იპოვეთ წერტილოვანი პროდუქტი. ვექტორების სკალარული პროდუქტი: თეორია და ამოცანების გადაწყვეტილებები. სკალარული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა
ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი
ჩვენ ვაგრძელებთ ვექტორებთან ურთიერთობას. პირველ გაკვეთილზე ვექტორები დუმებისთვისჩვენ გადავხედეთ ვექტორის კონცეფციას, ვექტორებთან მოქმედებებს, ვექტორულ კოორდინატებს და ვექტორებთან უმარტივეს ამოცანებს. თუ ამ გვერდზე პირველად მოხვედით საძიებო სისტემიდან, გირჩევთ წაიკითხოთ ზემოაღნიშნული შესავალი სტატია, რადგან მასალის ათვისებისთვის საჭიროა გაეცნოთ ჩემს მიერ გამოყენებულ ტერმინებსა და აღნიშვნებს, გქონდეთ ვექტორების და ვექტორების საბაზისო ცოდნა. შეძლოს ძირითადი პრობლემების გადაჭრა. ეს გაკვეთილი არის თემის ლოგიკური გაგრძელება და მასში დეტალურად გავაანალიზებ ტიპურ ამოცანებს, რომლებიც იყენებენ ვექტორების სკალარული ნამრავლს. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი აქტივობა.. ეცადეთ, არ გამოტოვოთ მაგალითები, მათ მოყვება სასარგებლო ბონუსი - პრაქტიკა დაგეხმარებათ გააერთიანოთ თქვენს მიერ გაშუქებული მასალა და უკეთ გადაჭრათ საერთო პრობლემები. ანალიტიკური გეომეტრია.
ვექტორების შეკრება, ვექტორის გამრავლება რიცხვზე.... გულუბრყვილო იქნება ვიფიქროთ, რომ მათემატიკოსებს სხვა რამე არ მოუგონიათ. გარდა უკვე განხილული მოქმედებებისა, არსებობს მრავალი სხვა ოპერაციები ვექტორებით, კერძოდ: ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი, ვექტორების ვექტორული ნამრავლიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი. ვექტორების სკალარული ნამრავლი ჩვენთვის ცნობილია სკოლიდან, დანარჩენი ორი პროდუქტი ტრადიციულად უმაღლესი მათემატიკის კურსს მიეკუთვნება. თემები მარტივია, ბევრი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი პირდაპირი და გასაგები. ერთადერთი რამ. არსებობს ინფორმაციის სოლიდური რაოდენობა, ამიტომ არასასურველია ყველაფრის ერთდროულად დაუფლებისა და ამოხსნის მცდელობა. ეს განსაკუთრებით ეხება დუმს, მერწმუნეთ, ავტორს აბსოლუტურად არ სურს მათემატიკიდან თავი იგრძნოს ჩიკატილოზე. რა თქმა უნდა, არც მათემატიკიდან =) უფრო მომზადებულ სტუდენტებს შეუძლიათ გამოიყენონ მასალები შერჩევით, გარკვეული გაგებით, "მიიღონ" დაკარგული ცოდნა, შენთვის მე ვიქნები უვნებელი გრაფი დრაკულა =)
ბოლოს გავაღოთ კარი და ენთუზიაზმით ვუყუროთ რა ხდება, როცა ორი ვექტორი ხვდება ერთმანეთს...
ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტება.
სკალარული პროდუქტის თვისებები. ტიპიური ამოცანები
წერტილი პროდუქტის კონცეფცია
ჯერ შესახებ კუთხე ვექტორებს შორის. ვფიქრობ, ყველას ინტუიციურად ესმის, რა არის კუთხე ვექტორებს შორის, მაგრამ ყოველი შემთხვევისთვის, ცოტა უფრო დეტალურად. განვიხილოთ თავისუფალი არანულოვანი ვექტორები და . თუ ამ ვექტორებს დახაზავთ თვითნებური წერტილიდან, მიიღებთ სურათს, რომელიც ბევრს უკვე გონებრივად წარმოუდგენია: 
ვაღიარებ, აქ მე აღვწერე სიტუაცია მხოლოდ გაგების დონეზე. თუ თქვენ გჭირდებათ ვექტორებს შორის კუთხის მკაცრი განსაზღვრა, გთხოვთ მიმართოთ სახელმძღვანელოს პრაქტიკული ამოცანების შესახებ, პრინციპში, ეს არ გვჭირდება. ასევე აქ და აქ მე იგნორირებას მოვახდენ ნულოვან ვექტორებს ადგილებზე მათი დაბალი პრაქტიკული მნიშვნელობის გამო. მე გავაკეთე დაჯავშნა სპეციალურად საიტის მოწინავე ვიზიტორებისთვის, რომლებმაც შეიძლება მსაყვედურონ ზოგიერთი შემდგომი განცხადების თეორიული არასრულყოფილების გამო.
შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0-დან 180 გრადუსამდე (0-დან რადიანამდე), მათ შორის. ანალიტიკურად, ეს ფაქტი ორმაგი უტოლობის სახით იწერება:
ან 
(რადიანებში). ლიტერატურაში კუთხის სიმბოლო ხშირად გამოტოვებულია და უბრალოდ იწერება.
განმარტება:ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ამ ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსების ნამრავლის: 
ახლა ეს საკმაოდ მკაცრი განმარტებაა.
ჩვენ ყურადღებას ვამახვილებთ არსებით ინფორმაციას:
აღნიშვნა:სკალარული პროდუქტი აღინიშნება ან უბრალოდ.
ოპერაციის შედეგი არის NUMBER: ვექტორი მრავლდება ვექტორზე და შედეგი არის რიცხვი. მართლაც, თუ ვექტორების სიგრძე რიცხვებია, კუთხის კოსინუსი არის რიცხვი, მაშინ მათი ნამრავლი 
ასევე იქნება რიცხვი.
გახურების რამდენიმე მაგალითი:
მაგალითი 1
გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას 
. ამ შემთხვევაში:
პასუხი:
კოსინუსების მნიშვნელობები შეგიძლიათ იხილოთ ტრიგონომეტრიული ცხრილი. მის დაბეჭდვას გირჩევთ - კოშკის თითქმის ყველა მონაკვეთში იქნება საჭირო და ბევრჯერ დასჭირდება.
წმინდად თან მათემატიკური წერტილითვალსაზრისით, სკალარული პროდუქტი განზომილებიანია, ანუ შედეგი, ამ შემთხვევაში, მხოლოდ რიცხვია და ეს არის. ფიზიკის პრობლემების თვალსაზრისით, სკალარული პროდუქტი ყოველთვის აქვს გარკვეული ფიზიკური მნიშვნელობა, ანუ შედეგის შემდეგ უნდა იყოს მითითებული ერთი ან სხვა ფიზიკური ერთეული. კანონიკური მაგალითიროგორ გამოვთვალოთ ძალის მუშაობა, შეგიძლიათ ნახოთ ნებისმიერ სახელმძღვანელოში (ფორმულა არის ზუსტად სკალარული ნამრავლი). ძალის მუშაობა იზომება ჯოულებში, შესაბამისად, პასუხი დაიწერება საკმაოდ კონკრეტულად, მაგალითად, .
მაგალითი 2
იპოვე თუ 
, ხოლო ვექტორებს შორის კუთხე უდრის .
ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება, პასუხი არის გაკვეთილის ბოლოს.
კუთხე ვექტორებსა და წერტილოვანი პროდუქტის მნიშვნელობას შორის
მაგალით 1-ში სკალარული პროდუქტი აღმოჩნდა დადებითი, ხოლო მაგალით 2-ში უარყოფითი. მოდით გავარკვიოთ, რაზეა დამოკიდებული ნიშანი წერტილოვანი პროდუქტი. მოდით შევხედოთ ჩვენს ფორმულას: 
. არანულოვანი ვექტორების სიგრძე ყოველთვის დადებითია: , ასე რომ ნიშანი შეიძლება მხოლოდ კოსინუსის მნიშვნელობაზე იყოს დამოკიდებული.
შენიშვნა: ქვემოთ მოყვანილი ინფორმაციის უკეთ გასაგებად, უმჯობესია შეისწავლოთ სახელმძღვანელოში მოცემული კოსინუს გრაფიკი ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. ნახეთ, როგორ იქცევა კოსინუსი სეგმენტზე.
როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ვექტორებს შორის კუთხე შეიძლება განსხვავდებოდეს შიგნით 
და შესაძლებელია შემდეგი შემთხვევები:
1) თუ კუთხევექტორებს შორის ცხარე: 
(0-დან 90 გრადუსამდე), შემდეგ 
, და წერტილის პროდუქტი დადებითი იქნება თანარეჟისორი, მაშინ მათ შორის კუთხე განიხილება ნულოვანი და სკალარული პროდუქტი ასევე დადებითი იქნება. ვინაიდან ფორმულა ამარტივებს: .
2) თუ კუთხევექტორებს შორის ბლაგვი: 
(90-დან 180 გრადუსამდე), შემდეგ 
და, შესაბამისად, წერტილოვანი პროდუქტი უარყოფითია: . განსაკუთრებული შემთხვევა: თუ ვექტორები საპირისპირო მიმართულებები, მაშინ განიხილება მათ შორის კუთხე გაფართოვდა: (180 გრადუსი). სკალარული პროდუქტი ასევე უარყოფითია, ვინაიდან
საპირისპირო განცხადებები ასევე მართალია:
1) თუ , მაშინ ამ ვექტორებს შორის კუთხე მკვეთრია. ალტერნატიულად, ვექტორები თანამიმართულია.
2) თუ , მაშინ ამ ვექტორებს შორის კუთხე ბლაგვია. გარდა ამისა, ვექტორები საპირისპირო მიმართულებით არიან.
მაგრამ მესამე შემთხვევა განსაკუთრებით საინტერესოა:
3) თუ კუთხევექტორებს შორის პირდაპირი: (90 გრადუსი), მაშინ სკალარული პროდუქტი ნულის ტოლია: . პირიქითაც მართალია: თუ , მაშინ . განცხადება შეიძლება კომპაქტურად ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები ორთოგონალურია. მოკლე მათემატიკური აღნიშვნა: 
! შენიშვნა
: გავიმეოროთ მათემატიკური ლოგიკის საფუძვლები: ორმხრივი ლოგიკური შედეგის ხატულა ჩვეულებრივ იკითხება "თუ და მხოლოდ თუ", "თუ და მხოლოდ თუ". როგორც ხედავთ, ისრები მიმართულია ორივე მიმართულებით - ”აქედან მოჰყვება ეს და პირიქით - აქედან მოჰყვება ამას”. სხვათა შორის, რა განსხვავებაა ცალმხრივი მიყოლის ხატისაგან? ხატი აცხადებს მხოლოდ ის, რომ „აქედან გამომდინარეობს ეს“ და ფაქტი არ არის, რომ პირიქითაა. მაგალითად: , მაგრამ ყველა ცხოველი არ არის პანტერა, ამიტომ ამ შემთხვევაში ხატის გამოყენება არ შეიძლება. ამავე დროს, ხატის ნაცვლად შეუძლიაგამოიყენეთ ცალმხრივი ხატულა. მაგალითად, ამოცანის ამოხსნისას გავარკვიეთ, რომ დავასკვენით, რომ ვექტორები ორთოგონალურია: 
- ასეთი ჩანაწერი იქნება სწორი და უფრო მიზანშეწონილი, ვიდრე 
.
მესამე შემთხვევას დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს, რადგან ის საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ ვექტორები ორთოგონალურია თუ არა. ამ პრობლემას გაკვეთილის მეორე ნაწილში მოვაგვარებთ.
წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები
დავუბრუნდეთ სიტუაციას, როდესაც ორი ვექტორი თანარეჟისორი. ამ შემთხვევაში, მათ შორის კუთხე არის ნული, და სკალარული პროდუქტის ფორმულა იღებს ფორმას: .
რა მოხდება, თუ ვექტორი თავის თავზე მრავლდება? ნათელია, რომ ვექტორი შეესაბამება საკუთარ თავს, ამიტომ ვიყენებთ ზემოთ გამარტივებულ ფორმულას:
ნომერზე იწოდება სკალარული კვადრატივექტორი და აღინიშნება როგორც .
ამრიგად, ვექტორის სკალარული კვადრატი უდრის მოცემული ვექტორის სიგრძის კვადრატს:
ამ თანასწორობიდან შეგვიძლია მივიღოთ ვექტორის სიგრძის გამოსათვლელი ფორმულა:
ჯერჯერობით გაურკვეველი ჩანს, მაგრამ გაკვეთილის მიზნები ყველაფერს თავის ადგილზე დააყენებს. პრობლემების გადასაჭრელად ჩვენც გვჭირდება წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები.
თვითნებური ვექტორებისთვის და ნებისმიერი რიცხვისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:
1) – შემცვლელი ან შემცვლელისკალარული პროდუქტის კანონი.
2) 
– განაწილება ან გამანაწილებელისკალარული პროდუქტის კანონი. უბრალოდ, შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები.
3) 
– ასოციაციური ან ასოციაციურისკალარული პროდუქტის კანონი. მუდმივი შეიძლება იყოს მიღებული სკალარული პროდუქტიდან.
ხშირად, ყველა სახის თვისება (რომელიც ასევე საჭიროებს დამტკიცებას!) სტუდენტების მიერ აღიქმება, როგორც არასაჭირო ნაგავი, რომლის დამახსოვრება და უსაფრთხოდ დავიწყება მხოლოდ გამოცდის შემდეგ დაუყოვნებლივ უნდა. როგორც ჩანს, რაც აქ მნიშვნელოვანია, ყველამ უკვე პირველი კლასიდან იცის, რომ ფაქტორების გადალაგება პროდუქტს არ ცვლის: . უნდა გაგაფრთხილო, რომ უმაღლეს მათემატიკაში ასეთი მიდგომით საქმის არევა ადვილია. ასე რომ, მაგალითად, კომუტაციური თვისება არ შეესაბამება სიმართლეს ალგებრული მატრიცები. ის ასევე არ შეესაბამება სიმართლეს ვექტორების ვექტორული ნამრავლი. ამიტომ, მინიმუმ, უმჯობესია ჩავუღრმავდეთ ნებისმიერ თვისებას, რომელსაც შეგხვდებათ უმაღლესი მათემატიკის კურსზე, რათა გაიგოთ, რისი გაკეთება შეგიძლიათ და რისი გაკეთება არ შეგიძლიათ.
მაგალითი 3
.
გამოსავალი:ჯერ განვმარტოთ სიტუაცია ვექტორთან დაკავშირებით. ეს მაინც რა არის? ვექტორთა ჯამი არის კარგად განსაზღვრული ვექტორი, რომელიც აღინიშნება . ვექტორებთან მოქმედებების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში ვექტორები დუმებისთვის. იგივე ოხრახუში ვექტორთან არის ვექტორების ჯამი და .
ასე რომ, პირობის მიხედვით, საჭიროა სკალარული პროდუქტის პოვნა. თეორიულად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ სამუშაო ფორმულა 
, მაგრამ უბედურება ის არის, რომ ჩვენ არ ვიცით ვექტორების სიგრძე და მათ შორის კუთხე. მაგრამ პირობა იძლევა მსგავს პარამეტრებს ვექტორებისთვის, ამიტომ ჩვენ სხვა მარშრუტს მივიღებთ:
(1) ჩაანაცვლეთ ვექტორების გამოსახულებები.
(2) ფრჩხილებს ვხსნით მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით, სტატიაში შეგიძლიათ ნახოთ ვულგარული ენის ტრიალი რთული რიცხვებიან წილადი-რაციონალური ფუნქციის ინტეგრირება. არ გავიმეორო =) სხვათა შორის, სკალარული პროდუქტის გამანაწილებელი თვისება საშუალებას გვაძლევს გავხსნათ ფრჩხილები. ჩვენ გვაქვს უფლება.
(3) პირველ და ბოლო ტერმინებში ჩვენ კომპაქტურად ვწერთ ვექტორების სკალარული კვადრატებს: 
. მეორე ტერმინში ვიყენებთ სკალარული ნამრავლის ცვალებადობას: .
(4) წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს: .
(5) პირველ ტერმინში ვიყენებთ სკალარული კვადრატის ფორმულას, რომელიც არც ისე დიდი ხნის წინ იყო ნახსენები. ბოლო ტერმინში, შესაბამისად, იგივე მუშაობს: . მეორე ტერმინს ვაფართოვებთ სტანდარტული ფორმულის მიხედვით 
.
(6) ჩაანაცვლეთ ეს პირობები 
, და ფრთხილად განახორციელეთ საბოლოო გამოთვლები.
პასუხი:
უარყოფითი მნიშვნელობასკალარული ნამრავლი აღნიშნავს იმ ფაქტს, რომ ვექტორებს შორის კუთხე ბლაგვია.
პრობლემა ტიპიურია, აქ არის მაგალითი საკუთარი თავის გადასაჭრელად:
მაგალითი 4
იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი და თუ ცნობილია, რომ 
.
ახლა კიდევ ერთი საერთო დავალება, მხოლოდ ვექტორის სიგრძის ახალი ფორმულისთვის. აქ აღნიშვნა ოდნავ გადაფარვითი იქნება, ამიტომ სიცხადისთვის მას სხვა ასოთი გადავწერ:
მაგალითი 5
იპოვეთ ვექტორის სიგრძე თუ 
.
გამოსავალიიქნება შემდეგი:
(1) ჩვენ ვაძლევთ გამონათქვამს ვექტორისთვის.
(2) ჩვენ ვიყენებთ სიგრძის ფორმულას: , და მთელი გამოხატულება ve მოქმედებს როგორც ვექტორი "ve".
(3) ვიყენებთ სკოლის ფორმულას ჯამის კვადრატისთვის. დააკვირდით, როგორ მუშაობს აქ კურიოზულად: - სინამდვილეში, ეს არის განსხვავების კვადრატი და, ფაქტობრივად, ასეა. მსურველებს შეუძლიათ გადააწყონ ვექტორები: - იგივე ხდება, ტერმინების გადალაგებამდე.
(4) რაც შემდეგშია უკვე ნაცნობი ორი წინა პრობლემისგან.
პასუხი: 
ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ სიგრძეზე, არ უნდა დაგვავიწყდეს მიუთითოთ განზომილება - "ერთეულები".
მაგალითი 6
იპოვეთ ვექტორის სიგრძე თუ 
.
ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.
ჩვენ ვაგრძელებთ სასარგებლო ნივთების გამოდევნას წერტილოვანი პროდუქტიდან. მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ჩვენს ფორმულას 
. პროპორციის წესის გამოყენებით, ჩვენ ვაბრუნებთ ვექტორების სიგრძეს მარცხენა მხარის მნიშვნელზე: 
მოდით გავცვალოთ ნაწილები: 
რა აზრი აქვს ამ ფორმულას? თუ ცნობილია ორი ვექტორის სიგრძე და მათი სკალარული ნამრავლი, მაშინ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი და, შესაბამისად, თავად კუთხე.
წერტილოვანი პროდუქტი რიცხვია? ნომერი. არის თუ არა ვექტორული სიგრძე რიცხვები? ნომრები. ეს ნიშნავს, რომ წილადიც არის რიცხვი. და თუ ცნობილია კუთხის კოსინუსი: 
, შემდეგ შებრუნებული ფუნქციის გამოყენებით ადვილია თავად კუთხის პოვნა: 
.
მაგალითი 7
იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის და თუ ცნობილია, რომ .
გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:
გამოთვლების დასკვნით ეტაპზე გამოიყენეს ტექნიკური ტექნიკა - მნიშვნელში ირაციონალურობის აღმოფხვრა. ირაციონალურობის აღმოსაფხვრელად მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლე.
ასე რომ, თუ 
, ეს: 
ინვერსიული მნიშვნელობები ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიშეიძლება მოიძებნოს ტრიგონომეტრიული ცხრილი. მიუხედავად იმისა, რომ ეს იშვიათად ხდება. ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში ბევრად უფრო ხშირად რაღაც მოუხერხებელი დათვი მოსწონს და კუთხის მნიშვნელობა დაახლოებით კალკულატორის გამოყენებით უნდა მოიძებნოს. სინამდვილეში, ასეთ სურათს არაერთხელ ვიხილავთ.
პასუხი: 
კიდევ ერთხელ, არ დაგავიწყდეთ მიუთითოთ ზომები - რადიანები და გრადუსები. პირადად, იმისთვის, რომ აშკარად "ყველა კითხვა გადაჭრას", მირჩევნია ორივე მივუთითო (თუ პირობა, რა თქმა უნდა, არ მოითხოვს პასუხის წარმოდგენას მხოლოდ რადიანებით ან მხოლოდ გრადუსით).
ახლა თქვენ შეგიძლიათ დამოუკიდებლად გაუმკლავდეთ უფრო რთულ ამოცანას:
მაგალითი 7*
მოცემულია ვექტორების სიგრძე და მათ შორის კუთხე. იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის, .
ამოცანა არც ისე რთულია, რამდენადაც მრავალსაფეხურიანია.
მოდით შევხედოთ ამოხსნის ალგორითმს:
1) პირობის მიხედვით, თქვენ უნდა იპოვოთ კუთხე ვექტორებს შორის და ასე რომ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა 
.
2) იპოვეთ სკალარული ნამრავლი (იხ. მაგალითები No3, 4).
3) იპოვეთ ვექტორის სიგრძე და ვექტორის სიგრძე (იხ. მაგალითები No5, 6).
4) ამოხსნის დასასრული ემთხვევა მაგალითს No7 - ჩვენ ვიცით რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ ადვილია თავად კუთხის პოვნა: 
მოკლე გამოსავალი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.
გაკვეთილის მეორე ნაწილი ეთმობა იმავე სკალარულ პროდუქტს. კოორდინატები. ეს კიდევ უფრო ადვილი იქნება, ვიდრე პირველ ნაწილში.
ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი,
კოორდინატებით მოცემულია ორთონორმალური საფუძველზე
პასუხი:
ზედმეტია იმის თქმა, რომ კოორდინატებთან ურთიერთობა გაცილებით სასიამოვნოა.
მაგალითი 14
იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი და თუ
ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ოპერაციების ასოციაციურობა, ანუ არ დათვალოთ, მაგრამ დაუყოვნებლივ აიღოთ სამმაგი სკალარული პროდუქტის გარეთ და გაამრავლოთ მასზე ბოლოს. გამოსავალი და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.
განყოფილების ბოლოს, პროვოკაციული მაგალითი ვექტორის სიგრძის გამოთვლის შესახებ:
მაგალითი 15
იპოვეთ ვექტორების სიგრძე 
, თუ
გამოსავალი:წინა ნაწილის მეთოდი კიდევ ერთხელ გვთავაზობს თავის თავს: მაგრამ არსებობს სხვა გზა:
ვიპოვოთ ვექტორი:
და მისი სიგრძე ტრივიალური ფორმულის მიხედვით 
:
წერტილოვანი პროდუქტი აქ საერთოდ არ არის აქტუალური!
ასევე არ არის გამოსადეგი ვექტორის სიგრძის გაანგარიშებისას:
გაჩერდი. არ უნდა ვისარგებლოთ ვექტორის სიგრძის აშკარა თვისებით? რას იტყვით ვექტორის სიგრძეზე? ეს ვექტორი ვექტორზე 5-ჯერ გრძელია. მიმართულება საპირისპიროა, მაგრამ ამას არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან ჩვენ ვსაუბრობთ სიგრძეზე. ცხადია, ვექტორის სიგრძე ნამრავლის ტოლია მოდულირიცხვები ვექტორის სიგრძეზე:
– მოდულის ნიშანი „ჭამს“ რიცხვის შესაძლო მინუსს.
ამრიგად:
პასუხი:
ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულა, რომლებიც მითითებულია კოორდინატებით
ახლა ჩვენ გვაქვს სრული ინფორმაცია ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსისთვის ადრე მიღებული ფორმულის გამოსაყენებლად 
გამოხატეთ ვექტორული კოორდინატების საშუალებით:
სიბრტყის ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსიდა, მითითებული ორთონორმალურ საფუძველზე, გამოხატული ფორმულით:
.
სივრცის ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი, მითითებული ორთონორმალურ საფუძველზე, გამოხატული ფორმულით: 
მაგალითი 16
მოცემულია სამკუთხედის სამი წვერო. იპოვეთ (ვერტექსის კუთხე).
გამოსავალი:პირობების მიხედვით, ნახაზი არ არის საჭირო, მაგრამ მაინც: 
საჭირო კუთხე აღინიშნება მწვანე რკალით. დაუყოვნებლივ გავიხსენოთ კუთხის სკოლის აღნიშვნა: – განსაკუთრებული ყურადღება საშუალოასო - ეს არის ჩვენთვის საჭირო კუთხის წვერო. მოკლედ, შეგიძლიათ უბრალოდ დაწეროთ.
ნახაზიდან აშკარად ჩანს, რომ სამკუთხედის კუთხე ემთხვევა ვექტორებს შორის კუთხეს და სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: 
.
მიზანშეწონილია ისწავლოთ ანალიზის გონებრივად ჩატარება.
მოდი ვიპოვოთ ვექტორები: 
მოდით გამოვთვალოთ სკალარული პროდუქტი:
და ვექტორების სიგრძე: 
კუთხის კოსინუსი:
ზუსტად ეს არის დავალების შესრულების თანმიმდევრობა, რომელსაც მე გირჩევ დუიმებს. უფრო მოწინავე მკითხველებს შეუძლიათ დაწერონ გამოთვლები "ერთ ხაზზე": 
აქ არის "ცუდი" კოსინუსური მნიშვნელობის მაგალითი. შედეგად მიღებული მნიშვნელობა არ არის საბოლოო, ამიტომ მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორებას აზრი არ აქვს.
მოდი ვიპოვოთ თავად კუთხე:
თუ ნახატს დააკვირდებით, შედეგი საკმაოდ დამაჯერებელია. შესამოწმებლად, კუთხე ასევე შეიძლება გაიზომოს პროტრატორით. არ დააზიანოთ მონიტორის საფარი =)
პასუხი: 
პასუხში ეს არ გვავიწყდება იკითხა სამკუთხედის კუთხის შესახებ(და არა ვექტორებს შორის კუთხის შესახებ), არ დაგავიწყდეთ მიუთითოთ ზუსტი პასუხი: და კუთხის სავარაუდო მნიშვნელობა: 
, ნაპოვნია კალკულატორის გამოყენებით.
მათ, ვინც სარგებლობდა პროცესით, შეუძლია გამოთვალოს კუთხეები და გადაამოწმოს კანონიკური თანასწორობის მართებულობა
მაგალითი 17
სამკუთხედი სივრცეში განისაზღვრება მისი წვეროების კოორდინატებით. იპოვეთ კუთხე გვერდებს შორის და
ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს
მოკლე საბოლოო განყოფილება დაეთმობა პროგნოზებს, რომლებიც ასევე მოიცავს სკალარულ პროდუქტს:
ვექტორის პროექცია ვექტორზე. ვექტორის პროექცია კოორდინატულ ღერძებზე.
ვექტორის მიმართულების კოსინუსები
განვიხილოთ ვექტორები და: 
მოდი ვექტორი ვექტორზე დავაპროექტოთ, რომ ეს გავაკეთოთ, ვექტორის დასაწყისიდან და ბოლოდან გამოვტოვებთ პერპენდიკულარებივექტორამდე (მწვანე წერტილოვანი ხაზები). წარმოიდგინეთ, რომ სინათლის სხივები პერპენდიკულარულად ეცემა ვექტორზე. მაშინ სეგმენტი (წითელი ხაზი) იქნება ვექტორის "ჩრდილი". ამ შემთხვევაში, ვექტორის პროექცია ვექტორზე არის სეგმენტის სიგრძე. ანუ პროექცია არის რიცხვი.
ეს რიცხვი შემდეგნაირად აღინიშნება: , „დიდი ვექტორი“ აღნიშნავს ვექტორს რომელიპროექტი, „მცირე ქვესკრიპტის ვექტორი“ აღნიშნავს ვექტორს ჩართულიარომელიც დაპროექტებულია.
თავად ჩანაწერი ასე იკითხება: "ვექტორის "a" პროექცია ვექტორზე "be".
რა მოხდება, თუ ვექტორი "be" არის "ძალიან მოკლე"? ვხატავთ სწორ ხაზს, რომელიც შეიცავს ვექტორს "be". და ვექტორი "a" უკვე დაპროექტებული იქნება ვექტორის "იყოს" მიმართულებით, უბრალოდ - სწორ ხაზამდე, რომელიც შეიცავს ვექტორს "be". იგივე მოხდება, თუ ვექტორი "a" გადაიდება ოცდამეათე სამეფოში - ის მაინც ადვილად იქნება დაპროექტებული სწორ ხაზზე, რომელიც შეიცავს ვექტორს "be".
თუ კუთხევექტორებს შორის ცხარე(როგორც სურათზე), მაშინ
თუ ვექტორები ორთოგონალური, მაშინ (პროექცია არის წერტილი, რომლის ზომები ითვლება ნულამდე).
თუ კუთხევექტორებს შორის ბლაგვი(სურათზე, გონებრივად გადაანაწილეთ ვექტორული ისარი), შემდეგ (იგივე სიგრძე, მაგრამ აღებული მინუს ნიშნით).
მოდით გამოვსახოთ ეს ვექტორები ერთი წერტილიდან: 
ცხადია, როდესაც ვექტორი მოძრაობს, მისი პროექცია არ იცვლება
კუთხე ვექტორებს შორის
განვიხილოთ ორი მოცემული ვექტორი $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$. მოდით გამოვაკლოთ ვექტორები $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ და $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ თვითნებურად არჩეულ $O$ წერტილს, მაშინ კუთხე $AOB$ ეწოდება. კუთხე $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ ვექტორებს შორის (ნახ. 1).
სურათი 1.
აქვე გაითვალისწინეთ, რომ თუ ვექტორები $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ თანამიმართულები არიან ან ერთ-ერთი მათგანი ნულოვანი ვექტორია, მაშინ ვექტორებს შორის კუთხე არის $0^0$.
აღნიშვნა: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$
ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის კონცეფცია
მათემატიკურად, ეს განმარტება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
წერტილოვანი პროდუქტი შეიძლება იყოს ნული ორ შემთხვევაში:
თუ ერთ-ერთი ვექტორი არის ნულოვანი ვექტორი (მაშ, მისი სიგრძე ნულის ტოლია).
თუ ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულურია (ანუ $cos(90)^0=0$).
ასევე გაითვალისწინეთ, რომ სკალარული ნამრავლი არის ნულზე მეტი, თუ კუთხე ამ ვექტორებს შორის მკვეთრია (რადგან $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , და ნულზე ნაკლები, თუ ამ ვექტორებს შორის კუთხე ბლაგვია (რადგან $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )
სკალარული პროდუქტის კონცეფციასთან არის დაკავშირებული სკალარული კვადრატის კონცეფცია.
განმარტება 2
$\overrightarrow(a)$ ვექტორის სკალარული კვადრატი არის ამ ვექტორის სკალარული ნამრავლი საკუთარ თავთან.
ჩვენ ვხვდებით, რომ სკალარული კვადრატი ტოლია
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a) )\მარჯვნივ
წერტილის ნამრავლის გამოთვლა ვექტორული კოორდინატებიდან
გარდა სკალარული პროდუქტის მნიშვნელობის პოვნის სტანდარტული გზით, რომელიც გამომდინარეობს განმარტებიდან, არსებობს კიდევ ერთი გზა.
განვიხილოთ.
დაე, ვექტორებს $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ ჰქონდეთ კოორდინატები $\left(a_1,b_1\right)$ და $\left(a_2,b_2\right)$, შესაბამისად.
თეორემა 1
$\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ ვექტორების სკალარული ნამრავლი უდრის შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების ჯამს.
მათემატიკურად ეს შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]
მტკიცებულება.
თეორემა დადასტურდა.
ამ თეორემას აქვს რამდენიმე შედეგი:
დასკვნა 1: ვექტორები $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ პერპენდიკულარულია თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ $a_1a_2+b_1b_2=0$
დასკვნა 2: ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი უდრის $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$
ვექტორების სკალარული ნამრავლის თვისებები
ნებისმიერი სამი ვექტორისთვის და რეალური რიცხვისთვის $k$ ეს მართალია:
$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$
ეს თვისება გამომდინარეობს სკალარული კვადრატის განმარტებიდან (განმარტება 2).
მოგზაურობის კანონი:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.
ეს თვისება გამომდინარეობს სკალარული პროდუქტის განმარტებიდან (განმარტება 1).
გამანაწილებელი კანონი:
$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \დასრულება (ჩათვლა)
თეორემა 1-ით გვაქვს:
\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]
კომბინაციის კანონი:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \დასრულება (ჩათვლა)
თეორემა 1-ით გვაქვს:
\[\ მარცხენა (k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]
ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამოთვლის პრობლემის მაგალითი
მაგალითი 1
იპოვეთ $\overrightarrow(a)$ და $\overrightarrow(b)$ ვექტორების სკალარული ნამრავლი, თუ $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ და $\left|\overrightarrow(b)\right |= 2$ და მათ შორის კუთხე უდრის $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.
გამოსავალი.
განმარტება 1-ის გამოყენებით, მივიღებთ
$(30)^0:$-ად
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]
$(45)^0:$-ად
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]
$(90)^0:$-ად
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]
$(135)^0:$-ად
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ მარჯვნივ)=-3\sqrt(2)\]
თუ პრობლემაში ვექტორების სიგრძეც და მათ შორის კუთხეც არის წარმოდგენილი „ვერცხლის ლანგარზე“, მაშინ პრობლემის მდგომარეობა და მისი ამოხსნა ასე გამოიყურება:
მაგალითი 1.მოცემულია ვექტორები. იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი, თუ მათი სიგრძე და მათ შორის კუთხე წარმოდგენილია შემდეგი მნიშვნელობებით:
ასევე მოქმედებს სხვა განმარტება, რომელიც სრულიად ექვივალენტურია 1-ლი განმარტებისა.
განმარტება 2. ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის რიცხვი (სკალარული) ტოლი ამ ვექტორებიდან ერთ-ერთის სიგრძისა და მეორე ვექტორის პროექციის ღერძზე, რომელიც განსაზღვრულია ამ ვექტორებიდან პირველით. ფორმულა მე-2 განმარტების მიხედვით:
ამოცანას ამ ფორმულის გამოყენებით მოვაგვარებთ შემდეგი მნიშვნელოვანი თეორიული პუნქტის შემდეგ.
ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტება კოორდინატების მიხედვით
იგივე რიცხვი შეიძლება მივიღოთ, თუ გამრავლებულ ვექტორებს მიეცემათ მათი კოორდინატები.
განმარტება 3.ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი არის რიცხვი, რომელიც ტოლია მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილთა ნამრავლების ჯამს.
თვითმფრინავში
თუ ორი ვექტორი და სიბრტყეზე განისაზღვრება მათი ორით დეკარტის მართკუთხა კოორდინატები
მაშინ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლის ჯამს:
.
მაგალითი 2.იპოვეთ ვექტორის პროექციის რიცხვითი მნიშვნელობა ვექტორის პარალელურ ღერძზე.
გამოსავალი. ვექტორების სკალარული ნამრავლს ვპოულობთ მათი კოორდინატების წყვილი ნამრავლის დამატებით:
ახლა ჩვენ უნდა გავაიგივოთ მიღებული სკალარული ნამრავლი ვექტორის სიგრძის ნამრავლთან და ვექტორის პროექცია ვექტორის პარალელურ ღერძზე (ფორმულის შესაბამისად).
იპოვეთ ვექტორის სიგრძე როგორც კვადრატული ფესვიმისი კოორდინატების კვადრატების ჯამიდან:
.
ჩვენ ვქმნით განტოლებას და ვხსნით მას:
უპასუხე. საჭირო რიცხვითი მნიშვნელობა არის მინუს 8.
სივრცეში
თუ ორი ვექტორი და სივრცეში განისაზღვრება მათი სამი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატით
,
მაშინ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი ასევე უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლის ჯამს, მხოლოდ იქ უკვე სამი კოორდინატია:
.
განხილული მეთოდის გამოყენებით სკალარული პროდუქტის პოვნის ამოცანაა სკალარული პროდუქტის თვისებების ანალიზი. რადგან პრობლემაში დაგჭირდებათ განსაზღვროთ რა კუთხეს ქმნის გამრავლებული ვექტორები.
ვექტორების სკალარული ნამრავლის თვისებები
ალგებრული თვისებები
1. (კომუტაციური თვისება: გამრავლებული ვექტორების ადგილების შებრუნება არ ცვლის მათი სკალარული ნამრავლის მნიშვნელობას).
2. 
(ასოციაციური თვისება რიცხვითი ფაქტორის მიმართ: ვექტორის სკალარული ნამრავლი გამრავლებული გარკვეულ ფაქტორზე და სხვა ვექტორი ტოლია ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამრავლებული იმავე კოეფიციენტზე).
3. 
(გამანაწილებელი თვისება ვექტორთა ჯამის მიმართ: მესამე ვექტორის მიერ ორი ვექტორის ჯამის სკალარული ნამრავლი უდრის პირველი ვექტორის სკალარული ნამრავლების ჯამს მესამე ვექტორზე და მეორე ვექტორის მესამე ვექტორზე).
4. (ნულზე მეტი ვექტორის სკალარული კვადრატი), თუ არის არანულოვანი ვექტორი და, თუ არის ნულოვანი ვექტორი.
გეომეტრიული თვისებები
ჩვენ მიერ შესწავლილი ოპერაციის განმარტებებში უკვე შევეხეთ ორ ვექტორს შორის კუთხის ცნებას. დროა ამ კონცეფციის გარკვევა.
ზემოთ მოცემულ ფიგურაში შეგიძლიათ იხილოთ ორი ვექტორი, რომლებიც მიყვანილია საერთო საწყისამდე. და პირველი, რასაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ არის ის, რომ ამ ვექტორებს შორის არის ორი კუთხე - φ 1 და φ 2 . ამ კუთხიდან რომელი ჩნდება ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტებებსა და თვისებებში? განხილული კუთხეების ჯამი არის 2 π და ამიტომ ამ კუთხეების კოსინუსები ტოლია. წერტილოვანი პროდუქტის განმარტება მოიცავს მხოლოდ კუთხის კოსინუსს და არა მისი გამოხატვის მნიშვნელობას. მაგრამ თვისებები მხოლოდ ერთ კუთხეს ითვალისწინებს. და ეს არის ერთი ორი კუთხიდან, რომელიც არ აღემატება π ანუ 180 გრადუსი. ფიგურაში ეს კუთხე მითითებულია როგორც φ 1 .
1. ორი ვექტორი ეწოდება ორთოგონალური და ამ ვექტორებს შორის კუთხე სწორია (90 გრადუსი ან π /2), თუ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის ნული :
.
ორთოგონალობა ვექტორულ ალგებრაში არის ორი ვექტორის პერპენდიკულარულობა.
2. ორი არანულოვანი ვექტორი შედგება მწვავე კუთხე (0-დან 90 გრადუსამდე, ან, რაც იგივეა - ნაკლები π წერტილოვანი პროდუქტი დადებითია .
3. ორი არანულოვანი ვექტორი შედგება ბლაგვი კუთხე (90-დან 180 გრადუსამდე, ან, რაც იგივეა - მეტი π /2) თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი წერტილოვანი პროდუქტი უარყოფითია .
მაგალითი 3.კოორდინატები მოცემულია ვექტორებით:
.
გამოთვალეთ მოცემული ვექტორების ყველა წყვილის სკალარული ნამრავლები. რა კუთხეს (მწვავე, მარჯვენა, ბლაგვი) ქმნიან ვექტორების ეს წყვილი?
გამოსავალი. გამოვთვლით შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების მიმატებით.
მივიღეთ უარყოფითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან ბლაგვ კუთხეს.
მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.
მივიღეთ ნული, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მართ კუთხეს.
მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.
.
მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.
თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი .
მაგალითი 4.მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე:
.
დაადგინეთ რიცხვის რომელ მნიშვნელობზეა ვექტორები და არიან ორთოგონალური (პერპენდიკულარული).
გამოსავალი. მოდით გავამრავლოთ ვექტორები მრავალწევრების გამრავლების წესის გამოყენებით:
ახლა მოდით გამოვთვალოთ თითოეული ტერმინი:
.
შევქმნათ განტოლება (ნამრავლი ტოლია ნულის), დავამატოთ მსგავსი ტერმინები და ამოხსნათ განტოლება:
პასუხი: ჩვენ მივიღეთ ღირებულება λ = 1.8, სადაც ვექტორები ორთოგონალურია.
მაგალითი 5.დაამტკიცეთ რომ ვექტორი 
ორთოგონალური (პერპენდიკულარული) ვექტორთან
გამოსავალი. ორთოგონალურობის შესამოწმებლად, ჩვენ ვამრავლებთ ვექტორებს და როგორც მრავალწევრებს, ჩაანაცვლებს პრობლემის დებულებაში მოცემულ გამოსახულებას:
.
ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი მრავალწევრის თითოეული წევრი (ტერმინი) მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქტები:
.
შედეგად, ფრაქცია მცირდება. მიიღება შემდეგი შედეგი:
დასკვნა: გამრავლების შედეგად მივიღეთ ნული, შესაბამისად, დადასტურებულია ვექტორების ორთოგონალურობა (პერპენდიკულარულობა).
თავად მოაგვარეთ პრობლემა და შემდეგ იხილეთ გამოსავალი
მაგალითი 6.ვექტორების სიგრძე და მოცემულია და კუთხე ამ ვექტორებს შორის არის π /4. დაადგინეთ რა ღირებულებით μ ვექტორები და ერთმანეთის პერპენდიკულურია.
თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი .
ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის მატრიცული წარმოდგენა და n-განზომილებიანი ვექტორების ნამრავლი
ზოგჯერ სიცხადისთვის ხელსაყრელია ორი გამრავლებული ვექტორის წარმოდგენა მატრიცების სახით. შემდეგ პირველი ვექტორი წარმოდგენილია მწკრივის მატრიცის სახით, ხოლო მეორე, როგორც სვეტის მატრიცა:
მაშინ ვექტორების სკალარული ნამრავლი იქნება ამ მატრიცების პროდუქტი :
შედეგი იგივეა, რაც ჩვენ მიერ უკვე განხილული მეთოდით მიღებული. ჩვენ მივიღეთ ერთი რიცხვი, ხოლო მწკრივის მატრიცის ნამრავლი სვეტის მატრიცით არის ასევე ერთი რიცხვი.
მოსახერხებელია აბსტრაქტული n-განზომილებიანი ვექტორების ნამრავლის წარმოდგენა მატრიცის სახით. ამრიგად, ორი ოთხგანზომილებიანი ვექტორის ნამრავლი იქნება მწკრივის მატრიცის ნამრავლი ოთხი ელემენტით სვეტის მატრიცით ასევე ოთხი ელემენტით, ორი ხუთგანზომილებიანი ვექტორის ნამრავლი იქნება მწკრივის მატრიცის ნამრავლი ხუთი ელემენტით. სვეტის მატრიცა ასევე ხუთი ელემენტით და ა.შ.
მაგალითი 7.იპოვნეთ ვექტორთა წყვილის სკალარული ნამრავლი
,
მატრიცული წარმოდგენის გამოყენებით.
გამოსავალი. ვექტორების პირველი წყვილი. ჩვენ წარმოვადგენთ პირველ ვექტორს, როგორც მწკრივის მატრიცას, ხოლო მეორეს, როგორც სვეტის მატრიცას. ჩვენ ვპოულობთ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლს, როგორც მწკრივის მატრიცის და სვეტის მატრიცის ნამრავლს:
ჩვენ ანალოგიურად წარმოვადგენთ მეორე წყვილს და ვპოულობთ:
როგორც ხედავთ, შედეგები იგივე იყო, რაც იგივე წყვილებისთვის მე-2 მაგალითიდან.
კუთხე ორ ვექტორს შორის
ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულის წარმოშობა ძალიან ლამაზი და ლაკონურია.
ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის გამოხატვა
(1)
კოორდინატთა სახით, პირველ რიგში ვიპოვით ერთეული ვექტორების სკალარული ნამრავლს. ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთან განსაზღვრებით:
რაც წერია ზემოთ მოცემულ ფორმულაში ნიშნავს: ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთან უდრის მისი სიგრძის კვადრატს. ნულის კოსინუსი უდრის ერთს, ამიტომ თითოეული ერთეულის კვადრატი იქნება ერთის ტოლი:
ვინაიდან ვექტორები
არის წყვილი პერპენდიკულარული, მაშინ ერთეული ვექტორების წყვილი ნამრავლი იქნება ნულის ტოლი:
ახლა შევასრულოთ ვექტორული მრავალწევრების გამრავლება:
ჩვენ ვცვლით ერთეული ვექტორების შესაბამისი სკალარული პროდუქტების მნიშვნელობებს ტოლობის მარჯვენა მხარეს:
ჩვენ ვიღებთ ფორმულას ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსისთვის:
მაგალითი 8.სამი ქულაა მოცემული ა(1;1;1), ბ(2;2;1), C(2;1;2).
იპოვეთ კუთხე.
გამოსავალი. ვექტორების კოორდინატების პოვნა:
,
.
კოსინუსების კუთხის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
აქედან გამომდინარე,.
თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი .
მაგალითი 9.მოცემულია ორი ვექტორი
იპოვეთ ჯამი, განსხვავება, სიგრძე, წერტილოვანი ნამრავლი და კუთხე მათ შორის.
2.განსხვავება
1. განმარტება და უმარტივესი თვისებები. ავიღოთ არა ნულოვანი ვექტორები a და b და გამოვსახოთ ისინი თვითნებური O წერტილიდან: OA = a და OB = b. AOB კუთხის სიდიდეს ეწოდება კუთხე a და b ვექტორებს შორის და აღინიშნება (ა, ბ). თუ ორი ვექტორიდან ერთი მაინც არის ნული, მაშინ მათ შორის კუთხე, განსაზღვრებით, სწორად ითვლება. გაითვალისწინეთ, რომ განმარტებით, ვექტორებს შორის კუთხე არის არანაკლებ 0 და არა უმეტეს . უფრო მეტიც, კუთხე ორ არანულოვან ვექტორს შორის არის 0-ის ტოლი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს ვექტორები თანამიმართულები არიან და ტოლია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი საპირისპირო მიმართულებით არიან.
შევამოწმოთ, რომ ვექტორებს შორის კუთხე არ იყოს დამოკიდებული O წერტილის არჩევანზე. IN წინააღმდეგ შემთხვევაშიგადადო თვითნებური წერტილიდან O 1 ვექტორები O 1 ა 1 = ა და ო 1 IN 1 = b და გაითვალისწინეთ, რომ სამკუთხედები AOB და A 1 შესახებ 1 IN 1 ტოლია სამი მხრიდან, რადგან |OA| = |ო 1 ა 1 | = |a|, |OB| = |ო 1 IN 1 | = |ბ|, |აბ| = |ა 1 IN 1 | = |ბ–ა|. ამიტომ კუთხეები AOB და A 1 შესახებ 1 IN 1 თანაბარი არიან.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ მთავარი აზრი ამ პუნქტში
(5.1) განმარტება. ორი a და b ვექტორის სკალარული ნამრავლი (აღნიშნულია ab) არის რიცხვი 6 ტოლია ამ ვექტორების სიგრძისა და ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსების ნამრავლის. მოკლედ რომ ვთქვათ:
აბ = |ა||ბ|ქოს (ა, ბ).
სკალარული ნამრავლის პოვნის ოპერაციას ეწოდება სკალარული ვექტორის გამრავლება. თავისთან ვექტორის სკალარული ნამრავლი aa ეწოდება ამ ვექტორის სკალარული კვადრატი და აღინიშნება 2 .
(5.2) ვექტორის სკალარული კვადრატი უდრის მისი სიგრძის კვადრატს.
თუ |ა| 0, მაშინ (ა, ა) = 0, საიდანაც ა 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . თუ a = 0, მაშინ a 2 = |ა| 2 = 0.
(5.3) კოშის უტოლობა. ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლის მოდული არ აღემატება ფაქტორების მოდულის ნამრავლს: |ab| |ა||ბ|. ამ შემთხვევაში, თანასწორობა მიიღწევა, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები a და b არის კოლინარული.
განმარტებით |აბ| = ||ა||ბ|ქოს (a,b)| = |ა||ბ||ქო (a,b)| |ა||ბ. ეს ადასტურებს თავად კოშის უთანასწორობას. ახლა შევამჩნიოთ. რომ არანულოვანი ვექტორებისთვის a და b მასში ტოლობა მიიღწევა თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ |cos (a,b)| = 1, ე.ი. ზე (ა, ბ) = 0 ან (ა, ბ) = . ეს უკანასკნელი ექვივალენტურია იმისა, რომ a და b ვექტორები არიან თანამიმართული ან საპირისპირო მიმართულები, ე.ი. კოლინარული. თუ a და b ვექტორებიდან ერთი მაინც არის ნული, მაშინ ისინი ხაზოვანი და |ab| არიან = |ა||ბ| = 0.
2. სკალარული გამრავლების ძირითადი თვისებები. ეს მოიცავს შემდეგს:
(SU1) ab = ba (კომუტატიულობა);
(SU2) (xa)b = x(ab) (ასოციაციურობა);
(SU3) a(b+c) = ab + ac (განაწილება).
კომუტატიურობა აქ აშკარაა, რადგან აბ = ბა. ასევე აშკარაა ასოციაციურობა x = 0-ზე. თუ x > 0, მაშინ
(ჰა) ბ = |ჰა||ბ|ქო (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),
ამისთვის (xa,b) = (a,b) (xa და a ვექტორების თანამიმართულებიდან - სურ. 21). თუ x< 0, მაშინ
(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),
ამისთვის (xa,b) = – (a,b) (xa და a ვექტორების საპირისპირო მიმართულებიდან - სურ. 22). ამრიგად, ასოციაციურობაც დადასტურებულია.
განაწილების მტკიცება უფრო რთულია. ამისთვის გვჭირდება ასეთი
(5.4) ლემა. დავუშვათ a არის არანულოვანი ვექტორი l წრფის პარალელურად, ხოლო b თვითნებური ვექტორი. შემდეგ ორთოგონალური პროექციაბ" b ვექტორის l სწორი ხაზის ტოლია 
.
1)
<
/2. შემდეგ ვექტორები a და 
თანადადგმული (სურ. 23) და
ბ"
=
=
=
.
2) > /2. შემდეგ ვექტორები a დაბსაპირისპიროა მიმართული (სურ. 24) და
ბ"
=
–
=
–
=
.
3)
=
/2. მერებ"
=
0 და აბ
=
0, საიდანაცბ"
=
=
0.
ახლა ჩვენ ვამტკიცებთ დისტრიბუციურობას (SU3). აშკარაა, თუ ვექტორი a არის ნული. დაე ა
0. შემდეგ ვხაზავთ სწორ ხაზს l
||
ა და აღვნიშნოთბ"დაგb და c ვექტორების ორთოგონალური პროგნოზები მასზე და მეშვეობითდ" არის d = b+c ვექტორის ორთოგონალური პროექცია მასზე. თეორემა 3.5დ"
=
ბ"+
გ„ლემა 5.4-ის ბოლო ტოლობის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ ტოლობას 
=
. სკალარული გამრავლებით a-ზე, ჩვენ ვხვდებით, რომ 
2
=
, საიდანაც ad = ab+ac, რისი დამტკიცება იყო საჭირო.
ვექტორების სკალარული გამრავლების თვისებები, რომლებიც ჩვენ დავამტკიცეთ, მსგავსია რიცხვების გამრავლების შესაბამისი თვისებების. მაგრამ რიცხვების გამრავლების ყველა თვისება არ გადადის ვექტორების სკალარულ გამრავლებაზე. აქ არის ტიპიური მაგალითები:
1
2) თუ ab = ac, მაშინ ეს არ ნიშნავს, რომ b = c, თუნდაც ვექტორი a არ იყოს ნულოვანი. მაგალითი: b და c არის ერთი და იგივე სიგრძის ორი განსხვავებული ვექტორი, რომლებიც ქმნიან თანაბარ კუთხეებს a ვექტორთან (ნახ. 25).
3) არ არის მართალი, რომ a(bc) = (ab)c ყოველთვის მართალია: თუ მხოლოდ იმიტომ, რომ ასეთი ტოლობის მართებულობა bc, ab 0 გულისხმობს a და c ვექტორების კოლინარობას.
3. ვექტორთა ორთოგონალურობა. ორ ვექტორს ეწოდება ორთოგონალური, თუ მათ შორის კუთხე სწორია. ვექტორების ორთოგონალურობა მითითებულია ხატით .
როდესაც ჩვენ განვსაზღვრეთ კუთხე ვექტორებს შორის, შევთანხმდით, რომ კუთხე ნულოვან ვექტორსა და ნებისმიერ სხვა ვექტორს შორის სწორი იყო. ამიტომ ნულოვანი ვექტორი ორთოგონალურია ნებისმიერის მიმართ. ეს შეთანხმება გვაძლევს ამის დამტკიცების საშუალებას
(5.5) ტესტი ორი ვექტორის ორთოგონალურობაზე. ორი ვექტორი ორთოგონალურია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი წერტილის ნამრავლი არის 0.
დაე, a და b იყოს თვითნებური ვექტორები. თუ ერთი მათგანი მაინც არის ნული, მაშინ ისინი ორთოგონალურია და მათი სკალარული ნამრავლი 0-ის ტოლია. ამრიგად, ამ შემთხვევაში თეორემა მართალია. ახლა დავუშვათ, რომ ორივე ვექტორი არ არის ნულოვანი. განმარტებით ab = |a||b|cos (ა, ბ). ვინაიდან, ჩვენი ვარაუდით, რიცხვები |a| და |ბ| არ არის 0-ის ტოლი, მაშინ ab = 0 cos (a,b) = 0 (ა, ბ) = /2, რისი დამტკიცება იყო საჭირო.
ტოლობა ab = 0 ხშირად მიიღება ვექტორების ორთოგონალურობის დასადგენად.
(5.6) დასკვნა. თუ ვექტორი a ორთოგონალურია a ვექტორების მიმართ 1 ,…, ა ნ , მაშინ ის ორთოგონალურია მათი ნებისმიერი წრფივი კომბინაციის მიმართ.
საკმარისია აღინიშნოს, რომ თანასწორობიდან ა.ა 1 = ... = აა ნ = 0 მიჰყვება ტოლობას a(x 1 ა 1 + … +x ნ ა ნ ) = x 1 (აჰჰ 1 ) + … + x ნ (აჰჰ ნ ) = 0.
დასკვნა 5.6-დან შეგვიძლია მარტივად გამოვიტანოთ წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის სკოლის კრიტერიუმი. ფაქტობრივად, მოდით, რომელიმე ხაზი MN იყოს პერპენდიკულარული ორი გადამკვეთი წრფის AB და AC. მაშინ ვექტორი MN ორთოგონალურია AB და AC ვექტორების მიმართ. ავიღოთ ნებისმიერი სწორი ხაზი DE ABC სიბრტყეში. ვექტორი DE თანაპლენარულია არასწორხაზოვანი ვექტორების AB და AC და ამიტომ ფართოვდება მათ გასწვრივ. მაგრამ მაშინ ის ასევე ორთოგონალურია ვექტორთან MN, ანუ წრფეები MN და DE პერპენდიკულარულია. გამოდის, რომ სწორი ხაზი MN პერპენდიკულარულია ABC სიბრტყის ნებისმიერ სწორ ხაზზე, რისი დამტკიცებაც იყო საჭირო.
4. ორთონორმული ბაზები. (5.7) განმარტება. ვექტორული სივრცის საფუძველს ორთონორმალური ეწოდება, თუ, პირველ რიგში, მის ყველა ვექტორს აქვს ერთეული სიგრძე და, მეორეც, მისი ნებისმიერი ორი ვექტორი ორთოგონალურია.
ორთონორმალური საფუძვლის ვექტორები სამგანზომილებიან სივრცეში ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით i, j და k, ხოლო ვექტორულ სიბრტყეში ასოებით i და j. ორი ვექტორის ორთოგონალურობის ნიშნის და ვექტორის სკალარული კვადრატის ტოლობის გათვალისწინებით მისი სიგრძის კვადრატთან, V სივრცის საფუძვლის (i,j,k) ორთონორმალობის პირობები. 3 შეიძლება დაიწეროს ასე:
(5.8) ი 2 = ჯ 2 = კ 2 = 1, ij = ik = jk = 0,
და ვექტორული სიბრტყის საფუძველი (i,j) - ასე:
(5.9)ი 2 = ჯ 2 = 1, ij = 0.
ვთქვათ a და b ვექტორებს აქვთ V სივრცის ორთონორმალური საფუძველი (i,j,k). 3 კოორდინატები (ა 1 , ა 2 , ა 3 ) და (ბ 1 ბ 2 , ბ 3 ) შესაბამისად. მერეab = (ა 1 მე+ა 2 j+ა 3 ლ) (ბ 1 მე+ბ 2 j+b 3 ლ) = ა 1 ბ 1 მე 2 +ა 2 ბ 2 ჯ 2 +ა 3 ბ 3 კ 2 +ა 1 ბ 2 იჯ+ა 1 ბ 3 იკ+ა 2 ბ 1 ჯი+ა 2 ბ 3 ჯკ+ა 3 ბ 1 კი+ა 3 ბ 2 kj = ა 1 ბ 1 + ა 2 ბ 2 + ა 3 ბ 3 . ასე ვიღებთ a(a) ვექტორების სკალარული ნამრავლის ფორმულას 1 , ა 2 , ა 3 ) და ბ (ბ 1 ,ბ 2 ,ბ 3 ), მოცემულია მათი კოორდინატებით V სივრცის ორთონორმულ საფუძველში 3 :
(5.10) ab = a 1 ბ 1 + ა 2 ბ 2 + ა 3 ბ 3 .
ვექტორებისთვის a(a 1 , ა 2 ) და ბ (ბ 1 , ბ 2 ), ვექტორულ სიბრტყეზე მათი კოორდინატების მიხედვით ორთონორმალურ საფუძველზე, მას აქვს ფორმა
(5.11) ab = a 1 ბ 1 + ა 2 ბ 2 .
ჩავანაცვლოთ b = a ფორმულაში (5.10). გამოდის, რომ ორთონორმალურ საფუძველზე ა 2 = ა 1 2 + ა 2 2 + ა 3 2 . ვინაიდან ა 2 = |ა| 2 ვექტორის სიგრძის საპოვნელად ვიღებთ შემდეგ ფორმულას a(a 1 , ა 2 , ა 3 ), მოცემული მისი კოორდინატებით V სივრცის ორთონორმულ საფუძველში 3 :
(5.12) |ა| = 
.
ვექტორულ სიბრტყეზე, (5.11) გამო, ის იღებს ფორმას
(5.13) |ა| = 
.
b = i, b = j, b = k ფორმულაში (5.10) ჩანაცვლებით, მივიღებთ კიდევ სამ სასარგებლო ტოლობას:
(5.14) ai = a 1 , aj = ა 2 , აკ = ა 3 .
კოორდინატთა ფორმულების სიმარტივე ვექტორების სკალარული ნამრავლისა და ვექტორის სიგრძის საპოვნელად ორთონორმალური ფუძეების მთავარი უპირატესობაა. არაორთონორმალური ბაზებისთვის ეს ფორმულები, ზოგადად რომ ვთქვათ, არასწორია და მათი გამოყენება ამ შემთხვევაში უხეში შეცდომაა.
5. მიმართულების კოსინუსები. ავიღოთ V სივრცის ორთონორმალური საფუძველი (i,j,k). 3 ვექტორი a (a 1 , ა 2 , ა 3 ). მერეai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (ა, ი).მეორე მხრივ, ai = a 1 ფორმულის მიხედვით 5.14. თურმე
(5.15) ა 1 = |ა|ქო (ა, ი).
და, ანალოგიურად,
ა 2 = |ა|ქო (a,j) და 3 = |ა|ქო (ა, კ).
თუ ვექტორი a არის ერთეული, ეს სამი ტოლობა იღებს განსაკუთრებით მარტივ ფორმას:
(5.16) ა 1 = cos (ა, მე),ა 2 = cos (a, j),ა 3 = cos (ა, კ).
ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხეების კოსინუსებს ორთონორმალური საფუძვლის ვექტორებთან ერთად ამ ვექტორის მიმართულების კოსინუსებს უწოდებენ ამ საფუძველში. როგორც ფორმულები 5.16 გვიჩვენებს, ერთეული ვექტორის კოორდინატები ორთონორმალურ საფუძველზე უდრის მისი მიმართულების კოსინუსებს.
5.15-დან გამომდინარეობს, რომ ა 1 2 + ა 2 2 + ა 3 2 = |ა| 2 (კოს 2 (a,i)+cos 2 (a,j) +cos 2 (ა, კ)). მეორე მხრივ, ა 1 2 + ა 2 2 + ა 3 2 = |ა| 2 . თურმე
(5.17) არანულოვანი ვექტორის მიმართულების კოსინუსების კვადრატების ჯამი 1-ის ტოლია.
ეს ფაქტი შეიძლება სასარგებლო იყოს ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად.
(5.18) პრობლემა. მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალი 60-იან კუთხეებს ქმნის, მისი ორი კიდე ერთი და იმავე წვეროდან გამოდის. . რა კუთხეს ქმნის ის ამ წვეროდან გამოსული მესამე კიდით?
განვიხილოთ V სივრცის ორთონორმალური საფუძველი 3
, რომლის ვექტორები გამოსახულია მოცემული წვეროდან გაშლილი პარალელეპიპედის კიდეებით. ვინაიდან დიაგონალური ვექტორი ქმნის 60-იან კუთხეებს ამ საფუძვლის ორი ვექტორით
, მისი სამი მიმართულების კოსინუსებიდან ორის კვადრატები უდრის cos-ს 2
60
= 1/4. მაშასადამე, მესამე კოსინუსის კვადრატი უდრის 1/2-ს, ხოლო თავად ეს კოსინუსი უდრის 1/-ს. 
. ეს ნიშნავს, რომ საჭირო კუთხე არის 45
.
ლექცია: ვექტორული კოორდინატები; ვექტორების სკალარული ნამრავლი; კუთხე ვექტორებს შორის
ვექტორული კოორდინატები
ასე რომ, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ვექტორი არის მიმართული სეგმენტი, რომელსაც აქვს საკუთარი დასაწყისი და დასასრული. თუ დასაწყისი და დასასრული წარმოდგენილია გარკვეული წერტილებით, მაშინ მათ აქვთ საკუთარი კოორდინატები სიბრტყეზე ან სივრცეში.
თუ თითოეულ წერტილს აქვს თავისი კოორდინატები, მაშინ შეგვიძლია მივიღოთ მთელი ვექტორის კოორდინატები.
ვთქვათ, გვაქვს ვექტორი, რომლის დასაწყისსა და დასასრულს აქვს შემდეგი აღნიშვნები და კოორდინატები: A(A x ; Ay) და B(B x ; By)
მოცემული ვექტორის კოორდინატების მისაღებად აუცილებელია საწყისის შესაბამისი კოორდინატები გამოვაკლოთ ვექტორის ბოლო კოორდინატებს:
სივრცეში ვექტორის კოორდინატების დასადგენად გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა:
ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი
სკალარული პროდუქტის კონცეფციის განსაზღვრის ორი გზა არსებობს:
- გეომეტრიული მეთოდი. მისი მიხედვით, სკალარული პროდუქტი უდრის ამ მოდულების მნიშვნელობების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის კოსინუსს.
- ალგებრული მნიშვნელობა. ალგებრის თვალსაზრისით, ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის გარკვეული რაოდენობა, რომელიც მიღებულია შესაბამისი ვექტორების ნამრავლების ჯამის შედეგად.
თუ ვექტორები მოცემულია სივრცეში, მაშინ უნდა გამოიყენოთ მსგავსი ფორმულა:
თვისებები:
- თუ ორ იდენტურ ვექტორს სკალარულად გაამრავლებთ, მაშინ მათი სკალარული ნამრავლი არ იქნება უარყოფითი:
- თუ ორი იდენტური ვექტორის სკალარული ნამრავლი აღმოჩნდება ნულის ტოლი, მაშინ ეს ვექტორები ითვლება ნულად:
- თუ გარკვეული ვექტორი თავისთავად მრავლდება, მაშინ სკალარული ნამრავლი უდრის მისი მოდულის კვადრატს:
- სკალარული პროდუქტის კომუნიკაციური თვისებაა, ანუ თუ ვექტორები გადანაწილებულია, სკალარული პროდუქტი არ შეიცვლება:
- არანულოვანი ვექტორების სკალარული ნამრავლი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია:
- ვექტორების სკალარული ნამრავლისთვის, კომუტაციური კანონი მოქმედებს ერთ-ერთი ვექტორის რიცხვზე გამრავლების შემთხვევაში:
- სკალარული პროდუქტით, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება:
კუთხე ვექტორებს შორის
სტატიები თემაზე
