le principal Tuyaux en polyéthylène

Comparaison des valeurs des quantités. L'effet du "G-Hyperbolisme" ou comment comparer l'incomparable. Comparer les valeurs par le nombre d'articles

Ampleur relative Est le résultat de la division (comparaison) de deux valeurs absolues. Le numérateur de la fraction contient la valeur qui est comparée, et le dénominateur contient la valeur avec laquelle elle est comparée (base de comparaison). Par exemple, si nous comparons les valeurs des exportations américaines et russes, qui en 2005 s'élevaient respectivement à 904,383 et 243,569 milliards de dollars, alors la valeur relative montrera que la valeur des exportations américaines est 3,71 fois (904,383 / 243,569) plus que les exportations russes, tandis que la comparaison de base est la valeur des exportations russes. La valeur relative résultante est exprimée sous la forme coefficient, qui indique combien de fois la valeur absolue comparée est supérieure à la valeur de base. Dans cet exemple, la base de comparaison est considérée comme une. Si la base est prise comme 100, la valeur relative est exprimée en pour cent (% ), si pour 1000 - en ppm (‰ ). Le choix d'une forme ou d'une autre de la valeur relative dépend de sa valeur absolue :

- si la valeur comparée est 2 fois ou plus que la base de comparaison, alors la forme du coefficient est choisie (comme dans l'exemple ci-dessus) ;

- si la valeur relative est proche de un, alors, en règle générale, elle est exprimée en pourcentage (par exemple, en comparant les valeurs des exportations de la Russie en 2006 et 2005, qui s'élevaient respectivement à 304,5 et 243,6 milliards de dollars, on peut dire que les exportations en 2006 c'est 125% de 2005) ;

- si la valeur relative est nettement inférieure à un (proche de zéro), elle est exprimée en ppm (par exemple, en 2004, la Russie n'a exporté que 4142 mille tonnes de produits pétroliers vers les pays de la CEI, dont 10,7 mille tonnes vers la Géorgie, ce qui est 0,0026 ou 2,6 ‰ de toutes les exportations de produits pétroliers vers les pays de la CEI).

Distinguer les valeurs relatives de dynamique, de structure, de coordination, de comparaison et d'intensité, par souci de concision, ci-après dénommées indices.

Indice de dynamique caractérise l'évolution d'un phénomène dans le temps. C'est le rapport des valeurs d'une même valeur absolue à différentes périodes de temps. Cet indice est déterminé par la formule (2) :

où les nombres signifient : 1 - période de déclaration ou d'analyse, 0 - période passée ou de référence.

La valeur du critère de l'indice de dynamique est un (ou 100 %), c'est-à-dire que si > 1, alors il y a augmentation (augmentation) du phénomène au cours du temps ; si = 1 - stabilité; si<1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – indice de changement, en soustrayant lequel (100 %), vous obtenez taux de changement (dynamique) avec une valeur de critère de 0, qui est déterminée par la formule (3) :

Si T> 0, alors il y a augmentation du phénomène ; T= 0 - stabilité, T<0 – спад.

Dans l'exemple ci-dessus concernant les exportations russes en 2006 et 2005, c'est l'indice de dynamique qui a été calculé à l'aide de la formule (2) : identifiant= 304,5 / 243,6 * 100 % = 125 %, ce qui est supérieur à la valeur du critère de 100 %, qui indique une augmentation des exportations. En utilisant la formule (3), nous obtenons le taux de variation : T= 125 % - 100 % = 25 %, ce qui montre que les exportations ont augmenté de 25 %.

Les variétés de l'indice de dynamique sont les indices de la tâche planifiée et de l'exécution du plan, calculés pour planifier diverses quantités et surveiller leur mise en œuvre.

Index des tâches planifiées- C'est le rapport de la valeur planifiée de la caractéristique à la valeur de base. Il est déterminé par la formule (4) :

où X '1- valeur planifiée ; X 0- la valeur de base de la caractéristique.

Par exemple, le service des douanes a transféré 160 milliards de roubles au budget fédéral en 2006, et l'année prochaine, ils prévoyaient de transférer 200 milliards de roubles, ce qui signifie selon la formule (4) : je pz= 200/160 = 1,25, c'est-à-dire que l'objectif prévu pour l'administration des douanes pour 2007 est de 125 % de l'année précédente.

Pour déterminer le pourcentage d'achèvement du plan, vous devez calculer index d'exécution du plan, c'est-à-dire le rapport de la valeur observée de la caractéristique à la valeur prévue (optimale, maximale possible) selon la formule (5) :

Par exemple, pour janvier-novembre 2006, les autorités douanières prévoyaient de transférer 1 955 milliards de roubles au budget fédéral. roubles, mais en fait transféré 2,590 milliards de dollars. frotter., puis selon la formule (5) : je VP= 2,59 / 1,955 = 1,325, soit 132,5 %, c'est-à-dire que l'objectif prévu a été atteint à 132,5 %.

Indice de structure (part) Est le rapport de n'importe quelle partie d'un objet (ensemble) à l'objet entier. Il est déterminé par la formule (6) :

Dans l'exemple ci-dessus concernant l'exportation de produits pétroliers vers les pays de la CEI, la part de cette exportation vers la Géorgie a été calculée à l'aide de la formule (6) : ré= 10,7 / 4142 = 0,0026, ou 2,6 ‰ .

Indice de coordination- C'est le rapport d'une partie quelconque de l'objet à son autre partie, pris comme base (base de comparaison). Il est déterminé par la formule (7) :

Par exemple, les importations de la Russie en 2006 s'élevaient à 163,9 milliards de dollars, puis, en les comparant aux exportations (base de comparaison), nous calculons l'indice de coordination à l'aide de la formule (7) : je K= 163,9 / 304,5 = 0,538, ce qui montre le rapport entre les deux composantes du chiffre d'affaires du commerce extérieur, c'est-à-dire que la valeur des importations de la Russie en 2006 est de 53,8% de la valeur des exportations. En changeant la base de comparaison à importer, en utilisant la même formule on obtient : je K= 304,5 / 163,9 = 1,858, c'est-à-dire que les exportations de la Russie en 2006 sont 1,858 fois supérieures aux importations, ou les exportations représentent 185,8% des importations.

Indice de comparaison- Il s'agit d'une comparaison (rapport) de différents objets pour les mêmes caractéristiques. Il est déterminé par la formule (8) :

où MAIS, B- objets comparés.

Dans l'exemple considéré ci-dessus, dans lequel les valeurs des exportations américaines et russes ont été comparées, c'est l'indice de comparaison qui a été calculé à l'aide de la formule (8) : Moi avec= 904,383 / 243,569 = 3,71. En changeant la base de comparaison (c'est-à-dire que les exportations russes sont l'objet A et les exportations américaines sont l'objet B), en utilisant la même formule, nous obtenons : Moi avec= 243,569 / 904,383 = 0,27, c'est-à-dire que les exportations russes représentent 27% des exportations américaines.

Indice d'intensité C'est le rapport entre les différentes caractéristiques d'un objet. Il est déterminé par la formule (9) :

où X- une caractéristique de l'objet ; Oui- un autre signe du même objet

Par exemple, les indicateurs de production par unité de temps de travail, les coûts unitaires, les prix unitaires, etc.

Jetez un oeil à l'image. Vous voyez deux béchers, chacun contenant une certaine quantité de liquide. Dites-moi, lequel des béchers contient le plus de liquide ? Si vous pensez avoir raison, vous vous trompez ! La bonne réponse est la suivante : l'erreur qui se produit lors de la mesure du volume de liquide avec ces béchers ne permet pas de dire dans quel bécher on verse le plus de liquide.

Comment comprendre cela ? Rappelons que l'utilisation de tout appareil de mesure s'accompagne nécessairement d'une erreur de mesure. Cela dépend de la valeur de division d'échelle de cet appareil. Comme les graduations du bécher droit sont plus grandes, cela signifie que l'erreur de mesure du volume sera plus importante. On mesurera les volumes de liquides dans les béchers, en tenant compte des erreurs.

Représentons les valeurs mesurées des volumes (marquées de points jaunes) et les intervalles entre les bornes des erreurs de mesure sur deux droites numériques :

Contrairement aux valeurs mesurées, les vraies valeurs des volumes de liquides se trouvent à un endroit inconnu dans les intervalles. Le volume réel du liquide dans le bécher gauche peut être, par exemple, 270 ml, et le volume réel du liquide dans le bécher droit, par exemple, 250 ml (marqué de points rouges).

Nous avons délibérément choisi le deuxième nombre "rouge" inférieur au premier (après tout, cette situation peut également l'être). Cela signifie que le bécher droit peut contenir moins de liquide que le gauche, même si le niveau dans le bécher droit est plus élevé. Incroyable, mais c'est un fait !

Tout d'abord, considérons le problème de la comparaison de la valeur mesurée dans l'expérience avec la constante a. La valeur ne peut être déterminée qu'approximativement en calculant la moyenne des mesures. Il est nécessaire de savoir si le ratio est rempli. Dans ce cas, deux tâches se posent, directe et inverse :

a) par une valeur connue, trouver une constante a, qui est dépassée avec une probabilité donnée

b) trouver la probabilité que, où a est une constante donnée.

Évidemment, si alors la probabilité qu'il soit inférieur à 1/2. Ce cas est sans intérêt, et dans ce qui suit nous supposerons que

Le problème est réduit aux problèmes discutés dans la section 2. Soit X et sa norme être déterminés à partir de mesures

Le nombre de mesures sera considéré comme pas très petit, il y a donc une variable aléatoire avec une distribution normale. Alors, du critère de Student (9), compte tenu de la symétrie de la distribution normale, il s'ensuit que pour une probabilité choisie arbitrairement la condition

En supposant que nous réécrivons cette expression sous la forme suivante :

où sont les coefficients de Student spécifiés dans le tableau 23. Ainsi, le problème direct est résolu : une constante a est trouvée, qui avec probabilité dépasse

Le problème inverse est résolu en utilisant le problème direct. Réécrivons les formules (23) comme suit :

Cela signifie qu'il est nécessaire de calculer t à partir des valeurs connues de a, de sélectionner la ligne avec les données du tableau 23 - et de trouver la valeur correspondante par la valeur de t Il détermine la probabilité souhaitée

Deux variables aléatoires. Il est souvent nécessaire d'établir l'influence d'un facteur sur la valeur étudiée - par exemple, si (et dans quelle mesure) la résistance du métal est augmentée par un certain additif. Pour ce faire, il est nécessaire de mesurer la résistance du métal-mère et la résistance du métal allié y et de comparer ces deux valeurs, c'est-à-dire de trouver

Les valeurs comparées sont aléatoires ; ainsi, les propriétés d'une certaine qualité de métal varient d'une fusion à l'autre, puisque les matières premières et le régime de fusion ne sont pas strictement les mêmes. Notons ces quantités par. L'ampleur de l'effet étudié est égale et il est nécessaire de déterminer si la condition est satisfaite

Ainsi, le problème a été réduit à une comparaison d'une variable aléatoire avec une constante a, qui a été analysée ci-dessus. Dans ce cas, les problèmes de comparaison directe et inverse sont formulés comme suit :

a) à partir des résultats des mesures, trouver une constante a, qui dépasse avec une probabilité donnée (c'est-à-dire estimer l'ampleur de l'effet à l'étude) ;

b) déterminer la probabilité que, où a soit la taille d'effet souhaitée ; lorsque cela signifie qu'il est nécessaire de déterminer la probabilité avec laquelle

Pour résoudre ces problèmes, il est nécessaire de calculer z et la variance de cette quantité. Regardons deux façons de les trouver.

Mesures indépendantes. Mesurons la grandeur dans les expériences, et la grandeur des expériences, indépendamment des premières expériences. Calculons les valeurs moyennes à l'aide des formules habituelles :

Ces moyennes sont elles-mêmes des variables aléatoires, et leurs normes (à ne pas confondre avec les normes de mesures uniques !) sont approximativement déterminées par des estimations non biaisées :

Étant donné que les expériences sont indépendantes, les variables aléatoires x et y sont également indépendantes, de sorte que lors du calcul de leurs attentes mathématiques sont soustraites et les variances sont ajoutées :

Une estimation légèrement plus précise de la variance est la suivante :

Ainsi, sa variance a été trouvée, et d'autres calculs sont effectués en utilisant les formules (23) ou (24).

Mesures cohérentes. Une plus grande précision est obtenue par une méthode de traitement différente, lorsque dans chacune des expériences sont mesurées simultanément. Par exemple, après avoir prélevé la moitié de la chaleur, un additif est ajouté au métal restant dans le four, puis les échantillons de métal de chaque moitié de la chaleur sont comparés.

Dans ce cas, essentiellement, dans chaque expérience, la valeur d'une variable aléatoire est mesurée à la fois, qui doit être comparée à la constante a. Les mesures sont ensuite traitées selon les formules (21) - (24), où z doit être remplacé partout.

La variance pour les mesures cohérentes sera moindre que pour les mesures indépendantes, car elle n'est due qu'à une partie de facteurs aléatoires : ces facteurs qui changent de manière cohérente n'affectent pas la propagation de leur différence. Par conséquent, cette méthode vous permet d'obtenir des conclusions plus fiables.

Exemple. Une illustration intéressante de la comparaison des valeurs est la détermination du vainqueur dans les sports où l'arbitrage est effectué "à l'œil" - gymnastique, patinage artistique, etc.

Tableau 24. Notes des juges en points

Le tableau 24 montre le protocole de dressage pour les Jeux Olympiques de 1972. On peut voir que l'éventail des notes des juges est large, et aucune des notes ne peut être considérée comme grossièrement erronée et rejetée. À première vue, il semble que la fiabilité de la détermination du gagnant soit faible.

Calculons avec quelle précision le gagnant est déterminé, c'est-à-dire quelle est la probabilité de l'événement. Étant donné que les deux coureurs ont été notés par les mêmes juges, une méthode de mesure cohérente peut être utilisée. D'après le tableau 24, nous calculons en substituant ces valeurs dans la formule (24) et nous recevrons.

En choisissant une ligne du tableau 23, nous constatons que cette valeur de t correspond à Donc, c'est-à-dire avec une probabilité de 90 %, la médaille d'or a été attribuée correctement.

La comparaison par la méthode des mesures indépendantes donnera une note légèrement moins bonne, car elle n'utilise pas l'information selon laquelle les notes ont été données par les mêmes juges.

Comparaison des écarts. Supposons qu'il soit nécessaire de comparer deux techniques expérimentales. Évidemment, la technique est plus précise si la variance d'une seule mesure est moindre (bien sûr, si cela n'augmente pas l'erreur systématique). Par conséquent, il est nécessaire d'établir si l'inégalité est vérifiée.

Sujet de la leçon : Plus ou moins ? Combien?

Le but de la leçon : Formation d'idées initiales sur la connexion des opérations arithmétiques avec des nombres croissants / décroissants dans les égalités.

Tâches :

Systématiser les connaissances des enfants sur la composition des dix premiers nombres.

Apprenez à modéliser la composition de nombres à l'aide de cartes.

Se faire une idée du lien entre l'addition et l'augmentation, et la soustraction avec une diminution du nombre.

Améliorer la capacité de simuler l'état du problème pour sa solution ultérieure.

Former la capacité de choisir consciemment une opération arithmétique lors de la résolution de problèmes.

Promouvoir le développement de la capacité d'observer, de voir des modèles, de tirer des conclusions.

Encouragez le désir de collaborer avec des pairs lorsque vous travaillez en binôme.

Pour former la capacité de comparer des informations présentées sous différentes formes : texte, dessin, schéma, expression numérique.

Améliorer les compétences de maîtrise de soi.

Former la capacité d'écouter un partenaire.

Équipement: manuel de mathématiques 1re année, cahier d'exercices mathématicien 1e année, un ensemble de nombres de démonstration magnétiques de 1 à 10, des signes de démonstration magnétiques "+" et "=", un document "mitaines" avec des nombres de 1 à 9 et des égalités, un ensemble de cartes avec numéros de 1 à 9 pour chaque ordinateur portable enfant, projet, cartes de signal rouge et bleu.

Plan de cours.

Étape de mise à jour des connaissances.

Étape de connaissance avec le nouveau matériel.

Phase opérationnelle et exécutive.

Stade de développement des compétences.

Application des connaissances acquises en activité indépendante 4 min.

Travail en binôme 1 min.

Phase de réflexion 2 min.

Résumé de la leçon.

Étape de la leçon

Objectifs de la scène

Activité de l'enseignant

Formes d'organisation des activités étudiantes

Travail différencié

Retour d'information

Résultat prévu

1. L'étape de mise à jour des connaissances

moment organisationnel

Préparez les gars pour un travail actif

Voici l'appel qui nous a donné un signal :

L'heure est venue de travailler.

Alors on ne perd pas de temps

Et nous commençons à travailler.Partons en voyageNous nous retrouverons dans une forêt magnifique.

Frontale

Attirer l'attention des enfants sur la leçon.

Redynamiser l'expérience étudiante

Systématiser les connaissances des enfants, les pousser au travail actif.

Le soir du Nouvel An, non seulement les gens, mais aussi les habitants de la forêt se préparent pour les vacances. Et aujourd'hui, nous visiterons une forêt de fées. Le Père Noël a veillé à ce que les animaux soient aussi en vacances. Regardez, les arbres de Noël sont déjà avec des guirlandes, mais les lumières ne brûlent pas dessus. Pour qu'ils s'allument, vous devez choisir les bons chiffres qui s'ajoutent au nombre sur chaque arbre de Noël. (6,7,8,9,10)

Frontale

Travail des enfants avec des cartes, réponses des élèves, analyse mutuelle des options de réponse

Création d'intérêt et attitude positive.

Ils consolideront et systématiseront la connaissance de la composition des nombres.

Mise à jour des connaissances de base.

Ravivez et systématisez les compétences des enfants en effectuant des opérations de calcul avec des nombres inférieurs à 10

Les sapins sont prêts, mais il n'y a pas assez de jouets, le Père Noël ne l'a pas oublié. Il leur a préparé des jouets. 5 boules rouges et 7 bleues. Et quelles balles sont plus? Lequel est supérieur à 5 ou 7 ? Combien font 5 de plus que 7 ?

Frontale

Par le degré d'aide, menant aux bonnes réponses.

Analyse mutuelle des options de réponse.

Capacité de comparer des nombres, d'effectuer des additions et des soustractions en fonction de la connaissance de la composition du nombre.

Travail différencié

Capacité à simuler l'état d'un problème pour sa solution ultérieure, la capacité à choisir consciemment une opération arithmétique lors de la résolution de problèmes.

Les enfants planifient leurs propres activités. La différenciation du contenu des tâches pédagogiques est organisée en fonction du niveau de difficulté. Pour les groupes 3 et 2 - écureuils et lapins, une méthode de recherche partielle est utilisée. Pour les enfants du groupe 1 ayant un faible niveau d'apprentissage, une tâche de reproduction est utilisée. La nature de l'activité cognitive chez les enfants du 1er groupe est reproductive, chez les enfants des 2e et 3e groupes - productive

Pour les vacances, tout le monde attend des cadeaux. Le Père Noël ne sait pas combien de cadeaux sont nécessaires.

Démonstration de la condition problématique à l'écran.

« 7 lapins sont venus aux vacances du Nouvel An, puis 2. Combien d'animaux sont venus aux vacances ? »

1 sous-groupe : une image indépendante du diagramme du problème et établissant son égalité.

2 sous-groupe : aide au dessin d'un schéma et à l'élaboration de l'égalité par soi-même.

3 sous-groupe : rédaction du schéma et égalité avec l'enseignant.

Sous-groupe

Par le degré de difficulté.

Faire un schéma du problème et son égalité dans un cahier, les réponses des enfants, travailler au tableau.

Exercice sur les manières d'établir des diagrammes et des égalités au problème.

Éducation physique "Souviens-toi et montre."

Si je montre un nombre pair, alors vous devez vous asseoir autant de fois que le nombre que j'ai montré, et si je dis un nombre impair, votre tâche est de faire autant de tapes sur la tête que je l'ai mentionné.

Création d'une situation problématique.

Acceptation du problème et de sa formulation par les enfants.

Une autre tâche s'affiche à l'écran.

"Lors des vacances, il y avait d'abord 7 lapins, puis il y en avait 9. Combien y avait-il d'autres animaux pendant les vacances?"

Notre schéma est-il adapté à cette tâche ?

Qu'est-ce qui manque dans notre schéma ?

Que savons-nous du problème ?

Quelle est la question posée ?

Pourquoi notre schéma n'est-il pas adapté à cette tâche ?

Frontale.

Formulation conjointe des problèmes Réponses des enfants.

Acceptation par les enfants du problème.

2. Le stade de la connaissance du nouveau matériel.

Résoudre des situations problématiques avec les commentaires des enseignants

Résolution et conclusion conjointes du problème.

Développement d'opérations mentales, formation et développement d'opérations logiques

Au cours de la discussion, les étudiants arrivent à la conclusion qu'un schéma différent est nécessaire et le décrivent en fonction de l'état du problème.

Les gars, regardez, maintenant nous voyons combien de lapins sont venus au début, et combien il y en a eu plus tard.

Et comment pouvons-nous montrer sur le diagramme combien il y a d'animaux en plus ?

Nous allons rayer le nombre de bêtes qui était du nombre total de bêtes. L'enseignant le démontre dans le schéma en barrant 7 cercles.

Combien de cercles reste-t-il ?

Comment avons-nous obtenu le numéro 2 ?

On soustrait le plus petit du plus grand nombre.

Conclusion : pour savoir de combien un nombre est plus grand qu'un autre, vous devez soustraire le plus petit du plus grand nombre. Cette déclaration est accompagnée de gestes schématiques.

Individuel et frontal

Réponses des enfants, travail avec un diagramme et égalité dans un cahier.

Corrélation de vos connaissances avec du nouveau matériel

Éducation physique.

Entraînement physique interactif musical et dynamique avec l'utilisation de l'installation multimédia "Merry Charge".

3. Stade opérationnel-exécutif

Travailler en sous-groupes

Créer une opportunité d'exprimer votre point de vue, la capacité de travailler en sous-groupe, le développement des compétences en communication

Travailler avec des polycopiés « mitaines ».

Les gars, et tous les lapins ont besoin de mitaines pour ne pas geler, aidons-les à en trouver une paire.

Sur les mitaines, des égalités sont données auxquelles vous devez choisir le nombre requis.

Le contrôle s'effectue par la présentation des résultats des travaux par les équipes. Sur les mitaines supplémentaires restantes, les nombres sont comparés et il s'avère de combien un nombre est supérieur ou inférieur à l'autre. La réponse de chaque sous-groupe est évaluée par les autres sous-groupes à l'aide d'une carte de signal.

Grouper

Les réponses des enfants

Exercice de résolution d'égalités basé sur la connaissance de la composition d'un nombre et de comparaison de nombres.

4. Stade de développement des compétences.

Application des connaissances acquises en activité indépendante

Systématisation des idées sur la connexion de l'addition avec une augmentation et de la soustraction avec une diminution du nombre.

Travailler avec le tutoriel.

Les gars, regardez, nous devons mettre des signes< ou alors> .

La première égalité est discutée en commun, les suivantes sont réalisées par les étudiants de manière indépendante.

Groupe, hammam, individuel.

Par le degré d'aide.

Réponses des enfants, travail dans des cahiers, travail en binôme.

Améliorer les compétences de comparaison des nombres.

Travailler en équipe de deux.

Le travail en binôme contribue à la formation des compétences de communication et crée également une situation de réussite pour les élèves faibles et moyens-faibles qui ressentent également leur importance. Les gars ont la possibilité de se prouver l'un à l'autre la justesse de la décision.

Les gars, maintenant vous et votre voisin échangez des cahiers et vérifions si vous avez terminé la tâche correctement.

Chambre à vapeur

Par degré d'aide

Capacité à travailler en binôme

Améliorer les compétences de comparaison des nombres et d'énoncer des signes> et< .

5. Étape de réflexion.

Les élèves évaluent leur travail sur l'assimilation de nouveau matériel et, en général, travaillent dans la leçon.

Les gars, notez maintenant sur notre piste comment vous avez appris à comparer deux nombres. Ceux qui ont compris et savent maintenant faire cela - mettre * en haut de la piste, ceux qui ont encore du mal - au milieu. A qui c'est difficile et qui a encore besoin d'apprendre vers le bas.

Et marquez avec un smiley votre attitude envers la leçon. Si vous travaillez activement et que vous étiez intéressé, souriez.

Et si c'était difficile et incompréhensible pour vous, alors - la tristesse.

Frontale.

Capacité de réflexion.

Ils se rendent compte que le schéma de la tâche dépend de la condition définie, ils sont approuvés à la manière de comparer deux nombres.