機械的変換を使用した関数グラフのプロット。「関数グラフの変換」というテーマのプロジェクト。関数グラフの最も単純な変換

これらの関数のうち、逆関数があるものはどれですか? このような関数については、逆関数を見つけます。


4.12. A)	y = x ;	b) y = 6 −3 x ;
d) y =		e) y = 2 x 3 +5;
d) y =		e) y = 2 x 3 +5;
4.13。 A)	y = 4 x − 5 ;		y = 9 − 2 x − x 2 ;
	y = 符号 x ;		y =1 + log(x + 2) ;

	y = 2 x 2 +1 ;
			x − 2


				xで< 0
c) y =		−x
				x ≥ 0 の場合

次の関数のどれが単調であるか、どれが厳密に単調であるか、どれが制限されているかを調べます。

4.14。 A)

f (x) = c, c R ;

b) f (x) = cos 2 x;

c) f (x) = arctan x;

d) f (x) = e 2 x;

e) f (x) = −x 2 + 2 x;

e) f (x) =

2x+5

y = ctg7 x 。

4.15。 A)

f(x) = 3− x

b) f(x) =

f(x)=

x+3

x+6

×< 0,

3x+5

d) f (x) = 3 x 3 − x;

− 10時

f(x)=

e) f (x) =

×2で

x ≥ 0;

x+1

f (x) = Tan(sin x)。

4.2. 初歩的な機能。関数グラフの変換

デカルト直交座標系 Oxy における関数 f (x) のグラフは、座標 (x, f (x)) を持つ平面のすべての点の集合であることを思い出してください。

多くの場合、関数 y = f (x) のグラフは、既知の関数のグラフの変換 (シフト、ストレッチ) を使用して構築できます。

特に、関数 y = f (x) のグラフから、関数のグラフが得られます。

1) y = f (x) + a – Oy 軸に沿って単位単位でシフトします (a > 0 の場合は上、a の場合は下)< 0 ;

2) y = f (x −b) – Ox 軸に沿って b 単位だけシフトします (b > 0 の場合、右へ)。

bの場合は去りました< 0 ;

3) y = kf (x) – Oy 軸に沿って k 回伸縮します。

4) y = f (mx) – Ox 軸に沿った m 回の圧縮。

5) y = − f (x) – Ox 軸に対する対称反射。

6) y = f (−x) – Oy 軸に対して対称な反射。

7) y = f (x)、次のように: グラフの一部が配置されていない

Ox 軸の下は変化せず、グラフの「下部」部分は Ox 軸に対して対称的に反映されます。

8) y = f (x)、次のように: グラフの右側 (x ≥ 0 の場合)

は変更されず、「左」の代わりに「右」の対称的な反映が Oy 軸に対して構築されます。

主な基本関数は次のように呼ばれます。

1) 定数関数 y = c;

2) べき乗関数 y = x α , α R ;

3) 指数関数 y = a x、a ≠ 0、a ≠ 1;

4) 対数関数 y = log a x 、a > 0、a ≠ 1 ;

5) 三角関数関数 y = sin x、y = cos x、y = Tan x、

y = ctg x、y = sec x (sec x = cos 1 x)、y = cosec x (cosec x = sin 1 x);

6) 逆三角関数 y = arcsin x、y = arccos x、y = arctan x、y = arcctg x。

初等関数は、有限数の算術演算 (+、-、÷) と合成 (すなわち、複素関数 f g の形成) を使用して基本的な初等関数から得られる関数と呼ばれます。

例4.6。関数をグラフ化する

1) y = x 2 + 6 x + 7 ; 2) y = −2sin 4 x 。

解決策: 1) 完全な正方形を選択すると、関数は y = (x +3) 2 − 2 の形式に変換されるため、この関数のグラフは関数 y = x 2 のグラフから取得できます。まず放物線 y = x 2 を左に 3 単位シフトし (関数 y = (x +3) 2 のグラフが得られます)、次に 2 単位下にシフトするだけで十分です (図 4.1)。


	標準	正弦波	y = 罪x	軸に沿って4回		牛、
関数 y = sin 4 x のグラフが得られます (図 4.2)。
					y=sin4x
					y=sin4x

					y=罪x

結果のグラフを Oy 軸に沿って 2 回引き伸ばすと、関数 y = 2sin 4 x のグラフが得られます (図 4.3)。 Ox 軸を基準とした最後のグラフを表示する作業が残ります。結果は目的のグラフになります (図 4.3 を参照)。




						y=2sin4x

y=–2sin4x

自主的に解決すべき問題

基本的な初等関数のグラフに基づいて、次の関数のグラフを作成します。

4.16。 a) y = x 2 −6 x +11 ;

4.17。 a) y = −2sin(x −π ) ;

4.18。 a) y = − 4 x −1 ;

4.19。 a) y = log 2 (−x);

4.20。 a) y = x +5 ;

4.21。 a) y = tg x ;

4.22 a) y = 符号 x;

4.23。 a) y = x x + + 4 2 ;

y = 3 − 2 x − x 2 。

y = 2cos 2 x 。

物理的プロセスの条件に応じて、ある量は一定の値をとり、定数と呼ばれますが、他の量は特定の条件下で変化し、変数と呼ばれます。

環境を注意深く研究すると、物理量は相互に依存していることがわかります。つまり、ある量の変化は他の量の変化を伴います。

数学的分析は、特定の物理的意味を抽象化して、相互に変化する量間の定量的関係の研究を扱います。数学的解析の基本概念の 1 つは関数の概念です。

集合の要素と集合の要素を考慮する
(図3.1)。

集合の要素間に何らかの対応関係が確立されている場合
そしてルールの形で、その後、関数が定義されていることに気づきました。
.

意味 3.1. 対応、各要素に関連付けられます空集合ではない
明確に定義された要素空集合ではない、関数またはマッピングと呼ばれます
V .

象徴的に表示する
V は次のように書かれています。

同時に、多くの
は関数の定義域と呼ばれ、次のように表されます。
.

順番に、多くのは関数の値の範囲と呼ばれ、次のように表されます
.

さらに、セットの要素に注意してください。
独立変数、集合の要素と呼ばれますは従属変数と呼ばれます。

関数の指定方法

関数は、表形式、グラフ形式、分析形式の主な方法で指定できます。

実験データに基づいて、関数の値と対応する引数の値を含むテーブルがコンパイルされる場合、関数を指定するこの方法はテーブル形式と呼ばれます。

同時に、実験結果のいくつかの研究が記録装置（オシロスコープ、記録装置など）に表示される場合、関数はグラフィックで指定されることに注意してください。

最も一般的なのは、関数を指定する分析的な方法です。式を使用して独立変数と従属変数をリンクする方法。この場合、関数の定義ドメインが重要な役割を果たします。

それらは同じ分析関係によって与えられますが、異なります。

関数式のみを指定する場合
、その後、この関数の定義領域が変数のそれらの値のセットと一致すると考えます。、その式は
理にかなっています。この点において、関数の定義領域を見つける問題は特別な役割を果たします。

タスク 3.1. 関数のドメインを見つける

解決

最初の項は次の場合に実数値を取ります。
、そして2番目のat。したがって、特定の関数の定義域を見つけるには、不等式系を解く必要があります。

結果として、このようなシステムの解決策はです。したがって、関数の定義域はセグメントです。
.

関数グラフの最も単純な変換

基本的な初等関数のよく知られたグラフを使用すると、関数グラフの構築を大幅に簡素化できます。次の関数は主要な基本関数と呼ばれます。

1) べき乗関数
どこ
;

2) 指数関数
どこ
そして
;

3) 対数関数
、どこ - 1 以外の正の数:
そして
;

4) 三角関数

;
.

5) 逆三角関数
;
;
;
.

初等関数とは、基本的な初等関数を四則演算と有限回の重ね合わせにより求めた関数です。

単純な幾何学的変換により、関数のグラフを構築するプロセスを簡素化することもできます。これらの変換は次のステートメントに基づいています。

関数 y=f(x+a) のグラフは、グラフ y=f(x) を (>0 の場合は左に、a の場合は) シフトしたものです。< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

関数 y=f(x) +b のグラフは、y=f(x) のグラフを (b>0 で上に、b で) シフトしたものです。< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

関数 y = mf(x) (m0) のグラフは、y = f(x) のグラフを (m>1 で) m 回引き伸ばし、または (0 で) 圧縮したものです。

関数 y = f(kx) のグラフは、y = f(x) のグラフを k 回圧縮 (k >1 の場合)、または引き伸ばし (0 の場合) したものです。< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.

関数グラフの変換

この記事では、関数グラフの線形変換を紹介し、これらの変換を使用して関数グラフから関数グラフを取得する方法を説明します。

関数の線形変換は、関数自体および/またはその引数を次の形式に変換することです。、および引数および/または関数モジュールを含む変換。

線形変換を使用してグラフを構築する際の最大の困難は、次のアクションによって引き起こされます。

基本関数、実際には変換するグラフを分離します。
変換の順序の定義。

そしてこれらの点について、さらに詳しく説明します。

機能を詳しく見てみましょう

関数に基づいています。彼女に電話しましょう 基本機能.

関数をプロットするとき基本関数のグラフに対して変換を実行します。

関数変換を実行する場合引数の特定の値に対してその値が見つかった順序と同じ順序で、

引数と関数の線形変換にはどのような種類があり、どのように実行するかを考えてみましょう。

引数の変換。

1. f(x) f(x+b)

1. 関数のグラフを作成する

2. 関数のグラフを OX 軸に沿って |b| だけシフトします。単位

b>0の場合は左
bなら正しい<0

関数をプロットしてみましょう

1. 関数のグラフを作成する

2. 右に 2 単位シフトします。

2. f(x) f(kx)

1. 関数のグラフを作成する

2. グラフ点の横座標を k で割ります。点の縦座標は変更しません。

関数のグラフを作成しましょう。

1. 関数のグラフを作成する

2. 縦軸を変更せずに、グラフの点のすべての横軸を 2 で割ります。

3. f(x) f(-x)

1. 関数のグラフを作成する

2. OY軸に対して対称に表示します。

関数のグラフを作成しましょう。

1. 関数のグラフを作成する

2. OY 軸に対して対称的に表示します。

4. f(x) f(|x|)

1. 関数のグラフを作成する

2. OY 軸の左側にあるグラフの部分が消去され、OY 軸の右側にあるグラフの部分が OY 軸に対して対称に完成します。

関数グラフは次のようになります。

関数をプロットしてみましょう

1. 関数のグラフを作成します (これは、OX 軸に沿って 2 単位左にシフトした関数のグラフです)。

2. OY (x) 軸の左側にあるグラフの一部<0) стираем:

3. OY 軸に対して対称的に、OY 軸の右側 (x>0) に位置するグラフの部分を完成させます。

重要！ 引数を変換するための 2 つの主なルール。

1. すべての引数の変換は OX 軸に沿って実行されます。

2. 引数のすべての変換は、「逆も同様」および「逆の順序で」実行されます。

たとえば、関数における引数変換のシーケンスは次のとおりです。

1. x の係数を求めます。

2. 数値 2 をモジュロ x に加算します。

ただし、グラフを逆の順序で作成しました。

まず、変換 2 が実行されました。グラフは左に 2 単位シフトされました (つまり、点の横座標は「逆」のように 2 減少しました)。

次に、変換 f(x) f(|x|) を実行しました。

簡単に言うと、一連の変換は次のように記述されます。

さあ、話しましょう 関数変換 。変革が起こっています

1. OY 軸に沿って。

2. アクションが実行されるのと同じ順序で。

変換は次のとおりです。

1. f(x)f(x)+D

2. OY 軸に沿って |D| だけシフトします。単位

D>0の場合は上がる
Dの場合はダウン<0

関数をプロットしてみましょう

1. 関数のグラフを作成する

2. OY 軸に沿って 2 単位上にシフトします。

2. f(x)Af(x)

1. 関数 y=f(x) のグラフを作成します。

2. 横軸はそのままにして、グラフのすべての点の縦軸に A を掛けます。

関数をプロットしてみましょう

1. 関数のグラフを作成しましょう

2. グラフ上のすべての点の縦座標を 2 倍します。

3.f(x)-f(x)

1. 関数 y=f(x) のグラフを作成します。

関数のグラフを作成しましょう。

1. 関数のグラフを作成します。

2. OX 軸に対して対称に表示します。

4. f(x)|f(x)|

1. 関数 y=f(x) のグラフを作成します。

2. グラフの OX 軸より上にある部分は変更されず、グラフの OX 軸より下にある部分はこの軸に対して対称に表示されます。

関数をプロットしてみましょう

1. 関数のグラフを作成します。これは、関数グラフを OY 軸に沿って 2 単位下にシフトすることで取得されます。

2. 次に、OX 軸の下にあるグラフの部分を、この軸に対して対称的に表示します。

そして最後の変換は、この変換の結果は関数ではなくなるため、厳密に言えば関数変換とは言えません。

|y|=f(x)

1. 関数 y=f(x) のグラフを作成します。

2. OX 軸の下に位置するグラフの部分を消去し、OX 軸に対して対称的に上に位置するグラフの部分を完成させます。

方程式をプロットしてみましょう

1. 関数のグラフを作成します。

2. OX 軸の下にあるグラフの部分を消去します。

3. OX 軸に対して対称的に、OX 軸の上に位置するグラフの部分を完成させます。

最後に、関数のグラフを構築するための段階的なアルゴリズムを示すビデオチュートリアルをご覧になることをお勧めします。

この関数のグラフは次のようになります。

パラレル転送。

Y 軸に沿った移動

f(x) => f(x) - b
関数 y = f(x) - b のグラフを作成するとします。 |b| 上の x のすべての値に対するこのグラフの縦軸が容易にわかります。 b>0 および |b| の場合、関数グラフ y = f(x) の対応する縦座標より小さい単位単位以上 - b 0 または b で最大関数 y + b = f(x) のグラフをプロットするには、関数 y = f(x) をプロットし、x 軸を |b| に移動する必要があります。 b>0 または |b| で単位が上がります。単位は b で下がります

横軸に沿った移動

f(x) => f(x + a)
関数 y = f(x + a) をプロットするとします。ある時点で x = x1 が値 y1 = f(x1) を取る関数 y = f(x) を考えてみましょう。明らかに、関数 y = f(x + a) は点 x2 で同じ値をとり、その座標は等式 x2 + a = x1 から決定されます。 x2 = x1 - a であり、考慮中の等式は、関数の定義領域からのすべての値の合計に対して有効です。したがって、関数 y = f(x + a) のグラフは、関数 y = f(x) のグラフを x 軸に沿って左に |a| だけ平行移動することで得られます。 a > 0 の場合は単位、または |a| によって右へ関数 y = f(x + a) のグラフを作成するには、関数 y = f(x) のグラフを作成し、縦軸を |a| に移動する必要があります。 a>0 の場合、または |a| によって右に単位を移動します。左にある単位

例:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

反射。

Y = F(-X) の形式の関数のグラフの作成

f(x) => f(-x)
関数 y = f(-x) と y = f(x) は、横軸の絶対値が等しいが符号が反対の点で等しい値を取ることは明らかです。つまり、x の正（負）値の領域における関数 y = f(-x) のグラフの縦軸は、関数 y = f(x) のグラフの縦軸と等しくなります。絶対値における x の対応する負（正）の値。したがって、次の規則が得られます。
関数 y = f(-x) をプロットするには、関数 y = f(x) をプロットし、それを縦軸に対して反映する必要があります。結果として得られるグラフは、関数 y = f(-x) のグラフです。

Y = - F(X) の形式の関数のグラフの作成

f(x) => - f(x)
引数のすべての値に対する関数 y = - f(x) のグラフの縦軸は、絶対値が等しいですが、引数の関数 y = f(x) のグラフの縦軸とは符号が逆になります。引数の値が同じです。したがって、次の規則が得られます。
関数 y = - f(x) のグラフをプロットするには、関数 y = f(x) のグラフをプロットし、それを x 軸に対して反映する必要があります。

例:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

変形。

Y 軸に沿ったグラフの変形

f(x) => k f(x)
y = k f(x) (k > 0) という形式の関数を考えてみましょう。引数の値が等しい場合、この関数のグラフの縦軸は、グラフの縦軸の k 倍になることが簡単にわかります。関数 y = f(x) (k > 1) のグラフは、関数 y = f(x) (k) のグラフの縦軸の 1/k 倍より小さい関数 y = k f(x) のグラフを作成するには)、関数 y = f(x) のグラフを作成し、k > 1 の場合はその縦軸を k 倍増やすか (縦軸に沿ってグラフを引き伸ばす)、k でその縦軸を 1/k 倍減らす必要があります。
k > 1- 牛軸からのストレッチ
0 - OX 軸への圧縮

横軸に沿ったグラフの変形

f(x) => f(k x)
関数 y = f(kx) (k>0) のグラフを作成する必要があるとします。任意の点 x = x1 で値 y1 = f(x1) をとる関数 y = f(x) を考えてみましょう。関数 y = f(kx) が点 x = x2 で同じ値を取ることは明らかであり、その座標は等式 x1 = kx2 によって決定され、この等式は次のすべての値の合計に対して有効です。 x は関数の定義領域から取得します。その結果、関数 y = f(kx) のグラフは、関数 y = f(x) のグラフに対して横軸に沿って (k 1 の場合) 圧縮されることがわかります。したがって、ルールが得られます。
関数 y = f(kx) のグラフを作成するには、関数 y = f(x) のグラフを作成し、k>1 の場合にその横軸を k 倍縮小する (横軸に沿ってグラフを圧縮する) か、または増加する必要があります。横軸は k の 1/k 倍
k > 1- Oy軸への圧縮
0 - OY 軸からのストレッチ

指数関数は、a に等しい n 個の数値の積を一般化したものです。
y (n) = a n = a・a・a・・a,
実数 x のセットへの変換:
y (x) = 斧.
ここで a は固定実数であり、 指数関数の基礎.
基数を a とする指数関数とも呼ばれます。 aを底とする指数.

一般化は次のように行われます。
自然な x = の場合 1, 2, 3,... 、指数関数は x 因数の積です。
.
さらに、数値の乗算規則に従うプロパティ (1.5-8) () があります。ゼロおよび負の整数値の場合、指数関数は式 (1.9-10) を使用して決定されます。小数値 x = m/n の有理数の場合、式 (1.11) によって決まります。 real の場合、指数関数はシーケンスの極限として定義されます。
,
ここで、は x: に収束する任意の有理数列です。
この定義により、指数関数はすべてのに対して定義され、自然な x と同様に特性 (1.5-8) を満たします。

指数関数の定義とその特性の証明の厳密な数学的定式化は、「指数関数の定義と特性の証明」のページに記載されています。

指数関数の性質

指数関数 y = a x は、実数 () のセットに関して次の特性を持ちます。
(1.1) 定義され、継続的な、すべての、すべての ;
(1.2) ≠のため 1 多くの意味があります。
(1.3) で厳密に増加し、で厳密に減少し、
は一定です。
(1.4) で ;
で ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

その他の便利な公式。
.
指数基数が異なる指数関数に変換する式:

b = e の場合、指数関数を介して指数関数の式が得られます。

プライベートな価値観

, , , , .

図は指数関数のグラフを示しています
y (x) = 斧
4 つの値の場合 学位ベース:a = 2 、a = 8 、a = 1/2 そして、= 1/8 。 1 > の場合は次のことがわかります。 0 < a < 1 指数関数は単調増加します。次数 a の底が大きいほど、成長は強くなります。で

指数関数は単調減少します。指数 a が小さいほど、減少は大きくなります。

昇順、降順

	の指数関数は厳密に単調であるため、極値はありません。その主な特性を表に示します。 1	y = a x 、a > 0 < a < 1
y = 斧、	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
定義のドメイン	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
値の範囲	単調	単調増加
単調減少 0	ゼロ、y =	ゼロ、y =
いいえ 0	縦軸との交点、x = 1	縦軸との交点、x = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

y=

逆関数

底を a とする指数関数の逆関数は、底を a に対する対数です。
.
の場合、
.

の場合、

指数関数の微分

指数関数を微分するには、その底を数値 e に換算し、導関数の表と複素関数を微分するための規則を適用する必要があります。
これを行うには、対数の性質を使用する必要があります。
.

そして導関数テーブルからの式は次のようになります。
.
指数関数を与えてみましょう。

それをベース e に持ってきます。

複素関数の微分の法則を適用してみましょう。これを行うには、変数を導入します

それから
.
導関数のテーブルから (変数 x を z に置き換えます):
.
は定数であるため、x に関する z の導関数は次と等しくなります。
.

複素関数の微分の法則によれば、次のようになります。

.
指数関数の導関数
.
n次微分:

数式の導出 > > >

指数関数の微分の例
縦軸との交点、x = 関数の導関数を求める

3 5×

解決
指数関数の底を数値 e で表しましょう。
複素関数の微分の法則を適用してみましょう。これを行うには、変数を導入します
.
3 = e ln 3
.
複素関数の微分の法則を適用してみましょう。これを行うには、変数を導入します

変数を入力してください
.
導関数の表から次のことがわかります。以来 5ln3
.
が定数の場合、x に関する z の導関数は次と等しくなります。
.

複素関数の微分規則によれば、次のようになります。

答え

積分

複素数を使った式 複素数関数を考えてみましょう:
z f
(z) = a z 2 = - 1 .
ここで、z = x + iy;
私
複素関数の微分の法則を適用してみましょう。これを行うには、変数を導入します

.
複素定数 a を法 r と引数 φ で表現してみましょう。
φ = φ a = r e i φ,
引数 φ は一意に定義されません。一般的に 0+2πnここで、n は整数です。したがって、関数 f
.