როგორ ამოხსნათ არასრული მე-3 ხარისხის განტოლება. სიმძლავრე ან ექსპონენციალური განტოლებები. i ფუნქციის გრაფიკი უდრის x კუბურს

ნამუშევრის ტექსტი განთავსებულია გამოსახულების და ფორმულების გარეშე.
სრული ვერსიასამუშაო ხელმისაწვდომია "სამუშაო ფაილების" ჩანართში PDF ფორმატში

შესავალი

პ.ლ. ჩებიშევი, უდიდესი რუსი მათემატიკოსი და მექანიკოსი, სანქტ-პეტერბურგის მათემატიკური სკოლის დამფუძნებელი, კალუგის პროვინციის მკვიდრი, სტატიაში „პოლევოის ისტორიის მეორე ტომის შესახებ“ წერდა იმ ადამიანებზე, რომლებსაც შეუძლიათ გამოიცნონ და ჩაწვდნენ არსს. ფენომენებზე:

„ადამიანის გონება, ხალხური გამოთქმით, არ არის წინასწარმეტყველი, არამედ გამოცნობა, ის ხედავს საგნების ზოგად მიმდინარეობას და შეუძლია მისგან გამოიტანოს ღრმა ვარაუდები, რომლებიც ხშირად ამართლებს დროს...“

1838 წელს სტუდენტურ კონკურსში მონაწილეობისას პ.ლ. ჩებიშევმა მიიღო ვერცხლის მედალი n-ე ხარისხის განტოლების ფესვების პოვნაზე მუშაობისთვის. ორიგინალური ნამუშევარი დასრულდა უკვე 1838 წელს და დაფუძნებული იყო ნიუტონის ალგორითმზე.

ჰიპოთეზა: მესამე ხარისხის არასრული განტოლების ამონახსნი, რომლის ფესვები არ არის მთელი რიცხვი, ამოხსნილია P.L-ის ფორმულის გამოყენებით. ჩებიშევი რაციონალურად.

კვლევის მიზანი: ამოხსნათ მესამე ხარისხის არასრული განტოლება რამდენიმე მეთოდის გამოყენებით და დაადგინეთ მათგან ყველაზე რაციონალური.

კვლევის მიზნები:

გაეცანით პირველი და მეორე რიგის წარმოებულების განმარტებას;

ისწავლეთ მესამე ხარისხის მრავალწევრიანი ფუნქციების გრაფიკების აგება;

გამოიყენეთ P.L.-ის ფორმულა მესამე ხარისხის არასრული განტოლების ამოხსნისთვის. ჩებიშევა;

ცნობილი მეთოდების გამოყენება მესამე ხარისხის არასრული განტოლების ამოსახსნელად;

გამოიყენეთ ალგორითმი მრავალწევრის ფესვების დახვეწისთვის, თუ ცნობილია მისი ფესვის დაახლოებით ორი მნიშვნელობა;

მიღებული გადაწყვეტის მეთოდებიდან აირჩიეთ ყველაზე რაციონალური.

ლიტერატურის მიმოხილვა

ფუნქციის წარმოებული

ფუნქციის ლიმიტი მოცემულ წერტილში, რომელიც ზღუდავს ფუნქციის განსაზღვრის დომენს, არის მნიშვნელობა, რომლისკენაც მიისწრაფვის განსახილველი ფუნქციის მნიშვნელობა, როგორც მისი არგუმენტი მოცემულ წერტილამდე.

ფუნქციის წარმოებული არის კონცეფცია დიფერენციალურ გამოთვლებში, რომელიც ახასიათებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს მოცემულ წერტილში. იგი განისაზღვრება, როგორც ფუნქციის ზრდის შეფარდების ლიმიტი მისი არგუმენტის ზრდასთან, რადგან არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის, თუ ასეთი ზღვარი არსებობს. ფუნქციას, რომელსაც აქვს სასრული წარმოებული (რაღაც მომენტში) ეწოდება დიფერენცირებადი (იმ წერტილში).

ფუნქციის წარმოებულის განსაზღვრა ლიმიტის მეშვეობით.

წერტილის რომელიმე სამეზობლოში (displaystyle x_(0) mathbb (R) ) განისაზღვროს ფუნქცია (displaystyle fcolon U(x_(0)) subset mathbb (R) to mathbb (R) .). ფუნქცია (ჩვენების სტილი ვ) ვწერტილში (ჩვენების სტილი x_(0))ლიმიტი ეწოდება, თუ ის არსებობს,

პირველი წარმოებულის წარმოებულს მეორე რიგის წარმოებული ან მეორე წარმოებული ეწოდება.

ფორმულა P.L. ჩებიშევა

უმაღლესი ხარისხის ალგებრული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

მესამე (და უფრო მაღალი) ხარისხის განტოლებები შეიძლება ამოხსნას შემდეგი გზით:

გრაფიკული, რაც უფრო რთული ხდება მრავალწევრის ხარისხი, რადგან გრაფიკის აგება ზოგჯერ უფრო რთულია, ვიდრე შესაბამისი ფესვების პოვნა;

ოპერატიული, ხშირად მიახლოებითი, მაგრამ შესაძლებელს ხდის ფესვების პოვნა დიდი სიზუსტით. გრაფიკული მეთოდი დამხმარეა ოპერაციულ მეთოდთან.

თეორემა 1. თუ არსებობს მრავალწევრის მთელი ძირი მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით, როდესაც წამყვან წევრს აქვს კოეფიციენტი ერთი, მაშინ ის თავისუფალი წევრის გამყოფია.

თეორემა 2. ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის ყოველ კენტი ხარისხის მრავალწევრს აქვს მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი.

ნომოგრამები

ნომოგრამა (ბერძნ. νομοσ - კანონი) არის რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის გრაფიკული წარმოდგენა, რომელიც საშუალებას იძლევა მარტივი გეომეტრიული მოქმედებების გამოყენება (მაგალითად, სახაზავი) ფუნქციონალური დამოკიდებულებების შესწავლის გარეშე გამოთვლების გარეშე. მაგალითად, ამოხსენით კვადრატული განტოლება ფორმულების გამოყენების გარეშე. ნომოგრაფია (ბერძნულიდან nómos - კანონი და...გრაფია), მათემატიკის დარგი, რომელიც აერთიანებს ნომოგრამების აგების თეორიასა და პრაქტიკულ მეთოდებს - სპეციალური ნახატები, რომლებიც ფუნქციური დამოკიდებულების გამოსახულებებია. ნომოგრამების თავისებურება ის არის, რომ თითოეული ნახაზი ასახავს ცვლადების ცვლილების მოცემულ არეალს და ამ არეალში ცვლადების თითოეული მნიშვნელობა გამოსახულია ნომოგრამაზე გარკვეული გეომეტრიული ელემენტით (წერტილი ან ხაზი); ფუნქციური დამოკიდებულებით დაკავშირებული ცვლადების მნიშვნელობების გამოსახულებები ნომოგრამაზეა გარკვეული კორესპონდენციით, საერთოა იმავე ტიპის ნომოგრამებისთვის.

განტოლებების ამოხსნის ნომოგრამები. განტოლებების ამოსახსნელად X α + გვ 0 X ß +q 0 = გამოყენებულია გასწორებული წერტილების 0 ნომოგრამი. შეგიძლიათ მიიღოთ ასეთი ნომოგრამა: დავხატოთ ორი ვერტიკალური პარალელური სწორი ხაზი - ღერძი რათვლის დაწყებით ადა ღერძი ქათვლის დაწყებით IN(ნახ. 1); ამ ფიგურაში არის სეგმენტი ABღერძების პერპენდიკულარულად p,q, მაგრამ ეს სულაც არ არის საჭირო).

ავიღოთ თვითნებური რიცხვები α, ß და დადებითი რიცხვი ა. ღერძზე რავიღოთ წერტილი თანკოორდინატით - ა α-ß ღერძზე რ- წერტილი დკოორდინატთან ერთად -ა α . დაე ახ.წ∩ძვ.წ.=ე. მოდი გაგატაროთ ეთვითნებური სწორი ხაზი, ღერძების პარალელურად რ, ქ. ავღნიშნოთ გადაკვეთის კოორდინატი მეს არის სწორი ხაზი ღერძით რმეშვეობით რ 0 , N-ის გადაკვეთები ღერძთან ქ- მეშვეობით ქ. მერე ა α + რ 0 α ß + ქ 0 = 0 (1), ე.ი. ნომერი აარის განტოლების ფესვი X α + რ 0 X ß + ქ 0 = 0 (2). პირდაპირ MNშეიძლება გადაიკვეთოს ცულებთან რ, ქერთ-ერთი სამი გზა: რ 0 < 0, ქ 0 > 0 (ნახ. 1); რ 0 > 0, ქ 0 < 0 (рис. 2); რ 0 < 0, ქ 0 < 0 (рис.3).

ბრინჯი. 2 ნახ. 3

მოდით დავამტკიცოთ ტოლობა (1) ნახ. 1 (დანარჩენი ორი შემთხვევა განიხილება ანალოგიურად). სამკუთხედების მსგავსებიდან A.E.C.და საწოლიგვაქვს

რომელიც იძლევა (1). მოდით დავაფიქსიროთ თვითნებური α, ß და განვიხილოთ ყველა შესაძლო განტოლება X α + px ß + ქ= 0. ასეთი განტოლებების დადებითი ფესვების პოვნის ნომოგრამა შედგენილია შემდეგნაირად: 1) პარამეტრი ამოცემულია სხვადასხვა დადებითი მნიშვნელობები და თითოეული მათგანისთვის კეთდება წერტილი ეროგორც ზემოთ იყო აღწერილი; 2) მიღებული წერტილები, რომლებიც აღინიშნება შესაბამისი პარამეტრის მნიშვნელობებით, დაკავშირებულია გლუვი მრუდით გ(ნახ. 4).

ახლა, ამ ნომოგრამის გამოყენებით, შეგიძლიათ დაახლოებით იპოვოთ კონკრეტული განტოლების დადებითი ფესვები X α + რ 0 X ß + ქ 0 = 0, ამისათვის თქვენ უნდა აიღოთ წერტილი p ღერძზე მკოორდინატთან ერთად რ 0 , ღერძზე ქ- წერტილი N კოორდინატით ქ 0 და გააკეთე პირდაპირი MN. წრფის გადაკვეთის თითოეული წერტილი MNმრუდით გიძლევა (1) განტოლების დადებით ფესვს (2). p კოეფიციენტების შესაბამისი ქულები ქგანტოლებები და წერტილები, რომლებიც შეესაბამება განტოლების სასურველ პოზიტიურ ფესვებს X α + px ß + ქ=0, დაწექი იმავე სწორ ხაზზე.

პოლინომის ფესვების დახვეწის ალგორითმი, თუ მისი ფესვის ორი მნიშვნელობა დაახლოებით ცნობილია.

თეორემა. ორი მიახლოებითი მნიშვნელობისა და მრავალწევრის ცოდნით, შეგიძლიათ მიიღოთ გაუმჯობესებული სავარაუდო მნიშვნელობები განმეორებითი ფორმულის გამოყენებით:

მესამე ხარისხის არასრული განტოლების ამოხსნა

მესამე ხარისხის განტოლების ამოხსნის მაგალითი

მოდით, განტოლება იყოს მოცემული

გამოსავალი 1.

ვინაიდან განტოლების მარცხენა მხარე მესამე (კენტი) ხარისხის მრავალწევრია, მას აქვს მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე, ე.ი. ეს რიცხვები თავისუფალი წევრის 1-ის გამყოფია.

ჩვენ გვაქვს 1 3 -5 1+1=-3 და ეს ნიშნავს, რომ არ არსებობს მთელი ფესვები.

იქნებ რაციონალური ფესვი? არა, რადგან მრავალწევრს წამყვანი წევრის კოეფიციენტით 1 არ აქვს მთელი რიცხვი ფესვები.

ეს ნიშნავს, რომ ვარაუდი არასწორია - ფესვი ირაციონალურია, ჩვენ ვიპოვით მას დაახლოებით იმ ინტერვალის დადგენით, რომელშიც ის მდებარეობს.

მოდით შევქმნათ ცხრილი 1, სადაც მოცემულია ცვლადის მნიშვნელობები Xდა ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლა ზე:

ცხრილი 1

ინტერვალი უკვე ნაპოვნია, ჩვენ გვაქვს უარყოფითი ფესვი, რომელიც შეიცავს საზღვრებს:

მეორე ინტერვალით, ჩვენ გვაქვს დადებითი ფესვი, რომელიც შეიცავს საზღვრებს

მესამე ინტერვალით, ჩვენ გვაქვს დადებითი ფესვი, რომელიც შეიცავს საზღვრებს

აღარ არის საჭირო ფესვების პოვნა, რადგან მესამე ხარისხის განტოლებას არ შეიძლება ჰქონდეს სამ ფესვზე მეტი.

ფუნქცია უწყვეტია რდა დიფერენცირებადი რ.

ფუნქციის გრაფიკი კვეთს ღერძს ოჰწერტილში.

ფუნქციის წარმოებული ტოლია

პირველი ტიპის კრიტიკული წერტილები:

მოდით განვიხილოთ ფუნქცია ერთფეროვნებისთვის:

ჩვენ გამოვიყენეთ ბერნულის ფორმულა სავარაუდო მნიშვნელობის გამოსათვლელად

მოდით მივცეთ ფუნქციის გრაფიკული წარმოდგენა (ნახ. 6), რომელიც გარკვეულწილად განმარტავს ირაციონალური ფესვების მნიშვნელობას და რაციონალურ მიახლოებებს იძლევა:

გამოსავალი 2.

მოდით გადავიტანოთ საწყისი განტოლება ფორმაში:

მოდი ეს განტოლება გრაფიკულად ამოხსნათ.

წარმოგიდგენთ ორ ფუნქციას:

მოდით ავაშენოთ მონაცემთა გრაფიკები ამ ფუნქციებისთვის (ნახ. 7):

გამოსავალი 3.

გამოვიყენოთ P.L-ის ფორმულა. ჩებიშევა

ვიყენებთ ფუნქციის გრაფიკს (ნახ. 6)

ჩანს, რომ განტოლების ერთ-ერთი ფესვი ახლოს მდებარეობს

ვიპოვოთ ამ ფუნქციის პირველი და მეორე რიგის წარმოებულები:

მოდით გავაკეთოთ გამოთვლები:

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა:

დარჩენილი ფესვების პოვნა უფრო ადვილია მრავალწევრების თვისებების გამოყენებით:

1). თუ მრავალწევრის ფესვი იყოფა.

2). როდესაც მრავალწევრი იყოფა, ნაშთი უდრის ამ მრავალწევრის მნიშვნელობას at.

3). ჰორნერის სქემა, სადაც (ცხრილი 2):

ცხრილი 2

ჩვენ მივიღეთ გაყოფის ნაშთი 0.008.

გამყოფს ვატოლებთ ნულს:

პასუხი: -2,33; 0.2; 2.13.

გამოსავალი 4.

ამ განტოლებას ამ ნომოგრამის გამოყენებით (ნახ. 8) ამოვხსნათ შესაბამისი გამოთვლების შესრულებით:

ავაშენოთ სეგმენტი. ის გადაკვეთს მიღებულ გრაფიკს წერტილებში კოორდინატებით.

მესამე ფესვის მისაღებად შეცვალეთ ნიშანი Xზე - X, ვიღებთ

ვიპოვოთ განტოლების უარყოფითი ფესვი სეგმენტის აგებით, რომელიც კვეთს ფუნქციის გრაფიკს.

პასუხი: -2,3; 0,25; 2.2.

შევამოწმოთ მიღებული ფესვები ინტერნეტ რესურსების გამოყენებით: ვებგვერდი

განტოლებების გადაჭრა უფასოდ - ონლაინ კალკულატორი რეგულარული განტოლებები

პასუხები ნაჩვენებია ნახ. 9 და ნახ. 10:

პასუხი: 0.2; 2.13; -2.33.

მოდით დავაზუსტოთ მე-4 ხსნარში მიღებული მრავალწევრის ერთ-ერთი ფესვი მრავალწევრის ფესვების დახვეწის ალგორითმის გამოყენებით, თუ მისი ფესვის ორი მნიშვნელობა დაახლოებით ცნობილია.

ავიღოთ.

ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობის დახვეწა. ავიღოთ რიცხვი, როგორც ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობა.

დასკვნა

მოდით გავაანალიზოთ განტოლების ამოსახსნელად გამოყენებული მეთოდები (ცხრილი 3):

გამოსავალი	ხარვეზები	უპირატესობები
ფუნქციის გრაფიკის დახატვა და ფუნქციის ნულების სავარაუდო მნიშვნელობის დადგენა დამოკიდებულების ცხრილის გამოყენებით Xსაწყისი ზე.	შრომატევადი, არის ღირებულების შეფასების პრობლემა ირაციონალური რიცხვი. შეცდომა სამი ფესვიდან ერთ-ერთის პოვნაში.	ვიზუალური საინტერესოა ფესვების შეფასება უწყვეტი ფუნქციების თვისებების გამოყენებით (ფუნქციის მუდმივი ნიშანი და ნულები). შეიძლება გამოყენებულ იქნას უმეტეს ალგებრულ განტოლებაზე.
განტოლების ამოხსნის გრაფიკული გზა	არაზუსტი. შეცდომა სამი ფესვიდან ერთ-ერთის პოვნაში.	ვიზუალური, აძლევს უფლებას აირჩიოს დამხმარე ფუნქციების დანერგვა.
ფორმულის გამოყენება P.L ჩებიშევა	უხერხული გამოთვლები, მათ თავიდან ასაცილებლად, მიმართეს მრავალწევრების თეორიას ორი ფესვის მოსაძებნად.
ნომოგრამის გამოყენება	შრომატევადი, მოითხოვს სიზუსტეს ფუნქციის გრაფიკის, მასშტაბის და სიზუსტის აგებისას.	ფესვები საკმაოდ ზუსტად იქნა ნაპოვნი.

ცხრილი 3

ასე რომ, ყველაზე რაციონალური მეთოდი აღმოჩნდა ჩებიშევის ფორმულის გამოყენება.

მე-11 კლასში ჩატარებული გამოკითხვის შედეგად დადგინდა, რომ ჩებიშევის ფორმულა და ნომოგრამა არის ცნებები, რომლებიც ფიზიკასა და მათემატიკას სწავლობენ კურსდამთავრებულებისთვის. განტოლების ფესვების შეფასება ცხრილის გამოყენებით ფუნქციის უწყვეტობის თვისების გამოყენებით ახალი იყო სტუდენტების 80%-ისთვის.

ამრიგად, გადაჭრის უნარი არასრულია ალგებრული განტოლება, რომელსაც ირაციონალური ფესვები აქვს, აქტუალურია და როგორც პრაქტიკამ აჩვენა, პრობლემური.

გამოყენებული წყაროებისა და ცნობების სია

1. ფუნქციის ლიმიტი — წვდომის რეჟიმი: Wikipedia ru.wikipedia.org (წვდომის თარიღი 07/20/2018)

ფუნქციის წარმოებული - წვდომის რეჟიმი: Wikipediaru.wikipedia.org (წვდომის თარიღი 07/20/2018)

2. გაკვეთილი-თამაში "პირველ რიცხვებში გამარჯვებული - პ.
3. აკირი ი., გარიტ ვ. და სხვ. სახელმძღვანელო მე-11 კლასისთვის - კიშინიოვი: PrutInternatijnal, 2004, 120-121 გვ.

ი. კლუმოვა „ნომოგრამები გასწორებული წერტილებიდან“. პოპულარული სამეცნიერო ჟურნალი „Quantum“, No9, 1978 წ.

განტოლებების უფასოდ ამოხსნა - ონლაინ კალკულატორი ჩვეულებრივი განტოლებები გამონათქვამების გამარტივება - წვდომის რეჟიმი: kontrolnaya-rabota.ru (წვდომის თარიღი 19.07.2018)

განტოლებების გამოყენება ფართოდ არის გავრცელებული ჩვენს ცხოვრებაში. ისინი გამოიყენება მრავალ გამოთვლებში, სტრუქტურების მშენებლობაში და სპორტშიც კი. ადამიანი ძველ დროში იყენებდა განტოლებებს და მას შემდეგ მათი გამოყენება მხოლოდ გაიზარდა. კუბური განტოლება არის მესამე რიგის განტოლება და აქვს შემდეგი ფორმა:

\ სადაც \ რიცხვი \ ეწოდება კუბური განტოლების ფესვს, თუ მისი ჩანაცვლებისას განტოლება გადაიქცევა ნამდვილ ტოლობაში.

ამ ტიპის განტოლებას ყოველთვის აქვს 3 ფესვი. ფესვები შეიძლება იყოს ნამდვილი ან რთული.

თუ საწყისი მონაცემები საშუალებას გაძლევთ აირჩიოთ კუბური განტოლების ერთ-ერთი ფესვი \, მაშინ შეგიძლიათ კუბური მრავალწევრი გაყოთ \[(x - x1)\]-ზე და ამოხსნათ მიღებული კვადრატული განტოლება.

დავუშვათ, რომ მოცემულია ფორმის განტოლება:

გადასაჭრელად დავაჯგუფოთ:

განტოლების გაანალიზების შემდეგ ირკვევა, რომ \ არის განტოლების ფესვი

ვიპოვოთ მიღებული კვადრატული ტრინომის ფესვები \

ჩვენ ვიღებთ პასუხს: \

სად შემიძლია ამოვხსნა მე-3 ხარისხის განტოლება ონლაინ ამოხსნის გამოყენებით?

განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე https://site. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლებები რამდენიმე წამში. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ არის უბრალოდ შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გამხსნელში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ ვიდეო ინსტრუქციები და ისწავლოთ განტოლების ამოხსნა ჩვენს ვებგვერდზე. და თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს VKontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით.

კუბურ განტოლებაში ყველაზე მაღალი მაჩვენებელია 3, ასეთ განტოლებას აქვს 3 ფესვი (ამოხსნა) და აქვს ფორმა . ზოგიერთი კუბური განტოლება არც ისე ადვილი მოსაგვარებელია, მაგრამ თუ იყენებთ სწორ მეთოდს (კარგი თეორიული ფონი), შეგიძლიათ იპოვოთ ყველაზე რთული კუბური განტოლების ფესვები - ამისათვის გამოიყენეთ კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულა, იპოვნეთ მთელი ფესვები, ან გამოთვალეთ დისკრიმინანტი.

ნაბიჯები

როგორ ამოხსნათ კუბური განტოლება თავისუფალი წევრის გარეშე გაარკვიეთ აქვს თუ არა კუბურ განტოლებას განმარტებითი ვადა დ . (\displaystyle d) კუბურ განტოლებას აქვს ფორმა a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0) . იმისათვის, რომ განტოლება ჩაითვალოს კუბურად, საკმარისია ის მხოლოდ ტერმინს შეიცავდეს x 3 (\displaystyle x^(3))

(ანუ სხვა წევრები შეიძლება საერთოდ არ იყოს). ფრჩხილის გარეთ x . (\displaystyle x) ვინაიდან განტოლებაში არ არის თავისუფალი ტერმინი, განტოლების თითოეული წევრი მოიცავს ცვლადს x (\displaystyle x) ვინაიდან განტოლებაში არ არის თავისუფალი ტერმინი, განტოლების თითოეული წევრი მოიცავს ცვლადს. ეს იმას ნიშნავს, რომ ერთი შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილებიდან განტოლების გასამარტივებლად. ამრიგად, განტოლება დაიწერება ასე:.

x (a x 2 + b x + c) (\ჩვენების სტილი x(ax^(2)+bx+c))ფაქტორი (ორი ბინომის ნამრავლი) კვადრატული განტოლება (თუ შესაძლებელია). ფორმის მრავალი კვადრატული განტოლება a x 2 + b x + c = 0 (\displaystyle ax^(2)+bx+c=0) ვინაიდან განტოლებაში არ არის თავისუფალი ტერმინი, განტოლების თითოეული წევრი მოიცავს ცვლადსშეიძლება იყოს ფაქტორიზებული. ეს განტოლება მიიღება თუ ამოვიღებთ

ფრჩხილებიდან. ჩვენს მაგალითში:გააკეთეთ ეს, თუ კვადრატული განტოლების ფაქტორირება შეუძლებელია. განტოლების ორი ფესვის მოსაძებნად, კოეფიციენტების მნიშვნელობები a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c)ჩანაცვლება ფორმულაში.

• ჩვენს მაგალითში შეცვალეთ კოეფიციენტების მნიშვნელობები a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) ფორმულაში: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2 )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14)))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
• პირველი ფესვი: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
• მეორე ფესვი: 2 − 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))

1. გამოიყენეთ კვადრატული განტოლების ნული და ფესვები, როგორც ამონახსნები კუბური განტოლებისთვის.კვადრატულ განტოლებებს აქვს ორი ფესვი, ხოლო კუბურ განტოლებებს სამი. თქვენ უკვე იპოვეთ ორი გამოსავალი - ეს არის კვადრატული განტოლების ფესვები. თუ ფრჩხილებიდან ამოიღეთ „x“, მესამე გამოსავალი იქნება .

   როგორ მოვძებნოთ მთლიანი ფესვები ფაქტორების გამოყენებით

   1. დარწმუნდით, რომ კუბურ განტოლებაში არის შუალედი გაარკვიეთ აქვს თუ არა კუბურ განტოლებას განმარტებითი ვადა დ . თუ ფორმის განტოლებაში კუბურ განტოლებას აქვს ფორმაგყავდეს თავისუფალი წევრი d (\displaystyle d)(რომელიც არ არის ნული), "x"-ის ფრჩხილებიდან ამოღება არ იმუშავებს. ამ შემთხვევაში გამოიყენეთ ამ ნაწილში აღწერილი მეთოდი.

      დაწერეთ კოეფიციენტის ფაქტორები ა (\displaystyle a) და თავისუფალი წევრი გაარკვიეთ აქვს თუ არა კუბურ განტოლებას განმარტებითი ვადა დ . ანუ იპოვეთ რიცხვის ფაქტორები როდის . იმისათვის, რომ განტოლება ჩაითვალოს კუბურად, საკმარისია ის მხოლოდ ტერმინს შეიცავდესდა რიცხვები ტოლობის ნიშნის წინ. შეგახსენებთ, რომ რიცხვის ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას წარმოქმნიან ამ რიცხვს.

      გაყავით თითოეული ფაქტორი ა (\displaystyle a) თითოეული მულტიპლიკატორისთვის გაარკვიეთ აქვს თუ არა კუბურ განტოლებას განმარტებითი ვადა დ . საბოლოო შედეგი იქნება ბევრი წილადი და რამდენიმე მთელი რიცხვი; კუბური განტოლების ფესვები იქნება ერთ-ერთი ან მთელი რიცხვის უარყოფითი მნიშვნელობა.

      • ჩვენს მაგალითში გაყავით ფაქტორები a (\displaystyle a) (1 და 2 ) ფაქტორების მიხედვით d (\displaystyle d) (1 , 2 , 3 და 6 ). თქვენ მიიღებთ: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2)და . ახლა დაამატეთ ამ სიას უარყოფითი მნიშვნელობებიშედეგად მიღებული წილადები და რიცხვები: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))და − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). კუბური განტოლების მთელი რიცხვი ფესვები არის რამდენიმე რიცხვი ამ სიიდან.

   2. ჩაანაცვლეთ მთელი რიცხვები კუბურ განტოლებაში.თუ ტოლობა დაკმაყოფილებულია, ჩანაცვლებული რიცხვი არის განტოლების ფესვი. მაგალითად, ჩაანაცვლეთ განტოლებაში 1 (\displaystyle 1):

      გამოიყენეთ მრავალწევრების გაყოფის მეთოდი ჰორნერის სქემარომ სწრაფად იპოვოთ განტოლების ფესვები.გააკეთეთ ეს, თუ არ გსურთ ხელით შეაერთოთ რიცხვები განტოლებაში. ჰორნერის სქემაში მთელი რიცხვები იყოფა განტოლების კოეფიციენტების მნიშვნელობებზე. a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c)და d (\displaystyle d). თუ რიცხვები იყოფა მთელ რიცხვზე (ანუ ნაშთი არის), მთელი რიცხვი არის განტოლების ფესვი.

გადადით ჩვენი ვებსაიტის youtube არხზე, რათა იყოთ განახლებული ყველა ახალი ვიდეო გაკვეთილის შესახებ.

პირველ რიგში, გავიხსენოთ ძალაუფლების ძირითადი ფორმულები და მათი თვისებები.

რიცხვის პროდუქტი ახდება თავისთავად n-ჯერ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს გამოთქმა a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

სიმძლავრე ან ექსპონენციალური განტოლებები- ეს არის განტოლებები, რომლებშიც ცვლადები არიან ხარისხებში (ან ექსპონენტებში), ხოლო ფუძე არის რიცხვი.

ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითები:

ამ მაგალითში, რიცხვი 6 არის საფუძველი, ის ყოველთვის ბოლოშია და ცვლადი xხარისხი ან მაჩვენებელი.

მოდით მოვიყვანოთ ექსპონენციალური განტოლებების მეტი მაგალითი.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

ახლა ვნახოთ, როგორ იხსნება ექსპონენციალური განტოლებები?

ავიღოთ მარტივი განტოლება:

2 x = 2 3

ეს მაგალითი შეიძლება გადაწყდეს თუნდაც თქვენს თავში. ჩანს, რომ x=3. ყოველივე ამის შემდეგ, იმისათვის, რომ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები თანაბარი იყოს, x-ის ნაცვლად უნდა დააყენოთ რიცხვი 3.
ახლა ვნახოთ, როგორ გავაფორმოთ ეს გადაწყვეტილება:

2 x = 2 3
x = 3

ასეთი განტოლების ამოსახსნელად ჩვენ ამოვიღეთ იდენტური საფუძველი(ანუ ორები) და დაწერე რაც დარჩა, ეს არის გრადუსები. ჩვენ მივიღეთ პასუხი, რომელსაც ვეძებდით.

ახლა შევაჯამოთ ჩვენი გადაწყვეტილება.

ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი:
1. საჭიროა შემოწმება იდენტურიაქვს თუ არა განტოლებას საფუძვლები მარჯვნივ და მარცხნივ. თუ მიზეზები არ არის იგივე, ჩვენ ვეძებთ ვარიანტებს ამ მაგალითის გადასაჭრელად.
2. მას შემდეგ, რაც ბაზები ერთნაირი გახდება, გათანაბრებაგრადუსი და ამოხსენით მიღებული ახალი განტოლება.

ახლა მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

დავიწყოთ რაღაც მარტივით.

მარცხენა და მარჯვენა გვერდების ფუძეები უდრის რიცხვს 2-ს, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გადავაგდოთ ფუძე და გავაიგივოთ მათი ძალები.

x+2=4 მიღებულია უმარტივესი განტოლება.
x=4 – 2
x=2
პასუხი: x=2

შემდეგ მაგალითში ხედავთ, რომ ბაზები განსხვავებულია: 3 და 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

ჯერ ცხრა გადაიტანეთ მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ:

ახლა თქვენ უნდა გააკეთოთ იგივე ბაზები. ჩვენ ვიცით, რომ 9=3 2. გამოვიყენოთ სიმძლავრის ფორმულა (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

ვიღებთ 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 ახლა თქვენ ხედავთ, რომ მარცხენა და მარჯვენა მხარეფუძეები ერთი და იგივეა და სამის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გადავაგდოთ ისინი და გავაიგივოთ გრადუსები.

3x=2x+16 მივიღებთ უმარტივეს განტოლებას
3x - 2x=16
x=16
პასუხი: x=16.

მოდით შევხედოთ შემდეგ მაგალითს:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვუყურებთ ბაზებს, ბაზებს ორი და ოთხი. და ჩვენ გვჭირდება, რომ ისინი ერთნაირები იყვნენ. ჩვენ გარდაქმნით ოთხს ფორმულის გამოყენებით (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

ჩვენ ასევე ვიყენებთ ერთ ფორმულას a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

დაამატეთ განტოლებას:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

იგივე მიზეზების გამო მოვიყვანეთ მაგალითი. მაგრამ სხვა რიცხვები 10 და 24 გვაწუხებს რა ვუყოთ მათ? თუ კარგად დააკვირდებით, ხედავთ, რომ მარცხენა მხარეს გვაქვს 2 2x გამეორებული, აქ არის პასუხი - შეგვიძლია 2 2x ჩავდოთ ფრჩხილებიდან:

2 2x (2 4 - 10) = 24

გამოვთვალოთ გამოხატულება ფრჩხილებში:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

ჩვენ მთელ განტოლებას ვყოფთ 6-ზე:

წარმოვიდგინოთ 4=2 2:

2 2x = 2 2 ფუძეები იგივეა, ჩვენ მათ ვუგდებთ და ვატოლებთ გრადუსებს.
2x = 2 არის უმარტივესი განტოლება. გავყოთ 2-ზე და მივიღებთ
x = 1
პასუხი: x = 1.

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

9 x – 12*3 x +27= 0

მოდით გარდავქმნათ:
9 x = (3 2) x = 3 2x

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

ჩვენი საფუძვლები იგივეა, სამის ტოლია ამ მაგალითში, თქვენ ხედავთ, რომ პირველ სამს აქვს ხარისხი ორჯერ (2x), ვიდრე მეორეს (მხოლოდ x). ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ გადაჭრათ ჩანაცვლების მეთოდი. ჩვენ ვცვლით რიცხვს უმცირესი ხარისხით:

შემდეგ 3 2x = (3 x) 2 = t 2

განტოლებაში ყველა x ძალას ვცვლით t:

t 2 - 12t+27 = 0
ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას. დისკრიმინანტის ამოხსნისას მივიღებთ:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

ცვლადზე დაბრუნება x.

მიიღეთ t 1:
t 1 = 9 = 3 x

ამიტომ,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

ნაპოვნია ერთი ფესვი. ჩვენ ვეძებთ მეორეს t 2-დან:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
პასუხი: x 1 = 2; x 2 = 1.

ვებგვერდზე შეგიძლიათ დასვათ საინტერესო კითხვები HELP DECIDE განყოფილებაში, ჩვენ აუცილებლად გიპასუხებთ.

შეუერთდი ჯგუფს

სკრიპტის დახმარების გარეშე მოგიწევთ საკმაოდ რთული გამოთვლების შესრულება კარდანოს მეთოდით, რომელიც მოიცავს მინიმუმ 6 საფეხურს. გამოთვლა იწყება თავდაპირველი განტოლების სახით y³ + py + q = 0 და ა.შ.

მესამე ხარისხის განტოლებების გამოთვლა მოთხოვნადია მრავალი ფუნდამენტური და გამოყენებითი მათემატიკური, ფიზიკური, სტატისტიკური, კვლევითი და საინჟინრო ამოცანის ამოხსნისას.

მესამე ხარისხის განტოლება ონლაინ

კუბური განტოლება ასე გამოიყურება:

$$ x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x +c =0 $$

სადაც a, b, c არის რიცხვითი კოეფიციენტები x-ისთვის.

x არის ცვლადი, რომლის მნიშვნელობა, კუბური მრავალწევრის იდენტურად გადაქცევა, იქნება კუბური განტოლების ფესვი.

კუბური განტოლების ონლაინ გადასაჭრელად, თქვენ უნდა დააყენოთ განტოლების კოეფიციენტები სათითაოდ.

კუბურ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს სამი რეალური ფესვი, ან ერთი (ან ორი გადაგვარებული შემთხვევისთვის) და ორი რთული კონიუგატური ფესვი.

განტოლებას სამი რეალური ფესვი აქვს, თუ $$R^2< Q^3$$

$$ R $$ გვხვდება შემდეგი ფორმულით:

$$ Q $$ შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

თუ $$R^2< Q^3 $$ , то уравнение имеет три действительных корня:

თუ $$ R^2 >= Q^3 $$ , მაშინ განტოლებას აქვს ერთი რეალური ფესვი (ან ორი, გადაგვარებული შემთხვევებისთვის) და ორი რთული კონიუგატი:

ფუნქცია y = x³ და მისი გრაფიკი

მოდით შევქმნათ y = x 3 ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილი: ჩვენ ვხედავთ, რომ x > 0 და y > 0 (დადებითი რიცხვის კუბი დადებითია), ხოლო x-სთვის< 0 и y < 0 (куб отрицательного числа отрицателен). Следовательно, график расположится на координатной плоскости в I и III четвертях. Заменим значение аргумента x противоположным значением –x , тогда и функция примет противоположное значение; так как если y = x 3 , то

ეს ნიშნავს, რომ გრაფიკის თითოეული წერტილი (x; y) შეესაბამება იმავე გრაფის წერტილს (–x; –y), რომელიც მდებარეობს სიმეტრიულად საწყისთან შედარებით.

ამრიგად, საწყისი არის გრაფიკის სიმეტრიის ცენტრი.

y = x 3 ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე 81. ამ წრფეს კუბურ პარაბოლას უწოდებენ.

პირველ კვარტალში, კუბური პარაბოლა (x > 0) „მკვეთრად“ იზრდება (y მნიშვნელობა „სწრაფად“ იზრდება x-ის მატებასთან ერთად, იხილეთ ცხრილი x-ის მცირე მნიშვნელობებზე, ხაზი „მჭიდროდ“ უახლოვდება); x-ღერძი („პატარა“ მნიშვნელობებზე x მნიშვნელობა y არის „ძალიან მცირე“, იხილეთ ცხრილი). კუბური პარაბოლას მარცხენა მხარე (მესამე მეოთხედში) სიმეტრიულია მარჯვენა მხარეს საწყისის მიმართ.

ლამაზად დახატული გრაფიკი შეიძლება იყოს რიცხვების კუბების მიახლოების საშუალება. ასე რომ, მაგალითად, x = 1.6 დაყენებით, გრაფიკიდან ვპოულობთ y ≈ 4.1.

კუბების სავარაუდო გაანგარიშებისთვის შედგენილია სპეციალური ცხრილები.

ასეთი ცხრილი ასევე ხელმისაწვდომია V. M. Bradis-ის სახელმძღვანელოში "ოთხნიშნა მათემატიკური ცხრილები".

ეს ცხრილი შეიცავს 1-დან 10-მდე რიცხვების სავარაუდო კუბებს, რომლებიც დამრგვალებულია 4 მნიშვნელოვან ფიგურამდე.

კუბის ცხრილის სტრუქტურა და მისი გამოყენების წესები იგივეა, რაც კვადრატული ცხრილი. თუმცა, როდესაც რიცხვი იზრდება (ან მცირდება) 10, 100 და ა.შ. ჯერ, მისი კუბი იზრდება (ან მცირდება) 1000-ით და ა.შ. ეს ნიშნავს, რომ კუბების ცხრილის გამოყენებისას უნდა გახსოვდეთ მძიმით შეფუთვის შემდეგი წესი:

თუ რიცხვში მძიმით გადაიტანეთ რამდენიმე ციფრი, მაშინ ამ რიცხვის კუბში თქვენ უნდა გადაიტანოთ მძიმით იმავე მიმართულებით სამმაგი ციფრებით.

ავხსნათ ეს მაგალითებით:

1) გამოთვალეთ 2.2353. ცხრილიდან ვხვდებით: 2,233 ≈ 11,09; ბოლო ციფრს ვუმატებთ 8-ის შესწორებას ბოლო ციფრისთვის: 2,2353 ≈ 11,17.

2) გამოთვალეთ (–179,8) 3 . ვინაიდან (–a) 3 = –a 3, ჩვენ ვპოულობთ (179.8) 3.

ცხრილის გამოყენებით ვპოულობთ 1.798 3 ≈ 5.813, ათწილადის გადაადგილებით მივიღებთ 179.8 3 ≈.

ეს ნიშნავს (–179.8) 3 ≈ –.

სავარაუდო ფორმულები. თუ ვინაობაში

(1 ± α)³ ≈ 1 ± 3α ± 3α² ± α³

რიცხვი α მცირეა ერთიანობასთან შედარებით, შემდეგ α² და α³ ტერმინების უგულებელყოფით, მივიღებთ სავარაუდო ფორმულებს:

ამ ფორმულების გამოყენებით ადვილია ერთთან მიახლოებული რიცხვების მიახლოებითი კუბურების პოვნა, მაგალითად:

1,02³ ≈ 1 + 3 * 0,02 = 1,06; ზუსტი კუბი: 1.061208;

1,03³ ≈ 1 + 3 * 0,03 = 1,09; ზუსტი კუბი: 1.092727;

0,98³ ≈ 1 – 3 * 0,02 = 0,94; ზუსტი კუბი: 0.941192;

0,97³ ≈ 1 – 3 * 0,03 = 0,91; ზუსტი კუბი: 0.912673.

კუბის ნომრები სახაზავზე. კუბურ რიცხვებში, სახაზავ სხეულზე არის კუბის მასშტაბი K. კუბის მასშტაბი შედგება სამი ნაწილისაგან: მარცხენა, შუა და მარჯვენა (იხ. ნახაზი 82); თითოეული ეს ნაწილი წარმოადგენს მთავარ D მასშტაბს, მაგრამ შემცირებულია სამჯერ.

კუბური რიცხვის მნიშვნელობას ხედვის სანახავით აღვნიშნავთ D მთავარ სკალაზე და შედეგს ვკითხულობთ კუბის მასშტაბით K.

მაგალითად, 2³ = 8 (იხ. დიაგრამა 39).

კუბური რიცხვების რამდენიმე მაგალითი მოცემულია შემდეგ ცხრილში. შედარებისთვის მოცემულია იგივე რიცხვების კუბების მნიშვნელობები, რომლებიც გამოითვლება ოთხნიშნა ცხრილებიდან.

კუბური განტოლებების ამოხსნა.

ნებისმიერ კუბურ განტოლებას რეალური კოეფიციენტებით აქვს მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი, დანარჩენი ორი ან ასევე რეალურია ან არის რთული კონიუგატური წყვილი.

დავიწყოთ მიმოხილვა უმარტივესი შემთხვევებით - ბინომიდა დასაბრუნებელიგანტოლებები. შემდეგ გადავდივართ რაციონალური ფესვების პოვნაზე (ასეთის არსებობის შემთხვევაში). დავასრულოთ კუბური განტოლების ფესვების პოვნის მაგალითით კარდანოს ფორმულაზოგადი შემთხვევისთვის.

გვერდის ნავიგაცია.

ორმხრივი კუბური განტოლების ამოხსნა.

ბინომიურ კუბურ განტოლებას აქვს ფორმა.

ეს განტოლება მცირდება ფორმამდე A კოეფიციენტზე გაყოფით, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან. შემდეგი, გამოიყენეთ ფორმულა კუბურების შემოკლებული გამრავლების ჯამისთვის:

პირველი ფრჩხილიდან ვხვდებით და კვადრატულ ტრინომს მხოლოდ რთული ფესვები აქვს.

იპოვეთ კუბური განტოლების ნამდვილი ფესვები.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას კუბების განსხვავების შემოკლებული გამრავლებისთვის:

პირველი ფრჩხილიდან ვხვდებით, რომ მეორე ფრჩხილში კვადრატულ ტრინომს არ აქვს რეალური ფესვები, რადგან მისი დისკრიმინანტი უარყოფითია.

საპასუხო კუბური განტოლების ამოხსნა.

საპასუხო კუბურ განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც A და B არის კოეფიციენტები.

ცხადია, x = -1 არის ასეთი განტოლების ფესვი და შედეგად მიღებული კვადრატული ტრინომის ფესვები ადვილად იპოვება დისკრიმინანტის მეშვეობით.

კუბური განტოლების ამოხსნა.

ეს არის ორმხრივი განტოლება. დავაჯგუფოთ:

ცხადია, x = -1 არის განტოლების ფესვი.

კვადრატული ტრინომის ფესვების პოვნა:

კუბური განტოლებების ამოხსნა რაციონალური ფესვებით.

დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით, როდესაც x=0 არის კუბური განტოლების ფესვი.

ამ შემთხვევაში თავისუფალი წევრი D უდრის ნულს, ანუ განტოლებას აქვს ფორმა.

თუ x-ს ამოვიღებთ ფრჩხილებიდან, მაშინ ფრჩხილებში დარჩება კვადრატული ტრინომი, რომლის ფესვები ადვილად იპოვება დისკრიმინანტის მეშვეობით ან ვიეტას თეორემით.

იპოვეთ განტოლების ნამდვილი ფესვები.

x=0 არის განტოლების ფესვი. ვიპოვოთ კვადრატული ტრინომის ფესვები.

ვინაიდან მისი დისკრიმინაციული ნულზე ნაკლები, მაშინ ტრინომილს რეალური ფესვები არ აქვს.

თუ კუბური განტოლების კოეფიციენტები მთელი რიცხვებია, მაშინ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს რაციონალური ფესვები.

როდესაც, გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე და შეცვალეთ ცვლადები y = Ax:

მივედით მოცემულ კუბურ განტოლებამდე. მას შეიძლება ჰქონდეს მთელი ფესვები, რომლებიც თავისუფალი ტერმინის გამყოფია. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ ყველა გამყოფს და ვიწყებთ მათ ჩანაცვლებას მიღებულ განტოლებაში, სანამ არ მივიღებთ იდენტურ ტოლობას. გამყოფი, რომელზეც იდენტურობა მიიღება, არის განტოლების ფესვი. მაშასადამე, საწყისი განტოლების ფესვი არის.

იპოვეთ კუბური განტოლების ფესვები.

გადავცვალოთ განტოლება ზემოთ მოცემულად: გავამრავლოთ ორივე მხარეს და შევცვალოთ ცვლადი y = 2x.

უფასო ვადა არის 36. ჩამოვწეროთ მისი ყველა გამყოფი: .

ჩვენ მათ რიგრიგობით ვცვლით თანასწორად, სანამ არ მივიღებთ იდენტურობას:

ასე რომ, y = -1 არის ფესვი. ეს მას უხდება.

რჩება მხოლოდ კვადრატული ტრინომის ფესვების პოვნა.

ცხადია, ანუ მისი მრავალჯერადი ფესვი არის x=3.

ეს ალგორითმი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორმხრივი განტოლებების გადასაჭრელად. ვინაიდან -1 არის ნებისმიერი ორმხრივი კუბური განტოლების ფესვი, შეგვიძლია ორიგინალური განტოლების მარცხენა მხარე გავყოთ x+1-ზე და ვიპოვოთ მიღებული კვადრატული ტრინომის ფესვები.

იმ შემთხვევაში, როდესაც კუბურ განტოლებას არ აქვს რაციონალური ფესვები, გამოიყენება ამოხსნის სხვა მეთოდები, მაგალითად, მრავალწევრის ფაქტორინგის სპეციფიკური მეთოდები.

კუბური განტოლებების ამოხსნა კარდანოს ფორმულით.

ზოგადად, კუბური განტოლების ფესვები გვხვდება კარდანოს ფორმულის გამოყენებით.

იპოვეთ მნიშვნელობები კუბური განტოლებისთვის. შემდეგ ვპოულობთ და.

მიღებული p და q ჩანაცვლება კარდანოს ფორმულაში:

კუბის ფესვების მნიშვნელობები უნდა იქნას მიღებული ისე, რომ მათი პროდუქტი თანაბარი იყოს. შედეგად, ჩვენ ვპოულობთ ორიგინალური განტოლების ფესვებს ფორმულის გამოყენებით.

მოდი წინა მაგალითი გადავჭრათ კარდანოს ფორმულით.

როგორ ამოხსნათ კუბური განტოლებები

კუბურ განტოლებებს აქვთ ფორმა ცული 3 + bx 2 + cx + დ= 0. ასეთი განტოლებების ამოხსნის მეთოდი ცნობილია რამდენიმე საუკუნის განმავლობაში (ის აღმოაჩინეს მე-16 საუკუნეში იტალიელმა მათემატიკოსებმა). ზოგიერთი კუბური განტოლების ამოხსნა საკმაოდ რთულია, მაგრამ სწორი მიდგომით (და კარგი დონეთეორიული ცოდნა) თქვენ შეძლებთ ამოხსნათ ყველაზე რთული კუბური განტოლებებიც კი.

ნაბიჯების რედაქტირება

მეთოდი 1 / 3:

ამოხსნა კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის გამოყენებით Edit

მეთოდი 2 / 3:

მთელი რიცხვის ამონახსნების მოძიება ფაქტორიზაციის გამოყენებით Edit

კუბური განტოლებები

სადაც \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) არის რამდენიმე რიცხვი.

კუბურ განტოლებას ყოველთვის აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი \(x_1\) .

ეს ნიშნავს, რომ ყოველთვის კმაყოფილია შემდეგი: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\) , სადაც \(m, n\) არის ზოგიერთი ნომერი.

ნებისმიერი რიცხვისთვის \(a\) აქვს ერთი ფესვი

\(x^3=-8\) განტოლების ამონახსნი არის \(x=\sqrt=-2\) .

\(>\) \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) ფორმის კუბური განტოლებები ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება ამოიხსნას მარცხენა მხარის ფაქტორირებით.

ამოხსენით განტოლება \(5x^3-x^2-20x+4=0\) .

მოდით დავაჯგუფოთ ტერმინები მარცხენა მხარეს და გავამრავლოთ: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad 5x(x^2-4)-(x^2 - 4)=0 \ოთხი \მარცხენა მარჯვენა ისარი \ოთხი (x^2-4)(5x-1)=0\]

შემდეგ ფესვები მოცემული განტოლებაარის \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\) .

ზოგიერთ პრობლემაში შეიძლება სასარგებლო იყოს შემოკლებული გამრავლების ფორმულები:

\(>\) \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) ფორმის კუბური განტოლებები, რომლებშიც შეუძლებელია მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება, შეიძლება სხვა გზით ამოხსნას: რაციონალური არჩევა. ფესვი, ასეთის არსებობის შემთხვევაში.

ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი განცხადებები:

\(\შავი სამკუთხედი\) თუ ჯამი არის \(a+b+c+d=0\) , მაშინ განტოლების ფესვი არის რიცხვი \(1\) .

\(\შავი სამკუთხედი\) თუ \(b+d=a+c\) , მაშინ განტოლების ფესვი არის რიცხვი \(-1\) .

\(\შავი სამკუთხედი\) მოდით \(a,b,c,d\) იყოს \(>>\) რიცხვები. მაშინ თუ განტოლებას აქვს რაციონალური ფესვი \(\დიდი >\), მაშინ მისთვის შემდეგი იქნება ჭეშმარიტი:

\(d\) იყოფა \(p\)-ზე; \(a\) იყოფა \(q\)-ზე.

1. განტოლებას \(7x^3+3x^2-x-9=0\) აქვს კოეფიციენტების ჯამი \(7+3-1-9=0\), რაც ნიშნავს \(x=1\). ) არის ამ განტოლების ფესვი (აუცილებლად ერთადერთი).

2. განტოლება \(4.5x^3-3x^2-0.5x+7=0\) მოქმედებს: \(4.5-0.5=-3+7\), რაც ნიშნავს \(x= -1\) არის ამ განტოლების ფესვი.

3. განტოლებას \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) აქვს კოეფიციენტები, რომლებიც მთელი რიცხვებია, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ ფესვი: \(-3\) თავისუფალი წევრის გამყოფები : \(\pm 1, \pm 3 \) ; წამყვანი კოეფიციენტის გამყოფები \(2\) : \(\pm1, \pm2\) . ეს ნიშნავს, რომ რაციონალური ფესვების შესაძლო კომბინაციებია: \[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\]

თითოეული რიცხვის რიგრიგობით განტოლებაში ჩანაცვლებით, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ \(x=\frac12\) არის ფესვი (რადგან ამ რიცხვის განტოლებაში ჩანაცვლების შემდეგ ის იქცევა ნამდვილ ტოლობაში):

გაითვალისწინეთ, რომ თუ განტოლების კოეფიციენტები რაციონალური რიცხვებია, მაშინ განტოლების საერთო მნიშვნელზე გამრავლებით შეგვიძლია მივიღოთ ეკვივალენტური განტოლება მთელი რიცხვების კოეფიციენტებით. მაგალითად, განტოლება \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) \(6\)-ზე გამრავლების შემდეგ მცირდება განტოლებამდე მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით: \(3x^3+x+12=0\) .

იპოვეთ განტოლების ფესვი \((2x + 1)^3 = 27\) . თუ განტოლებას აქვს ერთზე მეტი ფესვი, ჩაწერეთ თქვენს პასუხში უფრო დიდი.

თავდაპირველი განტოლება \((2x + 1)^3 = 3^3\) არის სტანდარტული ფორმის, იგი ექვივალენტურია განტოლების \(2x + 1 = 3\), საიდანაც დავასკვნათ, რომ \(x = 1\ ) შესაფერისია ODZ-ის მიხედვით.

იპოვეთ განტოლების ფესვი \((2x + 1)^3 = -27\) . თუ განტოლებას აქვს ერთზე მეტი ფესვი, ჩაწერეთ თქვენს პასუხში უფრო დიდი.

ODZ: \(x\) – თვითნებური. მოდით გადავწყვიტოთ ODZ:

თავდაპირველი განტოლება \((2x + 1)^3 = (-3)^3\) არის სტანდარტული ფორმის, იგი უდრის განტოლებას \(2x + 1 = -3\), საიდანაც ვასკვნით, რომ \( x = -2\) – შესაფერისია ODZ-სთვის.

იპოვეთ განტოლების ფესვი \((3x + 2)^3 = -64\) . თუ განტოლებას აქვს ერთზე მეტი ფესვი, ჩაწერეთ უფრო დიდი თქვენს პასუხში.

ODZ: \(x\) – თვითნებური. მოდით გადავწყვიტოთ ODZ:

თავდაპირველი განტოლება \((3x + 2)^3 = (-4)^3\) არის სტანდარტული ფორმის, იგი უდრის განტოლებას \(3x + 2 = -4\), საიდანაც ვასკვნით, რომ \( x = -2\) – შესაფერისია ODZ-სთვის.

იპოვეთ განტოლების ფესვი \((7x + 11)^3 = 64\) . თუ განტოლებას აქვს ერთზე მეტი ფესვი, ჩაწერეთ თქვენს პასუხში უფრო დიდი.

ODZ: \(x\) – თვითნებური. მოდით გადავწყვიტოთ ODZ:

თავდაპირველი განტოლება \((7x + 11)^3 = 4^3\) არის სტანდარტული ფორმის, იგი ექვივალენტურია განტოლების \(7x + 11 = 4\), საიდანაც დავასკვნათ, რომ \(x = -1 \) შესაფერისია ODZ-ის მიხედვით.

იპოვეთ განტოლების ფესვი \((-x - 11)^3 = 216\) . თუ განტოლებას აქვს ერთზე მეტი ფესვი, ჩაწერეთ უფრო დიდი თქვენს პასუხში.

ODZ: \(x\) – თვითნებური. მოდით გადავწყვიტოთ ODZ:

თავდაპირველი განტოლება \((-x - 11)^3 = 6^3\) არის სტანდარტული ფორმის, იგი უდრის განტოლებას \(-x - 11 = 6\), საიდანაც ვასკვნით, რომ \(x = -17\) შესაფერისია ODZ-სთვის.

ამოხსენით განტოლება \(8x^3-36x^2+54x-27=0\) .

გაითვალისწინეთ, რომ მარცხენა მხარე არის სხვაობის კუბი: \[(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 3+3\cdot (2x)\cdot3^2-3^3=0\quad \ Leftrightarrow\quad (2x-3)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\frac32.\]

იპოვეთ განტოლების უფრო დიდი ფესვი \(8x^3+12x^2+6x+1=0\) .

გაითვალისწინეთ, რომ მარცხენა მხარე არის ჯამის კუბი: \[(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot 1+3\cdot (2x)\cdot1^2+1^3=0\quad \ Leftrightarrow\quad (2x+1)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-\frac12.\]

ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში კუბური განტოლებები გვხვდება როგორც პროფილში, ასევე საბაზისო დონეზე. ეს ნიშნავს, რომ თითოეულმა მოსწავლემ უნდა შეძლოს ასეთი ამოცანების სწორად გადაჭრა. ზოგმა შეიძლება თქვას, რომ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში მესამე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის ქულების რაოდენობა მცირეა და არ ღირს მათზე დროის დახარჯვა. ძნელია დაეთანხმო ამას. ჯერ ერთი, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ყოველი ქულა ძალზე მნიშვნელოვანია და მეორეც, მესამე ხარისხის განტოლებები არც ისე რთულია, თუ მათ სათანადო ყურადღებას მიაქცევთ მომზადების დროს. იმისათვის, რომ მოსწავლემ სწრაფად და რაც მთავარია სწორად შეასრულოს ასეთი ამოცანები, ღირს ჩვენი საგანმანათლებლო რესურსის გამოყენება.

"შკოლკოვო" არის უნიკალური პლატფორმა, რომელიც საშუალებას აძლევს კურსდამთავრებულებს მოსკოვიდან და სხვა რეგიონებიდან ნებისმიერი დონის მათემატიკური ცოდნის მქონე ისწავლონ კუბური განტოლებების ამოხსნა და ეფექტურად მოემზადონ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარება. უპირველეს ყოვლისა, გირჩევთ დაიწყოთ ამ თემაზე თეორიული მასალის განხილვით ან შესწავლით. "შკოლკოვო" მოსკოვიდან და სხვა ქალაქებიდან სტუდენტების ყურადღებას წარუდგენს, რომლებიც ემზადებიან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის, ფაქტობრივად, ავტორის სახელმძღვანელოს, სადაც ნათლად და ხელმისაწვდომად არის წარმოდგენილი მასალა თემაზე "კუბური განტოლებები".

ძირითადი განმარტებებისა და ფორმულების წარმოდგენის გარდა, თქვენ შეძლებთ გაეცნოთ მაგალითებს თემაზე და ისწავლოთ მათი ამოხსნა. აღსანიშნავია, რომ ჩვენმა სპეციალისტებმა ძალიან საინტერესო ვარიანტები შეარჩიეს. იმისათვის, რომ ისწავლოთ, როგორ გადაჭრათ საგამოცდო პრობლემები, გჭირდებათ ტრენინგი. ამიტომ, გირჩევთ, შემდეგ გადახვიდეთ „კატალოგის“ განყოფილებაში და დაიწყოთ დამოუკიდებლად მუშაობა მესამე ხარისხის განტოლებებთან.

X მესამე ძალამდე

ფუნქცია უდრის x კუბს

i ფუნქციის თვისებები უდრის x კუბურს

ფუნქციას, რომელიც უდრის x კუბს, აქვს შემდეგი თვისებები:

2. ფუნქცია y უდრის x კუბური ზრდა მთელ რიცხვთა ხაზის გასწვრივ;

3. y = x 3 ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის მთელი რიცხვითი წრფე;

4. y = x 3 ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე არის მთელი რიცხვითი წრფე.

i ფუნქციის გრაფიკი უდრის x კუბურს

y = x 3 ფუნქციის გრაფიკს ეწოდება კუბური პარაბოლა:

თქვენ შეგიძლიათ თავად ააწყოთ y = x 3 ფუნქციის გრაფიკი ახლავე, გრაფიკის შემქმნელის გამოყენებით. მასში აირჩიეთ ფუნქციის ტიპი "Power: y = k * x n + b", მიუთითეთ მნიშვნელობა "n" ტოლი სამი და დააჭირეთ ღილაკს "Build graph".

ფუნქცია y = x 3 არის სიმძლავრის ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა.

ეს არის თვისებები და i ფუნქციის გრაფიკი უდრის x კუბურს.

კუბური განტოლება

კუბური განტოლების ამოხსნა ვიეტას ფორმულით. შექმნილია მომხმარებლის მოთხოვნით.

კუბური განტოლების კანონიკური ფორმა:

კუბურ განტოლებას ვიეტას ფორმულით ამოვხსნით.

ვიეტას ფორმულა არის ფორმის კუბური განტოლების ამოხსნის მეთოდი

კალკულატორი არის ქვემოთ, ხოლო ვიეტას ფორმულის აღწერა მის ქვემოთ

კუბური განტოლება

სხვათა შორის, რატომღაც სხვა საიტები იყენებენ კარდანოს ფორმულას კუბური განტოლებების ამოსახსნელად, მაგრამ ვეთანხმები ვიკიპედიას, რომ ვიეტას ფორმულა უფრო მოსახერხებელია პრაქტიკული გამოყენებისთვის. ასე რომ, რატომ არის კარდანოს ფორმულა ყველგან, გაუგებარია, თუ ადამიანებს ძალიან ეზარებათ ჰიპერბოლური ფუნქციების და ინვერსიული ჰიპერბოლური ფუნქციების განხორციელება. ისე, მე არ ვიყავი ზარმაცი.

ასე რომ, ვიეტას ფორმულა (ვიკიპედიიდან)

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ Vieta ფორმულის წარმოდგენის მიხედვით, a არის მეორე კოეფიციენტი და კოეფიციენტი x3-მდე ყოველთვის ითვლება 1-ის ტოლი. კალკულატორი გაძლევთ საშუალებას შეიყვანოთ a როგორც კოეფიციენტი x3-მდე, მაგრამ მაშინვე ყოფს განტოლებას მასზე. რომ მიიღოთ 1

თუ S > 0, მაშინ ვიანგარიშებთ:

თუ ს< 0, то заменяем ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიჰიპერბოლური. აქ არის ორი შესაძლო შემთხვევა Q-ს ნიშნიდან გამომდინარე

(წყვილი რთული ფესვები)

(წყვილი რთული ფესვები)

თუ S = 0, მაშინ განტოლება დეგენერატიულია და აქვს 3-ზე ნაკლები სხვადასხვა ამონახსნები (სიმრავლის მეორე ფესვი 2):

კალკულატორი მუშაობს ამ ფორმულების გამოყენებით. როგორც ჩანს, ის სწორად ხსნის, თუმცა ამონახსნები არ შემიმოწმებია წარმოსახვითი ნაწილით. თუ რამეა დაწერე.

ფესვები და ხარისხები

ხარისხი

ხარისხი არის ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

მოდით განვსაზღვროთ იმ ხარისხის ცნება, რომლის მაჩვენებელია ბუნებრივი რიცხვი(ანუ მთელი და დადებითი).

1. განმარტებით: .
2. რიცხვის კვადრატში გაყვანა ნიშნავს მის თავისთავად გამრავლებას:
3. რიცხვის კუბირება ნიშნავს თავის თავზე სამჯერ გამრავლებას: .

რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:

ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით

თუ მაჩვენებელი დადებითი მთელი რიცხვია:

ნულოვანი სიმძლავრის აწევა:

თუ მაჩვენებელი უარყოფითი მთელი რიცხვია:

შენიშვნა: გამოხატვა არ არის განსაზღვრული n ≤ 0-ის შემთხვევაში. თუ n > 0, მაშინ

ძალა რაციონალური მაჩვენებლით

ხარისხების თვისებები

ფესვი

განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს: x=2 და x=-2. ეს ის რიცხვებია, რომელთა კვადრატი არის 4.

განვიხილოთ განტოლება. დავხატოთ ფუნქციის გრაფიკი და ვნახოთ, რომ ამ განტოლებას ასევე აქვს ორი ამონახსნი, ერთი დადებითი, მეორე უარყოფითი.

მაგრამ ამ შემთხვევაში ამონახსნები არ არის მთელი რიცხვები. უფრო მეტიც, ისინი არ არიან რაციონალური. იმისათვის, რომ ჩამოვწეროთ ეს ირაციონალური გადაწყვეტილებები, შემოგთავაზებთ კვადრატული ფესვის სპეციალურ სიმბოლოს.

არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის ≥ 0-ს.< 0 - выражение не определено, т.к. нет такого რეალური რიცხვი, რომლის კვადრატი უარყოფითი რიცხვის ტოლია.

კვადრატული ფესვი

მაგალითად,. და განტოლების ამონახსნები, შესაბამისად, და

კუბის ფესვი

რიცხვის კუბური ფესვი არის რიცხვი, რომლის კუბიც ტოლია. კუბის ფესვი ყველასთვის არის განსაზღვრული. მისი ამოღება შესაძლებელია ნებისმიერი რიცხვიდან: .

n-ე ფესვი

რიცხვის მე-თე ფესვი არის რიცხვი, რომლის ხარისხოვანი ტოლია.

• მაშინ თუ ა< 0 корень n-ой степени из a не определен.
• ან თუ a ≥ 0, მაშინ განტოლების არაუარყოფითი ფესვი ეწოდება a-ს n-ე არითმეტიკული ფესვი და აღინიშნება

• მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი ნებისმიერისთვის.

ფესვები და ხარისხები

ხარისხი არის ფორმის გამოხატულება.

აქ - ხარისხის საფუძველი, - მაჩვენებლის.

ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით

ხარისხის განსაზღვრის უმარტივესი გზაა ბუნებრივი (ანუ დადებითი მთელი რიცხვი) მაჩვენებლით.

გამოთქმები "კვადრატი" და "კუბი" ჩვენთვის დიდი ხანია ნაცნობია.

რიცხვის კვადრატში გაყვანა ნიშნავს მის თავის თავზე გამრავლებას.

რიცხვის კუბირება ნიშნავს თავის თავზე სამჯერ გამრავლებას.

რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა ნიშნავს მის თავისთავად გამრავლებას:

ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით

მაჩვენებელი შეიძლება იყოს არა მხოლოდ ნატურალური რიცხვი (ანუ დადებითი მთელი რიცხვი), არამედ ნულის ტოლი, ასევე უარყოფითი მთელი რიცხვი.

ეს მართალია. გამოთქმა არ არის განსაზღვრული.

მოდით ასევე განვსაზღვროთ რა არის ხარისხი უარყოფითი მთელი რიცხვით.

რა თქმა უნდა, ეს ყველაფერი მართალია, რადგან ნულზე ვერ გაყოფთ.

გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც ამაღლებულია უარყოფით პირველ ხარისხზე, წილადი შებრუნებულია.

მაჩვენებელი შეიძლება იყოს არა მხოლოდ მთელი რიცხვი, არამედ წილადიც, ანუ რაციონალური რიცხვი. სტატიაში "რიცხობრივი სიმრავლეები" ვისაუბრეთ იმაზე, თუ რა არის რაციონალური რიცხვები. ეს არის რიცხვები, რომლებიც შეიძლება დაიწეროს წილადად, სადაც - არის მთელი რიცხვი - არის ნატურალური რიცხვი.

აქ ჩვენ გვჭირდება ახალი კონცეფცია - ხარისხის ფესვი. ფესვები და ხარისხი ორი ურთიერთდაკავშირებული თემაა. დავიწყოთ უკვე ნაცნობი არითმეტიკული კვადრატული ფესვით.

არითმეტიკული კვადრატული ფესვი

განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს: და.

ეს ის რიცხვებია, რომელთა კვადრატი უდრის.

როგორ ამოხსნათ განტოლება?

თუ ფუნქციის გრაფიკს დავხატავთ, დავინახავთ, რომ ამ განტოლებას ასევე აქვს ორი ამონახსნი, რომელთაგან ერთი დადებითია, მეორე კი უარყოფითი.

მაგრამ ეს გადაწყვეტილებები არ არის მთელი რიცხვები. უფრო მეტიც, ისინი არ არიან რაციონალური. ამ გადაწყვეტილებების ჩასაწერად ჩვენ შემოგთავაზებთ კვადრატული ფესვის სპეციალურ სიმბოლოს.

რიცხვის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის.

დაიმახსოვრე ეს განმარტება.

არითმეტიკული კვადრატული ფესვი აღინიშნება.

1) კვადრატული ფესვიშეიძლება ამოღებული იყოს მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვებიდან

2) გამოთქმა ყოველთვის არაუარყოფითია. მაგალითად,.

მოდით ჩამოვთვალოთ არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისებები:

გახსოვდეთ, რომ გამოხატულება არ არის თანაბარი. მარტივი შესამოწმებლად:

მე სხვა პასუხი მივიღე.

კუბის ფესვი

ანალოგიურად, კუბური ფესვი არის რიცხვი, რომელიც მესამე ხარისხზე ამაღლებისას იძლევა რიცხვს.

მაგალითად, ვინაიდან;

გაითვალისწინეთ, რომ მესამე ფესვის აღება შესაძლებელია როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რიცხვებიდან.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ფესვის ხარისხი ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის.

მე-n ხარისხის ფესვი

რიცხვის მე-თე ფესვი არის რიცხვი, რომელიც მე- ხარისხამდე აყვანისას წარმოქმნის რიცხვს.

გაითვალისწინეთ, რომ მესამე, მეხუთე, მეცხრე ფესვი - ერთი სიტყვით, ნებისმიერი კენტი ხარისხი - შეიძლება ამოღებული იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რიცხვებიდან.

კვადრატული ფესვი, ისევე როგორც მეოთხე, მეათე და ზოგადად, ნებისმიერი ლუწი ხარისხების ამოღება შესაძლებელია მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვებიდან.

ასე რომ, - ასეთი რიცხვი, რომ. გამოდის, რომ ფესვები შეიძლება დაიწეროს, როგორც ძალები რაციონალური მაჩვენებლით. მოსახერხებელია.

დაუყოვნებლივ შევთანხმდეთ, რომ ხარისხის საფუძველი უფრო დიდია.

გამოხატულება განმარტებით ტოლია.

ამ შემთხვევაში უფრო დიდი პირობაც დაკმაყოფილებულია.

გავიხსენოთ ხარისხებთან ურთიერთობის წესები:

გრადუსების გამრავლებისას, მაჩვენებლები იკრიბება

ხარისხზე გაყოფისას მაჩვენებლებს აკლებს

სიმძლავრის ხარისხზე აყვანისას, მაჩვენებლები მრავლდება

მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოიყენება ეს ფორმულები ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო დავალებებიმათემატიკაში:

ყველაფერი საერთო ფესვის ქვეშ მოვიტანეთ, ფაქტორზე დავყავით, ფრაქცია შევამცირეთ და ფესვი ამოვიღეთ.

აქ ჩვენ დავწერეთ ფესვები ძალაუფლების სახით და გამოვიყენეთ ფორმულები ძალებით ოპერაციებისთვის.

დაგვირეკეთ: (უფასო ზარი რუსეთის შიგნით) (უფასო ზარი მოსკოვში)

ან დააწკაპუნეთ ღილაკზე „შეიტყვეთ მეტი“ საკონტაქტო ფორმის შესავსებად. ჩვენ აუცილებლად დაგირეკავთ.

დარეკეთ ახლავე და ჩვენ მოგცემთ 25%-იან ფასდაკლებას გაკვეთილების პირველ თვეზე! ზარი:

ნორმალური ფუნქციონირებისთვის და თქვენი მოხერხებულობისთვის, საიტი იყენებს ქუქიებს. ეს არის სრულიად ნორმალური პრაქტიკა პორტალის გამოყენების გაგრძელებით, თქვენ ეთანხმებით ჩვენს კონფიდენციალურობის პოლიტიკას.

ფეისბუქი

Twitter

VKontakte

კლასელები

Google+