების ნორმალური ვექტორები იყოს წრფივი, ან ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი ნორმალურის პერპენდიკულარული იყოს. მეორე ხაზის ვექტორი.
ცხადია, სიბრტყეზე ორი წრფის პარალელურობის პირობა მცირდება (წრფეთა მიმართულების ვექტორები ან წრფეების ნორმალური ვექტორები) ან (ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი და მეორე ხაზის ნორმალური ვექტორი). ამრიგად, თუ და არიან a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები და 
და 
არის a და b წრფეების ნორმალური ვექტორები, შესაბამისად, a და b წრფეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა ჩაიწერება როგორც 
, ან 
, ან , სადაც t არის რეალური რიცხვი. თავის მხრივ, a და b წრფეების გიდების და (ან) ნორმალური ვექტორების კოორდინატები გვხვდება ხაზების ცნობილი განტოლებების გამოყენებით.
კერძოდ, თუ სწორი ხაზი a მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy სიბრტყეზე განსაზღვრავს ფორმის ზოგად სწორი ხაზის განტოლებას. 
და სწორი ხაზი b - 
, მაშინ ამ წრფეების ნორმალურ ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და, შესაბამისად, a და b წრფეების პარალელურობის პირობა დაიწერება როგორც .
თუ წრფე a შეესაბამება წრფის განტოლებას ფორმის კუთხური კოეფიციენტით და წრფე b -, მაშინ ამ წრფეების ნორმალურ ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და და ამ წრფეების პარალელურობის პირობა იღებს ფორმას. 
. შესაბამისად, თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე ხაზები პარალელურია და შეიძლება განისაზღვროს კუთხური კოეფიციენტებით წრფეების განტოლებებით, მაშინ წრფეების კუთხური კოეფიციენტები ტოლი იქნება. და პირიქით: თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე არათანაბარი ხაზები შეიძლება განისაზღვროს თანაბარი კუთხური კოეფიციენტების მქონე წრფის განტოლებით, მაშინ ასეთი ხაზები პარალელურია.
თუ სწორი ხაზი a და სწორი წრფე b მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში განისაზღვრება ფორმის სიბრტყეზე სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებებით. 
და 
, ან სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები ფორმის სიბრტყეზე 
და 
შესაბამისად, ამ წრფეების მიმართულების ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და , ხოლო a და b წრფეების პარალელურობის პირობა იწერება როგორც .
მოდით შევხედოთ გადაწყვეტილებებს რამდენიმე მაგალითისთვის.
მაგალითი.
ხაზები პარალელურია? 
და ?
გამოსავალი.
მოდით გადავიწეროთ წრფის განტოლება სეგმენტებში წრფის ზოგადი განტოლების სახით: 
. ახლა გასაგებია, რომ - ნორმალური ვექტორიპირდაპირი , a არის წრფის ნორმალური ვექტორი. ეს ვექტორები არ არის კოლინარული, რადგან ასეთი არ არსებობს რეალური რიცხვი t რისთვისაც თანასწორობა ( 
). შესაბამისად, სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, შესაბამისად, მოცემული წრფეები არ არის პარალელური.
პასუხი:
არა, ხაზები არ არის პარალელური.
მაგალითი.
სწორი ხაზები და პარალელურია?
გამოსავალი.
სწორი წრფის კანონიკური განტოლება კუთხური კოეფიციენტით სწორი წრფის განტოლებამდე შევიყვანოთ: . ცხადია, წრფეების განტოლებები და არ არის ერთნაირი (ამ შემთხვევაში მოცემული წრფეები იგივე იქნებოდა) და წრფეების კუთხური კოეფიციენტები ტოლია, შესაბამისად, თავდაპირველი წრფეები პარალელურია.
ორი წრფის პარალელურობის ნიშნები
თეორემა 1. თუ, როდესაც ორი წრფე იკვეთება სეკანტს:
გადაკვეთილი კუთხეები ტოლია, ან
შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ან
ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°, მაშინ
ხაზები პარალელურია(ნახ. 1).
მტკიცებულება. ჩვენ შემოვიფარგლებით 1-ლი შემთხვევის დამტკიცებით.
მოდით, გადამკვეთი წრფეები a და b იყოს ჯვარედინი, ხოლო კუთხეები AB ტოლი. მაგალითად, ∠ 4 = ∠ 6. დავამტკიცოთ, რომ a || ბ.
დავუშვათ, რომ a და b წრფეები არ არის პარალელური. შემდეგ ისინი იკვეთებიან M რაღაც წერტილში და, შესაბამისად, 4 ან 6 კუთხეებიდან ერთ-ერთი იქნება ABM სამკუთხედის გარე კუთხე. განსაზღვრულობისთვის, მოდით ∠ 4 იყოს სამკუთხედის ABM გარე კუთხე, ხოლო ∠ 6 შიდა კუთხე. სამკუთხედის გარე კუთხის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ∠ 4 მეტია ∠ 6-ზე და ეს ეწინააღმდეგება პირობას, რაც ნიშნავს, რომ a და 6 წრფეები ვერ იკვეთება, ამიტომ ისინი პარალელურები არიან.
დასკვნა 1. ერთი და იმავე წრფის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში ორი განსხვავებული წრფე პარალელურია(ნახ. 2).
კომენტარი. გზა, რომელსაც ჩვენ ახლახან დავამტკიცეთ თეორემა 1-ის შემთხვევა, ეწოდება მტკიცების მეთოდს წინააღმდეგობით ან აბსურდამდე დაყვანით. ამ მეთოდმა მიიღო თავისი სახელი, რადგან არგუმენტის დასაწყისში კეთდება ვარაუდი, რომელიც ეწინააღმდეგება (საპირისპირო) იმას, რაც დასამტკიცებელია. მას აბსურდამდე მიყვანას უწოდებენ იმის გამო, რომ დაშვებული ვარაუდის საფუძველზე მსჯელობით მივდივართ აბსურდულ დასკვნამდე (აბსურდამდე). ასეთი დასკვნის მიღება გვაიძულებს უარვყოთ დასაწყისში გაკეთებული ვარაუდი და მივიღოთ ის, რაც დასამტკიცებლად იყო საჭირო.
დავალება 1.ააგეთ წრფე, რომელიც გადის მოცემულ M წერტილზე და პარალელურად არის მოცემული a წრფეზე, რომელიც არ გადის M წერტილს.
გამოსავალი. ვხაზავთ P სწორ ხაზს M წერტილის გავლით a სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად (ნახ. 3).
შემდეგ ვხაზავთ b წრფეს M წერტილის გავლით p წრფეზე პერპენდიკულარული. ბ წრფე პარალელურია a წრფის თეორემა 1-ის დასკვნის მიხედვით.
განხილული პრობლემისგან მნიშვნელოვანი დასკვნა გამოდის:
წერტილის მეშვეობით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, ყოველთვის შესაძლებელია მოცემული წრფის პარალელურად დახაზვა.
პარალელური წრფეების ძირითადი თვისება შემდეგია.
პარალელური წრფეების აქსიომა. მოცემული წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის მხოლოდ ერთი წრფე მოცემულის პარალელურად.
მოდით განვიხილოთ პარალელური წრფეების ზოგიერთი თვისება, რომელიც გამომდინარეობს ამ აქსიომიდან.
1) თუ წრფე კვეთს ორი პარალელური წრფედან ერთს, მაშინ ის მეორესაც კვეთს (სურ. 4).
2) თუ ორი განსხვავებული წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია (ნახ. 5).
შემდეგი თეორემა ასევე მართალია.
თეორემა 2. თუ ორი პარალელური წრფე იკვეთება განივი, მაშინ:
განივი კუთხეები ტოლია;
შესაბამისი კუთხეები ტოლია;
ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.
დასკვნა 2. თუ წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური ხაზიდან ერთ-ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.(იხ. სურ. 2).
კომენტარი. თეორემა 2-ს ეწოდება თეორემა 1-ის ინვერსია. 1-ლი თეორემის დასკვნა არის თეორემა 2-ის პირობა. ხოლო 1-ლი თეორემა არის თეორემა 2-ის დასკვნა. ყველა თეორემას არ აქვს შებრუნებული, ანუ თუ ეს თეორემა მართალია, მაშინ საუბრის თეორემაშეიძლება იყოს არასწორი.
მოდით ავხსნათ ამის შესახებ თეორემის მაგალითის გამოყენებით ვერტიკალური კუთხეები. ეს თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: თუ ორი კუთხე ვერტიკალურია, მაშინ ისინი ტოლია. საპირისპირო თეორემა იქნება: თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ ისინი ვერტიკალურია. და ეს, რა თქმა უნდა, სიმართლეს არ შეესაბამება. ორი თანაბარი კუთხეებისაერთოდ არ უნდა იყოს ვერტიკალური.
მაგალითი 1.ორი პარალელური ხაზი კვეთს მესამეს. ცნობილია, რომ განსხვავება ორ შიდა ცალმხრივ კუთხეს შორის არის 30°. იპოვეთ ეს კუთხეები.
გამოსავალი. დაე, ფიგურა 6 აკმაყოფილებდეს პირობას.
ამ სტატიაში ვისაუბრებთ პარალელურ ხაზებზე, მივცემთ განმარტებებს და გამოვყოფთ პარალელიზმის ნიშნებსა და პირობებს. თეორიული მასალის გასაგებად რომ გავხადოთ, გამოვიყენებთ ილუსტრაციებს და გადაწყვეტილებებს ტიპიური მაგალითებისთვის.
განმარტება 1პარალელური ხაზები სიბრტყეზე- ორი სწორი ხაზი სიბრტყეზე, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები.
განმარტება 2
პარალელური ხაზები სამგანზომილებიან სივრცეში- ორი სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომელიც დევს იმავე სიბრტყეში და არ აქვს საერთო წერტილები.
აუცილებელია აღინიშნოს, რომ სივრცეში პარალელური ხაზების დასადგენად, გარკვევა „იგივე სიბრტყეში დევს“ ძალზე მნიშვნელოვანია: ორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები და არ დევს ერთ სიბრტყეში, არ არის პარალელური. , მაგრამ იკვეთება.
პარალელური ხაზების აღსანიშნავად ჩვეულებრივ გამოიყენება სიმბოლო ∥. ანუ, თუ მოცემული წრფეები a და b პარალელურია, ეს პირობა მოკლედ უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად: a ‖ b. სიტყვიერად, წრფეთა პარალელიზმი აღინიშნება შემდეგნაირად: a და b წრფეები პარალელურია, ან წრფე a პარალელურია b წრფესთან, ან b წრფე პარალელურია a წრფესთან.
მოდით ჩამოვაყალიბოთ განცხადება, რომელიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებს შესასწავლ თემაში.
აქსიომა
წერტილის გავლით, რომელიც არ მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, გადის ერთადერთი სწორი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს განცხადება არ შეიძლება დადასტურდეს პლანიმეტრიის ცნობილი აქსიომების საფუძველზე.
იმ შემთხვევაში, როდესაც ვსაუბრობთ სივრცეზე, თეორემა მართალია:
თეორემა 1
სივრცის ნებისმიერი წერტილის გავლით, რომელიც არ მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, იქნება ერთი სწორი ხაზი მოცემულის პარალელურად.
ეს თეორემა ადვილი დასამტკიცებელია ზემოაღნიშნული აქსიომის საფუძველზე (გეომეტრიის პროგრამა 10 - 11 კლასებისთვის).
პარალელურობის კრიტერიუმი არის საკმარისი პირობა, რომლის შესრულებაც უზრუნველყოფს წრფეების პარალელურობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ პირობის შესრულება საკმარისია პარალელურობის ფაქტის დასადასტურებლად.
კერძოდ, არის აუცილებელი და საკმარისი პირობები სიბრტყეზე და სივრცეში ხაზების პარალელურობისთვის. განვმარტოთ: აუცილებელი ნიშნავს პირობას, რომლის შესრულებაც აუცილებელია პარალელური ხაზებისთვის; თუ ის არ სრულდება, ხაზები არ არის პარალელური.
მოკლედ რომ ვთქვათ, წრფეთა პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა არის პირობა, რომლის დაცვაც აუცილებელია და საკმარისია წრფეები ერთმანეთის პარალელურად იყოს. ერთის მხრივ, ეს პარალელურობის ნიშანია, მეორეს მხრივ, ეს არის პარალელური ხაზების თანდაყოლილი თვისება.
საჭირო და საკმარისი პირობის ზუსტ ფორმულირებამდე გავიხსენოთ რამდენიმე დამატებითი ცნება.
განმარტება 3
სკანტური ხაზი– სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს თითოეულ მოცემულ ორ არათანაბარი სწორ ხაზს.
ორი სწორი ხაზის გადაკვეთისას განივი ქმნის რვა განუვითარებელ კუთხეს. აუცილებელი და საკმარისი პირობის ჩამოსაყალიბებლად გამოვიყენებთ ისეთ ტიპის კუთხეებს, როგორიცაა გადაკვეთილი, შესაბამისი და ცალმხრივი. მოდით ვაჩვენოთ ისინი ილუსტრაციაში:
თეორემა 2
თუ სიბრტყეში ორი წრფე იკვეთება განივი ხაზით, მაშინ მოცემული წრფეები რომ იყოს პარალელურად აუცილებელია და საკმარისია, რომ გადამკვეთი კუთხეები ტოლი იყოს, ან შესაბამისი კუთხეები ტოლი, ან ცალმხრივი კუთხეების ჯამი ტოლი იყოს. 180 გრადუსი.
მოდით გრაფიკულად წარმოვაჩინოთ სიბრტყეზე წრფეების პარალელიზმისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობა:
ამ პირობების დადასტურება მოცემულია გეომეტრიის პროგრამაში 7 - 9 კლასებისთვის.
ზოგადად, ეს პირობები ასევე ეხება სამგანზომილებიან სივრცეს, იმ პირობით, რომ ორი ხაზი და სეკანტი მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს.
მოდით მივუთითოთ კიდევ რამდენიმე თეორემა, რომლებიც ხშირად გამოიყენება წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.
თეორემა 3
სიბრტყეზე მესამეს პარალელურად ორი წრფე ერთმანეთის პარალელურია. ეს თვისება დასტურდება ზემოაღნიშნული პარალელურობის აქსიომის საფუძველზე.
თეორემა 4
სამგანზომილებიან სივრცეში მესამეს პარალელურად ორი ხაზი ერთმანეთის პარალელურია.
ნიშნის დამტკიცება შესწავლილია მე-10 კლასის გეომეტრიის სასწავლო გეგმაში.
მოდით მოვიყვანოთ ამ თეორემების ილუსტრაცია:
მივუთითოთ კიდევ ერთი წყვილი თეორემები, რომლებიც ადასტურებენ წრფეების პარალელურობას.
თეორემა 5
სიბრტყეზე, მესამეზე პერპენდიკულარული ორი წრფე ერთმანეთის პარალელურია.
მოდით ჩამოვაყალიბოთ მსგავსი რამ სამგანზომილებიანი სივრცისთვის.
თეორემა 6
სამგანზომილებიან სივრცეში, მესამეზე პერპენდიკულარული ორი ხაზი ერთმანეთის პარალელურია.
მოდით ილუსტრაციით:
ყველა ზემოაღნიშნული თეორემა, ნიშანი და პირობა შესაძლებელს ხდის გეომეტრიის მეთოდების გამოყენებით მოხერხებულად დაამტკიცოს წრფეების პარალელურობა. ანუ წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად შეიძლება ვაჩვენოთ, რომ შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ან ვაჩვენოთ ის ფაქტი, რომ ორი მოცემული წრფე პერპენდიკულარულია მესამეზე და ა.შ. მაგრამ გაითვალისწინეთ, რომ ხშირად უფრო მოსახერხებელია კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება სიბრტყეზე ან სამგანზომილებიან სივრცეში ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად.
მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელიზმი
მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სწორი ხაზი განისაზღვრება ერთ-ერთი შესაძლო ტიპის სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლებით. ანალოგიურად, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში განსაზღვრული სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში შეესაბამება გარკვეულ განტოლებებს სივრცეში სწორი ხაზისთვის.
ჩამოვწეროთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელურობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობები მოცემული წრფეების აღწერის განტოლების ტიპის მიხედვით.
დავიწყოთ სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობის პირობით. იგი ეფუძნება წრფის მიმართულების ვექტორის და სიბრტყეზე წრფის ნორმალური ვექტორის განმარტებებს.
თეორემა 7
იმისთვის, რომ სიბრტყეზე ორი არათანაბარი წრფე იყოს პარალელურად, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორები იყოს წრფივი, ან მოცემული წრფეების ნორმალური ვექტორები, ან ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი იყოს პერპენდიკულარული. მეორე ხაზის ნორმალური ვექტორი.
ცხადი ხდება, რომ სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობის პირობა ემყარება ვექტორების კოლინარობის ან ორი ვექტორის პერპენდიკულარულობის პირობას. ანუ, თუ a → = (a x, a y) და b → = (b x, b y) არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები;
და n b → = (n b x, n b y) არის a და b წრფეების ნორმალური ვექტორები, შემდეგ ზემოაღნიშნულ აუცილებელ და საკმარის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ან n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ან a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0, სადაც t არის რეალური რიცხვი. გიდების ან სწორი ვექტორების კოორდინატები განისაზღვრება სწორი ხაზების მოცემული განტოლებებით. მოდით შევხედოთ მთავარ მაგალითებს.
- მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში სწორი a არის განსაზღვრული ზოგადი განტოლებასწორი ხაზი: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; სწორი ხაზი b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. მაშინ მოცემული წრფეების ნორმალურ ვექტორებს ექნებათ კოორდინატები (A 1, B 1) და (A 2, B 2), შესაბამისად. პარალელურობის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- წრფე a აღწერილია y = k 1 x + b 1 ფორმის დახრილობის მქონე წრფის განტოლებით. სწორი ხაზი b - y = k 2 x + b 2. მაშინ მოცემული წრფეების ნორმალურ ვექტორებს ექნებათ კოორდინატები (k 1, - 1) და (k 2, - 1) შესაბამისად და პარალელურობის პირობას დავწერთ შემდეგნაირად:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
ამრიგად, თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე პარალელური ხაზები მოცემულია განტოლებებით კუთხოვანი კოეფიციენტებით, მაშინ მოცემული წრფეების კუთხური კოეფიციენტები ტოლი იქნება. და საპირისპირო განცხადება მართალია: თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე არათანაბარი ხაზები განისაზღვრება წრფის განტოლებით იდენტური კუთხური კოეფიციენტებით, მაშინ ეს მოცემული ხაზები პარალელურია.
- მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში a და b ხაზები მითითებულია სიბრტყეზე წრფის კანონიკური განტოლებებით: x - x 1 a x = y - y 1 a y და x - x 2 b x = y - y 2 b y ან პარამეტრული განტოლებებით. ხაზი სიბრტყეზე: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y და x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y.
მაშინ მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორები იქნება: a x, a y და b x, b y შესაბამისად და პარალელურობის პირობას დავწერთ შემდეგნაირად:
a x = t b x a y = t b y
მოდით შევხედოთ მაგალითებს.
მაგალითი 1
მოცემულია ორი ხაზი: 2 x - 3 y + 1 = 0 და x 1 2 + y 5 = 1. აუცილებელია იმის დადგენა, არის თუ არა ისინი პარალელური.
გამოსავალი
მოდით დავწეროთ სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში ზოგადი განტოლების სახით:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
ჩვენ ვხედავთ, რომ n a → = (2, - 3) არის წრფის ნორმალური ვექტორი 2 x - 3 y + 1 = 0 და n b → = 2, 1 5 არის x 1 2 + y 5 წრფის ნორმალური ვექტორი. = 1.
მიღებული ვექტორები არ არის კოლინარული, რადგან არ არსებობს ტატის ისეთი მნიშვნელობა, რომლის თანასწორობა ჭეშმარიტი იქნება:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
ამრიგად, სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული ხაზები არ არის პარალელური.
პასუხი:მოცემული ხაზები არ არის პარალელური.
მაგალითი 2
მოცემულია ხაზები y = 2 x + 1 და x 1 = y - 4 2. ისინი პარალელურები არიან?
გამოსავალი
მოდით გადავიტანოთ სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება x 1 = y - 4 2 სწორი ხაზის განტოლებაზე დახრილთან:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
ჩვენ ვხედავთ, რომ y = 2 x + 1 და y = 2 x + 4 წრფეების განტოლებები არ არის იგივე (სხვაგვარად რომ ყოფილიყო, წრფეები დაემთხვა) და წრფეების კუთხური კოეფიციენტები ტოლია, რაც ნიშნავს მოცემული ხაზები პარალელურია.
შევეცადოთ პრობლემის გადაჭრა სხვაგვარად. ჯერ შევამოწმოთ ემთხვევა თუ არა მოცემული ხაზები. ჩვენ ვიყენებთ ნებისმიერ წერტილს წრფეზე y = 2 x + 1, მაგალითად, (0, 1), ამ წერტილის კოორდინატები არ შეესაბამება x 1 = y - 4 2 წრფის განტოლებას, რაც ნიშნავს, რომ ხაზები აკეთებენ. არ ემთხვევა.
შემდეგი ნაბიჯი არის იმის დადგენა, დაკმაყოფილებულია თუ არა მოცემული წრფეების პარალელურობის პირობა.
y = 2 x + 1 წრფის ნორმალური ვექტორი არის ვექტორი n a → = (2 , - 1) , ხოლო მეორე მოცემული წრფის მიმართულების ვექტორი არის b → = (1 , 2) . წერტილოვანი პროდუქტიამ ვექტორებიდან ნულის ტოლია:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
ამრიგად, ვექტორები პერპენდიკულარულია: ეს გვიჩვენებს ორიგინალური წრფეების პარალელურობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობის შესრულებას. იმათ. მოცემული ხაზები პარალელურია.
პასუხი:ეს ხაზები პარალელურია.
სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად გამოიყენება შემდეგი აუცილებელი და საკმარისი პირობა.
თეორემა 8
იმისთვის, რომ სამგანზომილებიან სივრცეში ორი შეუსაბამო წრფე იყოს პარალელური, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ ხაზების მიმართულების ვექტორები იყოს კოლინური.
იმათ. სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეთა განტოლებების გათვალისწინებით, პასუხი კითხვაზე: პარალელურები არიან თუ არა, გვხვდება მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორების კოორდინატების განსაზღვრით, აგრეთვე მათი კოლინარობის მდგომარეობის შემოწმებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ a → = (a x, a y, a z) და b → = (b x, b y, b z) არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები, მაშინ იმისთვის, რომ ისინი პარალელური იყოს, არსებობა ასეთი რეალური რიცხვი t აუცილებელია, რათა ტოლობა იყოს:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
მაგალითი 3
მოცემულია ხაზები x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 და x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. აუცილებელია ამ წრფეების პარალელურობის დამტკიცება.
გამოსავალი
ამოცანის პირობები მოცემულია სივრცეში ერთი წრფის კანონიკური განტოლებებით და სივრცეში მეორე წრფის პარამეტრული განტოლებებით. სახელმძღვანელო ვექტორები a → და b → მოცემულ წრფეებს აქვთ კოორდინატები: (1, 0, - 3) და (2, 0, - 6).
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, შემდეგ a → = 1 2 · b →.
შესაბამისად, დაკმაყოფილებულია სივრცეში წრფეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა.
პასუხი:დადასტურებულია მოცემული წრფეების პარალელურობა.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.
პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება
პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.
თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.
ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.
რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:
- როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.
როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:
- ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
- დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
- ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
- თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.
ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის
ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.
გამონაკლისები:
- საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცესის, სასამართლო პროცესის შესაბამისად ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო უწყებებსრუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
- რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.
პირადი ინფორმაციის დაცვა
ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.
თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე
თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.
1. თუ ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია:
თუ ა||გდა ბ||გ, ეს ა||ბ.
2. თუ ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ ისინი პარალელურია:
თუ ა⊥გდა ბ⊥გ, ეს ა||ბ.
წრფეების პარალელურობის დარჩენილი ნიშნები ემყარება იმ კუთხეებს, რომლებიც წარმოიქმნება, როდესაც ორი სწორი ხაზი კვეთს მესამეს.
3. თუ შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°, მაშინ წრფეები პარალელურია:
თუ ∠1 + ∠2 = 180°, მაშინ ა||ბ.
4. თუ შესაბამისი კუთხეები ტოლია, მაშინ წრფეები პარალელურია:
თუ ∠2 = ∠4, მაშინ ა||ბ.
5. თუ შიდა განივი კუთხეები ტოლია, მაშინ წრფეები პარალელურია:
თუ ∠1 = ∠3, მაშინ ა||ბ.
პარალელური წრფეების თვისებები
პარალელური წრფეების თვისებების საწინააღმდეგო განცხადებები მათი თვისებებია. ისინი ეფუძნება კუთხეების თვისებებს, რომლებიც წარმოიქმნება ორი პარალელური წრფის მესამე წრფესთან გადაკვეთით.
1. როდესაც ორი პარალელური წრფე კვეთს მესამე სწორ ხაზს, მათ მიერ წარმოქმნილი შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 180°-ს:
თუ ა||ბ, შემდეგ ∠1 + ∠2 = 180°.
2. როდესაც ორი პარალელური წრფე იკვეთება მესამე სწორ წრფესთან, მათ მიერ წარმოქმნილი შესაბამისი კუთხეები ტოლია:
თუ ა||ბ, შემდეგ ∠2 = ∠4.
3. როდესაც ორი პარალელური წრფე იკვეთება მესამე წრფესთან, მათ მიერ წარმოქმნილი ჯვარედინი კუთხეები ტოლია:
თუ ა||ბ, შემდეგ ∠1 = ∠3.
შემდეგი თვისება განსაკუთრებული შემთხვევაა თითოეული წინასთვის:
4. თუ სიბრტყეზე წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური ხაზიდან ერთ-ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ:
თუ ა||ბდა გ⊥ა, ეს გ⊥ბ.
მეხუთე თვისება არის პარალელური წრფეების აქსიომა:
5. მოცემულ წრფეზე არ დევს წერტილის გავლით მოცემული წრფის პარალელურად მხოლოდ ერთი წრფის გაყვანა შეიძლება.
სტატიები თემაზე
