რა არის რიცხვის ძალა? რიცხვის სიმძლავრე: განმარტებები, აღნიშვნა, მაგალითები უარყოფითი რიცხვის ხარისხზე აყვანა

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ეს განყოფილება განიხილავს კონცეფციას გრადუსი მხოლოდ ბუნებრივი მაჩვენებლითდა ნული.

რაციონალური მაჩვენებლების მქონე ძალების კონცეფცია და თვისებები (უარყოფითი და წილადი) განხილული იქნება მე-8 კლასის გაკვეთილებზე.

მაშ, მოდით გავარკვიოთ, რა არის რიცხვის ძალა.რიცხვის ნამრავლის თავისთავად დასაწერად, შემოკლებული აღნიშვნა გამოიყენება რამდენჯერმე.

ექვსი იდენტური ფაქტორის ნამრავლის ნაცვლად 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 ჩაწერეთ 4 6 და თქვით „ოთხი მეექვსე ხარისხამდე“.

გამოსახულებას 4 6 ეწოდება რიცხვის ხარისხს, სადაც:

• 4 — ხარისხის ბაზა;
• 6 — ექსპონენტი.

ზოგადად, ხარისხი ფუძით "a" და მაჩვენებლით "n" იწერება გამოხატვის გამოყენებით:

გახსოვდეს!

რიცხვი "a" 1-ზე მეტი ბუნებრივი მაჩვენებლით "n" არის "n" იდენტური ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის რიცხვს "a".

ჩანაწერი "a n" ასე იკითხება: "a n-ის ხარისხში" ან "a რიცხვის n-ე ხარისხში".

გამონაკლისი არის შემდეგი ჩანაწერები:

• a 2 - ის შეიძლება გამოითვალოს როგორც "კვადრატი";
• a 3 - ის შეიძლება გამოითვალოს როგორც "კუბური".

• a 2 - "a მეორე ძალამდე";
• a 3 - "a მესამე ძალამდე".

განსაკუთრებული შემთხვევები წარმოიქმნება, თუ მაჩვენებელი უდრის ერთს ან ნულს (n = 1; n = 0).

გახსოვდეს!

რიცხვის "a" სიძლიერე მაჩვენებლით n = 1 არის თავად ეს რიცხვი:
a 1 = a

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის.
a 0 = 1

ნებისმიერი ბუნებრივი სიმძლავრის ნული ნულის ტოლია.
0 n = 0

ერთი ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ უდრის 1-ს.
1 n = 1

გამოხატულება 0 0 ( ნული ნულოვანი სიმძლავრით) უაზროდ ითვლება.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

მაგალითების ამოხსნისას უნდა გახსოვდეთ, რომ სიმძლავრემდე აწევა არის რიცხვითი ან ასოების მნიშვნელობის პოვნა მისი სიმძლავრემდე აწევის შემდეგ.

მაგალითი. ამაღლება ძალამდე.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

უარყოფითი რიცხვის ხარისხზე აწევა

ფუძე (რიცხვი, რომელიც ძლიერდება) შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი - დადებითი, უარყოფითი ან ნული.

გახსოვდეს!

დადებითი რიცხვის ხარისხზე აწევა წარმოქმნის დადებით რიცხვს.

როდესაც ნული ამაღლებულია ბუნებრივ სიმძლავრემდე, შედეგი არის ნული.

როდესაც უარყოფითი რიცხვი იზრდება ხარისხზე, შედეგი შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი რიცხვი. ეს დამოკიდებულია იმაზე, იყო თუ არა მაჩვენებელი ლუწი თუ კენტი რიცხვი.

მოდით შევხედოთ უარყოფითი რიცხვების ძალამდე აყვანის მაგალითებს.

განხილული მაგალითებიდან ირკვევა, რომ თუ უარყოფითი რიცხვი კენტ ხარისხზეა აყვანილი, მაშინ მიიღება უარყოფითი რიცხვი. ვინაიდან უარყოფითი ფაქტორების კენტი რაოდენობის ნამრავლი უარყოფითია.

თუ უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა ლუწი ხარისხზე, ის ხდება დადებითი რიცხვი.

გახსოვდეს!

ვინაიდან უარყოფითი ფაქტორების ლუწი რაოდენობის პროდუქტი დადებითია.

ლუწი ხარისხზე აყვანილი უარყოფითი რიცხვი დადებითი რიცხვია.

კენტ ხარისხზე გაზრდილი უარყოფითი რიცხვი არის უარყოფითი რიცხვი.

ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი არის დადებითი რიცხვი ან ნული, ანუ:

• a 2 ≥ 0 ნებისმიერი a.
• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18

−5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

მიაქციე ყურადღება!

სიმძლავრის მაგალითების ამოხსნისას ხშირად უშვებენ შეცდომებს და ავიწყდებათ, რომ ჩანაწერები (−5) 4 და −5 4 სხვადასხვა გამონათქვამებია. ამ გამონათქვამების ძალაუფლებამდე აყვანის შედეგები განსხვავებული იქნება.

(−5) 4-ის გამოთვლა ნიშნავს უარყოფითი რიცხვის მეოთხე ხარისხის მნიშვნელობის პოვნას.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

1. „−5 4“-ის პოვნა ნიშნავს, რომ მაგალითი უნდა გადაწყდეს 2 ეტაპად:
   აწიეთ დადებითი რიცხვი 5 მეოთხე ხარისხამდე.
2. 5 4 = 5 5 5 5 = 625
   −5 4 = −625

მიღებული შედეგის წინ მოათავსეთ მინუს ნიშანი (ანუ შეასრულეთ გამოკლების მოქმედება).

1. მაგალითი. გამოთვალეთ: −6 2 − (−1) 4
2. −6 2 = −36
3. 6 2 = 6 6 = 36
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

(−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1

პროცედურა მაგალითებში გრადუსით

გახსოვდეს!

მნიშვნელობის გამოთვლას სიმძლავრის მოქმედება ეწოდება. ეს არის მესამე ეტაპის აქცია. ძალაუფლების მქონე გამონათქვამებში, რომლებიც არ შეიცავს ფრჩხილებს, ჯერ გააკეთეთექსპონენტაცია , მაშინგამრავლება და გაყოფა და ბოლოს.

შეკრება და გამოკლება

თუ გამოთქმა შეიცავს ფრჩხილებს, მაშინ ჯერ შეასრულეთ მოქმედებები ფრჩხილებში ზემოთ მითითებული თანმიმდევრობით, შემდეგ კი შეასრულეთ დარჩენილი მოქმედებები იმავე თანმიმდევრობით მარცხნიდან მარჯვნივ.

მაგალითი. გამოთვალეთ:

მაგალითების ამოხსნის გასაადვილებლად სასარგებლოა გრადუსების ცხრილის ცოდნა და გამოყენება, რომელიც შეგიძლიათ უფასოდ ჩამოტვირთოთ ჩვენს ვებგვერდზე.

შედარებითი ხარისხი.ppt- იმავე ორმოში ცხოვრობდა ფერეტი. ნ.ფ. ჭკვიანი + მეტი - ჭკვიანი N.f. ჭკვიანი + LESS - ნაკლებად ჭკვიანი. როლი წინადადებაში. ჩვენი ნაკლებად მოხერხებული ძაღლები რბოლებზე თაგვების გასამხნევებლად მიდიან. მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება „ელგაის საბაზო საშუალო სკოლა“. ზაზუნა უფრო მოხერხებულია ვიდრე ლეკვი. რატომღაც ჩვენი ფეხსაცმელი გამოათრია ნაკლებად მოხერხებულმა მეზობლის ლეკვმა.

"ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით"- ხარისხი ბუნებრივი და მთელი რიცხვის მაჩვენებლით. (-1)2k=1, (-1)2k-1= -1. ხარისხის თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლით. ხარისხის განსაზღვრა ბუნებრივი მაჩვენებლით. ნებისმიერი სიმძლავრის 1 უდრის 1 1n=1. რა არის დიპლომი? როგორ დავწეროთ მოკლედ. ძალაუფლების გამრავლება იგივე ფუძეებით. N პირობები. 10n=100000…0.

"ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით"- გამოთვალე. გამოხატეთ გამოხატვა, როგორც ძალა. გამოხატეთ x-12 გამოხატულება, როგორც ორი სიმძლავრის ნამრავლი x ფუძით, თუ ცნობილია ერთი ფაქტორი. დაალაგეთ კლებადობით. გამარტივება. x-ის რომელი მნიშვნელობებისთვის არის ტოლობა ჭეშმარიტი.

"მესამე ხარისხის განტოლებები" - (მესამე შემთხვევაში - მინიმალური, მეოთხეში - მაქსიმუმი). პირველ და მეორე შემთხვევაში ვამბობთ, რომ ფუნქცია მონოტონურია x = წერტილში. ჩვენი ფორმულა იძლევა: "დიდი ხელოვნება". ამიტომ ტარტალალიამ თავის დაყოლიების უფლება მისცა. ლემა. მესამე და მეოთხე შემთხვევაში ვამბობთ, რომ ფუნქციას აქვს ექსტრემი x = წერტილში. ფრჩხილების გახსნა.

"ხარისხის თვისებები"- ცოდნისა და უნარების განზოგადება ხარისხების თვისებების ბუნებრივი მაჩვენებლებით გამოყენებისას. ხარისხის თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლით. ტვინის შტორმი. რომელი რიცხვის კუბია 64? გამოთვლითი პაუზა. ხარისხის თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლით. გამძლეობის, გონებრივი აქტივობისა და შემოქმედებითი აქტივობის განვითარება.

"N-ე ფესვი"- განმარტება 2: ა). მოდი კუბური გავხადოთ განტოლების ორივე მხარე: - რადიკალური გამოხატულება. განვიხილოთ განტოლება x? = 1. ავწიოთ განტოლების ორივე მხარე მეოთხე ხარისხამდე: გამოვსახოთ ფუნქციები y = x? და y = 1. რეალური რიცხვის n-ე ფესვის ცნება. თუ n კენტია, მაშინ ერთი ფესვი: ავაშენოთ y = x ფუნქციების გრაფიკები? და y = 1.

ამ სტატიაში ჩვენ გავარკვევთ რა არის ეს რიცხვის ძალა. აქ მივცემთ რიცხვის სიძლიერის განმარტებებს, ხოლო დეტალურად განვიხილავთ ყველა შესაძლო მაჩვენებელს, დაწყებული ბუნებრივი მაჩვენებლით და დამთავრებული ირაციონალურით. მასალაში ნახავთ ხარისხების უამრავ მაგალითს, რომელიც მოიცავს ყველა იმ დახვეწილობას, რომელიც წარმოიქმნება.

გვერდის ნავიგაცია.

სიმძლავრე ბუნებრივი მაჩვენებლით, რიცხვის კვადრატი, რიცხვის კუბი

დავიწყოთ იმით. წინ რომ ვიხედოთ, ვთქვათ, რომ a რიცხვის სიმძლავრის განმარტება n ბუნებრივი მაჩვენებლით მოცემულია a-სთვის, რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ. ხარისხის საფუძველი, და n, რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ ექსპონენტი. ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით განისაზღვრება პროდუქტის საშუალებით, ამიტომ ქვემოთ მოცემული მასალის გასაგებად, თქვენ უნდა გესმოდეთ რიცხვების გამრავლება.

განმარტება.

რიცხვის სიმძლავრე n ბუნებრივი მაჩვენებლითარის a n ფორმის გამოხატულება, რომლის მნიშვნელობა უდრის n ფაქტორების ნამრავლს, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს, ანუ .
კერძოდ, რიცხვი a 1 მაჩვენებლით არის თავად რიცხვი a, ანუ a 1 =a.

დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს ხარისხების წაკითხვის წესები. a n აღნიშვნის წაკითხვის უნივერსალური გზაა: „a n-ის ხარისხამდე“. ზოგიერთ შემთხვევაში, შემდეგი ვარიანტებიც მისაღებია: „a-დან n-ე ხარისხამდე“ და „a-ის n-ე ხარისხამდე“. მაგალითად, ავიღოთ სიმძლავრე 8 12, ეს არის "რვა თორმეტის ხარისხამდე", ან "რვა მეთორმეტე ხარისხამდე", ან "რვის მეთორმეტე ხარისხში".

რიცხვის მეორე ხარისხს, ისევე როგორც რიცხვის მესამე ხარისხს, აქვთ საკუთარი სახელები. რიცხვის მეორე ხარისხს ეწოდება კვადრატში რიცხვიმაგალითად, 7 2 იკითხება როგორც „შვიდი კვადრატში“ ან „შვიდი რიცხვის კვადრატი“. რიცხვის მესამე ხარისხს ეწოდება კუბური რიცხვებიმაგალითად, 5 3 შეიძლება წაიკითხოთ როგორც "ხუთი კუბიკი" ან შეგიძლიათ თქვათ "კუბი ნომერი 5".

მოტანის დროა გრადუსების მაგალითები ბუნებრივი მაჩვენებლებით. დავიწყოთ 5 7 ხარისხით, აქ 5 არის ხარისხის საფუძველი, ხოლო 7 არის მაჩვენებლის მაჩვენებელი. მოვიყვანოთ კიდევ ერთი მაგალითი: 4.32 არის ფუძე, ხოლო ნატურალური რიცხვი 9 არის მაჩვენებლის (4.32) 9 .

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ბოლო მაგალითში 4.32 სიმძლავრის საფუძველი იწერება ფრჩხილებში: შეუსაბამობების თავიდან ასაცილებლად ფრჩხილებში ჩავსვამთ სიმძლავრის ყველა ფუძეს, რომელიც განსხვავდება ნატურალური რიცხვებისგან. მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ შემდეგ ხარისხებს ბუნებრივი მაჩვენებლებით , მათი ფუძეები არ არის ნატურალური რიცხვები, ამიტომ ისინი იწერება ფრჩხილებში. სრული სიცხადისთვის, ამ ეტაპზე ჩვენ ვაჩვენებთ განსხვავებას (−2) 3 და −2 3 ფორმის ჩანაწერებში. გამოსახულება (−2) 3 არის −2-ის სიმძლავრე 3-ის ბუნებრივი მაჩვენებლით, ხოლო გამოსახულება −2 3 (ის შეიძლება დაიწეროს როგორც −(2 3) ) შეესაბამება რიცხვს, 2 3 სიმძლავრის მნიშვნელობას. .

გაითვალისწინეთ, რომ არსებობს a რიცხვის სიმძლავრის აღნიშვნა a^n ფორმის n მაჩვენებლით. უფრო მეტიც, თუ n არის მრავალმნიშვნელოვანი ნატურალური რიცხვი, მაშინ მაჩვენებელი აღებულია ფრჩხილებში. მაგალითად, 4^9 არის კიდევ ერთი აღნიშვნა 4 9-ის ხარისხზე. და აი, კიდევ რამდენიმე მაგალითი ხარისხების ჩაწერის სიმბოლოს "^" გამოყენებით: 14^(21) , (−2,1)^(155) . შემდეგში, ჩვენ პირველ რიგში გამოვიყენებთ a n ფორმის ხარისხობრივ აღნიშვნას.

ბუნებრივი მაჩვენებლით სიმძლავრის ამაღლების ერთ-ერთი უკუპრობლემა არის სიმძლავრის საფუძვლის პოვნის პრობლემა სიმძლავრის ცნობილი მნიშვნელობიდან და ცნობილი მაჩვენებლისგან. ეს ამოცანა იწვევს.

ცნობილია, რომ რაციონალური რიცხვების სიმრავლე შედგება მთელი რიცხვებისგან და წილადებისგან და თითოეული წილადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც დადებითი ან უარყოფითი ჩვეულებრივი წილადი. წინა აბზაცში განვსაზღვრეთ ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ამიტომ, რომ დავასრულოთ ხარისხის განსაზღვრება რაციონალური მაჩვენებლით, უნდა მივცეთ მნიშვნელობა a რიცხვის ხარისხს წილადის მაჩვენებლით m/n, სადაც m არის მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი. მოდით გავაკეთოთ ეს.

განვიხილოთ ხარისხი ფორმის წილადი მაჩვენებლით. იმისათვის, რომ ძალაუფლება ძალაუფლების თვისება დარჩეს ძალაში, თანასწორობა უნდა იყოს . თუ გავითვალისწინებთ მიღებულ თანასწორობას და იმას, თუ როგორ დავადგინეთ , მაშინ ლოგიკურია მისი მიღება იმ პირობით, რომ მოცემული m, n და a გამოსახულებას აქვს აზრი.

ადვილია იმის შემოწმება, რომ მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ყველა თვისება მართებულია (ეს გაკეთდა რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების განყოფილებაში).

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა საშუალებას გვაძლევს გავაკეთოთ შემდეგი დასკვნა: თუ მოცემულია m, n და a გამოთქმა აზრი აქვს, მაშინ a-ის ხარისხს წილადი მაჩვენებლით m/n ეწოდება a-ს n-ე ფესვი m-ის ხარისხში.

ეს დებულება გვაახლოებს ხარისხის განმარტებასთან წილადის მაჩვენებლით. რჩება მხოლოდ იმის აღწერა, თუ რაში აქვს m, n და a გამოხატულებას აზრი. m, n და a-ზე დაყენებული შეზღუდვებიდან გამომდინარე, არსებობს ორი ძირითადი მიდგომა.

უმარტივესი გზაა a-ზე შეზღუდვის დაწესება a≥0 დადებითი m-ისთვის და a>0 უარყოფითი m-ისთვის (რადგან m≤0-სთვის m-ის 0 ხარისხი არ არის განსაზღვრული). შემდეგ მივიღებთ ხარისხის შემდეგ განმარტებას წილადის მაჩვენებლით.

განმარტება.

დადებითი რიცხვის სიმძლავრე a წილადის მაჩვენებლით m/n, სადაც m არის მთელი რიცხვი და n ნატურალური რიცხვი, ეწოდება a რიცხვის n-ე ფესვი m ხარისხზე, ანუ .

ნულის წილადი სიმძლავრე ასევე განისაზღვრება ერთადერთი გაფრთხილებით, რომ ინდიკატორი დადებითი უნდა იყოს.

განმარტება.

ნულის სიმძლავრე წილადი დადებითი მაჩვენებლით m/n, სადაც m არის დადებითი მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი, განისაზღვრება როგორც .
როდესაც ხარისხი არ არის განსაზღვრული, ანუ ნულის რიცხვის ხარისხს წილადი უარყოფითი მაჩვენებლით აზრი არ აქვს.

უნდა აღინიშნოს, რომ წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ამ განმარტებით, არსებობს ერთი გამოხმაურება: ზოგიერთ უარყოფითს a და ზოგს m და n-სთვის გამოთქმა აზრი აქვს და ეს შემთხვევები გავაუქმეთ a≥0 პირობის შემოღებით. მაგალითად, ჩანაწერებს აზრი აქვს ან , და ზემოთ მოცემული განმარტება გვაიძულებს ვთქვათ, რომ ძალები ფორმის წილადი მაჩვენებლით აზრი არ აქვს, რადგან ბაზა არ უნდა იყოს უარყოფითი.

კიდევ ერთი მიდგომა წილადის მაჩვენებლით m/n-ით ხარისხის დასადგენად არის ფესვის ლუწი და კენტი მაჩვენებლების ცალკე განხილვა. ეს მიდგომა მოითხოვს დამატებით პირობას: a რიცხვის სიმძლავრე, რომლის მაჩვენებელია , ითვლება a რიცხვის ხარისხად, რომლის მაჩვენებელია შესაბამისი შეუქცევადი წილადი (ამ პირობის მნიშვნელობას ქვემოთ ავხსნით. ). ანუ, თუ m/n არის შეუქცევადი წილადი, მაშინ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის k ხარისხი ჯერ შეიცვლება .

ლუწი n-სთვის და დადებითი m-ისთვის გამოთქმა აზრი აქვს ნებისმიერ არაუარყოფითს (უარყოფითი რიცხვის ლუწი ფესვს არ აქვს აზრი უარყოფითი m-ისთვის, რიცხვი a მაინც უნდა განსხვავდებოდეს ნულისაგან (წინააღმდეგ შემთხვევაში იქნება გაყოფა). ნულით). ხოლო კენტი n-სთვის და დადებითი m-ისთვის, რიცხვი a შეიძლება იყოს ნებისმიერი (კენტი ხარისხის ფესვი განისაზღვრება ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის), ხოლო უარყოფითი m-ისთვის, რიცხვი a უნდა იყოს ნულის გარეშე (ისე რომ არ იყოს გაყოფა ნული).

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა მიგვიყვანს წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ამ განსაზღვრებამდე.

განმარტება.

მოდით m/n იყოს შეუქცევადი წილადი, m მთელი რიცხვი და n ნატურალური რიცხვი. ნებისმიერი რედუცირებადი წილადისთვის, ხარისხი იცვლება . რიცხვის სიმძლავრე შეუქცევადი წილადის მაჩვენებლით m/n არის for



მოდით ავხსნათ, თუ რატომ შეიცვალა ხარისხი შემცირებადი წილადის მაჩვენებლით ჯერ შეუქცევადი მაჩვენებლით. თუ ჩვენ უბრალოდ განვსაზღვრავთ ხარისხს, როგორც , და არ გავაკეთებთ დათქმას m/n წილადის შეუმცირებლობასთან დაკავშირებით, მაშინ შეგვექმნება მსგავსი სიტუაციები: ვინაიდან 6/10 = 3/5, მაშინ ტოლობა უნდა შენარჩუნდეს. , მაგრამ , ა .